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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\hypersetup{
pdftitle={Annales baccalauréat es session 2010}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Annales sujets bac mathématiques série ES : Obligatoire et Spécialité},
pdfkeywords={Lectures graphiques, Fonction logarithme, Fonction exponentielle, Applications à l'économie, Probabilités conditionnelles, Probabilités totales, Variables aléatoires discrètes, espérance mathématique, Loi binomiale, Ajustement affine d'un nuage de points, Ajustement exponentiel d'un nuage de points, Fonctions de deux variables, Suites, Graphes, Graphes probabilistes.}, 
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\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture}(17,4.5)
\DeclareFixedFont{\bigsf}{T1}{phv}{b}{n}{4.5cm}
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\psboxfill{\smallrm \bleu mathématiques}
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\vspace{\stretch{2}}

\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales des sujets de mathématiques session 2010}}}
 
\vspace{\stretch{1}}
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\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
 
\begin{center}
\LARGE{\bf {Les sujets proposés sont établis à partir des énoncés mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
\newpage

\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\textsf{\textsc{{sommaire des sujets de la session 2010}}}}

\bigskip
 
\hrulefill

\bigskip
}
\textsf{\tableofcontents}


\hrulefill

}
\end{titlepage}

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}} 

\pagenumbering{arabic}

\lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat es session 2010}}}}
\rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{obligatoire et spécialité}}}
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}

\section{AMÉRIQUE DU NORD 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!f@Q.C.M} 

 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2 ; 11]$, et on donne sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthogonal \Oij, figure ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(24,20)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(24,20)
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1)(12,5)
\psaxes[linewidth=1pt, linecolor=red,labels=none,  ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[d](11.8,0){$x$} \uput[l](0,4.95){$y$}
\psbezier[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(-2,0.5)(-1.5,0.5)(-.75,0.5)(0,2)
\psbezier[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(0,2)(1,4)(1.5,4.5)(2,4.5)
\psbezier[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(2,4.5)(2.75,4.5)(3.5,3)(4.5,2)
\psbezier[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(4.5,2)(5.5,1)(7.9,-.75)(11,-.75)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{->}(-2,.5)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1,0)(1,4) 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(1,4.5)(3,4.5) 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(3,3.5)(6,0.5) 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<-}(10,-.75)(11,-.75)  
\psdots[dotstyle=*, linecolor=prune,dotscale=.8](-2,0.5)(0,2)(2,4.5)(4.5,2)(7.5,0)(11,-.75)
\uput[ul](-2,0.5){\bleu{$A$}} \uput[ur](0,2){\bleu{$B$}}\uput[u](2,4.5){\bleu{$C$}}\uput[ur](4.5,2){\bleu{$D$}}\uput[ur](7.5,0){\bleu{$E$}}\uput[ur](11,-.75){\bleu{$F$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On sait que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points $A(-2 ; 0,5)$, $B(0 ; 2)$, $C(2 ; 4,5)$, $D(4,5 ; 2)$,  $E(7,5 ; 0)$ et $F(11 ; -0,75)$.

Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ aux points $A$, $B$, $C$, $D$ et $F$ sont représentées sur la figure. On utilisera les informations de l'énoncé et celles lues sur la figure pour répondre aux questions.

\medskip

\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses \textbf{A,~B} ou \textbf{C} est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à $O$.}


\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(0)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{A :} $\dfrac{1}{2}$&\textbf{B :} $2$&\textbf{C :} 4\\
\end{tabularx}

\medskip

\item $f'(x)$ est strictement positif sur l'intervalle :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{A :} $]0 ; 11[$&\textbf{B :} ]0 ; 7,5[&\textbf{C :} $]-2 ; 2[$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{A :} $y = - x + 6,5$ & \textbf{B :} $y = x - 6,5$ & \textbf{C :} $y = -2x + 11$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 2 ; 11]$ :

\textbf{A :} admet un maximum en $x = 2$.

\textbf{B :} est strictement croissante sur l'intervalle $[- 2 ; 7,5]$.

\textbf{C :} est strictement décroissante sur l'intervalle $]2 ; 11[$.

\item Sur l'intervalle $[- 2 ; 11]$, l'équation $\mathrm{exp}[f(x)] = 1$ : 

\textbf{A :} admet une solution.

\textbf{B :} admet deux solutions.

\textbf{C :} n'admet aucune solution.
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{PROBABILIT\'ES!c@Loi numérique, espérance mathématique} 

 
Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d'appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil. 

Il a constaté, lors d'une précédente promotion, que :

\begin{itemize}
\item 20\:\% des clients achètent l'appareil photo en promotion. 
\item 70\:\% des clients qui achètent l'appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion. 
\item  60\:\% des clients n'achètent ni l'appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.
\end{itemize}
 
On suppose qu'un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte  mémoire en promotion.
 
Un client entre dans le magasin.
 
On note A l'évènement : \og le client achète l'appareil photo en promotion \fg. 

On note C l'évènement : \og le client achète la carte mémoire en promotion \fg.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les probabilités $p\left(\overline{\text{A}}\right)$ et $p\left(\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{C}} \right)$. 
		\item  Un client n'achète pas l'appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu'il n'achète pas non plus la carte mémoire en promotion.
	\end{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation. 
\item Montrer que la probabilité qu'un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34. 
\item Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète aussi l'appareil photo en promotion. 
\item Le commerçant fait un bénéfice de 30~\euro{} sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4~\euro{} sur chaque carte mémoire en promotion. 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune justification n'est demandée.
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Bénéfice par client en euros		& 0	&	&	&\\ \hline
Probabilité d'atteindre le bénéfice	&0,6&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	 
		\item Pour 1000 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa promotion ?
	\end{enumerate} 
\item Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements d'achat sont indépendants.
 
Déterminer la probabilité qu'au moins un de ces trois clients n'achète pas l'appareil photo en  promotion. 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!ba@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a - }}\'Etude préliminaire}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $g(x) = 1- 2\ln (x)$.

On donne ci-dessous sa courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ dans un repère orthonormé \Oij. Cette courbe $\mathcal{C}_{g}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $\alpha$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(20,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-8)(20,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-4)(10,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.134}{10}{1-2*ln(x)}
\uput[ur](1.5,0){\prune $\alpha$}
\uput[r](8,-3){\bleu $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item  Déterminer la valeur exacte de $\alpha$. 
\item On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.

Donner, en justifiant, le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b - }} \'Etude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln (x) + 1}{x}$.
  
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$). 

On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$. 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$. 
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$. 

On pourra remarquer que $f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln (x) +  \dfrac{1}{x}$. 
		\item Soit  $I= \dfrac{1}{4} \displaystyle\int_{1}^5  f(x)\:\text{d}x$. Déterminer la valeur exacte de $I$, puis en donner une valeur approchée  au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c - }} Application économique}

\medskip
 
Dans cette partie, on pourra utiliser certains résultats de la partie B.

\medskip
 
Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l'industrie automobile. Sa production pour ce type de pièces varie entre 1000 et 5000~pièces par semaine, selon la demande.
 
On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.
 
Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie B, avec $x$ exprimé en milliers de pièces et $f(x)$ exprimé en euros.
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre 1000 et 5000~pièces. 
\item \emph{Dans cette question, la réponse sera soigneusement justifiée. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l'unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à 1,05~\euro{}? 
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 4 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
Craignant une propagation de grippe infectieuse, un service de santé d'une ville de  50000 habitants a relevé le nombre de consultations hebdomadaires concernant cette grippe dans cette ville pendant 7 semaines. Ces semaines ont été numérotées de 1 à 7.
 
On a noté $x_{i}$ les rangs successifs des semaines et $y_{i}$ le nombre de consultations correspondant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Rang de la semaine : $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Nombre de consultations : $y_{i}$& 540 &720 &980 & 1320 & 1800 & 2420 & 3300\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Tracer le nuage de points sur une feuille de papier millimétré, on prendra 2~cm pour une unité en $x$ et 1~cm pour 200 en $y$. 

Un modèle d'ajustement affine a été rejeté par le service de santé. Pourquoi ? 
\item Pour effectuer un ajustement exponentiel, on décide de considérer les $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
 
Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie en arrondissant les $z_{i}$ à 0,01 près. Il n'est pas demandé de tracer le nuage de points correspondant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Rang de la semaine : $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
 $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} && && & & &\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Trouver à la calculatrice l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés reliant $z$ et $x$ (les coefficients obtenus par la calculatrice seront donnés à 0,1 près) puis déduire $y$ en fonction de $x$ (on donnera le résultat sous la forme $y = \e^{ax + b}$, $a$ et $b$ étant deux réels). 
\item En utilisant ce modèle, trouver par le calcul : 
	\begin{enumerate}
		\item Une estimation du nombre de consultations à la 10\up{ème} semaine (arrondir à l'unité). 
		\item La semaine à partir de laquelle le nombre de consultations dépassera le quart de la population.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
En observant les valeurs données par le modèle exponentiel grâce à un tableau obtenu à l'aide d'une calculatrice, expliquer si ce modèle reste valable sur le long terme. 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 4  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!ca@Graphes probabilistes} 

 
Pendant ses vacances d'été, Alex a la possibilité d'aller se baigner tous les jours. S'il va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,7.
 
S'il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0,9. 

Le premier jour de ses vacances, Alex va se baigner.

\medskip

$n$ étant un entier naturel non nul, on note :

\begin{itemize}
\item $a_{n}$ la probabilité qu'Alex n'aille pas se baigner le $n$-ième jour. 
\item $b_{n}$ la probabilité qu'Alex aille se baigner le $n$-ième jour. 
\item  $P_{n} = {\begin{pmatrix} a_n  & b_n  \\ \end{pmatrix} }$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième jour.

On a donc $P_{1} = {\begin{pmatrix} 0  & 1  \\ \end{pmatrix} }$
\end{itemize}

 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l'état \og Alex va se baigner \fg). 
		\item Soit $M$ la matrice de transition associée à ce graphe. Recopier et compléter $M = \begin{pmatrix}
0,1& \ldots\\
\ldots & 0,7\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate} 
\item Calculer $P_{3}$,  $P_{10}$ et $P_{20}$. Quelle conjecture peut-on faire ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $b_{n+1} = 0,9a_{n} + 0,7 b_{n}$.
		\item En déduire que : $b_{n+1} = - 0,2b_{n} + 0,9$.
 	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $u$ définie pour tout entier $n$ non nul par $u_{n} = b_{n} - 0,75$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u$ est une suite géométrique de raison $- 0,2$ ;  on précisera son premier terme. 
		\item Déterminer la limite de la suite $u$. 
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} b_{n}$. 
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que le premier jour de ses vacances, Alex ne va pas se baigner. 

Quelle est la probabilité qu'il aille se baigner le 20\up{e} jour de ses vacances ? 
\end{enumerate}


 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{AMÉRIQUE DU SUD 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
On se propose d'étudier l'évolution des productions d'électricité d'origines hydraulique et éolienne depuis 1999.
 
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }}Production d'électricité d'origine hydraulique}

\medskip

 
Le tableau suivant donne la production d'électricité d'origine hydraulique en France pour plusieurs années entre 2000 et 2005.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ & 0 &	2 	&3 &4 &5\\ \hline 
Production en GWh : $y_{i}$ & 71593 & 65826 & 64472 & 65393 & 57271\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter, dans le plan muni d'un repère orthogonal, le nuage de points associés à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ définie ci-dessus.
 
On utilisera une feuille de papier millimétré et on choisira comme unités graphiques 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 5~cm pour  10000~GWh sur l'axe des ordonnées. On débutera la graduation sur l'axe des ordonnées à 50000. 

\item L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation $y = mx+ p$ de la droite $d$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients $m$ et $p$ seront arrondis au dixième. 
		\item Placer le point $G$ et tracer la droite $d$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }}Production d'électricité d'origine éolienne}

\medskip
 
Le tableau suivant donne la capacité de production d'électricité d'origine éolienne installée en France de 2003 à 2008.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2003 &2004 &2005 &2006 &2007&2008\\ \hline  
Rang de l'année : $x_{i}$ &0&1&2&3&4&5\\ \hline 
Puissance installée en MWh : $y_{i}$ & 1,9 &3,3 &5,5 &9,4 &35,5 &104,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Ces données sont représentées par le nuage de points ci-après: 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.25,-.5)(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(6,6)
\psset{xunit=1.5cm, yunit=.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=20]{-}(0,0)(6,120)
\savedata{\nuage}[(0,1.9)(1,3.3)(2,5.5)(3,9.4)(4,35.5)(5,104.5)]
\dataplot[dotstyle=x,linecolor=bleu,plotstyle=dots,linewidth=2pt]{\nuage}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip 
 
On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent.
 
L'allure du nuage suggère de rechercher un ajustement exponentiel de $y$ en $x$. Pour cela on pose pour tout entier naturel $i$ compris entre 0 et 5 : $z_{i}  = \ln \left(\dfrac{y_{i}}{100}\right)$
 
\emph{Dans les questions a et b suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de l'année : $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 
Puissance installée : $y_{i}$& 1,9 &3,3 &5,5 &9,4 &35,5 &104,5\\ \hline 
$z_{i}  = \ln \left(\dfrac{y_{i}}{100}\right)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Déterminer une équation de la droite $d'$ d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 
		\item Sachant que $z  = \ln \left(\dfrac{y}{100}\right)$, déterminer l'expression de $y$ sous la forme $k \e^{ax}$ où $k$ et $a$ sont des nombres réels à calculer.
	\end{enumerate} 
\item On suppose que l'évolution de la puissance installée se poursuit dans un avenir proche selon le modèle précédent.
 
Estimer, au centième de MWh près, la puissance installée prévue pour l'année 2010. 
	\end{enumerate}
	

 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{ANALYSE!f@Q.C.M} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte.}
 
\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.} 

\emph{Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-3 ; 0]$ par $f(x) = x^2$. Sa valeur moyenne sur l'intervalle $[-3 ; 0]$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\mu = 4,5$ & $\mu = 3$ & $\mu = \dfrac{1}{3}$ &$\mu = - 3$\\
\end{tabularx}
 
\item $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right)$, $f'$ désigne sa fonction dérivée sur $\R$. Alors:
 
\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
$f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + x + 1}$& $f'(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$& $f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$&  $f'(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{2x + 1}$\\
\end{tabularx}}
 
\item La primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I= ]0 ;  + \infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x^2 - x + 3}{x}$ telle que $F(1) = 1$ vérifie: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}}
$F(x) = \dfrac{\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 3x}{\dfrac{1}{2}x^2} - \dfrac{17}{3}$&  $F(x) = x^2 - 1 + 3\ln x$\\ 
$F(x) = x^2 - x + 3\ln x + 1$ &  $F(x) = 2 - \dfrac{3}{x^2} + 1$\\
\end{tabularx}

\item $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $I= ]0 ; + \infty[$ par $f(x) = \dfrac{5}{x}$, on note $\mathcal{C}$ sa courbe  représentative dans un repère donné du plan. L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$5 \ln 2$ & 	$\ln 10 - \ln 5$ &  	$3,466$ & $\ln \left(\dfrac{2}{5}\right) - \ln \left(\dfrac{1}{5}\right)$\\
\end{tabularx}
 
\item La limite de la fonction $f$ définie sur l'intervalle  $I= ]0 ;  + \infty[$ par $f(x) = x^2 - x - \ln x$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$- \infty$ & 0 & $\e$ & $+ \infty$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!e@Q.C.M} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte.}
 
\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.} 

\emph{Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip
 
 \begin{enumerate}
\item Les points $A (1 ; 2 ; 3)$, $B(3 ; 2 ; 1)$ et $C (1 ; 1 ; 1)$ sont trois points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk. Le plan $(ABC)$ est parallèle au plan $P$ d'équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$x + y - z = 0$  & $y = \dfrac{1}{2}$ & $x + y + z - 1 = 0$ & $x - 2y + z + 3 = 0$\\
\end{tabularx}

\item  Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $u_{n} = \dfrac{1 + \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n}{1 + n}$. Cette suite : 


\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
a pour limite $\dfrac{1}{n}$  & a pour limite 0 & a pour limite 1 & n'a pas de limite\\
\end{tabularx}

\item Le graphe ci-dessous admet exactement $n$ chaînes de longueur 4 allant de A vers B avec : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,2.5){A}{\bleu{A}}  \cnodeput(4.5,2.5){B}{\bleu{B}}
\cnodeput(4.5,0){C}{\bleu{C}}\cnodeput(0.5,0){D}{\bleu{D}}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{C}
\ncarc[arcangle=20]{->}{C}{D}
\ncarc[arcangle=20]{->}{C}{B}
\rput{135}{\nccircle{->}{D}{0.35cm}}
\ncarc[arcangle=20]{->}{D}{A}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{D}
\end{pspicture} 
\end{center}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$n = 1$  & $n = 3$ & $n = 5$ & $n = 8$\\
\end{tabularx}

 
\item La suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $v_{n} = \dfrac{4n + 3}{n+1}$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
n'est pas monotone  & n'admet pas de limite & est croissante & est majorée par 0\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Le graphe ci-dessous a un nombre chromatique $\kappa$ égal à : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu}
\cnodeput(1.5,3){A}{\bleu{A}}\cnodeput(4.5,3){B}{\bleu{B}} \cnodeput(5.5,1.75){C}{\bleu{C}}
\cnodeput(4.5,0.5){D}{\bleu{D}}\cnodeput(1.5,0.5){E}{\bleu{E}}\cnodeput(0.5,1){F}{\bleu{F}}
\cnodeput(0.5,2.5){G}{\bleu{G}}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncline{C}{D} 
\ncline{D}{B} \ncline{A}{E} \ncline{E}{F} 
\ncline{F}{G} \ncline{G}{A} \ncline{A}{C}        
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
2  & 3 & 4 & 5\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}




 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{PROBABILIT\'ES!d@Loi binomiale} 

 
Dans cet exercice, on appellera motard tout conducteur d'une moto dont la cylindrée est supérieure à $50 \mathrm {cm}^3$. Ces motards se décomposent en deux catégories :

\begin{itemize}
\item la catégorie A définie par le fait que les motards conduisent une moto de cylindrée $125 \mathrm {cm}^3$ ou plus, 
\item la catégorie B définie par le fait que les motards conduisent une moto d'une cylindrée strictement inférieure à $125 \mathrm {cm}^3$. 
\end{itemize}

\medskip

La moto peut être de type \emph{sportive} ou \emph{routière}.

\medskip
 
On considère que : 

\begin{itemize}
\item ceux de la catégorie A représentent 44\,\% de l'ensemble des motards 
\item 65\,\% de ceux de la catégorie B possèdent une moto de type sportive.
\end{itemize}
 
On interroge au hasard un motard et on note :


\begin{itemize}
\item[] $A$ : l'évènement \og le motard est de la catégorie A \fg,
\item[] $B$ : l'évènement \og le motard est de la catégorie B \fg, 
\item[] $S$ : l'évènement \og la moto est de type sportive \fg, 
\item[] $R$ : l'évènement \og la moto est de type routière \fg.
\end{itemize}

\medskip
 
\emph{Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième. On pourra utiliser un arbre de probabilité ou un tableau.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que le motard interrogé soit dans la catégorie B et conduise une moto de type routière est égale à $0,196$. 
\item 36,6\,\% des motos sont de type routière.
 
Quelle est la probabilité que le motard choisi conduise une moto de type sportive et soit dans la catégorie A ? 
\item Quelle est la probabilité qu'un motard soit dans la catégorie B sachant qu'il conduit une moto de type routière ? 
\item On choisit au hasard et de façon indépendante trois motards. Quelle est la probabilité qu'au moins un d'entre eux soit de la catégorie B ? 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
On considère la fonction numérique $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, on ait : 

\[f(x) = \dfrac{x^2}{2} - x^2\e^{x - 1}.\]

On note $f'$ sa fonction dérivée sur $\R$.
 
Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{x^2*(.5-Euler^(x-1))}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-5,-4)(5,4)
\uput[d](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[d](1,0){\footnotesize{1}}\uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu] {-2.88}{1.66}{\f}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-3 ; 2]$ en observant cette courbe ?
 
Dans la suite du problème, on va s'intéresser à la validité de cette conjecture.

\medskip
 
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = xg(x)$ où $g(x) = 1 - (x + 2)\e^{x - 1}$ pour tout $x$ de $\R$.
 
Pour la suite, on admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. 
\item \'Etude du signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites respectives de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et quand $x$ tend vers $- \infty$.
		  
On pourra utiliser sans la démontrer l'égalité : $g(x) = 1 - \dfrac{x\e^{x} +2\e^{x}}{\e}$.  
		\item  Calculer $g'(x)$ et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $g$ puis dresser son tableau de variation en y reportant les limites déterminées précédemment. 
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution dans $\R$. On note $\alpha$ cette solution. Justifier que $0,20 < \alpha < 0,21$. 
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Sens de variation de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ 
		\item Que pensez-vous de la conjecture de la question 1 ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{ANTILLES SEPTEMBRE 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{STATISTIQUES!c@Ajustement d'un nuage de points} 

 
Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires du commerce équitable en France, exprimé en millions d'euros.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$ $1 \leqslant i \leqslant 8$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8
\\ \hline 
Chiffre d'affaires du  commerce équitable en millions d'euros : $y_{i}$ $1 \leqslant i \leqslant 8$ &12 &21 &37 &70 &120 &166 &210 &256\\ \hline 
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize{(Source : \emph{M. H. leader du commerce équitable mondial})}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En 2007, le commerce de détail en France a généré un chiffre d'affaires de 447~milliards d'euros. (Source : INSEE). En 2007, quelle est la part du chiffre d'affaires du commerce équitable par rapport à celui du commerce de détail? (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,001\:\%). 
		\item Calculer le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires du commerce équitable en France entre 2005 et 2008 (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1\:\%).

	\end{enumerate}
\medskip
\emph{Dans la suite de l'exercice, on souhaite estimer en quelle année le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de  2007.}
\medskip	 
\item  Ajustement affine 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ $(1 \leqslant i \leqslant 8)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1~cm pour une année en abscisse et 1~cm pour 20~millions d'euros en ordonnée ; l'origine du repère sera prise dans le coin gauche de la feuille de papier millimétré). 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au dixième. Tracer la droite $D$ dans le repère précédent. 
		\item En utilisant cet ajustement affine, à partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 ?
	\end{enumerate} 
\item  Ajustement parabolique

\medskip
 
\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
L'allure du nuage suggère de choisir un ajustement parabolique.
 
On propose d'ajuster le nuage par la parabole $P$ d'équation $y = 3x^2 + 7x - 4$, $x$ étant un nombre réel supérieur ou égal à 1.
 
En utilisant cet ajustement, en quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 ? 
\end{enumerate} 


 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{PROBABILIT\'ES!c@Loi numérique, espérance mathématique} 

 
\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip
 
Le comité d'entreprise d'une société parisienne souhaite organiser un week-end en province. 

Une enquête est faite auprès des 1200~employés de cette entreprise afin de connaître leur choix en matière de moyen de transport (les seuls moyens de transport proposés sont le train, l'avion ou l'autocar).
 
 \medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
Les résultats de l'enquête auprès des employés de l'entreprise sont répertoriés dans le tableau suivant : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Train	& Avion	& Autocar	& Total\\ \hline 
Femme 					&468 	&196 	&56 		&720\\ \hline 
Homme 					&150 	&266 	&64 		&480\\ \hline  
Total 					&618 	&462 	&120		& 1200\\ \hline
\end{tabularx} 

\end{center}
\medskip

On interroge au hasard un employé de cette entreprise (on suppose que tous les employés ont la même chance d'être interrogés).
 
On note :

\begin{itemize}
	\item $F$ l'évènement : \og l'employé est une femme\fg ;
	\item $T$ l'évènement : \og l'employé choisit le train \fg.
\end{itemize}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p(F)$, $p(T)$ puis déterminer la probabilité que l'employé ne choisisse pas le train (on donnera les résultats sous forme décimale). 
\item Expliquer ce que représente l'évènement $F \cap T$, puis calculer sa probabilité.
 
Les évènements $T$ et $F$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\item L'employé interrogé au hasard ne choisit pas le train. Calculer la probabilité que cet employé soit une femme (on donnera le résultat arrondi au millième).
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Après l'étude des résultats de l'enquête, le comité d'entreprise choisit le train comme moyen de transport. Pour les employés inscrits à ce voyage, deux formules sont proposées :


\begin{itemize}
\item  la formule \no 1 : voyage en 1\up{e} classe plus hôtel pour un coût de 150~\euro{} ;
\item  la formule \no 2 : voyage en 2\up{e} classe plus hôtel pour un coût de 100~\euro.
\end{itemize}

\medskip

40\:\% des employés inscrits choisissent la formule \no 1.

\medskip
 
Le comité d'entreprise propose une excursion facultative pour un coût de 30~\euro. 

Indépendamment de la formule choisie, 80\:\% des employés inscrits choisissent l'excursion facultative. 

\medskip

On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage. On note :
\begin{itemize}
\item  $U$ l'évènement : \og l'employé inscrit choisit la formule \no 1 \fg ;
\item $D$ l' évènement : \og l'employé inscrit choisit la formule \no 2 \fg ;
\item $E$ l' évènement : \og l'employé inscrit choisit l'excursion facultative \fg. 
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. 
\item Montrer que la probabilité que l'employé inscrit choisisse la formule \no 2 et l'excursion facultative est égale à  0,48. 
\item Soit $C$ le coût total du voyage (excursion comprise). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre $C$. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $C$. 
		\item Calculer l'espérance de cette loi. Interpréter le résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (3 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!f@Q.C.M} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.

Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\emph{Une réponse exacte rapporte $0,75$ point. Une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip
 
Soit $f$ une fonction définie sur $]- \infty ; 0[ \cup ]0 ;  + \infty[$ par $f(x) = 2x + 1 + \dfrac{\e^x}{\e^x - 1}$. 

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]- \infty ; 0[ \cup ]0 ;  + \infty[$.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
 
Le tableau de variations de la fonction $f$ est donné ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(17,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(17,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(9.9,0)(9.9,2.2)\psline(10.1,0)(10.1,2.2)\psline(0,2.2)(17,2.2)
\rput(1.5,2.6){$x$}\rput(3.5,2.6){$- \infty$} \rput(6.5,2.6){$-\ln 2$} \rput(10,2.6){$0$}\rput(13.5,2.6){$\ln 2$}\rput(16.5,2.6){$+ \infty$}
\rput(1.5,1.1){Variations de $f$} \rput(3.5,0.3){\rnode{A}{$-\infty$}} \rput(6.5,1.9){\rnode{B}{}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{{$-\infty$}}} \rput(10.5,1.9){\rnode{D}{$+\infty$}} 
\rput(13.5,0.3){\rnode{E}{\small{$2\ln 2 + 3$}}}  \rput(16.5,1.9){\rnode{F}{$+\infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{D}{E} \ncline{E}{F}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Dans l'intervalle $]0 ;  + \infty[$, l'équation $f(x) = \e^2$ admet :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\quad}X}} 
aucune solution& 	 une unique solution&  deux solutions\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\ln (1,5)$ admet un coefficient directeur :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\quad}X}}   
strictement positif& 	strictement négatif& nul\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  $f\left[- \ln (2)\right]$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\quad}X}} 
$- 2 \ln (2) + 3$ & $\ln \left(\dfrac{1}{4}\right)$ & $- 2\ln (2) + 1$\\
\end{tabularx}

\medskip 
  
\item  La courbe $\mathcal{C}$ admet au voisinage de $+ \infty$ une asymptote d'équation : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\quad}X}} 
$y = 2x + 2$& 	 $y = 2x+1$&  $x = 0$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate} 



 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (7 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!e@Applications à l'économie} 

 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1 ; 6]$ par $f(x) = ax + b - \dfrac{16}{x}$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
 
On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1 ; 6]$ et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.
 
La courbe représentative de $f$, donnée en annexe, coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 1 et 4 et admet une tangente horizontale au point $A$ de coordonnées $(2 ; 4)$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$, $f(2)$, $f(4)$ et $f'(2)$. 
		\item En utilisant deux des quatre résultats de la question 1. a., déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $[1 ; 6]$ par $f(x) = - 4x + 20 - \dfrac{16}{x}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ puis étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$ en précisant uniquement les valeurs de $f(1)$, $f(2)$ et $f(4)$. 
		\item  En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[1 ; 6]$ par $F(x) = - 2x^2 + 20x - 18 - 16 \ln x$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est la primitive de la fonction $f$ sur $[1 ; 6]$ telle que $F(1)~=~0$.
		 
\item En utilisant les résultats des questions précédentes, dresser le tableau de variations de la fonction $F$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$, les valeurs seront arrondies au millième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
  
Une entreprise fabrique des pièces pour assemblage de moteurs qu'elle conditionne par centaines. Sa fabrication journalière varie entre 100 et 600~pièces. L'objectif est d'étudier le bénéfice quotidien réalisé par cette entreprise.

\medskip
 
Une étude a montré que le bénéfice marginal quotidien de cette entreprise est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, appelée fonction \og bénéfice marginal \fg. Pour $x$ compris entre 1 et 6, $x$ est exprimé en centaines de pièces fabriquées et vendues quotidiennement et $f(x)$ est exprimé en milliers d'euros.

\medskip
 
En économie, la fonction \og bénéfice marginal \fg{} est considérée comme la dérivée d'une fonction appelée fonction \og bénéfice \fg. 

On sait de plus que le bénéfice de l'entreprise est nul pour la fabrication et la vente quotidienne de 100~pièces.

\medskip
 
\emph{Dans ces questions toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal. En déduire le bénéficie maximal (on donnera ce bénéfice maximal arrondi à l'unité d'euro). 
\item Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l'entreprise réalise un bénéfice supérieur à  3000~\euro{} (on donnera le résultat arrondi à l'unité) 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-7.5)(6.5,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3.125,6){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(0,-7.5)(6.5,5)
\uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,5){$y$}\uput[u](2,4){\bleu{$A$}}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.5pt,linecolor=prune](2,0)(2,4)(0,4)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1}{6}{20 4 x mul sub 16 x div sub}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{ANTILLES-GUYANE 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!a@Lectures graphiques} 

 
La courbe $\mathcal{C}_f$ donnée en annexe 1 est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie, dérivable et strictement décroissante sur l'intervalle $[1 ; + \infty[$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point de coordonnées $(3 ; 0)$; on sait de plus que la droite d'équation $y = -2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.


\medskip

\textsf {\textbf{1\up{re} \textsc{partie :}} \'Etude préliminaire de $f$}

\medskip

\emph{Dans cette partie, aucune justification n'est demandée}.
\begin{enumerate}
\item Donner la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$.
\item Préciser le signe de $f$ sur $[1 ; + \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{2\up{e} \textsc{partie :}} \'Etude d'une fonction composée}

\medskip

\emph{Pour cette partie, des justifications sont attendues.}

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[1~ ;~+ \infty[$ par $g(x)=\exp(f(x))$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
\item Résoudre sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$ l'équation $g(x) = 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{3\up{e} \textsc{partie }}}

\medskip

La fonction $f$ est la dérivée d'une fonction $F$ définie sur $[1 ; +\infty[$.
\begin{enumerate}
\item La fonction $F$ est représentée sur l'une des 3 courbes données en annexe 2. Préciser laquelle, en justifiant votre réponse.
\item Déterminer graphiquement $F(2)$ et $F(3)$ avec la précision permise par le graphique.
\item On s'intéresse au domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$. On notera $A$ l'aire de ce domaine, exprimée en unités d'aire.

Donner une méthode permettant de déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine précédemment défini et en donner une estimation.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{4\up{e} \textsc{partie }}}

\medskip

On donne l'expression de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$ par $f(x)=2\e^{-x+3}-2$.

Calculer l'aire $A$ du domaine (en unités d'aire) ; on donnera la valeur exacte à l'aide du réel e, puis l'arrondi au centième.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(22,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(10,15){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(22,14)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(11,14)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](10.8,0){$x$} \uput[l](0,13.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{11}{2*Euler^(3-x)-2}
\uput[r](1,12.5){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe 2}}}

\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-1,-11)(10,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(4.5,3){\textsf {\textbf{\textsc{courbe \no 1}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-11)(10,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.99,-11)(10,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,1.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1.5}{10}{-2*Euler^(3-x)-2}
\uput[l](3.5,-7.5){\prune $\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture} \hfill 
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(10,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(4.5,4){\textsf {\textbf{\textsc{courbe \no 2}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-10)(10,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.99,-10)(10,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,2.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1}{10}{10-2*Euler^(3-x)-2*x}
\uput[l](2.5,-6.5){\prune $\mathcal{C}_2$}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-1,-8)(10,7)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(4.5,6){\textsf {\textbf{\textsc{courbe \no 3}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-8)(10,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.99,-8)(10,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$} \uput[l](0,4.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1.087}{4.817}{(3-x)^3-2}
\uput[l](6,-4.5){\prune $\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\end{center}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{PROBABILIT\'ES!d@Loi binomiale} 

 
Un bijoutier propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. Il dispose dans son stock de deux types de couleurs : les perles argentées et les perles noires.

Chacune de ces perles a :

\begin{itemize}
\item soit une forme dite sphérique;
\item soit une forme dite équilibrée;
\item soit une forme dite baroque.
\end{itemize}


On sait que dans son stock, 44\:\% des perles sont équilibrées, deux cinquièmes sont baroques et les autres sont sphériques. 

De plus, 60\:\% des perles sont argentées dont 15\:\% sont sphériques et la moitié sont baroques.

\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau des pourcentages ci-dessous et le compléter à l'aide des données de l'énoncé (on ne demande pas de justification).
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}& Sphérique & \'Equilibrée & Baroque & Total \\
\hline
Argentée & & & & \\
\hline
Noire & & & & \\
\hline 
Total & & & & 100~\%\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la même probabilité d'être choisie.

On note :


\begin{itemize}
\item $A$ l'événement: \og la perle est argentée\fg{};
\item $N$ l'événement: \og la perle est noire \fg{};
\item $S$ l'événement: \og la perle est de forme sphérique\fg{};
\item $E$ l'événement: \og la perle est de forme équilibrée\fg{};
\item $B$ l'événement: \og la perle est de forme baroque\fg{}.
\end{itemize}


\emph{Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte}.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque~?
\item Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire de forme équilibrée~?
\item Déterminer la probabilité de l'événement $A \cup B$ puis interpréter ce résultat.
\item Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque. Quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas argentée~? 
\end{enumerate}
\item Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles au hasard et de manière indépendante. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d'une perle soit assimilé à un tirage avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies (donner une valeur approchée de ce résultat à $10^{-3}$ près).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!ca@Graphes probabilistes} 

 
M. et M\up{me} Martin, qui habitent une grand ville, aiment beaucoup voyager. Ils prévoient toujours de partir pendant l'été, soit à l'étranger, soit de visiter une région en France.

S'ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu'ils partent à l'étranger l'année suivante est de 0,4.

Par contre, s'ils sont partis à l'étranger une année donnée, la probabilité qu'ils retournent à l'étranger l'années suivante est de 0,7.

En été 2009, ce couple est parti à l'étranger.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste l'année $(2009+n)$, où $a_n$ désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l'année $(2009+n)$ et $b_n$ la probabilité que ce couple soit parti à l'étranger l'année $(2009+n)$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $F$ et $E$ ($F$ pour France et $E$ pour étranger).
		\item En déduire la matrice de transition en prenant tout d'abord $F$ puis $E$ pour l'ordre des sommets. On notera $M$ cette matrice.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner $P_0$, l'état probabiliste initial, l'année 2009.
		\item On donne les résultats suivants : $M^2=\begin{pmatrix} 0,48 & 0,52 \\ 0,39 & 0,61 \end{pmatrix}$ ;
$M^3=\begin{pmatrix} 0,444 & 0,556 \\ 0,417 & 0,583 \end{pmatrix}$ ; $M^4=\begin{pmatrix} 0,4332 & 0,5668 \\ 0,4251 & 0,5749 \end{pmatrix}$.
En choisissant la bonne matrice, calculer $P_3$. En déduire la probabilité que ce couple parte à l'étranger en 2012 \emph{(On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième)}.
	\end{enumerate}
\item Soit $P$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ donnant l'état stable où $x$ et $y$ sont deux réels positifs tels que $x + y = 1$.

Déterminer l'état stable puis interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a: $a_{n+1} = 0,3a_n+0,3$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - \dfrac{3}{7}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $u_n$, puis celle de $a_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Que retrouve-t-on~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!f@Q.C.M} 

 
Le tableau ci-dessous donne pour 6 années le nombre de spectateurs (en millions) dans les cinémas en France.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Années & 1997 & 1999 & 2001 & 2003 & 2005 & 2007\\ \hline
Rang de l'année $x_i$ $1\leqslant i\leqslant 6$  & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10\\ \hline
Nombre (en millions) de spectateurs $y_i$ $1\leqslant i\leqslant 6$  &  149,3 &  153,6 &  187,5 & 173,5 & 175,5 & 177,9\\ 
\hline
\multicolumn{7}{r}{\emph{\footnotesize{Source : INSEE -  d'après le Centre National de la Cinématographie (CNC)}}}
\end{tabularx}

\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie 1}}}

\medskip

Pour chacune des questions ci-dessous, trois réponses sont proposées et une seule est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$. L'absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\begin{enumerate}
\item Le taux d'augmentation du nombre de spectateurs de 1997 à 1999 est donné par le calcul suivant:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$\dfrac{153,6}{149,3}$ & 
$\dfrac{153,6-149,3}{153,6}$ & 
$\left(\dfrac{153,6}{149,3}-1\right)$
\end{tabularx}


\item En supposant que le nombre de spectateurs augmente de 1~\% tous les ans, à partir de 2007, le nombre de spectateurs en 2010 est donné par le calcul suivant:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$( 1,01\times 177,9 ) \times 3$ & 
$1,01^3\times177,9$ & 
$0,01^3\times 177,9$
\end{tabularx}


\item Entre 1997 et 2007 , l'augmentation annuelle moyenne, en pourcentage, du nombre de spectateurs est, arrondie à  0,01~\%: 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
1,77~\% & 1,92~\% & 3,57~\%
\end{tabularx}


\item Sachant que de 1998 à 1999, le nombre de spectateurs (en millions) dans les cinémas en France a diminué de 10~\%, le nombre de spectateurs (en millions) en 1998 arrondi au dixième était:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
139,6 & 170,7 & 138,2
\end{tabularx}


\item On considère un nuage de points $M_i(x_i ; y_i)$, pour $1\leqslant i\leqslant 6$, construit à partir des données du tableau donné en début d'exercice. Les coordonnées du point moyen de ce nuage sont:
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}}
$(2002~;169,55)$ & 
$(5 ; 169,55)$ & 
$(30 ; 1017,3)$
\end{tabularx}

 
 
\item Supposons que l'on ait effectué un ajustement affine du nuage de points par la méthode des moindres carrés. 

\emph{(Dans l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ de la forme $y=ax+b$, on choisira les coefficients $a$ et $b$ arrondis au dixième).}

D'après cet ajustement:

\begin{enumerate}
\item Le nombre de spectateurs sera d'environ 200 millions en :

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}} 
 2015 & 2013 & 2010
\end{tabularx}


\item L'estimation (en millions) arrondi au dixième, du nombre de spectateurs en 2015 est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{6cm} @{\extracolsep{\fill}}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{4cm}@{}} 
11439,6 & 228,4 & 206
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie 2}}}

\medskip

Justifier la réponse donnée à la question 3 de la partie 1.




 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!e@Applications à l'économie} 

 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 20]$ par $f(x)=0,3x+1,5-0,9\ln(x+1)$.

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ; 20]$. 

\'Etudier les variations de $f$ sur $[0 ; 20]$ et  dresser son tableau de variation.
\item On donne la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 20]$ par $g(x)=-0,05x-1,5+0,9\ln(x+1)$.

On admet que $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; 17]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[17 ; 20]$.
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il existe un unique réel $x_0$ dans l'intervalle $[0 ; 17]$ tel que $g(x_0)=0$. Donner un encadrement de $x_0$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur $[0 ; 20]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\emph{Dans cette partie,  on pourra utiliser les résultats de la partie A. On demande de justifier les réponses.}

Dans une petite ville, un promoteur immobilier projette de construire un lotissement dont le nombre de maisons ne pourra pas dépasser 20 maisons construites. 

Le coût de production, en millions d'euros, pour $n$ maisons construites ($0\leqslant n \leqslant 20$) est donné par : \[C(n)=0,3x+1,5-0,9\ln(x+1)\]
Chaque maison est vendue 250~000 euros.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Calculer $C(0)$. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\item Combien de maisons le promoteur doit-il prévoir de construire pour que le coût de production soit minimal~?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de $n$ maisons est, en millions d'euros, donné par $B(n)=-0,05x-1,5+0,9\ln(x+1)$.
\item Déterminer le nombre de maisons à construire pour que le bénéfice soit maximal.

Quel est alors ce bénéfice (à 100 euros près)~?
\item Déterminer le nombre minimal de maisons à construire pour que le promoteur ne travaille pas à perte.

\medskip

\emph{Pour la question suivante, on explicitera la démarche utilisée. Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
\item \`A partir de combien de maisons construites le bénéfice du promoteur est-il supérieur à  200~000~euros~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{ASIE 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{STATISTIQUES!c@Ajustement d'un nuage de points} 

 
On donne, dans le tableau ci-dessous, la dépense annuelle des ménages français en fruits, exprimée en millions d'euros, de 2000 à 2007 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline
Dépense en millions d'euros $y_{i}$& 6396 & 7207 & 7734 & 7996 & 8332 & 8399 & 8546 & 8675 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal :


\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses, on placera $0$ à l'origine et on choisira 1~cm pour une unité ; 
\item  sur l'axe des ordonnées, on placera  6200 à l'origine et on choisira 1~cm pour  200 millions d'euros.
\end{itemize}

 
\item Un premier groupe de statisticiens réalise un ajustement affine du nuage.
 
Donner une équation de la droite $(d)$ de régression de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à l'entier le plus proche. Tracer la droite $(d)$ dans le repère précédent. 
\item Un deuxième groupe de statisticiens réalise un ajustement non affine du nuage, en utilisant la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) =  6400 +  1100 \ln(1 + x)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. 
	\begin{enumerate}
		\item \`A l'aide de la calculatrice, conjecturer :


\begin{itemize}
\item les variations de la fonction $f$ ; 
\item la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\end{itemize}
 
		\item Valider par une démonstration l'une des deux conjectures précédentes. 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.
	\end{enumerate}  
\item Est-il raisonnable de penser que la dépense annuelle des ménages français en fruits puisse dépasser  9200 millions d'euros ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{PROBABILIT\'ES!d@Loi binomiale} 

 
Kevin possède un lecteur MP3, dans lequel il a stocké 90 morceaux de jazz et 110 morceaux de musique classique. Un tiers des 90~morceaux de jazz est composé par des auteurs français. Un dixième des 110~morceaux de musique classique est composé par des auteurs français.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Afin d'écouter un morceau de musique, Kevin lance une lecture aléatoire sur son lecteur MP3.  

On admet que cela revient à choisir un morceau de musique de manière équiprobable. On note :


\begin{itemize}
\item[] $J$ l'év\`enement \og le morceau de musique écouté est un morceau de jazz \fg{} ; 
\item[] $C$ l'év\`enement \og le morceau de musique écouté est un morceau de musique classique \fg{} ;
\item[] $F$ l'év\`enement \og l'auteur du morceau de musique écouté est français \fg.
\end{itemize}

 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit un morceau de jazz? 
		\item  Sachant que Kevin a écouté un morceau de jazz, quelle est la probabilité que l'auteur soit français? 
		\item  Calculer la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit un morceau de jazz composé par un auteur français. 
		\item  Quelle est la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit composé par un auteur français?
	\end{enumerate} 
\item Afin d'écouter trois morceaux de musique, Kevin lance trois fois une lecture aléatoire sur son lecteur MP3. Calculer la probabilité qu'il ait écouté au moins un morceau de jazz.
 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
Suite à une étude de marché :


\begin{itemize}
\item l'offre d'un produit est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 6]$  ;
\item la demande de ce même produit est modélisée par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 6]$.
\end{itemize}


\medskip
 
Les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ de ces fonctions sont dessinées sur l'annexe (à rendre avec la copie). On désigne par $x$ la quantité du produit exprimée en milliers d'unités, avec $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 6]$. Les nombres $f(x)$ et $g(x)$ sont des prix unitaires exprimés en centaines d'euros. L'expression de la fonction $f$ est donnée par $f(x) = 0,4\e^{0,4x}$.
 
\begin{enumerate}
\item On rappelle que le prix d'équilibre est le prix unitaire qui se forme sur le marché lorsque l'offre est égale à la demande. La quantité d'équilibre est la quantité associée au prix d'équilibre. 
	\begin{enumerate}
		\item Lire sur le graphique le prix d'équilibre $p_{0}$ (en centaines d'euros) et la quantité d'équilibre $q_{0}$ (en milliers d'unités). 
		\item Estimer en euros le chiffre d'affaires réalisé par la vente de cette quantité $q_0$ au prix d'équilibre $p_{0}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Mettre en évidence, sur le graphique joint en annexe, l'intégrale suivante : $\displaystyle\int_{0}^5  f(x) \dd x$. 
		\item Calculer cette intégrale. 
		\item Certains producteurs étaient disposés à proposer un prix inférieur au prix d'équilibre. Le gain supplémentaire réalisé par ces producteurs est appelé le surplus des producteurs. Le surplus des producteurs $S_{p}$ est donné par la formule suivante : 

\[S_{p} = q_{0} \times p_{0} - \int_{0}^5 f(x) \dd x.\]

Estimer ce surplus (en centaines de milliers d'euros).
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Certains consommateurs étaient prêts à payer plus cher que le prix d'équilibre. L'économie réalisée par ces consommateurs est appelée le surplus des consommateurs. Ce surplus est représenté par la partie hachurée du graphique. Par une lecture graphique, Paul estime à moins de 10 unités d'aire cette partie, alors que Jeanne l'estime à plus de 10. Qui a raison ? Argumenter. 
		\item \emph{Dans cette question, toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.}
		 
Pour estimer plus précisément le surplus des consommateurs, Michel approche la courbe $\mathcal{C}_{g}$ par une parabole $P$ passant par les points de coordonnées $(1 ; 7)$ et $(5 ; 3)$. Il a fait trois essais avec un logiciel de calcul formel, dont les résultats sont récapitulés dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|m{6cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\cline{2-3} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&\multicolumn{1}{c|}{Équation de la parabole $P$}& Estimation du surplus des consommateurs (en centaines de milliers d'euros)\\ \hline 
Essai 1 \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &$y = -\dfrac{40}{21}x^2 + \dfrac{292}{21}x - 5$ & 54,7 \\ \hline
Essai 2 \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &$y = -\dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{43}{6}$ & 14,11\\ \hline  
Essai 3 \rule[-4mm]{0pt}{1cm}&$y = \dfrac{2}{21}x^2 - \dfrac{44}{21}x + 9$ & 8,0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Quel essai est le plus pertinent ? Expliquer la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-.5)(14.5,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\g{(43-x^2)/6}
\def\f{.4*Euler^(.4*x)}
\rput(7,15.5){\textsf {\textbf{\textsc{annexe :} \`a rendre avec la copie}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(14,15)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(7,7.5)
\uput[u](6.4,0){\footnotesize{quantité en milliers}}
\uput[r](0,7.4){\footnotesize{prix unitaire en centaines d'euros}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{5}{\g} \gsave
\psline(5,2.96)(0,2.96)
\fill[fillstyle=hlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,hatchsep=6pt] \grestore }
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](5,2.96)(0,2.96)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{6}{\g}
\uput[l](6,4.4){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\uput[u](3,5.8){\prune{$\mathcal{C}_{g}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 

\subsection[Exercice 4 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{ANALYSE!f@Q.C.M} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.
  
Recopier le numéro de chaque question et, en face de celui-ci, recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère, la parabole d'équation $y = x^2 - 3x - 1$ admet au point d'abscisse $3$ une tangente d'équation

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
$y = -3x + 8$ & $y=3x$ & $y = 3x -  10$ \\
\end{tabularx}
 
\medskip  

\item La courbe $\mathcal{H}$ représentative de la fonction $h$ définie sur l'ensemble des nombres réels par  $h(x) = \dfrac{3x+ 1}{x^2 + x + 2}$	 admet une asymptote 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
horizontale &  verticale &  oblique\\
\end{tabularx}
 
\medskip  
  
 \item La fonction $k$ définie sur l'intervalle $]0~ ;~+\infty[$ par $k(x) = \text{e}^{1+\ln x}$
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
est croissante sur l'intervalle $]0~ ;~+\infty[$ & est décroissante sur l'intervalle $]0~ ;~+\infty[$ & n'est pas monotone sur l'intervalle $]0~ ;~+\infty[$\\
\end{tabularx}
 
\medskip 

\item Deux baisses successives de 50\:\% peuvent être compensées par: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
deux hausses successives de 50\:\% & une hausse de 100\:\% & une hausse de 300\:\%\\
\end{tabularx}
 
\medskip  
	 	 
\item Une zone de reforestation a été replantée de 75\:\% de chênes et de 25\:\% de charmes. On sait que 22\:\% des chênes et 9\:\% des charmes plantés sont morts la première année. Après la première année, la part des chênes encore vivants parmi les arbres encore vivants dans cette zone de reforestation est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
153\:\% &  158,5\:\% & 72\:\% \\
\end{tabularx}
 

\end{enumerate} 



 \bigskip 

\subsection[Exercice 4  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!e@Q.C.M} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.
  
Recopier le numéro de chaque question et, en face de celui-ci, recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

 
\begin{enumerate}
\item Une forêt, exploitée depuis le premier janvier 2005, voit sa population d'arbres diminuer de 10\:\% chaque année. En supposant que la déforestation se poursuive à ce rythme, la population d'arbres aura diminué le premier janvier 2010 d'environ : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
41\:\% & 50\:\% &\ 59\:\% \\
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\item Soit la suite $\left(V_{n}\right)$ définie par $V_{0} = 5$, $V_{1} = 7$ et $V_{n+2} = 3V_{n+1} - 2V_{n}$. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
 $V_{3} = -2$ &  $V_{3} = 19$ & $V_{3} = 23$ \\
\end{tabularx}
 
\medskip
  
\item Dans un repère de l'espace, le plan $(P)$ d'équation $5x - z+ 7 = 0$ est parallèle à l'axe

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
 des abscisses &  des ordonnées & des cotes \\
\end{tabularx}
 
\medskip 
 
\item Dans un repère de l'espace, l'intersection de la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z = x^2 - y + 3$ et du plan $(Q)$ d'équation $z = 7$ est

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
 une droite &  une parabole & un point \\
\end{tabularx}
 
\medskip 

\item Le plan $(ABC)$, dessiné ci-dessous dans un repère de l'espace, a pour équation

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}m{5cm} @{\hspace{1cm}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}}
 $3x + 6y + 4z = 9$ &  $2x + y - z = 6$ & $4x + 2y + 3z = 12$ \\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture*}(-6,-5)(6,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{Beta=20,Alpha=45,dotsize=2pt,linecolor=darkgray}
\pstThreeDCoor[linecolor=black, xMin=-5,xMax=7,yMin=-5,yMax=8,zMin=-4.5,zMax=7,nameX={\footnotesize{$x$}},nameY={\footnotesize{$y$}},nameZ={\footnotesize{$z$}}]
\pstThreeDPut(1,0,-0.2){\footnotesize{1}}
\pstThreeDPut(0,1,-0.2){\footnotesize{1}}
\pstThreeDPut(0,.2,1){\footnotesize{1}}
\pstThreeDTriangle[fillstyle=hlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,hatchsep=6pt,hatchangle=45,linecolor=bleu,linewidth=1.25pt](3,0,0)(0,6,0)(0,0,4)
\multido{\n=-4+1}{11}{\pstThreeDDot(\n,0,0)}
\multido{\n=-4+1}{12}{\pstThreeDDot(0,\n,0)}
\multido{\n=-4+1}{11}{\pstThreeDDot(0,0,\n)}
\pstThreeDPut(3.2,-.2,0.2){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\pstThreeDPut(-.2,6.2,0.2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\pstThreeDPut(.2,-.2,4.2){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}


 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{CENTRES ÉTRANGERS 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!f@Q.C.M} 

 
\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses} a,~ b \emph{ou} c \emph{ est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à $0$.} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre réel $\e^{\frac{3x}{2}}$  est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{} X@{\hspace{1cm}}   m{5cm} @{\hspace{1cm}}  X@{}}
a)\quad  $\dfrac{\e^{3x}}{\e^2}$ & b)\quad  $\e^{3x} - \e^2$ & c)\quad  $\left(\sqrt{\e^{x}}\right)^3$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item L'équation $\ln \left(x^2 + x + 1\right) = 0$ admet sur $\R$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\hspace{1cm}}   m{5cm} @{\hspace{1cm}}  X@{}}
a)\quad  Aucune solution & b)\quad  Une seule solution & c)\quad  Deux solutions
\end{tabularx}

\medskip
  
\item L'équation $\e^x = \e^{-x}$ admet sur $\R$ : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\hspace{1cm}}   m{5cm} @{\hspace{1cm}}  X@{}}
a)\quad  Aucune solution & b)\quad  Une seule solution & c)\quad  Deux solutions
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1 ;  +\infty[$ vérifiant la propriété suivante :
 
Pour tout $x \in  [1 ;  +\infty[,~ \dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant 1$. 

On peut alors affirmer que :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\hspace{1cm}}   m{5cm} @{\hspace{1cm}}  X@{}}
a)\quad  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ & b)\quad  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$ & c)\quad  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = + \infty$\\ 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur un intervalle I, telles que $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur I. On suppose que la fonction $g$ est croissante sur I. Alors on peut affirmer que :

\medskip
\begin{enumerate}
	\item La fonction $g$ est positive sur I.
	\item La fonction $f$ est positive sur I.
	\item La fonction $f$ est croissante sur I.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{STATISTIQUES!a@Ajustement affine d'un nuage de points} 

 
Le tableau ci-dessous indique l'évolution de la dette en milliards d'euros de l'État français entre 1990 et 2004 :

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 1990 &1992 &1994 &1996 &1998 &2000 &2002 &2004\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Dette $y_{i}$ en  milliards d'euros & 271,7 &321,4 &443 &540,1 &613,1 &683,5 &773,4 &872,6\\ \hline 
\multicolumn{9}{r}{\scriptsize{\textsf{Source INSEE.}}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\emph{Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au dixième.}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} : \'Etude statistique }

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dette moyenne de l'État entre 1990 et 2004. 
\item En prenant l'année 1990 comme référence (indice 100), calculer les indices correspondant à la dette de l'État de 1992 à 2004. Donner la réponse sous forme d'un tableau. 
\item Déterminer le taux global d'évolution de la dette de l'État entre 1990 et 2004. 
\item Déterminer le taux moyen d'évolution de la dette de l'État sur une période de deux ans. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} : Interpolation et extrapolation de données}

\medskip
 
On donne ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.6,-.5)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3.7,6.5){\textsf {\textbf{Dette}}}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.005cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,tickwidth=.25pt,tickcolor =darkgray, xticksize=-2pt 2pt, yticksize= -2pt 8,Dy=200](0,0)(8,1200)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,linecolor=bleu](0,271.7)(1,321.4)(2,443) (3,540.1)(4,613.1)(5,683.5)(6,773.4)(7,872.6)
\end{pspicture}
\end{center} 

La forme du nuage permet d'envisager un ajustement affine.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 
\item  Selon cet ajustement, à partir de quelle année peut-on estimer que l'État aurait dépassé les 1000~milliards de dette ? 
\item  Selon cet ajustement, déterminer l'année à partir de laquelle la dette de l'État sera le double de la dette de l'an 2000. 
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!d@Suites} 

 
Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2010 + n)$. En 2010, la forêt possède 50000~arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\:\% des arbres existants et de replanter 3000~arbres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la situation peut être modélisée par :
 
\begin{center}
$u_{0} = 50$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation : $u_{n + 1} = 0,95u_{n} + 3$.
\end{center}
 
\item  On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 60 - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$. 
		\item Calculer $v_{0}$. Déterminer l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 60 - 10 \times (0,95)^n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité  $u_{n + 1}  - u_{n} = 0,5 \times  (0,95)^n$. 
		\item  En déduire la monotonie de la suite.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10\:\% le nombre d'arbres de la forêt en 2010. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter. 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{PROBABILIT\'ES!c@Loi numérique, espérance mathématique} 

 
Pour une marque de téléphone portable donnée, on s'intéresse à deux options de dernière technologie proposées, le GPS et le Wifi. Sur l'ensemble des téléphones portables, 40\:\% possèdent l'option GPS. Parmi les téléphones avec l'option GPS, 60\:\% ont l'option Wifi.

\medskip
 
On choisit au hasard un téléphone portable de cette marque et on suppose que tous les téléphones ont la même probabilité d'être choisis.
 
On considère les évènements suivants :


\begin{itemize}
\item[] G : \og  le téléphone possède l'option GPS \fg.
\item[] W : \og  le téléphone possède l'option Wifi \fg.
\end{itemize}

\medskip
 
\emph{Dans tout l'exercice, le candidat donnera des valeurs exactes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données chiffrées de l'énoncé en termes de probabilité. 
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l'exercice.
\end{enumerate} 

\medskip

On suppose que la probabilité de W est : $p(\mathrm{W}) = \dfrac{7}{10}$.
 
 \medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og le téléphone possède les deux options \fg. 
\item Démontrer que $p_{\overline{\mathrm{G}}}(\mathrm{W}) = \dfrac{23}{30}$. Compléter l'arbre du \textbf{2.} 
\item On choisit un téléphone avec l'option Wifi. Quelle est la probabilité qu'il ne possède pas l'option GPS ? 
\end{enumerate} 

\medskip
Le coût de revient par téléphone d'une option, pour le fabricant de téléphones, est de 12~euros pour l'option GPS et de 6~euros pour l'option Wifi. 
 
 \medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item Déterminer la loi de probabilité du coût de revient de ces deux options. 
\item Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!ba@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 1 + \ln(x)$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.
 
Le point $A(\e ; 2)$ appartient à $\mathcal{C}_{f}$ et on note $T_{\e}$ la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$.
 
Le point $C$ est le point d'intersection de la tangente $T_{\e}$ et de l'axe des abscisses. 

Le point $E$ a pour coordonnées $(\e ;~0)$.
 
On admettra que sur $]0 ; +\infty[$,~ $\mathcal{C}_{f}$ reste en dessous de $T_{\e}$. 

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(6.5,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{gris}{.85 .85 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.45 .45 .6}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1+ln(x)}
\def\g{1+x/2.71828}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.5pt, linecolor=bleu]{0.367879}{2.71828}{\f} \gsave
\psline(0.367879,1.13534)(0.367879,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gris] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4.5,-1.5)(6.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](6.4,0){$x$} \uput[l](0,4.4){$y$}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=grisb](0.367879,1.13534)(0.367879,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=prune,linewidth=.5pt](2.71828,0)(2.71828,2)
\psplot[algebraic=true,linecolor=bleu,linewidth=1.25pt,plotpoints=500]{0.082}{6.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,linecolor=prune,linewidth=1pt,plotpoints=2]{-4.5}{6.5}{\g}
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.75](-2.71828,0)(0.367879,0)(2.71828,0)(2.71828,2)
\uput[d](6,2.7){\bleu $\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](6,3.2){\prune $T_\e$}
\uput[u](2.71828,2){\bleu $A$} \uput[dr](0.3,0){\bleu $B$}\uput[d](-2.71828,0){\prune $C$}\uput[d](2.71828,0){\prune $E$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point $B$ est le point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et de l'axe des abscisses. 
		
		Calculer les coordonnées du point $B$. 
		\item Démontrer que, pour $x \geqslant \dfrac{1}{\e},~ f(x) \geqslant  0$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de $T_{\e}$. 
		\item En déduire les coordonnées du point $C$. 
		\item Vérifier que les points $E$ et $C$ sont symétriques par rapport à O, origine du repère.
	\end{enumerate}
 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ;  +\infty[$ par $g(x) = x \ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0 ;  +\infty[$.
		\item En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_{\frac{1}{\e}}^{\e} (1 + \ln x) \dd x$. Interpréter ce nombre. 
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.}

Déterminer la valeur exacte de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par $\mathcal{C}_{f}$, $T_{\e}$ et les droites parallèles à l'axe des ordonnées passant par $B$ et $E$. Ce domaine est grisé sur le graphique.

 Donner une valeur approchée arrondie au millième de cette aire. 
\end{enumerate}


 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE JUIN 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{Q.C.M. Divers} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.}
  
\emph{Une seule réponse par question est acceptée et \textbf{aucune justification n'est demandée.}}

\emph{Une bonne réponse rapporte un point.}
 
\emph{Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.} 

\emph{\textbf{Indiquer sur la copie le numéro} de la question \textbf{et la réponse choisie.} correspondante.} 

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{question 1}}}

\medskip


Le nombre $-3$ est solution de l'équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}} @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}}
$\ln x = - \ln 3$& 	$\ln \left(\e^{x}\right) = -3$& 
$\e^{\ln x} = - 3$&$\e^{x} = - 3$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{question 2}}}

\medskip

La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{- 2x^3 + 3x}{(2x - 1)^3}$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}} @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}}
$- \infty$& 	$+ \infty$& 
$- 1$&$- \dfrac{1}{4}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{question 3}}}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3\ln x - 2x + 5$.
 
Dans le plan muni d'un repère, la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ en son point d'abscisse 1 admet pour équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}} @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}}
$y = x + 2$& 	$y = - x + 4$& 
$y = 3x + 1 $&$y = x + 3 $\\
\end{tabularx}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{question 4}}}

\medskip

Un jeu consiste à lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

\textbf{Un joueur donne 3 euros} pour participer à ce jeu.
 
Il lance le dé et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de ce dé :


\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item si le numéro est 1, le joueur reçoit 10 euros, 
\item si le numéro est 2 ou 4, il reçoit 1 euro, 
\item sinon, il ne reçoit rien.
\end{itemize}

 
À ce jeu, l'espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}} @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}}
$1$& 	$0$& 
$-1$&$-2$\\
\end{tabularx}

\medskip 

 

 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{PROBABILIT\'ES!b@Probabilités conditionnelles, Probabilités totales}  

 
Une entreprise a équipé chacun de ses employés d'un seul ordinateur.
 
Pour le suivi de ses ordinateurs, l'entreprise fait appel à un même service de maintenance informatique.
 
Pour évaluer ce service, l'entreprise réalise une enquête et dispose ainsi, pour chaque employé, d'une fiche précisant la marque de son ordinateur et son avis sur le service de maintenance.
 
Il y a trois marques d'ordinateurs Aliet, Balart et Celt.

\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item  25\:\% des employés ont un ordinateur Aliet, 
\item  40\:\% des employés ont un ordinateur Balart, 
\item  le reste des employés a un ordinateur Celt.
\end{itemize}
 
L'enquête a fourni les résultats suivants :

\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item  parmi les employés équipés d'un ordinateur Aliet, 90\:\% sont satisfaits du service de maintenance, 
\item  parmi les employés équipés d'un ordinateur Balart, 65\:\% sont satisfaits du service de maintenance, 
\item  parmi les employés équipés d'un ordinateur Celt, 80\:\% sont satisfaits du service de maintenance.
\end{itemize}
 
On choisit au hasard la fiche d'un employé de l'entreprise, chacune ayant la même probabilité d'être choisie.
 
On note :

\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item $A$ l'évènement : \og La fiche choisie est celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet \fg, 
\item $B$ l'évènement : \og La fiche choisie est celle d'un employé équipé d'un ordinateur Balart \fg, 
\item $C$ l'évènement : \og La fiche choisie est celle d'un employé équipé d'un ordinateur Celt \fg, 
\item $S$ l'évènement : \og La fiche choisie est celle d'un employé satisfait du service de maintenance \fg. 
\end{itemize}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet et satisfait du service de maintenance. 
\item Démontrer que la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé satisfait du service de maintenance est 0,765. 
\item Sachant que la fiche choisie est celle d'un employé satisfait du service de maintenance, calculer la probabilité que cet employé soit équipé d'un ordinateur de la marque Celt.
 
\emph{Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$.} 
\end{enumerate} 

 

 \bigskip 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!b@Fonctions de deux variables} 

 
Un équipementier fabrique pour une usine de l'industrie automobile deux types de sièges : un modèle "luxe" et un modèle "confort".
 
Soit $x$ le nombre, exprimé en centaines, de sièges "luxe" et $y$ le nombre, exprimé en centaines, de sièges "confort" produits chaque mois.
 
La fonction coût mensuel de production est la fonction $F$ définie pour $x$ et $y$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 3]$ par :
 
\[F(x,~y) = x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6.\]
 
$F(x,~y)$ désigne le coût mensuel de production, exprimé en \textbf{dizaines de milliers} d'euros, pour $x$ \textbf{centaines} de sièges "luxe" et pour $y$ \textbf{centaines} de sièges "confort". 

\begin{enumerate}
\item Au mois de janvier 2010, l'équipementier a produit 120 sièges "luxe" et 160 sièges "confort". 
Justifier que le coût de production mensuel a été 12~000~euros. 
\item Vérifier que, $x$ et $y$ étant deux nombres réels, $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1$.
 
En déduire que le coût de production mensuel minimal est 10~000~euros.
 
Préciser pour quelles quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" produites ce coût de production est obtenu. 
\item \`A partir du mois de juillet 2010, la production mensuelle prévue de sièges est exactement 250. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $y = 2,5 - x$.
		 
Démontrer que, sous cette condition, le coût de production mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, est égal à $2x^2 - 3x + 2,25$. 
		\item On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2,5] par $f(x) = 2x^2 - 3x + 2,25$. 
		
Dresser en le justifiant le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 2,5]$. 
		\item En déduire les quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" que l'équipementier doit produire à partir du mois de juillet 2010 pour minimiser le coût mensuel de production. Préciser ce coût minimal.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}  

 

 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
Pour $i$ nombre entier variant de 0 à 8, on définit le tableau suivant qui donne les valeurs du SMIC horaire brut, exprimé en euros, de 2001 à 2009 (source INSEE).

\medskip
 
On se propose d'en étudier l'évolution : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Année &2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006& 2007& 2008& 2009\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ & 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline 
SMIC horaire brut (en euros), $y_{i}$ & 6,67 &6,83 &7,19& 7,61& 8,03& 8,27& 8,44 &8,71& 8,82\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\emph{Dans tout l'exercice les pourcentages seront arrondis à 0,01\:\% et les valeurs du SMIC horaire brut au centime  d'euro.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }} Observation des données}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour $i$ entier variant de 0 à 8, représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal défini de la façon suivante :

\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
\item  sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1~cm pour 1~année, 
\item  on graduera l'axe des ordonnées en commençant à 6 et on choisira 5~cm pour 1~euro.
\end{itemize}

 
\item Calculer le pourcentage d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2009, 
\item Démontrer qu'une valeur approchée du pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2005 est 4,75\:\%.
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{On observe sur le graphique un changement de tendance à partir de $2005$ : le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut est alors de $2,4$\:\% environ.} 

\emph{En supposant que cette nouvelle tendance se poursuive, on désire estimer la valeur du SMIC horaire brut en 2012.} 

\emph{Dans la suite de l'exercice, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage constitué des cinq derniers points $M_{4}$, $M_{5}$, $M_{6}$, $M_{7}$ et $M _{8}$ du nuage précédent.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }} Modélisation de la série statistique $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)_{4 \leqslant i \leqslant 8}$  par un ajustement exponentiel}

\medskip

En observant le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2005 et 2009, on estime à $8,03 \times  1,024^n$ la valeur, exprimée en euros, du SMIC horaire brut pour l'année $2005 + n$, $n$ désignant un entier naturel.
 
On considère que ce nouveau modèle reste valable jusqu'à l'année 2016. 
\begin{enumerate}
\item Calculer une estimation de la valeur du SMIC horaire brut en 2012. 
\item \`A partir de quelle année la valeur du SMIC horaire brut dépassera-t-elle 10 euros ? 
\end{enumerate}   

 

 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!e@Applications à l'économie} 

 
\medskip

\textbf{L'annexe 1 est à rendre avec la copie}

\medskip
 
Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit $x$ la quantité d'appareils pouvant être vendus, exprimée en milliers.
 
La fonction d'offre de cet appareil est la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 35]$ par  :
 
\[f(x) = 153 \e^{0,05x} \]
 
Le nombre réel $f(x)$ désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, proposé par les fournisseurs, en fonction de la quantité $x$, exprimée en milliers, d'appareils pouvant être vendus.
 
La fonction de demande de cet appareil est la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 35]$ par :

\[g(x) = - 116\ln (x + 1) + 504 \]
 
Le nombre réel $g(x)$ désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, accepté par les consommateurs, en fonction de la quantité $x$, exprimée en milliers, d'appareils disponibles. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; 35]$. 
		\item Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0 ; 35]$. 
		\item Les courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$, tracées dans un repère orthogonal, sont fournies en annexe 1 \textbf{à rendre avec la copie.} 
		
Lire avec la précision autorisée par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection $E$.
	\end{enumerate} 
\item Afin de déterminer les coordonnées du point $E$ de façon précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle $[0 ; 35]$ l'équation $f(x) = g(x)$.
 
Pour cela, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0 ; 35]$ par $h(x) = f(x) - g (x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0 ; 35]$.
		 
\emph{On pourra utiliser la question 1.} 
		\item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_{0}$ dans l'intervalle $[0 ; 35]$. 
		\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de $x_{0}$ au millième. 
		\item On pose $y_{0} = f\left(x_{0}\right)$. En utilisant la question précédente, calculer l'arrondi de $y_{0}$ au centième. 
		\item Sachant que $y_{0}$ représente le prix unitaire d'équilibre de cet appareil, préciser ce prix à un centime d'euro près. Quel est le nombre d'appareils disponibles à ce prix? 
	\end{enumerate}
\item On prendra dans cette question $x_{0} = 8,871$  et $y_{0} = 238,41$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 35]$. 
		\item On appelle surplus des fournisseurs le nombre réel $S$ défini par la formule :
		 
\[S = x_{0} \times y_{0} - \int_{0}^{x_{0}} f(x) \dd x \]
 
Hachurer, sur le graphique de la feuille annexe 1 \textbf{à rendre avec la copie}, le domaine du plan dont l'aire en unités d'aire est le nombre réel $S$.
 
Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre réel $S$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(36,40)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(18,39){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\rput(18,38){\textsf {Exercice 4 : commun \`a tous les candidats}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(36,36)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.02cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(36,900)
\uput[d](35.8,0){$x$} \uput[l](0,890){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{35}{153*Euler^(.05*x)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{35}{504-116*ln(x+1)}
\end{pspicture}
\end{center}   

 

 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE SEPTEMBRE 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{PROBABILIT\'ES!b@Probabilités conditionnelles, Probabilités totales}  

 
On s'intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d'un certain pays en 2006.
 
Dans cette population : 


\begin{itemize}
\item 58\:\% sont des femmes; 
\item 5\:\% des personnes sont atteintes d'une maladie incurable appelée maladie $\mathscr{A}$ et parmi celles-ci les deux tiers sont des femmes.
\end{itemize}

\medskip
 
On choisit au hasard une personne dans cette population.
 
On note :

\begin{itemize}
	\item $F$ l'évènement : \og la personne choisie est une femme\fg ;
\item $H$ l'évènement : \og la personne choisie est un homme \fg{} ; 
\item $A$ l'évènement : \og la personne choisie est atteinte de la maladie $\mathscr{A}$ \fg{} ; 
\item $\overline{A}$ l'évènement : \og la personne choisie n'est pas atteinte de la maladie $\mathscr{A}$ \fg.
\end{itemize}



\medskip

\emph{Les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité de l'évènement $F$ et celle de l'évènement $A$.
		 
Donner la probabilité de l'évènement $F$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé, notée $p_{A}(F)$. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap F$ puis calculer sa probabilité. 
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $F$ est réalisé est égale à $0,057$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate} 
\item La personne choisie est un homme. Démontrer que la probabilité que cet homme soit atteint de la maladie $\mathscr{A}$ est égale à $0,040$ à $10^{-3}$ près. 
\item Peut-on affirmer que, dans ce pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risquait davantage de développer la maladie $\mathscr{A}$ qu'un homme ? Justifier. 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{ANALYSE!f@Q.C.M} 

 
Cet exercice est composé de deux parties :


\begin{itemize}
\item la partie I est un \og vrai-faux \fg{} sans justification,
\item la partie II est un questionnaire à choix multiples avec justification.
\end{itemize}


\medskip
 
\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i}}}} 

Pour chacune des affirmations, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer sans justifier si elle est vraie ou fausse.

\medskip
 
\emph{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.}

\medskip 

\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x^2 +3}{x - 4} = + \infty$
	\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty ; 3[$ par  $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$. On note $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
	
	La tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = -6x + 9$.
	\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 5\right)$.
	
	Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 1 est $\dfrac{1}{3}$.
	\item Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $f(x) = 2x + 1$. 
	
	On définit la fonction $g$ par $g(x) = \ln \left[f(x)\right]$.
 
On affirme que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii}}}} 

 Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte.
 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse.
 
\emph{Chaque réponse exacte et justifiée rapportera $1$ point.}
 
\emph{Toute trace de recherche. même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Si pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0 ; +\infty[$, $\e^{-x} \leqslant  f(x) \leqslant \dfrac{1}{x + 1}$, alors la limite en $+\infty$ de $f(x)$ est :
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\;}X}} 
	 $-\infty$ & $0$ & $+\infty$\\
	\end{tabularx}
	\item  $\dfrac{\ln \left(\e^2\right)}{\ln 16}$ est égal à :
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\;}X}} 
	 $2\ln \left(\dfrac{\e}{4} \right)$&$\dfrac{1}{2 \ln 2}$& $2\ln \e - \ln 16$\\
	\end{tabularx}
	\item   $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{\e^x}{\left(\e^x + 1 \right)^2} \dd x$ est égale à :
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\;}X}} 
	 $- \dfrac{1}{12}$&$\ln \left(\dfrac{4}{3}\right)$&$\dfrac{1}{12}$\\
	\end{tabularx}
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!e@Q.C.M} 

 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses parmi les trois proposées est exacte.}
 
Le candidat indiquera sur sa copie, le numéro de la question et la lettre correspondant à la question choisie.

\medskip
 
\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i}}} : Aucune justification n'est demandée}

\medskip
 
\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk,  on désigne par $(S)$ l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x ; y ; z)$ tels que  $z = 2x- y^2 + 1$ et par $(P)$ le plan d'équation $2x + 3y - 5 = 0$.
	
\begin{enumerate}
	\item La surface $(S)$ passe par le point de coordonnées :
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textsf {\small{\textsc{réponse }}}}X}} 
{\textsf {\small{\textsc{a : }}}} $(1 ; -1 ; 4)$& {\textsf {\small{\textsc{b : }}}} $(-1 ; -1 ; 0)$& {\textsf {\small{\textsc{c : }}}} $(1 ; -1 ; 2)$\\
	\end{tabularx}
	\item La courbe de niveau de cote 3 de la surface $(S)$ est :
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textsf {\small{\textsc{réponse }}}}X}} 
{\textsf {\small{\textsc{a : }}}} une droite &{\textsf {\small{\textsc{b : }}}} une parabole &{\textsf {\small{\textsc{c : }}}} une hyperbole\\
	\end{tabularx}
	\item Le plan $(P)$ :
	\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{{\textsf {\small{\textsc{réponse}}}}}
	\item {\textsf {\small{\textsc{a : }}}} contient le point de coordonnées $(0 ; 0 ; -5)$
	\item {\textsf {\small{\textsc{b : }}}} est parallèle au plan $\left(\mathrm{O};~\vec i,~\vec j \right)$
	\item {\textsf {\small{\textsc{c : }}}} est parallèle à l'axe $\left(\mathrm{O};~\vec k \right)$
\end{itemize}
	
\end{enumerate}

\item Soient $G$ le graphe probabiliste ci-dessous et $M$ la matrice de transition associée à ce graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-.8)(4,.8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.8mm,linecolor=bleu}
\Cnode(0,0){A}\Cnode(3,0){B}
\pnode(1.5,0.25){C}\pnode(1.5,-.25){D}
\ncarc{->}{A}{C}
\ncarc{-}{C}{B}
\ncarc{->}{B}{D}
\ncarc{-}{D}{A}
\ncarc{D}{A}
\rput{90}(0.5,0.75){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{A}{0.5cm}}
\rput{-90}(3,0.75){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{0.5cm}}
\rput(-0.7,0){\footnotesize{\bleu {$0,3$}}}\rput(3.7,0){\footnotesize{\bleu {$0,8$}}}
\rput(1.5,.5){{\footnotesize{\bleu {$0,7$}}}} \rput(1.5,-0.5){{\footnotesize{\bleu {$0,2$}}}} 
\uput[l](0,0){\footnotesize{\bleu {A}}} \uput[r](3,00){\footnotesize{\bleu {B}}} 
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textsf {\small{\textsc{réponse }}}}X}} 
{\textsf {\small{\textsc{a : }}}}  $M^2 = \begin{pmatrix}
0,23& 0,77\\
0,22 &0,78\\
\end{pmatrix}$ & {\textsf {\small{\textsc{b : }}}} $M  = \begin{pmatrix}
0,7 &0,3\\ 
0,8&0,2\\
\end{pmatrix}$ & {\textsf {\small{\textsc{c : }}}} $M  = \begin{pmatrix} 
0,3 &0,8\\ 
0,2 &0,7\\
\end{pmatrix}$\\
	\end{tabularx}
\end{enumerate}


\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii}}} }

Recopier pour chaque question la réponse exacte et justifier celle-ci.

\medskip

\emph{Chaque réponse exacte et bien justifiée rapportera $1$ point.}

\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On considère le graphe $H$ :
	
\begin{center}
\psset{xunit=2cm, yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(3.5,2.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.8mm,linecolor=bleu}

\uput[l](0.5,1){\footnotesize{\bleu {A}}} \uput[u](2,2.2){\footnotesize{\bleu {B}}} \uput[ur](3,1.9){{\footnotesize{\bleu {C}}}} \uput[r](3,1){{\footnotesize{\bleu {D}}}} \uput[d](1.5,0.3){{\footnotesize{\bleu {E}}}}
\pspolygon(0.5,1)(2,2.2)(3,1.9)(3,1)(1.5,0.3)(0.5,1)(3,1)(2,2.2)(1.5,0.3)(2,2.2)(1.5,0.3) 
\psdots[dotstyle=Bo](0.5,1)(2,2.2)(3,1.9)(3,1)(1.5,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}
On peut affirmer que :

\begin{enumerate}
	\item 	
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
	\item Le graphe $H$ admet une chaîne eulérienne.
	\item Le graphe $H$ admet un cycle eulérien.
	\item Le graphe $H$ est complet.
\end{itemize}
	\item 	
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
	\item Le nombre chromatique du graphe est 3.
	\item Le graphe admet un sous-graphe complet d'ordre 4.
	\item Le graphe n'est pas connexe.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par $u_{0} = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = - 0,4u_{n} + 1750$.

On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$ par  $v_{n} = u_{n} - 1250$.

Alors :
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
	\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est arithmétique.
	\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
	\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique.
\end{itemize}
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}:  \'Etude d'une fonction}

\medskip
 
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies et dérivables pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[4 ;  6]$ par $f(x) = 100\left(\e^x - 45\right)$, $g(x) = 10^6 \e^{-x}$ et $h(x) = g(x) - f(x)$.
 
On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[4 ; 6]$.

\medskip
 
Résolution de l'équation $h(x) = 0$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $h$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[4 ; 6]$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$. 
		\item Justifier que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[4 ; 6]$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe (\emph{les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche}). 
		\item Sur la figure fournie en annexe, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 
		\item  Placer $\alpha$ sur ce graphique et en donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Dans la suite de l'exercice, on admet que la valeur exacte du nombre réel $\alpha$ est égale à $3\ln 5$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.}
 
\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}:  Application économique}

\medskip
 
Les fonctions $f$ et $g$ définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit de prix unitaire $x$, compris entre 4 et 6 euros :


\begin{itemize}
\item $f(x)$ est la quantité, exprimée en kilogrammes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire $x$ ; 
\item $g(x)$ la quantité, exprimée en kilogrammes, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire $x$.
\end{itemize}

\medskip
 
On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de $x$ pour laquelle l'offre est égale à la demande.
 
\begin{enumerate}
\item Quel est, exprimé au centime d'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ? Justifier. 
\item  Quelle quantité de produit, exprimée en kilogrammes, correspond à ce prix unitaire d'équilibre ? 
\end{enumerate}
\begin{center}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe à rendre avec la copie}}}}

\medskip
 
\textsf {Tableau à compléter}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline 
$x$&\footnotesize 4 & \footnotesize 4,2 & \footnotesize 4,4 & \footnotesize 4,6 & \footnotesize 4,8 & \footnotesize 5 & \footnotesize 5,2 & \footnotesize 5,4 & \footnotesize 5,6 & \footnotesize 5,8 & \footnotesize 6\\ \hline 
$h(x)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm}  &\footnotesize 17 400&&&&&\footnotesize $- 3 600$&\footnotesize $-8 100$&&&\footnotesize $-25 500$& \footnotesize
$-33 400$ \\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-9)(12,7)
\rput(6,6.5){\textsf {Graphique à compléter}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-9)(12,6)
\psset{xunit=5cm,yunit=.25cm}
\psaxes[labelsep=.75mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt,Ox=4,Dx=.2,Dy=4, ylabelFactor={\,000}, comma]{->}(0,0)(-.02,-36)(2.4,24)
\uput[l](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dr](0,0){\footnotesize{$4$}}
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,24){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}
\end{center}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
L'évolution de la population de bouquetins des Alpes, dans le Parc National de la Vanoise depuis sa création, est donnée par le tableau suivant :
 
On note $X_{i}$ l'année, l'indice $i$ étant un nombre entier variant de 1 à 8.
 
On note $x_{i}$ le rang de l'année par rapport à 1960 : $x_{i} = X_{i} - 1960$.
 
On désigne par $y_{i}$ le nombre de bouquetins l'année $X_{i}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année $X_{i}$& 1963 &1976 &1986 &1993 &1997 &1998 &2003 &2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$& 3 &16 &26 &33 &37 &38 &43 &45\\ \hline
Nombre de bouquetins $y_{i}$ & 65 & 500 & 700 & 1 250  & 1 453 & 1 800 & 2 066 & 2 568\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize{(\emph{Source : http://www.bouquetin-des-alpes.org/populations/vanoiselvanoise.htm})}}\\
\end{tabularx} 

\medskip
 
On se place dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :

\medskip

\begin{itemize}
\item 5 cm pour 10 années sur l'axe des abscisses, 
\item 1 cm pour 200 bouquetins sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}


\medskip
 
On note $M_{i}$ le point de coordonnées $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$.
 
Ainsi $M_{1}$ a pour coordonnées $(3 ; 65)$ et $M_{3}$ a pour coordonnées $(26~; ~700)$.
 
\begin{enumerate}
\item En disposant la feuille de papier millimétrée dans le sens de la longueur pour les abscisses, représenter le nuage des huit points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$, $M_{5}$, $M_{6}$, $M_{7}$ et $M_{8}$. 
\item Dans cette question, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage formé par les six points $M_{3}$, $M_{4}$, $M_{5}$, $M_{6}$, $M_{7}$ et $M_{8}$.
 
On admet qu'un ajustement affine de ce sous-nuage est justifié et que la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés pour ce sous-nuage a pour équation $y = 92,6x - 1787$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer cette droite $D$ sur le graphique précédent. 
		\item Estimer, avec cet ajustement affine, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise en 2010.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on s'intéresse au nuage constitué des huit points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$, $M_{5}$, $M_{6}$, $M_{7}$ et $M_{8}$.
 
L'allure de ce nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel de la série. 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $z_{i} = \ln y_{i}$.
		 
Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième. 
		\item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = A\e^{Bx}$, $A$ étant arrondi à l'unité et $B$ au centième. 
		\item En utilisant cette modélisation, calculer le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir en 2010 dans le Parc. 
		\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
En utilisant cette modélisation, à partir de quelle année la population de bouquetins dépassera-t-elle 5000~unités ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{LA RÉUNION 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!f@Q.C.M} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule réponse est exacte. Le candidat notera à chaque fois sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip
 
\emph{Le barème sera établi comme suit :
\begin{itemize}
\item[] pour une réponse exacte aux questions 1, 2, 3 et 4 : 0,5 point,
\item[] pour une réponse exacte aux questions 5 et 6 : 1 point, 
\item[] pour une réponse fausse ou l'absence de réponse: 0 point.
\end{itemize}
}

\medskip
 
Pour toutes les questions, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1; + \infty[$ par : 

\[f(x) = 2 - \dfrac{1}{x + 1}.\]
 
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère donné du plan. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On a :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}} 
$\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = - 1$&$\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = 2$&$\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = - \infty$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item La courbe $\mathcal{C}$  admet une asymptote d'équation:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}} 
$y = 2$&$y = -1$&$x = 2$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-1 ; + \infty[,~f(x)$ peut s'écrire:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}}  
$f(x) = \dfrac{2x}{x + 1}$&$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$&$f(x) = \dfrac{1}{x + 1}$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]-1 ; + \infty[$ est donné par le tableau : 


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}} 
\psset{unit=.9cm} 
\begin{pspicture}(5,.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(0,-.8)(5,.8) \psline(0,0)(5,0) \psline(1.1,-.8)(1.1,0)\psline(1.3,-.8)(1.3,0)\psline(.9,-.8)(.9,.8)
\rput(0.45,.4){$x$}\rput(1.2,.4){$-1$} \rput(2.85,.4){$0$} \rput(4.5,.4){$+ \infty$}
\rput(.45,-.4){$f(x)$} \rput(2.025,-.4){$-$} \pnode(2.85,-.8){m1}\pnode(2.85,0){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(3.675,-.4){$+$} 
\end{pspicture} & \psset{unit=.9cm} 
\begin{pspicture}(5,.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(0,-.8)(5,.8) \psline(0,0)(5,0) \psline(1.1,-.8)(1.1,0)\psline(1.3,-.8)(1.3,0)\psline(.9,-.8)(.9,.8)
\rput(0.45,.4){$x$}\rput(1.2,.4){$-1$} \rput(4.5,.4){$+ \infty$}
\rput(.45,-.4){$f(x)$} \rput(2.85,-.4){$+$}
\end{pspicture}& \psset{unit=.9cm} 
\begin{pspicture}(5,.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(0,-.8)(5,.8) \psline(0,0)(5,0) \psline(1.1,-.8)(1.1,0)\psline(1.3,-.8)(1.3,0)\psline(.9,-.8)(.9,.8)
\rput(0.45,.4){$x$}\rput(1.2,.4){$-1$} \rput(2.85,.4){$-\frac{1}{2}$} \rput(4.5,.4){$+ \infty$}
\rput(.45,-.4){$f(x)$} \rput(2.025,-.4){$-$} \pnode(2.85,-.8){m1}\pnode(2.85,0){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(3.675,-.4){$+$} 
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\item Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}} 
$\dfrac{3}{2}$&$\dfrac{1}{4}$&$-\dfrac{1}{2}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item L'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$, est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}} 
$ - 2 + \ln 2$ & $2 - \ln 2$ &$\dfrac{3}{2}$
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\end{enumerate} 



 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{PROBABILIT\'ES!c@Loi numérique, espérance mathématique} 

 
Un chalutier se rend sur sa zone de pêche. La probabilité qu'un banc de poissons soit sur cette zone est de 0,7. Le chalutier est équipé d'un sonar pour détecter la présence d'un banc de poissons. Si un banc est présent, le sonar indique la présence du banc dans 80\:\% des cas. S'il n'y pas de banc de poissons dans la zone de pêche, le sonar indique néanmoins la présence d'un banc dans 5\:\% des cas.

\medskip
 
On note :


\begin{itemize}
\item[] $B$ l'év\`enement : \og il y a un banc de poissons sur zone \fg{} et $\overline{B}$ l'év\`enement contraire de $B$, 
\item[] $S$ l'év\`enement: \og le sonar indique l'existence d'un banc de poissons \fg{} et $\overline{S}$ l'év\`enement contraire de $S$.
\end{itemize}

 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant. 
Le détail des calculs n'est pas demandé. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{\bleu $\; B \;$}\taput{\bleu{0,7}}}
	{\TR{\bleu $\; S$}
	\TR{\bleu $\; \overline{S}$}
	}
\pstree{\TR{\bleu $\;\overline{B}\;$}}
	{\TR{\bleu $\; S$}
	\TR{\bleu $\;\overline{S}$}
	}
}
\end{center}
\item Déterminer la probabilité $p(B \cap S)$ qu'il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte. 
\item Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d'un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575. 
\item Lors d'une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l'une des trois situations suivantes :


\begin{itemize}
\item[] \emph{Situation 1} : un banc de poissons est présent sur la zone et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse. Dans ce cas le pêcheur gagne 2000~euros. 
\item[] \emph{Situation 2} : il n'y a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour rien. Dans ce cas le pêcheur perd 500~euros. 
\item[] \emph{Situation 3} : le sonar ne détecte aucun banc de poisson (qu'il y en ait ou pas). Le filet n'est pas lancé et le bateau rentre au port à vide. Dans ce cas le pêcheur perd 300~euros.
\end{itemize}

 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du \og gain\fg{} (positif ou négatif) réalisé.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Gain : $x_{i}$			& 2000	&$- 500$ & $- 300$ \\ \hline 
Probabilité : $p_{i}$	&			&		&\\ \hline 
\end{tabularx}
 
 \medskip
  
		\item Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ?
	\end{enumerate} 
\item Le pêcheur prévoit d'effectuer trois sorties successives sur la zone de pêche. Déterminer la probabilité que, pour les trois sorties, le sonar reste muet, c'est-à-dire n'indique pas la présence d'un banc de poissons. 

\emph{On donnera la valeur approchée arrondie au millième de ce résultat.} 
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!ca@Graphes probabilistes} 

 
\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip


Une étude statistique est réalisée chaque trimestre sur une population composée initialement de fumeurs. Certains d'entre eux s'arrêtent de fumer, d'autres qui ont arrêté, redeviennent fumeur.
 
On estime que :


\begin{itemize}
\item si un individu est fumeur, la probabilité qu'il arrête de fumer (qu'il devienne non fumeur) le trimestre suivant est $0,2$ ; 
\item si un individu a arrêté de fumer (il est considéré alors comme non fumeur), la probabilité qu'il redevienne fumeur le trimestre suivant est $0,3$.
\end{itemize}

 
On notera $X$ l'év\`enement \og l'individu est fumeur\fg et $Y$ l'év\`enement \og l'individu est non fumeur \fg. 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste et donner sa matrice de transition que l'on notera $M$ (aucune justification n'est demandée, on respectera l'ordre alphabétique des sommets). 
\item Pour un entier naturel $n$ donné, on note $x_{n}$ la proportion de fumeurs dans la population et $y_{n}$ la proportion de non fumeurs au trimestre de rang $n$. On note $E_{n} = \begin{pmatrix} x_{n} & y_{n} \end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système au trimestre de rang $n$.
 
On étudie une population initiale où tous les individus sont fumeurs. On a donc : $E_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la proportion de fumeurs à l'issue de deux trimestres est $0,7$. 
		\item Déterminer l'état $E_{4}$ de la population à l'issue d'une année. 
	\end{enumerate}
\item La répartition fumeurs/non fumeurs de la population converge vers un état stable : $E = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$.
 
Déterminer cet état.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

 
Le chiffre d'affaires d'un débitant de tabac sur une période donnée est fonction de deux variables : le nombre de consommateurs, c'est-à-dire de fumeurs, et le prix moyen du paquet de tabac.
 
On appelle $z$ le chiffre d'affaire en milliers d'euros, $x$ le nombre de consommateurs en milliers et $y$ le prix du paquet de tabac en euros. On admettra que $z =xy$.
 
Dans l'espace, muni d'un repère orthonormal \Oijk, on désigne par $S$ la surface d'équation $z =xy$.

\begin{enumerate}
\item Le débitant a pour clients 1000~consommateurs réguliers et le prix moyen du paquet de tabac est de 5~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le chiffre d'affaires réalisé par le débitant ? 
		\item Soit, dans un plan $P$ parallèle au plan de base $x\mathrm{O}y$, la ligne de niveau $z = 5$ de la surface $S$.
		 
On a tracé cette ligne de niveau sur la figure 1 donnée en annexe 1. 

Donner son équation de la forme $y = f(x)$.
	\end{enumerate} 
Le nombre de consommateurs passe de  1000   à  600 . Quel devrait être, au centime d'euros près, le nouveau prix du paquet de tabac pour que le chiffre d'affaires du débitant reste égal à  5000 ~\euro{} ? 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(30,27)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(14.5,26){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\rput(14.5,25){\textsf {Exercice 2 (candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)}}
\rput(14.5,23){Ligne de niveau $z = 5$ de la surface $S$.}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(30,22)
\psset{xunit=10cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.1,comma]{->}(0,0)(1.5,11)
\uput[d](1.47,0){$x$} \uput[l](0,10.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.454}{1.5}{5/x}
\end{pspicture}
\end{center}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
L'Organisation des Nations Unies (ONU) a établi en 2008 des statistiques et des prévisions sur la population mondiale.
 
Le tableau suivant donne la population recensée par l'ONU. (\emph{La population en $2010$ est considérée par l'ONU comme très proche de la réalité compte tenu de la date à laquelle l'étude a été effectuée.})

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 1950& 1960& 1970& 1980& 1990& 2000& 2010\\ \hline
Rang de l'année: $x_{i}$&1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ \hline  
Population (en millions de personnes) : $y_{i}$ & 2529 & 3023 & 3686 & 4438 & 5290 & 6115 & 6908 \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'augmentation de population entre les années 1950 et 1960, puis entre les années  1970 et 1980, puis entre les années 1990 et 2000.
		 
Un ajustement affine est-il pertinent ? 
		\item Calculer le pourcentage d'augmentation de la population mondiale entre les années 1990 et 2000. On donnera la valeur arrondie à 0,1\:\% près.
	\end{enumerate} 
\item On envisage un ajustement exponentiel. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour chaque année $x_{i}$, calculer $\ln y_{i}$ et compléter le tableau suivant avec les valeurs approchées arrondies à $0,01$ près.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 1950& 1960& 1970& 1980& 1990& 2000& 2010\\ \hline 
$x_{i}$& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm}& & & & & & &\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i} ; z_{i}\right)$ sur la feuille donnée en annexe 1.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Aucune justification n'est demandée, les calculs seront effectués avec la calculatrice et les coefficients arrondis au millième. 
		\item Tracer cette droite d'ajustement sur le graphique de la question 2. 
	\end{enumerate}
\item Déduire de l'ajustement précédent l'expression de la population $y$ donnée en fonction du rang $x$ de l'année, sous la forme : $y = A\e^{Bx}$ où $A$ et $B$ sont des nombres réels à déterminer.
 
On arrondira $A$ à l'unité et $B$ au millième. 
\item On suppose que $y =  2180  \e^{0,171x}$. Quelle estimation peut-on alors donner pour la population mondiale en 2030 ?
 
\emph{On donnera les valeurs approchées arrondies au million près.} 
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(34,29)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(15.5,28){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\rput(15.5,27){\textsf {Exercice 3 (commun \`a tous les candidats)}}
\rput(15.5,25){Représentation du nuage de points $M_{i}\left(x_{i} ; z_{i}\right)$.}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(34,24)
\psset{xunit=2cm,yunit=5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=7,Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(8.5,2.4)
\uput[d](8.45,0){$x$} \uput[l](0,2.39){$z$}

\end{pspicture}
\end{center}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d'usine. 

L'évolution du taux de gaz dans l'air peut être modélisé grâce à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ par :
 
\[f(x) = 2x\e^{-x}\]
 
où $x$ est le nombre de minutes écoulées depuis l'accident et $f(x)$ le taux de gaz dans l'air exprimé en parties pour million (ppm).
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{x}{\e^x}\right) = 0$. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ et on note $f'$  sa fonction dérivée. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe pour $x$ élément de l'intervalle $[0 ;  +\infty[$.
		
Donner le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$. 
	\end{enumerate}
\item On admet que le taux de gaz dans l'air est négligeable après 5 minutes. C'est pourquoi, dans la suite de l'exercice, on restreindra l'étude de la fonction $f$ à l'intervalle $[0 ; 5]$.
 
Le plan est muni d'un repère orthogonal. La courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 5]$ est donnée en annexe 2.
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0 ; 5]$ par $F(x) = (-2 - 2x)\e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle. 
		\item Calculer la valeur moyenne $m$ (exprimée en ppm) du taux de gaz pendant les 5~minutes.
		 
On déterminera la valeur exacte de $m$ puis on donnera sa valeur approchée arrondie à 0,01~ppm près.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
On considère que le gaz a un effet irritant pour l'organisme si le taux dépasse $0,65$~ppm pendant plus d'une minute. Déterminer si le personnel de l'usine a été affecté ou non par la fuite de gaz, en explicitant la démarche. 
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(22,25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(10.5,24){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 2}}}}
\rput(10.5,23){\textsf {Exercice 4 (commun \`a tous les candidats)}}
\rput(10.5,21){Repr\'esentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 5]$.}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,20)
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(5.5,1)
\uput[d](5.45,0){$x$} \uput[l](0,0.98){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{5}{2*x/Euler^(x)}
\end{pspicture}
\end{center}



 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{LIBAN 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{PROBABILIT\'ES!e@Q.C.M. Probabilités} 

 
\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $A$ et $B$ sont deux év\`enements indépendants et on sait que $p(A) = 0,5$ et 

$p(B) = 0,2$.

La probabilité de l'évènement $A \cup B$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
Réponse A : 0,1& Réponse B : 0,7\\ 
Réponse C : 0,6& Réponse D : on ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}
\end{center}   
\item  Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50\:\% des cahiers ont une reliure spirale et que 75\:\% des cahiers sont à grands carreaux. Parmi les cahiers à grands carreaux, 40\:\% ont une reliure spirale.
 
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu'il soit à grands carreaux est égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
Réponse A: 0,3& Réponse B: 0,5 \\
Réponse C: 0,6& Réponse D: 0,75\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
Dans les questions 3. et 4., on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25\:\% de ces stylos-feutres sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3~stylos-feutres. 
\item  La probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
Réponse A: 0,250& Réponse B: 0,422\\ 
Réponse C: 0,578& Réponse D: 0,984\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item  La probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'il prenne exactement 2~stylos-feutres verts est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
Réponse A: 0,047& Réponse B: 0,063\\ 
Réponse C: 0,141& Réponse D: 0,500\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x + k\e^{ax}$ où $k$ et $a$ sont des nombres fixés.

Sur la figure donnée en annexe, la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $g$ et la droite $D$ d'équation $y = x$ sont tracées dans un repère orthogonal (unités : 2~cm pour l'axe des abscisses, 1~cm pour l'axe des ordonnées).

Le point $E$ a pour coordonnées $(0 ; 6)$ et le point $F$ a pour coordonnées $(3 ; 0)$. On précise que la droite $(EF)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $E$ et la courbe $\mathcal{C}$ admet au point $B$ une tangente horizontale.
 
On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, déterminer la valeur de $g(0)$. 
		\item Par lecture graphique, déterminer la valeur de $g'(0)$. 
		\item Exprimer $g'(x)$ en fonction de $a$ et $k$. 
		\item En utilisant les résultats précédents, déterminer les valeurs de $k$ et $a$. On justifiera les calculs.
	\end{enumerate}
\end {enumerate}

\medskip
	 
Dans la suite de l'exercice, on prendra  $g(x) = x + 6\e^{-0,5x}$. 

\medskip

	\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	
\item Démontrer que la droite $D$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
\item On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est située au dessus de la droite $D$. Soit $S$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $S$ sur le graphique. 
		\item Calculer, en $\mathrm{cm}^2$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $S$. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $0,1\mathrm{cm}^2$ près. 
	\end{enumerate}
	
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse. sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer la valeur exacte de l'abscisse du point $B$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(12,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x+6*Euler^(-.5*x)}
\rput(4.5,10.5){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-1)(12,10)
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\psaxes[linewidth=0.8pt,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-1)(6,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.9,0){$x$} \uput[l](0,9.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.258}{6}{\f}
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune]{-}(-1.5,9)(3.5,-1)
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune]{-}(-1,-1)(6,6)
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune]{<->}(1.197,4.197)(3.197,4.197)
\psdots[dotstyle=*, linecolor=prune,dotscale=.8](2.197,4.197)
\uput[u](4.75,5.4){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\uput[u](2.197,4.2){\bleu{$B$}}
\uput[ur](0,6){\bleu{$E$}}
\uput[ur](3,0){\prune{$F$}}
\uput[dr](5.5,5.5){\prune{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!b@Fonction logarithme I} 

 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0 ; 20]$ par $f(x) = \left(3\e^2  - x\right)\ln x + 10$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$. 
		\item  Calculer la valeur exacte de $f\left(\e^2\right)$, puis une valeur approchée à $0,01$ près.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout $x$ de $]0 ; 20]$,  $f'(x) = - \ln x + \dfrac{3\e^2}{x} - 1$ où $f'$ désigne la dérivée de la  
fonction $f$. 
\item On admet que la fonction dérivée $f'$ est strictement décroissante sur $]0 ; 20]$ et que son tableau de variations est le suivant : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(9,2.8)
\psset{linewidth=.75pt}
\psframe(9,2.8)\psline(2,0)(2,2.8) \psline(0,2)(9,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psline(2.3,0)(2.3,2) \psline(2.5,0)(2.5,2)
\rput(1,2.4){$x$}\rput(2.4,2.4){0} \rput(5.6,2.4){$\e^2$}\rput(8.4,2.4){20}
\rput(1,1){$f'(x)$} \rput(2.8,1.7){\rnode{A}{$+\infty$}} \rput(8.4,.3){\rnode{B}{$f'(20)$}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncput*{0}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du tableau de variations, donner le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; 20]$. 
		\item  Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 20]$ et dresser son tableau de variations sur cet intervalle.
	\end{enumerate}	 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, sur l'intervalle $[0,6 ;  0,7]$, l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution notée $\alpha$. À la calculatrice, donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ près par excès. 
		\item  Démontrer que $f(x)$ est négatif pour tout $x \in ]0 ; \alpha[$ et que $f(x)$ est positif pour tout $x \in ]\alpha ; 20]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Une entreprise produit et vend chaque semaine $x$ milliers de DVD, $x$ appartenant à $]0 ; 20]$.
 
Le bénéfice réalisé est égal à $f(x)$ milliers d'euros où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
 
En utilisant les résultats de la partie A :
 
\begin{enumerate}
\item  déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ; 
\item  déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10~euros près, de ce bénéfice maximal. 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\subsection[Exercice 4 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{STATISTIQUES!a@Ajustement affine d'un nuage de points} 

 
\medskip

\begin{enumerate}
\item L'évolution du chiffre d'affaires du groupe de distribution Enville pour la période 2004-2008 est donnée dans le tableau 1 ci-dessous:

\medskip

Tableau 1 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& 2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
Progression du chiffre d'affaires par rapport à l'année précédente&4,7\:\% &10,6\:\% &4,1\:\% &5,8\:\% &7,5\:\%\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
Par exemple, le chiffre d'affaires du groupe a augmenté de 10,6\:\% entre le 31 décembre 2004 et le 31 décembre 2005. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'une valeur approchée à $0,1$~près du pourcentage annuel moyen d'augmentation, est 6,5. 
		\item  En 2008, ce groupe a réalisé un chiffre d'affaires de 59,5~milliards d'euros. La direction prévoit une croissance annuelle de 6,5 \:\% pour les années suivantes. Donner une estimation à 0,1~milliard d'euros près du chiffre d'affaires du groupe pour l'année 2010.
	\end{enumerate}
 
\item L'évolution, sur 8 ans, du chiffre d'affaires du groupe Aupré, concurrent du groupe Enville, est donnée par le tableau 2 ci-dessous:
 
\medskip

Tableau 2 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 2001 &2003 &2005 &2007 &2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 1 &3 &5 &7 &8 \\ \hline
Chiffre d'affaires exprimé en milliards d'euros $y_{i}$& 64,8 &68,7 &72,7 &77,1 &82,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip  

Pour cette question tous les résultats seront arrondis au dixième près. 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ en prenant comme origine le point de coordonnées $(0 ; 60)$ (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 0,5~cm sur l'axe des ordonnées). 
		\item  En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$. Tracer cette droite sur le graphique. 
		\item  \`A l'aide de l'ajustement précédent, déterminer graphiquement une estimation du chiffre d'affaires du groupe Aupré pour l'année 2010. On laissera apparents les traits de construction.
	\end{enumerate}
	 
\item Dans cette question, on suppose qu'à partir de 2008 le chiffre d'affaires du groupe Enville progresse chaque année de 6,5\:\% et celui du groupe Aupré de 3\:\%. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $59,5 \times 1,065^n > 82,1 \times 1,03^n$. 
		\item Déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 



 \bigskip 

\subsection[Exercice 4  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!ca@Graphes probabilistes} 

 
Deux chaînes de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deux émissions concurrentes. On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant. 

La première semaine, 70\:\% de ces téléspectateurs ont regardé la chaîne A.

Une étude statistique montre que :
 
15\:\% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante. 

10\:\% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine suivante. 

On note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de téléspectateurs des chaînes A et B la $n$-ième semaine et $P_{n}$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}
 a_n & b_n \\ \end{pmatrix}$. On a donc $P_{1} = \begin{pmatrix}
0,7 & 0,3 \\ \end{pmatrix}$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation. 
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe.
 	\end{enumerate}
	 
\item Calculer $M^3$ à l'aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant à $10^{-3}$ près. Quelle est la répartition des téléspectateurs entre les deux chaînes lors de la quatrième semaine ? 
\item On considère la matrice ligne $P = \begin{pmatrix}
a & b \\ \end{pmatrix}$, où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a + b = 1$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = P M$.
 
		\item Interpréter les deux valeurs trouvées.
	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout entier naturel $n > 0$, on a : $a_{n} = 0,4 + 0,3 \times \left(0,75^{n - 1}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $a_{n} < 0,5$. 
		\item \`A partir de quelle semaine l'audience de l'émission de la chaîne B dépassera-t-elle celle de l'émission de la chaîne A ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{NOUVELLE CALÉDONIE 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question aucune justification n'est demandée, tous les tracés demandés seront effectués sur le repère orthonormal fourni en annexe 2 qui sera rendu avec la copie.
 
On souhaite tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ satisfaisant les conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 6]$. 
\item Le maximum de la fonction $f$ est 5, il est atteint pour $x = 0$.
\item Le minimum de la fonction $f$ est 1. 
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ; 6]$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et on sait que $f'(0) = - 3$, $f(6) = 3$ et $f'(6) = 2$. 
\item  Le signe de la fonction dérivée $f'$ de $f$ est donné par le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,1.8) 
\psframe(12,1.8) \psline(0,1)(12,1)\psline(3,0)(3,1.8)
\rput(1.5,1.4){$x$} \rput(3.5,1.4){$0$} \rput(7.5,1.4){$4$} \rput(11.5,1.4){$6$} 
\rput(1.5,0.5){signe de $f'(x)$}	
\rput(5.5,0.5){$-$}  \pnode(7.5,0){m1}\pnode(7.5,1){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$+$} 	
\end{pspicture}
\end{center}
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de variations de la fonction $f$, fourni en annexe 1. 
On fera figurer dans le tableau les images par $f$ de 0, de 4 et de 6. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5)
\rput(6,4.5){\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe 1}}}}}	 
\psframe(12,3.8) \psline(0,3)(12,3)\psline(3,0)(3,3.8)\psline(0,2)(12,2)
\rput(1.5,3.4){$x$} \rput(3.5,3.4){$0$} \rput(7.5,3.4){$4$} \rput(11.5,3.4){$6$} 
\rput(1.5,2.5){signe de $f'(x)$}	
\rput(5.5,2.5){$-$}  \pnode(7.5,2){m1}\pnode(7.5,3){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(9.5,2.5){$+$} 
\rput(1.5,1){variations de $f$}	
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Donner l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 6. 
		\item Tracer dans le repère fourni en annexe 2 la courbe représentative d'une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus.
		 
On placera les points d'abscisses 0, 4, 6 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3.5,7.5){\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe 2}}}}}	
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(8,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){$x$} \uput[l](0,6.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
 
\item Dans cette question toute réponse doit être justifiée.
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 6]$ par $g(x) = \e^{f(x)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$.
		 
Compléter le tableau de variation de la fonction $g$ fourni en annexe 3.

On précisera les valeurs de $g(0)$, $g(4)$ et $g(6)$. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,4)
\rput(6,3.5){\textsf {\small{\textbf{\textsc{annexe 3}}}}}	 
\psframe(12,2.8) \psline(0,2)(12,2)\psline(3,0)(3,2.8)
\rput(1.5,2.4){$x$} \rput(3.5,2.4){$0$} \rput(7.5,2.4){$4$} \rput(11.5,2.4){$6$} 
\rput(1.5,1){variations de $g$}	
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Déterminer $g'(0)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{STATISTIQUES!a@Ajustement affine d'un nuage de points} 

 
Le tableau ci-dessous donne la répartition des contributions au financement des soins et des biens médicaux sur la période 2004-2008. Les valeurs sont données en pourcentage.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année								&2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$			& 0 		&1 		&2 		&3 	&4\\ \hline
Sécurité sociale et autres financements & 91,7& 91,6	&91,1&91 &90,6\\ \hline 
Ménages $y_{i}$				& 8,3 		&8,4 	&8,9 	&9,0 &9,4\\ \hline 
Total 						&100,0 		&100,0 	&100,0 	&100,0 &100,0\\ \hline 
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize Source: DREES, Comptes de la santé. \'ETUDES et R\'ESULTATS \no 701 - septembre 2009}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
Par exemple en 2004, la contribution de la sécurité sociale et des autres organismes financeurs s'est élevée à 91,7\,\% du financement des soins et des biens médicaux et les ménages ont financé 8,3\,\% de ces soins et biens médicaux.

\medskip
 
\textsf{\textbf{\textsc{partie a :}} \'Etude en pourcentages}

\medskip 

$y_{i}$ désigne la part en pourcentage financée par les ménages lors de l'année de rang $x_{i}$·
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ pour $i$ entier variant de 0 à 4. 

On placera l'origine du repère à 0 en abscisse et 8 en ordonnée. On prendra pour unités: 2~cm pour 1 rang en abscisses et 5~cm pour 1\,\% en ordonnées. 
\item La forme du nuage de points permet de considérer qu'un ajustement affine est justifié. 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. 
		\item Représenter la droite $D$ dans le repère précédent.
	\end{enumerate} 
\item On suppose que l'évolution constatée sur la période 2004-2008 se poursuit en 2009 et en 2010. Justifier par un calcul qu'avec cet ajustement affine, on peut prévoir une part des ménages dans le financement des soins et des biens médicaux de 9,92\,\% en 2010. 
\end{enumerate}

\medskip 
 
\textsf{\textbf{\textsc{partie b :}} \'Etude en valeurs}

\medskip 

 
\begin{enumerate}
\item La dépense de soins et de biens médicaux était de 140~milliards d'euros en 2004.
 
Calculer la somme versée par les ménages pour financer les soins et les biens médicaux en 2004. 
\item La dépense de soins et de biens médicaux était de 170,5 milliards d'euros en 2008. On fait l'hypothèse d'une croissance de la dépense de soins et de biens médicaux de 3\,\% en 2009 et à nouveau de 3\,\% en 2010. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dépense de soins et de biens médicaux en 2010. (On arrondira le résultat au milliard d'euros.) 
		\item Quelle somme versée par les ménages pour le financement des soins et des biens médicaux peut-on prévoir pour l'année 2010 ? (On arrondira le résultat au milliard d'euros. )
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!d@Suites} 

 
\textsf {\textbf{\textsc{a} - } Observation d'une suite de nombres}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(18,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(18,18)
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(18,180)
\uput[u](18,0){$n$} \uput[r](0,180){$u_{n}$}

\savedata{\nuage}[(0,161)	(1,104.6)	(2,70.76)	(3,50.456)	(4,38.274)	(5,30.964)	(6,26.578)	(7,23.947)	(8,22.368)	(9,21.421)	(10,20.853)	(11,20.512)	(12,20.307)	(13,20.184)	(14,20.11)	(15,20.066)]
\dataplot[dotstyle=B+,linecolor=bleu,plotstyle=dots,linewidth=2pt]{\nuage}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessus la représentation graphique des 16 premiers termes d'une suite $\left(u_{n}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonaL
 
Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Les quatre premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ ont été calculés avec un tableur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline

$n$& 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 
$u_{n}$ & 161&104,6 &70,76 & 50,456 \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

La suite $\left(u_{n}\right)$ peut-elle être une suite géométrique ? On justifiera la réponse donnée.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{b}- } Étude de la suite}

\medskip
 
La suite $\left(u_{n}\right)$ observée dans la partie A est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,6u_{n} + 8$ et $u_{0} = 161$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{4}$. 
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 20$. Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. On précisera le premier terme et la raison. 
\item Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item  Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{PROBABILIT\'ES!d@Loi binomiale} 

 
Une université fait passer un test à ses étudiants. A l'issue du test chaque étudiant est classé dans l'un des trois profils A, B et C définis ci-dessous.
\begin{itemize}
	\item[] 50\,\% des étudiants ont le profil A : ils mémorisent mieux une information qu'ils voient (image, diagramme, courbe, film ... ).
	\item[] 20\,\% des étudiants ont le profil B : ils mémorisent mieux une information qu'ils entendent.
	\item[] 30\,\% des étudiants ont le profil C : ils mémorisent aussi bien l'information dans les deux situations.
\end{itemize}
 
\medskip
 
\`A la fin de la session d'examen de janvier on constate que :
\begin{itemize}
	\item[] 70\,\% des étudiants ayant le profil A ont une note supérieure ou égale à 10 ;
	\item[] 75\,\% des étudiants ayant le profil B ont une note supérieure ou égale à 10 ;
	\item[] 85\,\% des étudiants ayant le profil C ont une note supérieure ou égale à 10.
\end{itemize}

\medskip
 
On choisit de manière aléatoire un étudiant de cette université. On note :
 
 \begin{itemize}
	\item[] $A$ l'évènement \og l'étudiant a le profil A \fg ;
	\item[] $B$ l'évènement \og l'étudiant a le profil B \fg ;
	\item[] $C$ l'évènement \og l'étudiant a le profil C \fg ;
	\item[] $M$ l'évènement \og l'étudiant a une note supérieure ou égale à 10 \fg{} et $\overline{M}$ l'évènement contraire.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant pour qu'il traduise les données de l'expérience aléatoire décrite dans l'énoncé :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{\bleu $\; A \;$}}
	{\TR{\bleu $\; M$}
	\TR{\bleu $\; \overline{M}$}
	}
\pstree{\TR{\bleu $\; B \;$}}
	{\TR{\bleu $\; M$}
	\TR{\bleu $\;\overline{M}$}
	}
	\pstree{\TR{\bleu $\; C \;$}}
	{\TR{\bleu $\; M$}
	\TR{\bleu $\;\overline{M}$}
	}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Dans la suite de l'exercice les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondie au millième.}

\medskip

 \begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer la probabilité que l'étudiant choisi soit de profil C et qu'il ait obtenu une note supérieure ou égale à 10. 
\item Démontrer $P(M) = 0,755$. 
\item Calculer la probabilité que l'étudiant soit de profil B sachant qu'il a obtenu une note strictement inférieure à 10. 
\item On choisit quatre étudiants au hasard. On admet que le nombre d'étudiants est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à quatre tirages successifs indépendants avec remise. 

Calculer la probabilité qu'exactement trois de ces étudiants soient du profil C. 
\end{enumerate} 


 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!b@Fonction logarithme I} 

 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip


 
On considère la fonction $g$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $g(x) = \ln x - \dfrac{1}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de $g$ sur $[1 ; +\infty[$. 
\item Résoudre l'équation $g(x) = 0$ dans $[1 ; +\infty[$. 
\item En déduire que $g(x) > 0$ si, et seulement si, $x > \sqrt{\e}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $f(x) = 2x^2(\ln x - 1) + 2$.

 \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[1 ; +\infty[$, $f'(x) = 4xg(x)$. 
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[1 ; +\infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[1 ; +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, dans l'intervalle $[2 ; 3]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\alpha$. 
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{POLYNÉSIE 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (3 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!f@Q.C.M} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 4 ; 6]$ dont la courbe est représentée sur la figure ci-dessous dans un repère orthonormé.
 
Les points $A(- 1 ; 0)$, $B (1 ; 4)$, et $C(3 ; 0)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-8)(6,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-8)(6,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,5.8){$y$}
\uput[d](1,0){\footnotesize{\textsf{1}}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.46}{4.46}{2*x+3-x^2}
\uput[ul](-1,0){\bleu $A$} \uput[u](1,4){\bleu $B$}\uput[ur](3,0){\bleu $C$}
\end{pspicture}
\end{center}
Parmi les trois courbes suivantes, laquelle est la représentation graphique d'une primitive de la fonction $f$ ? 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5.5)(6,12)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(1,-5){Courbe $\mathcal {C}_1$}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,12)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-4)(6,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,11.8){$y$}
\uput[d](1,0){\footnotesize{\textsf{1}}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4}{5.41}{(1-x^2)*(x^2-27)/16}
\end{pspicture} \hfill 
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-13.5)(6,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(1,-13){Courbe $\mathcal {C}_2$}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-12)(6,4)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-12)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,3.8){$y$}
\uput[d](1,0){\footnotesize{\textsf{1}}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3.24}{5.18}{x^3/3- x^2-3*x}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5.5)(6,12)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(1,-5){Courbe $\mathcal {C}_3$}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,12)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-4)(6,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,11.8){$y$}
\uput[d](1,0){\footnotesize{\textsf{1}}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3.24}{5.18}{x^2+3*x-x^3/3}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Une primitive de la fonction $g$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $g(x) = x\e^x$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}}
 $G(x) = \dfrac{x^2}{2}\e^x$ & $G(x) = (x + 1)\e^x$ & $G(x) = (x - 1)\e^x$\\
\end{tabularx}


\item La fonction $h$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $h(x) = 0,8^x$ est égale à la fonction $k$ définie sur $\R$ par :

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\textbullet\;}X@{\extracolsep{\fill}} >{\textbullet\;}X @{\extracolsep{\fill}}>{\textbullet\;}X@{}}
 $k(x) = \e^{x\ln (0,8)}$ &  $k(x) = \e^{0,8\ln (x)}$ & $k(x) = 0,8\e^x$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{PROBABILIT\'ES!d@Loi binomiale} 

 
Dans le service informatique d'une société, chaque informaticien a le choix entre deux logiciels de gestion : d'une part le logiciel Bestmath, leader du marché, et d'autre part le logiciel Aurora, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des utilisateurs.

Lors de l'enquête de janvier 2009, la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora est 0,32.

Lors de l'enquête suivante en janvier 2010, il a été constaté que 20\:\% des utilisateurs d'Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Bestmath, tandis que 25\:\% des utilisateurs de Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.

\medskip

On interroge un informaticien au hasard et on définit les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A_{1}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la première année \fg{} ;
\item $B_{1}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la première année \fg{} ;
\item $A_{2}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la deuxième année \fg{} ;
\item $B_{2}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la deuxième année \fg{}.
\end{itemize}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité qu'un informaticien utilise le logiciel Bestmath la première et la deuxième année.
\item Vérifier que la probabilité de l'évènement $B_{2}$ est $p\left(B_{2}\right) = 0,574$.
\item Calculer la probabilité qu'un informaticien ait utilisé le logiciel Bestmath la première année, sachant qu'il l'utilise la deuxième année (on donnera le résultat arrondi au millième).
\item On interroge   au hasard et de façon indépendante trois informaticiens du service.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'au moins un des trois informaticiens ait utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près).
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
Calculer la probabilité qu'exactement deux des trois informaticiens aient utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près).
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	

 \bigskip 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!ca@Graphes probabilistes} 

 
Dans une société, le service informatique utilise deux logiciels de gestion : d'une part, le logiciel Aurora, leader du marché, et d'autre part le logiciel Bestmath, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier et en juillet, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des  utilisateurs.
 
Lors de l'enquête de janvier 2009, le chef de réseau a constaté que 32\:\% des informaticiens utilisait le logiciel Aurora, les autres informaticiens utilisaient le logiciel Bestmath.
 
Lors de chaque relevé suivant (juillet 2009, janvier 2010, ... ), le chef du réseau informatique a constaté que 20\:\% des utilisateurs du logiciel Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient  désormais le logiciel Bestmath, tandis que 25\:\% des utilisateurs du logiciel Bestmath avaient 
changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.
 
Les semestres sont comptés à partir de janvier 2009, que l'on appellera semestre 0 (juillet 2009 est donc le semestre 1).

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on désigne par :

\begin{itemize}
\item $a_{n}$ la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora le  semestre $n$ ;
\item $b_{n}$ la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Bestmath le  semestre $n$. 
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données l'énoncé par un graphe probabiliste. 
		\item \'Ecrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $P_{0} = \begin{pmatrix} a_{0} & b_{0} \end{pmatrix}$ l'état initial de ce graphe en janvier 2009. Déterminer $P_{0}$. 
		\item On appelle $P_{1}$ l'état de la société en juillet 2009. Vérifier que $P_{1} = \begin{pmatrix} 0,426 &  0,574\end{pmatrix}$. 
		\item On appelle $P_{2}$ l'état en janvier 2010. Déterminer $P_{2}$ (les résultats seront arrondis à $10^{-3}$). 
	\end{enumerate}
\item  Dans cette partie on étudie la suite $\left(a_{n}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $a_{n+1} = 0,55a_{n} + 0,25$. 
		\item On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n} = \dfrac{5}{9} - a_{n}$.
		
Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique, déterminer sa raison ainsi que le premier terme. 
		\item En déduire l'expression de $U_{n}$ puis de $a_{n}$ en fonction de $n$.  
	\end{enumerate}
\item Soit  $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ l'état probabiliste stable.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $x$ et $y$.
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
On suppose 	que l'utilisation du logiciel Aurora dans l'entreprise progresse régulièrement de la même façon. Le distributeur du logiciel Aurora peut-il espérer que son logiciel soit utilisé un jour par plus de 60\:\% des informaticiens de l'entreprise ? 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

	

 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
Dans le cadre de son action en faveur du développement durable, le conseil Régional d'une région A de France métropolitaine rassemble et analyse des données sur la circulation des déchets valorisables par le recyclage. Depuis 2000, le ministère de l'Environnement fournit des données statistiques sur les quantités de déchets exportés de la région A en vue de leur valorisation.
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}~1 \leqslant i \leqslant 7$&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Déchets exportés $y_{i}$ (en tonnes)  $1 \leqslant i \leqslant 7$&797 &816 & 1140 &1921 & 2199 & 3165 & 4195\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{\footnotesize{Source : Ministère de l'Environnement (MEEDDAT)}}}\\
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la feuille de papier millimétré jointe, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ $\left(1 \leqslant i \leqslant 7\right)$, le plan étant rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 200~tonnes sur l'axe des ordonnées. 
\item On considère qu'un ajustement exponentiel est adapté à l'analyse. Pour $1 \leqslant i \leqslant 7$ on pose alors $z_{i} = \ln y_{i}$.

	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter avec les valeurs de $z_{i}$ arrondies au centième : 
		
\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_{i}$ de l'année  $1 \leqslant i \leqslant 7$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}~~1 \leqslant i \leqslant 7$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm}& & & & & & &\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item \`A l'aide de la calculatrice, et en utilisant les données du tableau ci-dessus, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = ax + b$ (les coefficients seront arrondis au millième).
		\item En déduire une approximation de la quantité de déchets exportés $y_{i}$, exprimée en tonnes, en fonction du rang de l'année $x$ sous la forme		
\[y = \alpha \e^{\beta x}\]

où le coefficient $\alpha$ est arrondi à l'unité et le coefficient $\beta$ est arrondi au centième.

	\end{enumerate}
\item Selon cet ajustement, quelle quantité de déchets,	arrondie à une centaine de tonnes, peut être exportée de la région A en vue d'une valorisation à l'horizon 2011 ? 
\end{enumerate}	

	

 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (7 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!ba@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par 
\[f(x) = - 0,25x^2 + 2x  + 3\ln (x + 1) - 1,75 - 3\ln 2\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable  sur $[0 ; 10]$ ; on note $f'$ sa fonction dérivée sur cet intervalle. 

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 10]$,
\[f'(x) =  \dfrac{-0,5(x + 2)(x - 5)}{x + 1}\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[0 ; 10]$. 
		\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $[0 ; 10]$. 
		\item Calculer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au dixième du maximum de la fonction $f$ sur $[0 ; 10]$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle $[5 ; 10]$ une solution unique $x_{0}$.
		\item Donner, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée par défaut à $10^{-1}$ de $x_{0}$.		
	\end{enumerate}
\item  On admet qu'une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; 10]$ est la fonction $F$ définie par :
\[F(x) = \dfrac{-1}{12}x^3 + x^2 - (4,75 + 3\ln 2)x + 3(x + 1)\ln (x + 1)\] 
Montrer que la valeur décimale arrondie au dixième de $\dfrac{1}{10}\displaystyle\int_{0}^{10} f(x) \dd x$ est 2,8. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\`A l'approche des fêtes de fin d'année, un supermarché souhaite commercialiser des guirlandes de Noël.
 
On note $x$ le nombre de guirlandes qu'il souhaite vendre (en milliers de guirlandes). On  suppose que $x$ est un réel compris entre 0 et 10.
 
Le bénéfice réalisé pour la vente de $x$ milliers de guirlandes, exprimé en milliers d'euros, est donné par la fonction $f$ définie sur $[0 ; 10]$ par : 

\[f(x)= - 0,25x^2 + 2x + 3\ln (x + 1) - 1,75 -  3\ln 2\] 

Déduire de la \textsf {\textsc{partie a}} les réponses aux questions suivantes (les réponses seront données à la centaine de guirlandes vendues près). On explicitera la méthode utilisée.
 
\begin{enumerate}
\item Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice sur ce produit ? 
\item Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ? (à 100~ euros près). 
\item Quel bénéfice moyen peut espérer le supermarché en vendant entre 0 et  10~000~guirlandes ? 
\end{enumerate}	

	

 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{POLYNÉSIE SEPTEMBRE 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{STATISTIQUES!b@Ajustement exponentiel d'un nuage de points} 

 
 
Un nom de domaine, sur Internet, est constitué de deux éléments :


\begin{itemize}
\item  un nom (celui d'une société, d'une marque, d'une association, d'un particulier. .. ) ; 
\item  une extension (appelée aussi suffixe) : .fr, .de, .ca, .jp, .net, .com, .org, etc.
\end{itemize}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne, en milliers, le nombre de domaines en \og .fr \fg  gérés par l'AFNIC (\emph{Association Française pour le Nommage Internet en Coopération}), organisme qui centralise les noms de domaine Internet, pour les mois de juin des années 2001 à 2008 :

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
Rang $x_{i}$ de l'année $1 \leqslant i \leqslant 8$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Nombre $y_{i}$ des domaines en \og .fr \fg,  en milliers, $1 \leqslant i \leqslant 8$&\footnotesize 105,045 &\footnotesize 128,927 &\footnotesize  143,741 &\footnotesize 224,452 &\footnotesize 344,465 &\footnotesize 463,729 &\footnotesize  811,674 &\footnotesize 1125,161\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize{(\emph{Source : AFNIC, 2009})}}\\
\end{tabularx}}

\medskip 
 
Le nuage de points associé à cette série statistique est donné ci-dessous.

\medskip 
 
\psset{unit=.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(23,25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,24)
\psset{xunit=1cm, yunit=.01cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=100]{->}(0,0)(11,1200)
\uput[ur](9,0){\footnotesize{rang de l'année}}
\uput[ur](-1,1200){\footnotesize {nombre de domaines en .fr en milliers}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=bleu,linewidth=2pt](1,105.045)	(2,128.927)	(3,143.741)	(4,224.452)	(5,344.465)	(6,463.729)	(7,811.674)	(8,1125.161)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer, en pourcentage, l'augmentation du nombre de domaines en \og .fr\fg  entre juin 2001 et juin 2002, arrondi à 1\:\%. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi un ajustement affine de $y$ en $x$ ne semble pas justifié.
		
\medskip
 
On cherche alors un ajustement exponentiel. 
		\item Pour tout $1 \leqslant i \leqslant 8$, on pose $z_{i} = \ln y_{i}$.
		 
Recopier sur votre copie et compléter le tableau ci-dessous avec les valeurs de $z_{i}$ arrondies au centième :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de l'année $x_{i}$  $1 \leqslant i \leqslant 8$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
$z_{i}= \ln y_{i}$ $1 \leqslant i \leqslant 8$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & & & & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item À l'aide de la calculatrice et en utilisant les données du tableau précédent, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $z = ax + b$ (les coefficients seront arrondis au centième). 
		\item En déduire que $y = 60,34 \e^{0,35x}$ où les coefficients sont arrondis au centième, est un ajustement exponentiel possible.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., quel est le nombre estimé de domaines en \og .fr \fg en juin 2009 ? (le résultat sera arrondi au millier). 
		\item Si l'erreur commise en utilisant le modèle proposé est inférieure à 1\:\%, on considère que le modèle est pertinent.
		 
En réalité, le relevé de juin 2009 de l'AFNIC indiquait 1~412~652 domaines en \og .fr \fg. Le modèle proposé est-il pertinent ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0 ; +\infty[$ l'inéquation $ 60,34 \e^{0,35x} \geqslant 10000$ (le résultat sera arrondi au dixième). 
		\item En déduire, en utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., à partir du mois de juin de quelle année le nombre de \og domaines en .fr \fg{} dépassera 10~millions.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{PROBABILIT\'ES!b@Probabilités conditionnelles, Probabilités totales}  

 
\og Un geste qui sauve : en France, chaque année, 55~000 personnes sont victimes d'un accident cardio-vasculaire. Sept fois sur dix, ces accidents surviennent devant témoin.\fg{} (\emph{Source: TNS / Fédération Française de Cardiologie, 2009}).

 
En 2009, environ 36\:\% de la population française a appris à accomplir les gestes qui sauvent.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie 1}}}

\medskip
 
Lors d'un accident cardio-vasculaire devant témoins, on admet que la proportion de témoins formés aux gestes qui sauvent suit la proportion nationale.
 
La probabilité qu'un accident cardio-vasculaire se produise devant un témoin formé aux gestes qui sauvent est de 0,25.
 
Lorsque l'accident cardio-vasculaire s'est produit devant un témoin formé aux gestes qui  sauvent, la probabilité que le malade survive est 0,1.
 
Sinon, la probabilité que le malade survive est de 0,007. 

\medskip

On appelle $T$ l'évènement : \og L'arrêt cardiaque s'est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent \fg.
 
On appelle $S$ l'évènement: \og Le malade survit à l'arrêt cardiaque \fg.
 
On appelle $\overline{T}$ et $\overline{S}$ les évènements contraires à $T$ et à $S$.

\medskip

 \textsf {\small{\textsc{rappel de notation :}}} Si $A$ et $B$ sont deux évènements donnés, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

\medskip

\emph{On pourra s'aider d'un arbre pondéré. Les résultats seront arrondis au centième.}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, d'après l'énoncé, $p(T)$, $p_{T}(S)$ et $p_{\overline{T}}(S)$. 
\item En déduire $p(T \cap  S)$. 
\item Vérifier que la valeur arrondie au centième de $p(S)$ est 0,03. 
\item Interpréter ces deux derniers résultats. 
\item Justifier que le nombre de victimes d'accidents cardiaques survivant à cet accident peut s'estimer à environ 1~650.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie 2}}}

\medskip
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
En 2015 tous les lieux publics (stades, centres commerciaux, ... ) seront équipés en défibrillateurs. Par ailleurs, un sondage montre qu'environ 71\:\% de la population souhaite se former à accomplir les gestes qui sauvent. Si ce taux de formation est atteint :


\begin{itemize}
\item la probabilité que l'accident cardiaque survienne devant un témoin formé aux gestes qui sauvent serait de $0,5$ ; 
\item la probabilité de survie en cas d'intervention d'un témoin formé aux gestes qui sauvent serait augmentée à $0,25$, et $0,046$ sinon.
\end{itemize}

 
Déterminer combien de vies supplémentaires pourraient être sauvées si ces conditions étaient satisfaites. 



 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$.
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé. 


\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.3,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.3,3.6) \psline(3,0)(3,3.6) \psline(0,2.8)(16.3,2.8)\psline(0,2)(3.2,2) \psline(3.4,2)(16.3,2)
\psline(3.2,0)(3.2,2.8) \psline(3.4,0)(3.4,2.8)
\rput(1.5,3.2){$x$}\rput(3.3,3.2){$2$} \rput(7.8,3.2){$3$} \rput(11.8,3.2){$10$}\rput(15.8,3.2){$+ \infty$}
\rput(1.5,2.4){signe de $f'(x)$} \rput(5.8,2.4){$+$} \pnode(7.8,2.8){m1}\pnode(7.8,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.8,2.4){$-$} \pnode(11.8,2.8){n1}\pnode(11.8,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.8,2.4){$+$}
\rput(1.5,1){variations de $f$} \rput(3.8,0.3){\rnode{A}{$-\infty$}} \rput(7.8,1.7){\rnode{B}{6}} \rput(11.8,.3){\rnode{C}{\small{$-5$}}} \rput(15.8,1.7){\rnode{D}{$4$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}


On suppose de plus que $f(5) = 0$ et que $f'(5) = - 2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide du tableau, répondre aux questions suivantes. \emph{Aucune justification n'est demandée.} 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition ?
		 
Interpréter graphiquement les résultats. 
		\item Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 3. 
		\item  Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 4$ sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$ ?
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$ par : $g (x) = \e^{f(x)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(5)$. 
		\item Calculer la limite de la fonction $g$ en 2. 
		\item Déterminer le sens de variations de $g$ sur l'intervalle $[3 ;  10]$, en justifiant la réponse. 
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 5.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 



 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!ba@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 4]$ par : \[f(x) = - x^2 - x + 4 + \ln (x + 1)\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal, donnée en annexe.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 4]$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$. 
\item Justifier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ;  4]$. 
\item Montrer que sur l'intervalle $[0 ; 4]$, l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$.
 
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01. En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 4]$. 
\item  On définit la fonction $F$ dérivable sur l'intervalle $[0 ; 4]$ par :
  
\[F(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 -\dfrac{1}{2}x^2 + 3x + (x + 1) \ln(x + 1).\] 

Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 4]$. 
\item Soit $\mathcal{A}$ l' aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur la figure fournie en annexe. 
		\item Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $\mathcal{A}$. 
		\item Calculer la valeur exacte en unités d'aire de $\mathcal{A}$. Vérifier la cohérence de vos résultats.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-15)(10,10)
\rput(4.875,9){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\rput(4.875,8){\emph{\`A rendre avec la copie}}
\uput[r](-.25,6){Courbe représentative de la fonction $f$.}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-15)(10,5)
\psset{xunit=3cm, yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(0,-15)(5,5)
\uput[d](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[l](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{4}{4 x sub x dup mul sub x 1 add ln add}
\uput[r](4,-14.4){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}



 \bigskip 



 \pagebreak 

\section{PONDICHÉRY 2010} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\sc{\bf{exercice 1}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{PROBABILIT\'ES!c@Loi numérique, espérance mathématique} 

\begin{minipage}{.55\linewidth}
Lors des journées \og rouges \fg{} selon Bison Futé, l'autoroute qui relie Paris à Marseille est surchargée. 

Il est donc conseillé de prendre un itinéraire de délestage entre Beaune et Valence (qui ne passe pas par Lyon) afin d'éviter les éventuels \og bouchons\fg{} autoroutiers.
 
Entre Valence et Marseille il est également conseillé de prendre la route départementale représentée par des pointillés sur la carte.

Bison Futé a publié les résultats d'une étude portant sur les habitudes des automobilistes sur le trajet entre Paris et Marseille lors de ces journées \og rouges \fg.

\medskip

Il s'avère que :


\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.42\linewidth}
\begin{flushright}
\includegraphics[width=7cm]{france.eps}
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{itemize}
\item 40\:\% des automobilistes prennent l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence ;
\item  parmi les automobilistes ayant suivi l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, 30\:\% prennent la route départementale de Valence à Marseille ;
\item  parmi les automobilistes n'ayant pas suivi l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, 60\:\% prennent la route départementale de Valence à Marseille.
\end{itemize}

\medskip

 
On note :
 
$B$ l'évènement \og l'automobiliste prend l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence \fg{} et $\overline{B}$ l'évènement contraire;
 
$V$ l'évènement \og l'automobiliste prend la route départementale entre Valence et Marseille \fg{} et $\overline{V}$ l'évènement contraire. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $\overline{B} \cap \overline{V}$ est $p\left(\overline{B} \cap \overline{V}\right) =0,24$ et interpréter ce résultat. 
		\item Calculer la probabilité que l'automobiliste ne choisisse pas la route départementale entre Valence et Marseille. 
	\end{enumerate}

\item On donne les temps de parcours suivants :
\begin{description}
\item Paris -- Beaune (par autoroute) : 4 heures ; 
\item Beaune -- Valence (par autoroute, en passant par Lyon) : 5 heures ; 
\item Beaune -- Valence (par itinéraire de délestage, en ne passant pas par Lyon) : 4 heures ;
\item Valence -- Marseille (par autoroute) : 5 heures ; 
\item Valence -- Marseille (par la route départementale) : 3 heures. 
\end{description}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les temps de parcours entre Paris et Marseille, selon l'itinéraire choisi.
		 
Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la durée du trajet pour se rendre de Paris à Marseille selon l'itinéraire choisi.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps en heures& 11&&& 14 \\ \hline
Probabilité&&&& 0,24 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Calculer l'espérance de cette loi en heures et en donner une interprétation (la conversion en heure minute seconde n'est pas attendue). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} } \index{STATISTIQUES!c@Ajustement d'un nuage de points} 

 
\medskip

\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne l'évolution, par période de cinq ans, de la population globale des deux Allemagnes (R. F. A. et R. D. A.) de 1958 à 1973.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année & 1958 & 1963 & 1968 & 1973 \\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$ \; $1 \leqslant  i \leqslant 4$ & 1 & 2 & 3 & 4  \\ \hline
Population des deux Allemagnes $y_{i}$ en millions d'habitants $1 \leqslant  i \leqslant 4$& 71,5 &74,4 &77 &78,8\\ \hline
\multicolumn{5}{r}{\scriptsize{\textsf{Source : INSEE}}}
\end{tabularx} 
 
\medskip

Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous : 


\medskip


\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(5,14)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,tickcolor=darkgray,tickwidth=0.25pt, xticksize=-2pt 2pt, yticksize=-2pt 5,Oy=69, Dy=2 ](0,0)(5,14)
\psdots(1,2.5)(2,5.4)(3,8)(4,9.8)
\rput[rt](5,-1){\footnotesize {$x_{i}$ : rang de l'année}}
\rput[l](0.1,14){\psframebox*{\footnotesize {$y_{i}$: population (en millions)}}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'allure de ce nuage suggère un ajustement affine.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer, en utilisant une calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). 
\item  En 1993, la population globale de l'Allemagne réunifiée s'élevait à 81~millions d'habitants. 

L'ajustement proposé est-il adapté? 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

On étudie ci-dessous l'évolution de la population de l'Allemagne sur une période plus étendue (à partir de 1990, il s'agit de la population de l'Allemagne réunifiée). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &1958 & 1963 & 1968 & 1973 & 1993 & 1998 & 2003 & 2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$, $1 \leqslant i \leqslant 11$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 8 & 9 & 10 & 11\\ \hline 
Population de l'Allemagne $y_{i}$ en millions d'habitants  $1 \leqslant i \leqslant 11$ &71,5 & 74,4 & 77 & 78,8 & 81 & 82,1 & 82,5 & 82,2\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\scriptsize{\textsf{Source : INSEE}}}
\end{tabularx}

\medskip 

Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(12,14)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,tickcolor=darkgray,tickwidth=0.25pt, xticksize=-2pt 2pt, yticksize=-2pt 12,Oy=69, Dy=2 ](0,0)(12,14)
\psdots(1,2.5)(2,5.4)(3,8)(4,9.8)(8,12)(9,13.1)(10,13.5)(11,13.2)
\rput[rt](12,-1){\footnotesize {$x_{i}$ : rang de l'année}}
\rput[l](0.15,14){\psframebox*{\footnotesize {$y_{i}$: population (en millions)}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Au vu de l'allure du nuage, un ajustement logarithmique semble plus approprié.

\medskip
 
Pour cela on pose $z_{i} = \e^{\frac{y_{i}}{100}}$, pour $1 \leqslant i \leqslant 11$.
 
\begin{enumerate}
\item Recopier sur la copie et compléter la dernière ligne du tableau ci-dessous (les résultats seront arrondis au centième).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &1958 &1963 &1968 &1973 &1993 &1998 & 2003 &2008 \\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$, $1 \leqslant i \leqslant 11$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 8 & 9 & 10 & 11\\ \hline
$z_{i} = e^{\frac{y_{i}}{100}}$ (arrondi au centième) $1~\leqslant~i~\leqslant~11$ & & & & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item En déduire, en utilisant la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera la réponse sous la forme $z = ax + b$, les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis au centième. 
\item En déduire que l'ajustement logarithmique recherché est donné par l'équation $y = 100 \ln (0,02x + 2,07)$.
\item  \`A l'aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation de la population de l'Allemagne en 2013. 
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\sc{\bf{exercice 2}}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} } \index{z@SP\'ECIALIT\'E!c@Graphes} 

 
On considère un espace de jeu réservé à des enfants.
 
Les enfants peuvent se déplacer sur cinq plates-formes notées A, B, C, D et E. Ces plates-formes sont reliées entre elles par un certain nombre de rampes, comme indiqué sur le schéma ci-dessous: 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=3.5mm}
\begin{pspicture}(0,0)(25,17)
% base A
\psset{fillstyle=solid,linewidth=1pt}
\pspolygon(0,0)(16,0)(16,.5)(0,.5)
\pspolygon(0,0)(16,0)(16,.5)(0,.5)
\pspolygon(16,0)(25,9)(25,9.5)(16,.5)
\pspolygon(0,0.5)(16,.5)(25,9.5)(9,9.5)
% bloc D
\pspolygon(7,5.5)(12.5,5.5)(12.5,13.5)(7,13.5)
\pspolygon(12.5,5.5)(16,9)(16,17)(12.5,13.5)
\pspolygon(7,13.5)(12.5,13.5)(16,17)(10.5,17)
% bloc C
\pspolygon(1.5,2)(6.5,2)(6.5,7)(1.5,7)
\pspolygon(6.5,2)(10,5.5)(10,10.5)(6.5,7)
\pspolygon(1.5,7)(6.5,7)(10,10.5)(5,10.5)
% bloc B
\pspolygon(8.5,3.5)(13.5,3.5)(13.5,6)(8.5,6)
\pspolygon(13.5,3.5)(18.5,8.5)(18.5,11)(13.5,6)
\pspolygon(8.5,6)(13.5,6)(18.5,11)(13.5,11)
% bloc E
\pspolygon(18.5,5.5)(21,5.5)(21,7)(18.5,7)
\pspolygon(21,5.5)(25,9.5)(25,11)(21,7)
\pspolygon(18.5,7)(21,7)(25,11)(22.5,11)
% rampes
% A-C
\pspolygon(2.5,1)(3,1)(4.5,7)(4,7)
% C-D
\pspolygon(7,9.5)(7.5,9.5)(8.5,13.5)(8,13.5)
% C-B
\pspolygon(9.4,9.9)(9,9.5)(12.1,8.1)(12.5,8.5)
% A-D
\pspolygon(9,2)(9.5,2)(11.5,13.5)(11,13.5)
% A-B
\pspolygon(17,5)(15,7.5)(15.4,7.9)(17.4,5.4)
% D-B
\pspolygon(13,14)(15.5,9.5)(15.9,9.9)(13.4,14.4)
% E-B
\pspolygon(17.5,10)(20,7.5)(20.4,7.9)(17.9,10.4)
% E-D
\pspolygon(15,16)(22,9.5)(22.4,9.9)(15.4,16.4)
% E-A
\pspolygon(19.5,7)(20,7)(19.5,5)(19,5)
\rput(15.5,1.5){A}\rput(14,8.5){B} \rput(5.5,9){C} \rput(11.5,15.5){D} \rput(23.5,10.5){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X m{5cm}@{}}
On représente cet espace de jeu par le graphe G ci-contre : 

Une plate-fonne est représentée par un sommet et une rampe est représentée par une arête.
&
{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(0,0)(4.5,4.5)
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.5](1.6,0)(2,2.1)(0,1.7)(1.4,4)(4,1.3)
\uput[d](1.6,0){A}
\uput[ur](2,2.1){B} 
\uput[l](0,1.7){C} 
\uput[u](1.4,4){D} 
\uput[r](4,1.3){E}
\psline(1.6,0)(2,2.1)(0,1.7)(1.4,4)(4,1.3)(1.6,0)(1.4,4)(0,1.7)(1.6,0)
\psline(1.4,4)(2,2.1)(4,1.3) 
\end{pspicture}}
\end{tabularx}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner un sous-graphe complet d'ordre 4 du graphe G. 
\item En déduire un encadrement du nombre chromatique du graphe G, Justifier la réponse.
\item Proposer une coloration du graphe G en expliquant la méthode utilisée. 
\item En déduire la valeur du nombre chromatique du graphe G.
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce graphe est-il connexe? Est-il complet? Justifier les réponses. 
\item  Ce graphe contient-il une chaine eulérienne? Justifier la réponse. 
\item  Si on rajoute une arête à ce graphe, quels sommets peut-on alors relier pour que le graphe obtenu contienne un cycle eulérien ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On décide de peindre les surfaces des cinq plates-formes en attribuant des couleurs différentes à deux plates-formes reliées par une rampe. 

Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaire ? Justifier la réponse.
\item On propose aux enfants le jeu suivant : il s'agit de partir de la plateforme C et de rejoindre la plateforme E en utilisant toutes les rampes, et sans passer deux fois par la même rampe.

Proposer un chemin remplissant les conditions exposées ci-dessus. 
\item Pour faciliter le déplacement des enfants dans cet espace de jeu, on décide d'installer une nouvelle rampe. Où peut-on placer cette rampe pour obtenir l'existence d'un chemin qui, partant d'une plate-fonne donnée, emprunte une et une seule fois chaque rampe pour revenir à la plate-fonne initiale ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}



 \bigskip 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\sc{\bf{exercice 3}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!e@Applications à l'économie} 

 
\medskip

\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On considère la fonction $A$ définie sur l'intervalle $[1 ; + \infty[$ par  $A(x) = \dfrac{4}{1 - \e^{-0,039x}}$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $A(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
\item On admet que la fonction $A$ est dérivable sur $[1 ; + \infty[$ et on note $A'$ sa fonction dérivée sur cet intervalle. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $[1 ; + \infty[$ on a  $A'(x) = \dfrac{-0,156\e^{-0,039x}}{\left(1 - \e^{-0,039x} \right)^2}$. 

\item Justifier que $A'(x) < 0$ pour tout $x$ appartenant à $[1 ; + \infty[$.
 
Dresser le tableau de variations de $A$ sur $[1 ; + \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Un particulier souhaite réaliser auprès d'une banque un emprunt d'un montant de 100~000~\euro{} à un taux annuel fixé.
 
On admet que, si l'on réalise cet emprunt sur une durée de $n$ années $(n \geqslant 1)$, le montant d'une annuité (somme à rembourser chaque année, pendant $n$ ans) est donné en milliers d'euros par 
 
\[A(n) = \dfrac{4}{1 - \e^{-0,039n}}\]

Pour un emprunt fait sur $n$ années $(n \geqslant 1)$, on note : 

$S(n)$ le montant total payé à la banque au bout des $n$ années (en milliers d'euros) ;

$I(n)$ le total des intérêts payés à la banque au bout des $n$ années (en milliers d'euros). 

\medskip

Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats arrondis au millième.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $A(1),~ A(10)$ et $A(20)$ et interpréter ces résultats. 
\item  Démontrer que $I(n) = \dfrac{4n}{1 - \e^{-0,039n}} 
- 100$  pour tout $n \geqslant 1$. 
\item  Recopier et compléter le tableau suivant sur votre feuille. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée de l'emprunt $n$& 10 ans& 15 ans& 20 ans\\ \hline 
Montant d'une annuité $A(n)$ & & & \\ \hline
Montant $S(n)$ des $n$ annuités payées à la banque & & &\\ \hline 
Intérêts $I(n)$ versés à la banque & & &\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  	Pour faciliter l'étude des valeurs de $A(n)$, $S(n)$ et $I(n)$, on utilise les fonctions $A$, $S$ et $I$ définies sur $[1 ; 20]$ par : 

\[A(x) = \dfrac{4}{1 - \e^{-0,039x}}\quad ; \quad 	S(x) = \dfrac{4x}{1 - \e^{-0,039x}}\quad ; \quad	I(x) = \dfrac{4x}{1 - \e^{-0,039x}} - 100.\] 
 
On a représenté respectivement en ANNEXE 1 ci-après les fonctions $A$ et $S$ par les courbes $\mathcal{C}_{A}$ et $\mathcal{C}_{S}$ sur l'intervalle $[1 ; 20]$.
 
	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer comment utiliser le graphique de l'ANNEXE 1 pour retrouver $I(10)$. 
		\item  \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Expliquer comment déterminer graphiquement sur l'ANNEXE 1 le sens de variation du montant total des intérêts à payer en fonction de la durée du remboursement de l'emprunt.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(20,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(9.75,17.4){\textsf {\textbf{\textsc{annexe 1}}}}
\rput(9.75,16.8){\emph{\`A rendre avec la copie}}
\def\f{4/(1-Euler^(-.039*x))}
\def\g{4*x/(1-Euler^(-.039*x))}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.075cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt, ticksize=-2pt 2pt, Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(-.5,-5)(20,160)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](20,0){$x$} \uput[l](0,160){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{20}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{1}{20}{\g}
\uput[u](19,8){\bleu{$\mathcal{C}_{A}$}} \uput[u](19,148){\prune{$\mathcal{C}_{S}$}} 
\end{pspicture}
\end{center}


 \bigskip 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\sc{\bf{exercice 4}}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats} } \index{ANALYSE!a@Lectures graphiques} 

 
\medskip

\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a} : \'Etude graphique}}

\medskip
 
Les courbes représentatives d'une fonction $f$ et de sa fonction dérivée $f'$ sont données ci-dessous.
 
Associer chaque courbe $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ à la fonction qu'elle représente. Justifier votre réponse. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(7,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2-2*x-3}
\def\g{x^3/3-x^2-3*x+2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-5)(7,5)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt, ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-10)(7,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](7,0){$x$} \uput[l](0,10){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=4pt  3pt, linecolor=bleu]{-2.75}{4.75}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-3.24}{5.46}{\g}
\uput[l](-2.3,7){\bleu{$\mathcal{C}_1$}} \uput[l](-3.1,-7){\prune{$\mathcal{C}_2$}} 
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b} : Constructions}}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Chacun des tracés sera brièvement expliqué.}

\medskip
\setdefaultenum {a.}{}{}{} 
\begin{enumerate}

\item Sur l'ANNEXE 2, construire une courbe pouvant représenter une fonction $g$ vérifiant les conditions suivantes :
 
$g$ est dérivable sur l'intervalle $[- 3 ; 3]$ et l'équation $g'(x) = 0$ admet trois solutions sur $[- 3 ; 3]$. 
\item  Sur l'ANNEXE 2, construire une courbe pouvant représenter une fonction $h$ définie et continue sur $[- 3 ; 3]$ et vérifiant les conditions suivantes : 

\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,2.4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,2.6) \psline(2,0)(2,2.6) \psline(0,1.8)(16.5,1.8)
\rput(1,2.2){$x$}\rput(2.5,2.2){$- 3$} \rput(7,2.2){$0$} \rput(11.5,2.2){2}\rput(16,2.2){3}
\rput(1,.9){$\ln [h(x)]$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{}} \rput(7,1.5){\rnode{B}{}} \rput(11.5,.3){\rnode{C}{{}}} \rput(16,1.5){\rnode{D}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item Sur l'ANNEXE 2, construire une courbe pouvant représenter une fonction $k$ définie et continue sur $[- 3 ; 3]$ et vérifiant les conditions suivantes: 

\[4 \leqslant  \int_{1}^3  k(x)\dd x \leqslant  6.\] 
\end{enumerate}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\newpage

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe 2}}}

\emph{\`A rendre avec la copie}

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-18,-7)(14,9)
\rput[l](-18,8.5){\textsf {\textbf{\textsc{partie b} : }}a.} 
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-7)(14,8)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt, ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\end{pspicture}


\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-18,-7)(14,9)
\rput[l](-18,8.5){\textsf {\textbf{\textsc{partie b} : }}b.} 
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-7)(14,8)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt, ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\end{pspicture}


\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-18,-7)(14,9)
\rput[l](-18,8.5){\textsf {\textbf{\textsc{partie b} : }}c.} 
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-7)(14,8)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt, ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\end{pspicture}

\end{center}


\newpage

\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\setdefaultenum {I - }{}{}{}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT 2010}}

\bigskip

{\Large \textsc{série es (obligatoire et spécialité) : index thématique}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2cm}{2cm}
\vspace{\stretch{1}}

\hrulefill

\begin{enumerate}
  \item ANALYSE
       \begin{itemize}
    \item[] Lectures graphiques \dotfill  \hyperpage{16}, \hyperpage{69}
    \item[] Fonction logarithme I \dotfill  \hyperpage{48}, \hyperpage{55}
    \item[] Fonction logarithme II (avec intégrale) \dotfill  
		\hyperpage{3}, \hyperpage{28}, \hyperpage{59}, 
		\hyperpage{63}
    \item[] Fonction exponentielle I \dotfill  \hyperpage{9}, \hyperpage{37}, 
		\hyperpage{51}, \hyperpage{62}
    \item[] Fonction exponentielle II (avec intégrale) \dotfill  
		\hyperpage{22}, \hyperpage{45}, \hyperpage{47}
    \item[] Applications à l'économie \dotfill  
		\hyperpage{13}, \hyperpage{20}, \hyperpage{32}, 
		\hyperpage{67}
    \item[] Q.C.M \dotfill  \hyperpage{1}, \hyperpage{7}, \hyperpage{13}, 
		\hyperpage{19}, \hyperpage{23}, \hyperpage{26}, 
		\hyperpage{35}, \hyperpage{41}, \hyperpage{56}
\end{itemize}
  \item PROBABILIT\'ES
       \begin{itemize}
    \item[] Probabilités conditionnelles, Probabilités totales \dotfill  
		\hyperpage{30}, \hyperpage{35}, \hyperpage{61}
    \item[] Variables aléatoires discrètes, espérance mathématique \dotfill  
		\hyperpage{2}, \hyperpage{11}, \hyperpage{28}, 
		\hyperpage{41}, \hyperpage{64}
    \item[] Loi binomiale \dotfill  \hyperpage{9}, \hyperpage{17}, 
		\hyperpage{21}, \hyperpage{54}, \hyperpage{57}
    \item[] Q.C.M. Probabilités \dotfill  \hyperpage{47}
\end{itemize}
  \item Q.C.M. Divers \dotfill  \hyperpage{30}
  \item STATISTIQUES
       \begin{itemize}
    \item[] Ajustement affine d'un nuage de points \dotfill  \hyperpage{26}, 
		\hyperpage{49}, \hyperpage{52}
    \item[] Ajustement exponentiel d'un nuage de points \dotfill  \hyperpage{4}, 
		\hyperpage{6}, \hyperpage{32}, \hyperpage{39}, 
		\hyperpage{44}, \hyperpage{58}, \hyperpage{60}
    \item[] Ajustement d'un nuage de points \dotfill  \hyperpage{11}, 
		\hyperpage{21}, \hyperpage{65}
\end{itemize}
  \item SP\'ECIALIT\'E
       \begin{itemize}
    \item[] Fonctions de deux variables \dotfill   \hyperpage{31}
    \item[] Graphes \dotfill   \hyperpage{66}
    \item[] Graphes probabilistes \dotfill   \hyperpage{4}, \hyperpage{18}, 
		\hyperpage{42}, \hyperpage{50}, \hyperpage{57}
    \item[] Suites \dotfill   \hyperpage{27}, \hyperpage{53}
    \item[] Q.C.M \dotfill   \hyperpage{8}, \hyperpage{24}, \hyperpage{36}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\hrulefill
\vspace{\stretch{2}}
\end{ModifMarges}

	\end{sffamily}
	
 \end{document}
