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\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture}(17,4.5)
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\vspace{\stretch{2}}

\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales d'exercices regroupés par thème}}}
 
\vspace{\stretch{1}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{obligatoire et spécialité}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
 \hrulefill


\large{
Ce document, rassemble l'ensemble des exercices, classés par thèmes, des sujets du baccalauréat de la série ES de la session 2015. De par la nature même de l'épreuve, les exercices peuvent recouvrir plusieurs thèmes.

\medskip

Les exercices sont regroupés sous trois rubriques :

\begin{itemize}
	\item Analyse
	\item Probabilités
	\item Spécialité
\end{itemize}
}
\medskip

\hrulefill

\vspace{\stretch{1}}
\begin{center}
\Large{\bf {\textsf {Les exercices proposés sont établis à partir des sujets mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}}
\end{center}
}
\end{titlepage}


\pagenumbering{roman}
\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\Large \textsf{\textsc{{sommaire des exercices de la session 2015}}}}

\vspace{1cm}
\hrulefill
}

\textsf{\tableofcontents}

\hrulefill

\vspace{1cm}

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}}
  
\newpage

\pagenumbering{arabic}

 \lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat es session 2015}}}}
 \rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{\leftmark}}} 
 \lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{\rightmark}}}  
 \cfoot{\scriptsize{\textsf{-~\thepage{}~-}}}                                                     
\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}

\section{ANALYSE}  
\subsection{SUITES} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2015 (3)}} 

 \index{Amérique du Nord 2015}
Dans une réserve naturelle, on étudie l'évolution de la population d'une race de singes en voie d'extinction à cause d'une maladie.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 \% chaque année.

Au 1\up{er} janvier 2004, la population était estimée à \np{25000} singes.

À l'aide d'une suite, on modélise la population au 1\up{er} janvier de chaque année. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ de la suite représente le nombre de singes au 1\up{er} janvier de l'année $2004+n$. On a ainsi $u_0=\np{25000}$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer l'effectif de cette population de singes :
\begin{enumerate}
	\item au 1\up{er} janvier 2005 ;
	\item au 1\up{er} janvier 2006, en arrondissant à l'entier.
\end{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\np{25000} \times 0,85^n$.
\item Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l'aide d'un algorithme, au bout de combien d'années après le 1\up{er} janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à \np{5000}.

Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l'algorithme ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.6\linewidth}{llX}
L1 : & Variables  	&	$u$ un réel, $n$ un entier \\
L2 : &	Initialisation 				&	$u$ prend la valeur \np{25000} \\
L3 : & & $n$ prend la valeur 0 \\
L4 : & Traitement &	Tant que \dotfill faire \\
L5 : & & \hspace{1em} $u$ prend la valeur \dotfill \\
L6 : & &\hspace{1em}  $n$ prend la valeur \dotfill \\
L7 : & & Fin Tant que \\
L8 : & Sortie &	Afficher $n$ \\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Montrer que la valeur $n$ affichée après l'exécution de l'algorithme est 10.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


Au 1\up{er} janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que \np{5000} individus. La maladie prenant de l'ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu'il se produit 400 naissances.

On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l'aide d'une nouvelle suite. Pour tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ de la suite représente le nombre de singes au 1\up{er} janvier de l'année $2014+n$. On a ainsi $v_0=\np{5000}$.

\begin{enumerate}
	\item 
			\begin{enumerate}
				\item Calculer $v_1$ et $v_2$.
				\item justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1}=0,75 \times v_n + 400$.
			\end{enumerate}
	\item On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=v_n-\np{1600}$.
			\begin{enumerate}
				\item Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $0,75$. Préciser la valeur de $w_0$.
				\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
				\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=\np{1600} + \np{3400} \times 0,75^n$.
				\item Calculer la limite de la suite $(v_n)$ et interpréter ce résultat.
			\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Amérique du Sud 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2015 (3 obligatoire)}} 

 \index{Amérique du Sud 2015}
Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l'hebdomadaire littéraire \og La Lecture \fg. Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et elle demande ou non l'avis du bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire \og La Lecture \fg. 

Son souhait de demander un avis change d'une semaine sur l'autre selon le plaisir qu'elle a eu à lire le livre et selon la pertinence du conseil donné par le bibliothécaire la semaine précédente. 

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut $0,1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis la $n$-ième semaine. On a ainsi $a_1 = 0,1$.

On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a : $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $a_2$ que Claudine demande un avis la deuxième semaine.
\item Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on définit la suite 
$\left(v_n\right)$ par : $v_n = a_n - 0,8$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme $v_1$.
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a : $a_n = 0,8 - 0,7 \times  0,5^{n-1}$.		
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l X|}\hline
\textsc{\textsf{Variables :}} &$A$ est un réel\\
 			& $N$ est un entier naturel\\
			& $L$ est un réel strictement compris entre $0,1$ et $0,8$\\ \hline
\textsc{\textsf{Initialisation :}} & $A$ prend la valeur $0,1$\\
			& $N$ prend la valeur 1\\ \hline
\textsc{\textsf{Traitement :}} & Tant que $A \leqslant L$\\
			& \hspace{1em}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
			& \hspace{1em}$A$ prend la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\ 
			& Fin du Tant que\\\hline
\textsc{\textsf{Sortie :}} & Afficher $N$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur $L = 0,7$, recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-5}
Valeur de $N$& 1 &2& \ldots&\\\cline{1-3}\cline{5-5} 
Valeur de $A$& 0,1&&\ldots&\\\cline{1-3}\cline{5-5}
Condition $A \leqslant L$& vraie&&\ldots&\\\cline{1-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire l'affichage de $N$ obtenu en sortie d'algorithme quand la valeur de $L$ est 0,7.
		\item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment on peut interpréter le nombre $N$ obtenu en sortie de l'algorithme quand le nombre $L$ est compris strictement entre 0,1 et 0,8.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à 0,799.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2015 (3)}} 

 \index{Antilles Guyane 2015}
En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année, l'opérateur perd 10\,\% de ses clients, mais regagne dans le même temps \np{60000} nouveaux clients.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne l'algorithme ci-dessous. Expliquer ce que l'on obtient avec cet algorithme.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline
\textsc{\textsf{variables :}}	& $k$, NbClients\\
\textsc{\textsf{traitement :}}	&Affecter à $k$ la valeur $0$\\
						&Affecter à NbClients la valeur \np{1000000}\\
						&Tant que $k < 8$\\
						&\hspace{1em}\begin{tabular}{|l}
								Affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\
								Affecter à NbClients la valeur $0,9 \times \text{NbClients} +\np{60000}$\\
							 	Afficher NbClients\\
								\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec toutes les valeurs affichées pour $k$ de
$0$ jusqu'à $5$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$k$			&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
NbClients	&	&	&	&	&	&\\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
	\end{enumerate}
\item  En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par :\[\left\{\begin{array}{l c l}
U_0& =& \np{1000}\\
U_{n+1}& =& 0,9U_n + 60.
\end{array}\right.\]
Le terme $U_n$ donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année $2010 + n$.

Pour étudier la suite $\left(U_n\right)$, on considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = U_n - 600$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique de raison 0,9.
		\item  Déterminer l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
		\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = 400 \times  0,9^n + 600$.
		\item  Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte
de ce problème.
	\end{enumerate}
\item À la suite d'une campagne publicitaire conduite en 2013, l'opérateur de téléphonie observe une modification du comportement de ses clients.
	
Chaque année à compter de l'année 2014, l'opérateur ne perd plus que 8\,\% de ses clients et regagne \np{100000} nouveaux clients.
	
On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à \np{860000}.
	
En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer le nombre d'années nécessaire pour que l'opérateur retrouve au moins un million de clients.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2015 (3)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2015}
Un couple fait un placement au taux annuel de 2\,\% dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de \np{18000}~euros. 

Le couple a placé le montant de \np{1000}~euros à l'ouverture le 1\up{er} janvier 2010 puis, tous les ans à chaque 1\up{er} janvier, verse \np{2400}~euros. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le capital présent sur le compte le 1\up{er} janvier 2011 après le versement annuel. 
\item  On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d'années. 

On donne ci-dessous trois algorithmes :

\medskip

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&& \textbf{Variables :} &&\textbf{Variables :} \\
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}\\
Affecter \np{1000} à $U$

Pour $i$ de 1 à $N$ faire
\begin{itemize}
\item[] Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$
\end{itemize}

Fin pour

Afficher $U$
&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire
\begin{itemize}
\item[]Affecter \np{1000} à $U$
\item[] Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$
\end{itemize}

Fin pour

Afficher $U$
&&Affecter \np{1000} à $U$

Pour $i$ de 1 à $N$ faire
\begin{itemize}
\item[] Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$
\item[] Affecter $N+1$ à $N$
\end{itemize}

Fin pour

Afficher $U$\\ 
\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}} &\multicolumn{1}{c}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}}

	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur 5 de $N$ saisie dans l'algorithme 1, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième). 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|p{2cm}}\hline
valeur de $i$&     xxx&   1&   \ldots \\ \hline  
valeur de   $U$ & \np{1000}&&\ldots  \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center} 
		\item  Pour la valeur 5 de $N$ saisie, quel affichage obtient-on en sortie de cet algorithme ? 

Comment s'interprète cet affichage ? 
		\item  En quoi les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas la réponse attendue ? 
	\end{enumerate}
\item À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2\,\%. 

Au premier janvier de quelle année l'objectif de \np{18000}~euros est-il atteint ? 

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Asie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2015 (2 obligatoire)}} 

 \index{Asie 2015}
Valentine place un capital $c_0$ dans une banque le 1\up{er} janvier 2014 au taux annuel de 2\,\%. À la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s'élèvent à 25~\euro{} par an.

On note $c_n$ la valeur du capital au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On considère l'algorithme ci-dessous :


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\textsc{\textsf{initialisation}}\\
Affecter à $N$ la valeur $0$\\
\textsc{\textsf{traitement}}\\
Saisir une valeur pour $C$\\
\hspace{1em}Tant que $C < \np{2000}$ faire\\
\hspace{2em}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
\hspace{2em}Affecter à $C$ la valeur $1,02C - 25$\\
\hspace{1em}Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{sortie}}\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On saisit la valeur \np{1900} pour $C$. Pour cette valeur de $C$, recopier le tableau ci-dessous et le compléter, en suivant pas à pas l'algorithme précédent et en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $N$&0&&\\ \hline
Valeur de $C$&\np{1900}&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Quel est le résultat affiché par l'algorithme ? Dans le contexte de l'exercice, interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Que se passerait-il si on affectait la valeur \np{1250} à $C$ ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Valentine a placé \np{1900} \euro{} à la banque au 1\up{er} janvier 2014. On a donc $c_0 = \np{1900}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = 1,02c_n - 25$.
\item  Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $u_n = c_n - \np{1250}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Soit $n$ un nombre entier naturel ; exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		
En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_n = 650 \times 1,02^n + \np{1250}$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.
\item Déterminer, par la méthode de votre choix, le nombre d'années nécessaires pour que la valeur du capital dépasse \np{2100} \euro.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2015 (2 obligatoire)}} 

 \index{Centres étrangers 2015}
Depuis le 1\up{er} janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicycl'Aime est chargée de l'exploitation et de l'entretien du parc de vélos.

La commune disposait de 200 vélos au 1\up{er} janvier 2015.

La société estime que, chaque année, 15 \% des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.

On modélise cette situation par une suite $(u_n)$ où $u_n$ représente le nombre de vélos de cette commune au 1\up{er} janvier de l'année $2015+n$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer le nombre de vélos au 1\up{er} janvier 2016.
	\item Justifier que la suite$(u_n)$ est définie par $u_0=200$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=0,85u_n+42$.
	\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|lX|}\hline
\textsc{\textsf{variables :}}&$N$ entier\\
 & $U$ réel\\
\textsc{\textsf{initialisation :}}	&	$N$ prend la valeur 0 \\
											&	$U$ prend la valeur 200 \\
\textsc{\textsf{traitement :}}&Tant que $N<4$\\
&\hspace{1cm} $U$ prend la valeur $0,85 \times U + 42$ \\
&\hspace{1cm} $N$ prend la valeur $N + 1$ \\
&Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{sortie :}}&Afficher $U$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
		\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on à l'arrêt de l'algorithme ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$U$	& 200 & & & & \\ \hline
$N$	& 0 & 1	& 2	& 3	& 4 \\ \hline
Condition $N < 4$ &	Vrai & & & & \\ \hline
\end{tabularx}
					\medskip

\item Interpréter la valeur du nombre $U$ obtenue à l'issue de l'exécution de cet algorithme.
		\end{enumerate}

\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ par $v_n=u_n-280$.
			\begin{enumerate}
				\item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0=-80$.
				\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
				\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-80 \times 0,85^n+280$.
				\item Calculer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter ce résultat.
			\end{enumerate}
	\item La société Bicycl'Aime facture chaque année à la commune 300 \euro{} par vélo en circulation au 1\up{er} janvier.
	
	Déterminer le coût total pour la période du 1\up{er} janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite $( u_n )$ étant exprimé avec un nombre entier.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2015 (2 obligatoire)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2015}
Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuse  plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n = \np{2000} \times  1,008^{n-1}$ où $u_n$ représente le coût en euros du forage de la $n$-ième dizaine de mètres.

On a ainsi $u_1 = \np{2000}$ et $u_2 = \np{2016}$, c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte \np{2000} euros, et celui des dix mètres suivants coûte \np{2016} euros.


\emph{Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_3$ puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul :
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la $(n + 1)$-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la $n$-ième dizaine de mètres.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\textsc{\textsf{initialisation}}\\
$u$ prend la valeur \np{2000}\\
$S$ prend la valeur \np{2000}\\
\textsc{\textsf{traitement}}\\
Saisir $n$\\
Pour $i$ allant de 2 à $n$\\ 
\hspace{1em}$u$ prend la valeur $u \times 1,008$\\
\hspace{1em}$S$ prend la valeur $S + u$\\
Fin Pour\\
\textsc{\textsf{sortie}}\\
Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La valeur de $n$ saisie est 5.
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de $n$.

Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que
nécessaire).

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $i$& 			&2	&\\ \hline
Valeur de $u$&\np{2000} &	&\\ \hline
Valeur de $S$&\np{2000}	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item Quelle est la valeur de $S$ affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
	\end{enumerate}
\item On  note $S_n = u_1 + u_2 + \cdots  + u_n$  la somme des $n$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$,  $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que : \[S_n = - \np{250000} + \np{250000} \times  1,008^n.\]
	
Le budget consenti pour le forage du premier puits est de \np{125000} euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation \ldots).
		\item  Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015 (3 obligatoire)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015}
Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2014 un abonnement annuel pour ses spectacles.

L'évolution du nombre d'abonnés d'une année à la suivante est modélisée par le directeur de l'opéra qui prévoit que 75\,\% des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et qu'il y aura chaque année 300 nouveaux abonnés.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année $(2014 + n)$.

Pour l'année 2014, il y a 500 abonnés, autrement dit $u_0 = 500$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'entier.
\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1} = 0,75u_n + 300$.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par :  pour tout entier naturel $n$, $ v_n = u_n - \np{1200}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,75 et préciser $v_0$.
		\item En déduire alors que pour tout entier naturel $n$, $u_n = - 700 \times 0,75^n + \np{1200}$.
		\item Calculer $u_{10}$ (arrondir à l'entier). Donner une interprétation concrète de la valeur trouvée.
	\end{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnements sera supérieur à \np{1190}.
	
On propose trois algorithmes :
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{Algorithme 1}&&\textbf{Algorithme 2}\\
Affecter à $n$ la valeur 0&&Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 500&&Affecter à $U$ la valeur 500\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\item [] Affecter à $U$ la valeur $- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$
\end{itemize}
Fin Tant que &&Tant que $U \leqslant  \np{1190}$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $U$ la valeur $- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\end{itemize}Fin Tant que\\
Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$&&Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$\\
Afficher $n$&&Afficher $n$\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Algorithme 3}\\
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 500\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\item[] Affecter à $U$ la valeur $- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$
\end{itemize}
Fin Tant que \\
Afficher $n$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Liban 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2015 (4 obligatoire)}} 

 \index{Liban 2015}
Une retenue d'eau artificielle contient $\np{100 000}$ $\mathrm{m}^3$ d'eau le 1\up{er} juillet 2013 au matin.

La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4\,\% du volume total de l'eau par jour. De
plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue $500$ $\mathrm{m}^3$ pour l'irrigation des cultures aux alentours.

Cette situation peut être modélisée par une suite $\left(V_n\right)$.

Le premier juillet 2013 au matin, le volume d'eau en $\mathrm{m}^3$ est $V_0 =  \np{100000}$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur à 0, $V_n$ désigne le volume d'eau en $\mathrm{m}^3$ au matin du $n$-ième jour qui suit le 1\up{er} juillet 2013.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le volume d'eau $V_1$ au matin du 2 juillet 2013 est égal à \np{95500} $\mathrm{m}^3$.
		\item Déterminer le volume d'eau $V_2$, au matin du 3 juillet 2013.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} =  0,96V_n -  500$.
	\end{enumerate}
\item Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer
l'algorithme ci-dessous. 

Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il
donne le résultat attendu.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|lX|}\hline
L1&\textsc{\textsf{variables :}}&$V$ est un nombre réel\\
L2&&$N$ est un entier naturel\\
L3&\textsc{\textsf{traitement :}}&Affecter à $V$ la valeur \np{100000}\\
L4&&Affecter à $N$ la valeur 0\\
L5&&Tant que $V > 0$\\
L6&&\hspace{1cm} Affecter à $N$ la valeur \ldots\\
L7&&\hspace{1cm} Affecter à $V$ la valeur \ldots\\
L8&&Fin Tant que\\
L9&\textsc{\textsf{sortie :}}&Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n = V_n + \np{12500}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$. Préciser son premier terme.
		\item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $V_n =  \np{112500} \times  0,96^n  -  \np{12500}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $\np{112500} \times  0,96^n  -  \np{12500} \leqslant 0$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2015 (2 obligatoire)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2015}
Dans une ville, un service périscolaire comptabilise 150 élèves inscrits en septembre 2014. 

On admet que, chaque année, 80\,\% des élèves inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 40 nouveaux élèves inscrits. La capacité d'accueil du périscolaire est de 190 élèves maximum.

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre de l'année $2014 + n$, avec $n$ un nombre entier naturel.

On a donc $u_0 = 150$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au périscolaire en septembre 2015.
\item Pour tout entier naturel $n$, justifier que $u_{n+1} = 0,8u_n + 40$.
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\textsc{\textsf{Initialisation}}\\
Affecter à $n$ la valeur $0$\\
Affecter à $U$ la valeur $150$\\
\textsc{\textsf{Traitement}}\\
Tant que $U \leqslant 190$\\
\hspace{0.5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\hspace{0.5cm}$U$ prend la valeur $0,8U + 40$\\
Fin tant que\\
\textsc{\textsf{Sortie}}

Afficher le nombre $2014 + n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les
résultats au centième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $n$				&0 		&1 	&2	&\\ \hline
Valeur de $U$ 				&150	&	&	&\\ \hline
Condition $U \leqslant 190$	& vraie	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire l'affichage obtenu en sortie de l'algorithme et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 200$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Pour tout entier naturel $n$, démontrer que $u_n = 200 - 50 \times 0,8^n$.
		\item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que : \[200 - 50 \times 0,8^n > 190.\]		
		\item À partir de quelle année la directrice du périscolaire sera-t-elle obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie mars 2016]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie mars 2016 (2 obligatoire)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie mars 2016}
Un club de basketball a suivi sur plusieurs années l'évolution des abonnements annuels de ses supporters. Partant de ces observations, on décide de modéliser le nombre annuel d'abonnés sur la base d'un taux de réabonnement de 80\,\% d'une année sur l'autre auxquels s'ajoutent 300 nouveaux abonnements.

On se propose d'étudier l'évolution du nombre annuel des abonnés du club de basketball à l'aide de ce modèle.

Le nombre d'abonnés au club à la fin de l'année 2014 était \np{1128}.

On note $a_n$, le nombre d'abonnés à la fin de l'année $2014 + n$. On a donc $a_0 = \np{1128}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer le nombre d'abonnés à la fin de l'année 2015.
\item Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,8a_n + 300$.
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $u_n = \np{1500} - a_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $a_n = \np{1500} - 372 \times 0,8^n$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre algébriquement l'inéquation $a_n > \np{1450}$ et interpréter le résultat obtenu.
\item La municipalité dont dépend le club de basketball prévoit de construire une nouvelle salle de sport pour accueillir les rencontres du club.
	
On souhaite pouvoir accueillir tous les abonnés du club auxquels s'ajouteraient 500 spectateurs occasionnels non abonnés au club. 
	
En tenant compte des résultats précédents, combien de places de spectateurs au minimum doit-on prévoir dans cette salle ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2015 (3)}} 

 \index{Polynésie 2015}
Les techniciens d'un aquarium souhaitent régler le distributeur automatique d'un produit visant à améliorer la qualité de l'eau dans un bassin. La concentration recommandée du produit, exprimée en $\mathrm{mg.l}^{-1}$ (milligramme par litre), doit être comprise entre $140~\mathrm{mg.l}^{-1}$ et $180~\mathrm{mg.l}^{-1}$.

Au début du test, la concentration du produit dans ce bassin est de $160~\mathrm{mg.l}^{-1}$.

On estime que la concentration du produit baisse d'environ 10\,\% par semaine.

Afin de respecter les recommandations portant sur la concentration du produit, les techniciens envisagent de régler le distributeur automatique de telle sorte qu'il déverse chaque semaine une certaine quantité de produit.

Les techniciens cherchent à déterminer cette quantité de façon à ce que :

\begin{itemize}
\item  la concentration du produit soit conforme aux recommandations sans intervention de leur part, pendant une durée de 6 semaines au moins ;
\item  la quantité de produit consommée soit minimale.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de $10~\mathrm{mg.l}^{-1}$.
 
On s'intéresse à l'évolution de la concentration chaque semaine. La situation peut être modélisée par une suite $\left(C_n\right)$, le terme $C_n$ en donnant une estimation de la concentration du produit, en $\mathrm{mg.l}^{-1}$, au début de la $n$-ième semaine. On a $C_0 = 160$.

 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $C_{n+1} = 0,9 \times  C_n + 10$.
\item  Soit la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $V_n = C_n - 100$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et que $V_0 = 60$.
		\item Exprimer $V_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,  $C_n = 0,9^n \times  60 + 100$.
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(C_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini. Justifier la réponse.

Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée.
		\item Au bout de combien de semaines la concentration devient-elle inférieure à $140~\mathrm{mg.l}^{-1}$ ?
	\end{enumerate}
\item  Le réglage envisagé du distributeur répond-il aux attentes ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le distributeur automatique est telle que la concentration augmente de $12~\mathrm{mg.l}^{-1}$.

Que penser de ce réglage au regard des deux conditions fixées par les techniciens ?


 \newpage 

\subsubsection[Pondichéry 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Pondichéry 2015 (2 obligatoire)}} 

 \index{Pondichéry 2015}
Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d'abeilles qu'il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8\,\% des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textsc{\textsf{variables :}}& $n$ est un nombre entier naturel\\
&$C$ est un nombre réel\\
\textsc{\textsf{traitement :}}& Affecter à $C$ la valeur 300\\
	&Affecter à $n$ la valeur 0\\
	&Tant que $C < 400$ faire\\
&\hspace{1em}\begin{tabular}{|l}
$C$ prend la valeur $C - C \times 0,08 + 50$\\
$n$ prend la valeur $n+1$
\end{tabular}\\
	&Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{sortie :}}& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
\textsf{Test} $C < 400$& $\times\times\times$ &vrai&& \ldots \\ \hline
\textsf{Valeur de} $C$& 300& 326&& \ldots \\ \hline
\textsf{Valeur de} $n$& 0& 1&&\ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.
	\end{enumerate}
\item  On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite $\left(C_n\right)$ le terme $C_n$ donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année $2014 + n$. Ainsi $C_0 = 300$ est le nombre de colonies en 2014.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer pour tout entier $n$ le terme $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
		\item On considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par $V_n = 625 - C_n$.
		
Montrer que pour tout nombre entier $n$ on a $V_{n+1} = 0,92 \times V_n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $C_n = 625 - 325 \times  0,92^n$.
		\item Combien de colonies l'apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ?
	\end{enumerate}
\item L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien
d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif.
	\begin{enumerate}
		\item Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ?
		\item Donner une réponse à cette question de l'apiculteur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{FONCTION EXPONENTIELLE} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2015 (4)}} 

 \index{Amérique du Nord 2015}
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 18]$ ainsi que les tangentes au point $A$ d'abscisse 0, au point $B$ d'abscisse 5 et au point $D$ d'abscisse 10.

On sait aussi que la tangente au point $A$ passe par le point $E$ de coordonnées $(2 ; 10)$ et que la tangente au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(19,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{5*x*EXP(-x/5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(19,11)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.2,-.2)(19,11)
\uput[dl](19,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{2.2}{5*x}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{18}{25/Euler}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{3.744}{18}{5/Euler^2*(20-x)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{18}{\f}
\psdots[linecolor=prune](0,0)(2,10)(5,9.197)(10,6.767)
\uput[ur](0,0){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[dr](2,10){\prune{\footnotesize $E$}}
\uput[dr](5,9.2){\bleu{\footnotesize $B$}}
\uput[dl](10,6.7){\bleu{\footnotesize $D$}}
\uput[ur](17,2.9){\bleu{\footnotesize $\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Donner les valeurs de $f'(5)$ et de $f'(0)$.
	\item On admet que $D$ est un point d'inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat.\medskip
\end{enumerate}
	
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une entreprise s'apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ a été tracée ci-dessus.

En abscisses, $x$ représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire.

En ordonnées, $f(x)$ représente le nombre de milliers de jouets vendus le $x$-ième jour.


Ainsi, par exemple, le 10-ième jour après le début de la campagne publicitaire, l'entreprise prévoit de vendre environ \np{6800} jouets.

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 18]$ par $f(x)=5x\e^{-0,2x}$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que $f'(x)=(5-x)\e^{-0,2x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 18]$.
	\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[0 ; 18]$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0 ; 18]$.
	\item Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l'unité.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On admet que la fonction $F$ définie sur $[0 ; 18]$ par $F(x)=(-25x-125)\e^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$.
		\begin{enumerate}
			\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle \int_0^{10}{f(x) \dd x}$.
			\item En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l'unité.
		\end{enumerate}
	\item Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants :\medskip
	
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|X|}\hline
1	&	\emph{\textsf{Dériver}} \: $[(5-x)*\mathrm{exp}(-0.2*x)]$ \\ \hline
	& \multicolumn{1}{r|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $-\mathrm{exp}(-0.2*x)-\dfrac{1}{5}*\mathrm{exp}(-0.2*x)*(-x+5)$} \\ \hline
2	& \rule[-2ex]{0pt}{6ex} \emph{\textsf{Factoriser}} \: $[-\mathrm{exp}(-0.2*x)-\dfrac{1}{5}*\mathrm{exp}(-0.2*x)*(-x+5)]$ \\ \hline
	& \multicolumn{1}{r|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{x-10}{5}*\mathrm{exp}(-0.2*x)$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2015 (4)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2015}
L'évolution de la population d'une station balnéaire pour l'été 2015 a été modélisée par une fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0 ; 70]$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2+.2*x*EXP(1-.025*x)}
\psgrid[gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(8,6)
\psset{xunit=1mm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-1)(80,12)
\uput[ul](80,0){\footnotesize{nombre de jours}}
\uput[dr](0,12){\footnotesize{milliers d'habitants}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{70}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $f(x)$ désigne la population en milliers d'habitants. 

Ainsi $x = 30$ correspond au 31 juillet et $f(30)$ représente la population qu'il est prévu d'accueillir le 31 juillet.
 
On estime qu'un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d'eau par jour.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le nombre maximal d'habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l'été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. 
		\item La commune est en capacité de fournir \np{600000}~litres d'eau par jour, est-ce suffisant ? 
	\end{enumerate}
\item Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80\,\% du nombre maximal prévu. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 70]$ par $f(x) = 2 + 0,2\,x\,\e^{-0,025x+1}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(9)$ puis vérifier que la consommation d'eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de \np{324890}~litres. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f’(x) = (0,2 - 0,005 x)\e^{-0,025x+1}$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$. 
		\item Étudier le signe de $f’(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 70]$. 
		\item En déduire la date de la consommation d'eau maximale. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip 

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 70]$ par $g(x) = 55 f(x) = 110 + 11\,x\,\e^{-0,025x+1}$.

Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $g(x)$ représente alors la consommation maximale d'eau prévue ce jour là et exprimée en $\mathrm{m}^3$. 

Soit la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[0 ; 70]$ par $G(x) = 110x - (440x + \np{17600})\e^{-0,025x+1}$.

On admet que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$. 

La somme $S = g(10) + g(11) + g(12) + \cdots + g(20)$ représente la consommation maximale d'eau du 10\up{e} au 20\up{e} jour exprimée en $\mathrm{m}^3$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item En l'illustrant sur la courbe $\mathcal{C}_g$ de l'annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d'aires de la somme $S$. 
\item En déduire une valeur approximative de cette quantité d'eau consommée du 10\up{e} au 20\up{e} jour. 
\end{enumerate} 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=.6cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.8,-.5)(25,12)
\rput(12.1,11.5){ \textsf{\textbf{Annexe à l'exercice 4 à rendre avec la copie}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{110+11*x*EXP(1-.025*x)}
\psgrid[gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(25,11)
\psset{xunit=.6cm,yunit=.2mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=50]{->}(0,0)(-.8,-25)(25,550)
\uput[ul](25,0){\footnotesize{nombre de jours}}
\uput[dr](0,550){\footnotesize{consommation $\left(\mathrm{m}^3\right)$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{25}{\f}
\uput[dl](25,550){\footnotesize{\bleu $\mathcal{C}_g$}}
\end{pspicture}
\end{center}


 \newpage 

\subsubsection[Asie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2015 (3)}} 

 \index{Asie 2015}
\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 10]$ par $f(x) = x + \e^{- x + 1}$.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l@{\hspace{2cm}}X|}\hline
1	&f(x) : = x + exp(- x + 1)&\\ \cline{2-3}
	&// Interprète f					&\\
	&// Succès lors de la compilation f&\\ \cline{2-3}
	&									&x $\longmapsto$ x + exp(- x + 1) \\ \hline
2	&derive (f(x))					&\\ \cline{2-3}
	&									&- exp(-x + 1) + 1 \\ \hline
3	&solve (-exp(-x + 1) + 1 > 0) &\\ \cline{2-3}
	&									& [x > 1] \\ \hline
4	&derive (-exp(-x + 1) + 1)&\\ \cline{2-3}
	&									& exp(- x + 1)\\ \hline
\end{tabularx}
\end{ttfamily}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Étude des variations de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item En s'appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variation.
		\item En déduire que la fonction $f$ admet un minimum dont on précisera la valeur.
	\end{enumerate}
\item  Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l'outil de production utilisé, à mille objets par semaine.

Le coût de revient est modélisé par la fonction $f$ où $x$ est le nombre d'objets fabriqués exprimé en centaines d'objets et $f(x)$ le coût de revient exprimé en milliers d'euros.

\begin{enumerate}
\item Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum ?
\item Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12 \euro. On appelle marge brute pour $x$ centaines d'objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur
coût de revient.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le montant obtenu par la vente de $x$ centaines d'objets est $1,2x$ milliers d'euros.
		\item Montrer que la marge brute pour $x$ centaines d'objets, notée $g(x)$, en milliers d'euros, est donnée par : $g(x) = 0,2x - \e^{- x + 1}$.
		\item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
		\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01.
	\end{enumerate}
\item  En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets.

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2015 (3)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2015}
La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-4 ; 3]$. Les points $A$ d'abscisse $- 3$ et $B(0 ; 2$) sont sur la courbe $(\mathcal{C})$.

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe $(\mathcal{C})$ respectivement aux points $A$ et $B$, la tangente au point $A$ étant horizontale. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-5,-6)(4,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+4)*EXP(-x)-2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-5,-6)(4,22)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-6)(4,22)
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,22){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{3}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-4,18.0855)(-2,18.0855)\uput[u](-3,18){\bleu $A$} \uput[ur](0,2){\bleu $B$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-2,8)(2,-4)
\uput[r](-4,2){$(\bleu \mathcal{C})$}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Les parties  A et B sont indépendantes}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item $f'(-3)$ ;
		\item $f(0)$ et $f'(0)$.
 	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur $[-4 ; 3]$ par $f(x) = a + (x + b)\e^{- x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on va déterminer dans cette partie.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[-4 ; 3]$.
		\item À l'aide des questions 1. b. et 2. a., montrer que les nombres $a$ et $b$ vérifient le système suivant :
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
a + b&=&2\\
1 - b &=& - 3
\end{array}\right.\]
		\item Déterminer alors les valeurs des nombres $a$ et $b$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4 ; 3]$ par $f(x) = - 2 + (x + 4)\e^{- x}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout réel $x$ de $[-4 ; 3]$, $f'(x) = (- x - 3)\e^{- x}$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-4 ; 3]$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3 ; 3]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près par défaut.
\item On souhaite calculer l'aire $S$, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en justifiant, cette aire à l'aide d'une intégrale.
		\item Un logiciel de calcul formel dorme les résultats ci-dessous :
\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|lX|}\hline
1	&F(x):=-2x+(-x-5)*exp(-x)&\\ \cline{2-3}
	&// Interprète F					&\\
	&// Succès lors de la compilation F&\\ \cline{2-3}
	&\multicolumn{2}{r|}{x $\longmapsto$ -2*x+(-x-5)*exp(-x)}\\ \hline
2	&derive (F(x))					&\\ \cline{2-3}
	&\multicolumn{2}{r|}{-exp(-x)-exp(-x)*(-x-5)}\\ \hline
3	&simplifier (-exp(-x)-exp(-x)*(-x-5)) &\\ \cline{2-3}
	&\multicolumn{2}{r|}{x*exp(-x)+4*exp(-x)-2} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{ttfamily}
\end{center}		


À l'aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l'aire $S$ puis sa valeur arrondie au centième.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 

 \newpage 

\subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015 (2)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015}
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 5]$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} À l'aide d'un graphique}

\medskip

On a représenté ci-dessous la courbe $\left(C_{f'}\right)$ de la fonction dérivée $f'$ ainsi que la courbe $\left(C_{f''}\right)$ de la fonction dérivée seconde $f''$ sur l'intervalle $[0 ; 5]$.

Le point $A$ de coordonnées $(1 ; 0)$ appartient à $\left(C_{f'}\right)$ et le point $B$ de coordonnées $(2 ; 0)$ appartient à la courbe $\left(C_{f''}\right)$.

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-5.8)(5,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(5-5*x)*EXP(-x)}
\def\g{(5*x-10)*EXP(-x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.19,-5.8)(5,6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.75pt,linecolor=prune]{.35}{5}{\g}
\uput[u](0.8,0.8){\bleu $\left(C_{f'}\right)$}
\uput[d](0.8,-3.9){\prune $\left(C_{f''}\right)$}
\psdot[linecolor=bleu](1,0)\psdot[linecolor=prune](2,0)
\uput[ur](1,0){\bleu $A$}\uput[ur](2,0){\prune $B$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Justifier.
\item Déterminer sur quel(s) intervalle(s), la fonction $f$ est convexe. Justifier.
\item La courbe de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s).
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b }} Étude de la fonction}

\medskip


La fonction $f$ est définie sur $[0 ; 5]$ par $f(x) = 5x\e^{-x}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0 ; 5]$.
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0 ; 5]$ par $F(x) = (-5x - 5)\e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $[0 ; 5]$.
\item Déterminer alors la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$,  l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Liban 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2015 (2)}} 

 \index{Liban 2015}
Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 et 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[1 ; 18]$.

On note $x$ le nombre de parasols produits par jour et $f(x)$ le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la tangente $\left(T_{A} \right)$ au point $A(5 ; 55)$. Le point $B(10 ; 25)$ appartient à la tangente $\left(T_{A} \right)$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(21,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*x+5+40*EXP(1-.2*x)}
\def\g{85-6*x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(21,22)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5]{->}(0,0)(-.1,-1)(21,110)
\uput[dl](21,0){$x$}\uput[dl](0,110){$y$}\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1}{18}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{0}{12}{\g}
\uput[ur](2,85){\bleu $\mathcal{C}$}
\psdots(5,55)(10,25)
\uput[dl](5,55){\bleu $A$} \uput[dl](10,25){\bleu $B$}\uput[r](12,13){\prune $\left(T_{A} \right)$}
\end{pspicture}
\end{center}

On admet que  $f(x) = 2x + 5 + 40\e^{- 0,2x + 1}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1 ;18]$

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la valeur de $f'(5)$ en expliquant la démarche utilisée.
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1 ; 18]$.
		\item Expliquer comment retrouver la réponse obtenue dans la question 1. a.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $2 - 8\e^{- 0,2x + 1} \geqslant 0$ est équivalent à $x \geqslant 5 + 5\ln 4$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$ sur $[1 ; 18]$. Les valeurs seront arrondies au centime d'euro dans le tableau de variations.		
	\end{enumerate}			 
\item Déterminer, par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l'entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = x^2 + 5x - 200\e^{- 0,2x + 1}$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[1 ; 18]$.
		\item Déterminer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_5^{15} f(x) \dd x$.
		\item Interpréter dans le contexte de l'exercice la valeur de $\dfrac{1}{10}I$.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2015 (4)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2015}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par $f(x) = (2x - 5)\e^{- x + 4} + 20$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0 ; 10]$, $f'(x) = (- 2x + 7)\e^{- x + 4}$.
\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$. 

Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0 ; 10]$ et déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de $\alpha$.
\item On admet que la fonction $F$ définie sur $[0 ; 10]$ par $F(x) = (- 2x + 3)\e^{- x + 4} + 20x$ est une primitive de $f$ sur $[0 ; 10]$.

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$. Arrondir le résultat au millième.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une entreprise fabrique entre 0 et \np{1000} objets par semaine.

Le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise cette entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0 ; 10]$ par  $f(x) = (2x - 5)\e^{- x + 4} + 20$.

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l'unité.

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum ?

Quel est ce bénéfice maximal en euros ?
\item À partir de combien d'objets fabriqués et vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ?
\item Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie mars 2016]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie mars 2016 (4)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie mars 2016}
La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente le nombre de personnes malades (en milliers) dans un pays lors d'une épidémie en fonction du nombre $t$ de jours écoulés depuis l'apparition de la maladie.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(13,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2*EXP(-.1*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(13,6)
\psset{xunit=.2cm,yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-2)(65,60)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](65,0){$t$}\uput[dl](0,60){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{60}{\f}
\uput[ul](60,10){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer au bout de combien de jours le nombre de malades est maximal puis préciser le nombre approximatif de malades ce jour-là.
\item Estimer graphiquement le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus forte. (Expliquer rapidement la démarche utilisée)
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On modélise le nombre de malades (en milliers) en fonction du temps, à l'aide de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 60]$ par : \[f(t) = t^2\e^{- 0,1t}\]
où $t$ représente le nombre de jours écoulés depuis l'apparition de la maladie.

Pour étudier les propriétés de la fonction $f$, on a utilisé un logiciel de calcul formel qui a fourni les résultats suivants :


\begin{itemize}
\item[] $f'(t) = 0,1t(20 - t)\e^{- 0,1t}$
\item[] $f''(t) = \left(0,01t^2 - 0,4t + 2\right)\e^{- 0,1t}$
\item[] $F(t) = \left(- 10t^2 - 200t - \np{2000}\right)\e^{- 0,1t}$
\end{itemize}


où $f'$ désigne la dérivée de $f$, $f''$ désigne sa dérivée seconde et $F$ une primitive de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer le résultat : $f'(t) = 0,1t(20 - t)\e^{- 0,1t}$ qui a été fourni par le logiciel.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0 ; 60]$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0 ; 60]$.
	\end{enumerate}
\item  Le nombre moyen de malades par jour, en milliers, durant les 60 premiers jours après l'apparition de la maladie est donné par $N = \dfrac{1}{60}\displaystyle\int_0^{60}  f(t)\dd t$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de $N$.
		\item Quel est le nombre moyen de malades par jour, arrondi à la dizaine ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par le calcul que, sur l'intervalle $[0 ; 15]$, la courbe représentative de la fonction $f$ admet un unique point d'inflexion.
		
Préciser une valeur arrondie à l'unité de l'abscisse de ce point d'inflexion.
		\item Donner une interprétation concrète de cette abscisse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie septembre 2015 (4)}} 

 \index{Polynésie septembre 2015}
On considère une fonction $P$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 60]$.

On donne, ci-dessous, la courbe représentative $C$ de la fonction $P$.

\psset{unit=.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(31,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{6+(60-x)*EXP(.1*x-5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(31,18)
\psset{xunit=.25cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2]{->}(0,0)(-1.99,-0.99)(62,18)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{60}{\f}
\uput[dl](62,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,18){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[ur](28,10){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip


À partir d'une lecture graphique répondre aux questions qui suivent :

\medskip

\begin{enumerate}
\item En argumentant la réponse, donner le signe de $P'(54)$, où $P'$ est la fonction dérivée de $P$.
\item Donner un intervalle sur lequel la fonction $P$ est convexe.
\item Donner, à l'unité près, les solutions de l'équation $P(x) = 10$.
\item On note $A$ le nombre $\displaystyle\int_0^{10}  P(x)\dd x$ ; choisir l'encadrement qui convient pour $A$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$0 < A < 60$ & $60 < A < 70$ & $6 < A < 7$ & $10 < A < 11$
\end{tabularx}

\end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip
 
La fonction $P$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 60]$ par : $P(x) = 6 + (60 - x )\e^{0,1x-5}$.
 
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu les résultats suivants :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth} {|l|>{\raggedleft\arraybackslash}X|}\hline
\multicolumn{1}{|c}{\textsf{Actions}}&\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Résultats}}\\ \hline\hline
{\ttfamily définir(P(x)=6+(60-x)*exp(0.1*x-5))}	& {\ttfamily x $\mapsto$ 6+(60-x)*exp(0.1*x-5)}\\ \hline
{\ttfamily dériver(P(x),x)}						&{\ttfamily (-0.1*x+5)*exp(0.1*x-5)}\\\hline
{\ttfamily dériver(dériver(P(x),x),x)}			&{\ttfamily (-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5)}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $P'(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 60]$ où $P'$ est la fonction dérivée de $P$.
		\item En déduire les variations de la fonction $P$ sur l'intervalle $[0 ; 60]$ et vérifier que la fonction $P$ admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $P(x) = 10$ a une solution unique $x_0$ sur l'intervalle $[0 ; 40]$.
	
Donner une valeur approchée de $x_0$ à 0,1 près.
\item En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction $P$.
\end{enumerate} 


 \newpage 

\subsubsection[Pondichéry 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Pondichéry 2015 (3)}} 

 \index{Pondichéry 2015}
On s'intéresse à la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = - 2(x + 2)\e^{- x}$.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f (- 1)$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item Justifier que $f'(x) = 2(x + 1)\e^{- x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\item En déduire les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ont été représentées.

L'une de ces courbes représente la fonction $f$, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.

Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la fonction $f$.

Indiquer un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}

\begin{pspicture}(-3,-3)(7,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{violet}{.38 .1 .54}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{- 2*(x + 2)*EXP(-x)}
\def\g{2*(x + 1)*EXP(-x)}
\def\h{-2*x*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-3,-3)(7,2)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.75cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-6)(7,4)
\uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.217}{7}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=violet]{-1.603}{7}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-.852}{7}{\h}
\uput[ur](1,1.5){\violet $\mathcal{C}_1$}
\uput[dr](1,-.8){\prune $\mathcal{C}_2$}
\uput[dr](1,-2.2){\bleu $\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\end{center}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{FONCTION LOGARITHME} 

 \subsubsection[Amérique du Sud 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2015 (2)}} 

 \index{Amérique du Sud 2015}
\emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ élément de l'intervalle $[1 ; 7]$ par : \[f(x) = 1,5 x^3 - 9 x^2 + 24 x + 48.\]
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ sa dérivée seconde sur $[1 ; 7]$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 7]$ :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Calculer $f''(x)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer sur quel intervalle la fonction $f$ est convexe.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre \np{1000} et \np{7000} articles par semaine.

On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d'euros, par la fonction $f$ définie dans la partie A où $x$ désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

On note $c$ la fonction définie sur $[1 ; 7]$ représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a, par conséquent, pour tout $x$ de $[1 ; 7]$ :\[c(x) = \dfrac{f(x)}{x} = 1,5 x^2 - 9 x + 24 + \dfrac{48}{x}.\]
On admet que la fonction $c$ est dérivable sur $[1 ; 7]$. On note $c'$ sa fonction dérivée.


\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[1 ; 7]$, on a : $c'(x) = \dfrac{ 3(x - 4)\left(x^2 + x + 4\right)}{x^2}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $c$ sur l'intervalle $[1 ; 7]$.
		\item Déterminer, en milliers, le nombre d'articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $\Gamma$ définie sur l'intervalle $[1 ; 7]$ par :\[\Gamma(x) = 0,5 x^3 - 4,5 x^2 + 24 x + 1 + 48\ln x.\]	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\Gamma$ est une primitive de $c$ sur l'intervalle $[1 ; 7]$.
		\item Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $c$ sur l'intervalle $[1 ; 7]$. On donnera la valeur exacte puis la
valeur arrondie à $10^{- 2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2015 (4)}} 

 \index{Centres étrangers 2015}
\emph{Les parties A et B ne sont pas indépendantes}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[1 ; 11]$ par $f(x) = - 0,5 x^2 + 2 x + 15 \ln x$.

 \begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{- x^2 + 2 x + 15}{x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 11]$. On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1 ; 11]$.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près.
		\item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle $[1 ; 11]$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$ définie sur $[1 ; 11]$ par $F(x) = - \dfrac{1}{6} x^3 + x^2 - 15 x + 15 x \ln x$.
		
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$
		\item Calculer $\displaystyle\int_1^{11}  f(x)\dd x$. On donnera le résultat exact puis sa valeur arrondie au centième.
		\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 11]$. (On donnera la valeur arrondie au centième.)
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Une société fabrique et vend des chaises de jardin. La capacité de production mensuelle est comprise entre 100 et \np{1100} chaises. 

Le bénéfice mensuel réalisé par la société est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, où $x$ représente le nombre de centaines de chaises de jardin produites et vendues et $f(x)$ représente le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros.

On précise qu'un bénéfice peut être positif ou négatif, ce qui correspond, dans ce deuxième cas, à une perte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles quantités de chaises la société doit-elle produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel positif ?
\item Déterminer le nombre de chaises que la société doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel maximal.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2015 (4)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2015}
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ;  +\infty[$ par $f(x) = 3x - 3x\ln (x)$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.

\medskip

Quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ ?


 \newpage 

\subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015 (4)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2\ln (x)$ sur $[0,2 ; 10]$ et on note $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Le but de cet exercice est de prouver que la courbe $\left(C_f\right)$ admet sur $[0,2 ; 10]$ une seule tangente passant par l'origine du repère.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.


\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x \in [0,2 ; 10]$, $f'(x) = 2x(2\ln (x) + 1)$.
\item Soit $a$ un réel de $[0,2 ; 10]$, montrer que la tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d'abscisse $a$ a pour équation \[y = 2a(2\ln (a) + 1)x - 2a^2(\ln (a) + 1)\]
\item Répondre alors au problème posé.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2015 (4)}} 

 \index{Polynésie 2015}
Une compagnie aérienne propose à partir du premier janvier de l'année 2000 une nouvelle formule d'achat de billets, la formule \emph{Avantage} qui s'ajoute à la formule \emph{Privilège} déjà existante.

Une étude a permis de modéliser l'évolution du nombre de passagers transportés depuis l'année 2000 et la compagnie admet que ce modèle est valable sur la période allant de l'année 2000 à l'année 2016.

Le nombre de passagers choisissant la formule \emph{Privilège} est modélisé par la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[0 ; 16]$ et le nombre de passagers choisissant la formule \emph{Avantage} est modélisé par la fonction $A$ définie sur l'intervalle $[0 ; 16]$. Le graphique donné ci-dessous représente les courbes représentatives $C_P$ et $C_A$ de ces deux fonctions.

Lorsque $x$ représente le temps en année à partir de l'année 2000, $P(x)$ représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule \emph{Privilège} et $A(x)$ représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule \emph{Avantage}.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-1.1)(16.5,9.1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3+3*EXP(-.2*x)}
\def\g{2*ln(x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(17,9)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.999)(16.5,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](16,-.5){\footnotesize{\sf{En année, après 2000}}}\uput[r](0,8.5){\footnotesize{{\sf En 10 000 passagers}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{16}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt,linecolor=prune]{0}{16}{\g}
\uput[d](15.5,3){\bleu{\footnotesize{$C_P$}}}\uput[u](15.5,5.6){\prune{\footnotesize{$C_A$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie, les estimations seront obtenues par lecture graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation du nombre de passagers qui, au cours de l'année 2002, avaient choisi la formule \emph{Privilège}.
\item Donner une estimation de l'écart auquel la compagnie peut s'attendre en 2015 entre le nombre de passagers ayant choisi la formule \emph{Avantage} et ceux ayant choisi la formule \emph{Privilège}.
\item Comment peut-on interpréter les coordonnées du point d'intersection des deux courbes au regard de la situation proposée ?
\item Justifier que la compagnie aérienne peut, selon ce modèle, estimer que le nombre total de passagers ayant choisi la formule \emph{Privilège} durant la période entre 2007 et 2015 sera compris entre \np{240000} et \np{320000}.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On admet que la fonction $A$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 16]$ par  $A(x) = 2\ln(x + 1)$ et que la fonction $P$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 16]$ par $P(x) = 3 + 3\e^{-0,2x}$.

On s'intéresse à la différence en fonction du temps qu'il y a entre le nombre de passagers ayant choisi la formule \emph{Avantage} et ceux ayant choisi la formule \emph{Privilège}. Pour cela, on considère la fonction $E$ définie sur l'intervalle $[0 ; 16]$ par $E(x) = A(x) - P(x)$.

\begin{enumerate}
\item On note $E'$ la fonction dérivée de $E$ sur l'intervalle $[0 ; 16]$.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $E' (x) = \dfrac{2}{x + 1} + 0,6\e^{-0,2x}$. Justifier que $E'$ est strictement positive sur l'intervalle $[0 ; 16]$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $E$ sur l'intervalle $[0 ; 16]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $E(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $[0 ; 16]$. Donner la valeur de $\alpha$ en arrondissant au dixième.
		\item Dresser le tableau de signes de la fonction $E$ sur l'intervalle $[0 ; 16]$. Interpréter les résultats obtenus au regard des deux formules proposées par la compagnie aérienne.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie septembre 2015 (3)}} 

 \index{Polynésie septembre 2015}
\textbf{Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises}

\medskip

Un cabinet d'audit a été chargé d'étudier la répartition des salaires dans deux filiales d'une entreprise, appelées A et B. Pour l'étude, les salaires sont classés par ordre croissant.

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{
Le cabinet d'audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction $u$ pour la filiale A et par la fonction $v$ pour la filiale B.

\medskip

Les fonctions $u$ et $v$ sont définies sur l'intervalle $[0 ; 1]$ par :

$u(x) = 0,6x^2 + 0, 4x$ et

$v(x) = 0,7x^3 + 0,1x^2 + 0, 2x$.

\medskip

On a tracé ci-contre les courbes représentatives $C$ et $C'$ des fonctions $u$ et $v$.
}
\parbox{0.5\linewidth}{
\psset{unit=.65cm,comma=true}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{0.6*x^2+0.4*x}
\def\g{0.7*x^3+0.1*x^2+0.2*x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(11,11)
\psset{unit=6.5cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.099,-0.099)(1.1,1.1)
\uput[dl](1.1,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.1){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psline(1,0)(1,1.1)
\psdots[dotscale=.8,linecolor=prune](0.6,0.3072)\uput[dr](0.6,0.3072){\footnotesize{\prune{$E$}}}
\uput[d](0.75,0.5){\footnotesize{\prune{$C$}}}\uput[d](0.75,0.62){\footnotesize{\bleu{$C'$}}}

\uput[dl](.9,1){\red{\footnotesize{$D : y = x$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt,linecolor=prune]{0}{1}{\g}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=red,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{flushright}
}


\begin{enumerate}
\item Déterminer la courbe représentative de la fonction $u$ en justifiant la réponse.
\item  Lorsque $x$ représente un pourcentage de salariés, $u(x)$ et $v(x)$ représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives.

\emph{Exemple} : pour la courbe $C$, le point $E(0,60 ; 0,3072)$ signifie que 60\,\% des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 30,72\,\% de la masse salariale.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50\,\% des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires.
		\item Pour les 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale ?
		\item  Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire ?
 	\end{enumerate}
\item  Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une fonction $f$ modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule :
	
\[c_f = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 f(x)\dd x\right).\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $c_u = 0,2$.
		\item En observant que $\dfrac{c_v}{2} = \displaystyle\int_0^1x \dd x - \displaystyle\int_0^1v(x) \dd x$, donner une interprétation graphique de $\dfrac{c_v}{2}$ en termes d'aires.
		\item En déduire que $c_v$ est compris entre 0 et 1.
		\item Justifier l'inégalité $c_u \leqslant c_v$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Pondichéry 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Pondichéry 2015 (4)}} 

 \index{Pondichéry 2015}
Une entreprise produit et vend des composants électroniques.

Sa capacité mensuelle de production est comprise entre \np{1000} et \np{30000} pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On donne ci-dessous $R$ et $C$ les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l'intervalle $[1 ; 30]$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(31,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x^2+6.5*x+20-2*x*ln(x)}
\def\g{12.5*x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(31,11)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.01cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=50]{->}(0,0)(31,550)
\uput[ul](31,0){\scriptsize{nombre  de pièces en milliers}}
\uput[dr](0,550){\scriptsize{milliers d'euros}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{30}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1}{30}{\g}
\uput[ur](27,400){\bleu $C$}
\uput[dr](27,340){\bleu $R$}
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de production de \np{21000} pièces ?
\item Pour quelles quantités de pièces produites l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
\item Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le bénéfice en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces, est donné sur l'intervalle $[1 ; 30]$ par 
$B(x) = - 0,5x^2 + 6x - 20 + 2x \ln x$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $B'(x) = -x + 8 + 2\ln x$, où $B'$ est la dérivée de $B$ sur l'intervalle $[1 ; 30]$.
\item  On admet que $B''(x) = - 1 + \dfrac{2}{x}$, où $B''$ est la dérivée seconde de $B$ sur l'intervalle $[1 ; 30]$.

Justifier le tableau de variation ci-dessous  de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle $[1 ; 30]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(13.5,2.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(13.5,2.8) \psline(2,0)(2,2.8) \psline(0,2)(13.5,2) 
\rput(1,2.4){$x$}\rput(2.5,2.4){$1$} \rput(7,2.4){$2$} \rput(12,2.4){$30$}
\rput(1,1){$B'(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{$7$}} \rput(7,1.7){\rnode{B}{$6+2\ln 21$}} \rput(12,.3){\rnode{C}{{$-22+2\ln 30$}}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}
\end{pspicture}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1 ; 30]$.
		\item Donner une valeur approchée au millième de la valeur de $\alpha$.
 	\end{enumerate}
\item  En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 30]$, et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice $B$ sur ce même intervalle.
\item  Quel est le nombre de pièces à produire, à l'unité près, pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal ?
	
Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d'euros) ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{CALCUL INTÉGRAL} 

 \subsubsection[Asie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2015 (4)}} 

 \index{Asie 2015}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 1]$ par : $f(x) = 2 - 2x$.

On a tracé ci-dessous la droite $D_f$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};I,J\right)$ du plan.

Le point $C$ a pour coordonnées $(0 ; 2)$.

$\Delta$ est la partie du plan intérieure au triangle $OIC$.

Soit $a$ un nombre réel compris entre 0 et 1 ; on note $A$ le point de coordonnées $(a ; 0)$ et $B$ le point de $D_f$ de coordonnées $(a ; f(a))$.

Le but de cet exercice est de trouver la valeur de $a$, telle que le segment $[AB]$ partage $\Delta$ en deux parties de même aire.

Déterminer la valeur exacte de $a$, puis une valeur approchée au centième.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(12,18)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\pspolygon[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=solid,fillcolor=grisb](0,0)(3.2,0)(3.2,9.6)(0,16)(0,0)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-2)(12,18)
\psset{unit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.25)(1.5,2.25)
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2.25){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](.4,0)(.4,1.2)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-.125,2.25)(1.125,-.25)
\uput[ur](1,0){\prune\footnotesize{$I$}} \uput[r](0,1){\prune\footnotesize{J}}\uput[ul](0,0){\prune\footnotesize{O}}
\uput[d](0.4,0){\prune $a$}\uput[ur](0.4,0){\bleu\footnotesize{$A$}}\uput[r](0.4,1.2){\bleu\footnotesize{$B$}}\uput[r](0,2){\bleu\footnotesize{$C$}}
\uput[ur](0.75,0.5){\bleu \footnotesize{$D_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{PROBABILITÉS} 

 \subsection{PROBABILITÉ DISCRÈTES} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2015 (2 obligatoire)}} 

 \index{Amérique du Nord 2015}
\emph{Les parties A et B sont indépendants.}

\medskip

Dans un grand collège, 20,3 \% des élèves sont inscrits à l'association sportive.

Une enquête a montré que 17,8 \% des élèves de ce collège sont fumeurs.

De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 \% sont inscrits à l'association sportive.

On choisit au hasard un élève de ce collège. On note :
\begin{itemize}
	\item $S$ l'événement \og l'élève choisi est inscrit à l'association sportive \fg{} ;
	\item $F$ l'événement \og l'élève choisi est fumeur \fg.
\end{itemize}

\textsf{\textsc{rappel des notations :}}

\medskip

Si $A$ et $B$ sont deux événements, $p(A)$ désigne la probabilité de l'événement $A$ et $p_B(A)$ désigne la probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé.

On note $\overline{A}$ l'événement contraire de $A$.

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item D'après les données de l'énoncé, préciser les valeurs des probabilités $p(S)$ et $p_{\overline{F}}(S)$.
	\item Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.
	
	\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$F$}~}\naput{\prune{\ldots}}}
		{
\TR{\bleu{$S$}}
\TR{\bleu{$\overline{S}$}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{F}$}~}\nbput{\prune\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$S$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{S}$}}\nbput{\prune{ \ldots}}
 		}
}
\end{center}
	

\item Calculer la probabilité de l'événement $\overline{F} \cap S$ et interpréter le résultat.
\item On choisit au hasard un élève parmi ceux inscrits à l'association sportive. Calculer la probabilité que cet élève soit non fumeur.
\item On choisit au hasard un élève parmi les élèves fumeurs. Montrer que la probabilité que cet élève soit inscrit  à l'association sportive est de 0,101.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du collège. Quatre lots sont offerts. On admet que le nombre d'élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise.

On rappelle que 20,3 \% de l'ensemble des élèves sont inscrits à l'association sportive.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi les quatre élèves gagnants, il y ait au moins un qui soit inscrit à l'association sportive.


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2015 (2 obligatoire)}} 

 \index{Antilles Guyane 2015}
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.

L'enquête révèle que 70\,\% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80\,\% pratiquent le tri sélectif.

Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10\,\% qui pratiquent le tri sélectif.

On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $S$ : L'élève interrogé est sensible au développement durable.
\item $T$ : L'élève interrogé pratique le tri sélectif.
\end{itemize}


\emph{Les résultats seront arrondis à } $10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
\item Montrer que la probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$ est 0,59.
\item On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.

Peut-on affirmer que les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10\,\% ?
\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement.

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés.

Le nombre d'élèves de l'établissement est suffisamment grand pour que l'on considère que $X$ suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
		\item Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2015 (2 obligatoire)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2015}
Un supermarché dispose d'un stock de pommes. On sait que 40\,\% des pommes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B. 

Il a été constaté que 85\,\% des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95\,\% pour le fournisseur B. 

Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les évènements suivants : 

$A$ : \og La pomme provient du fournisseur A \fg. 

$B$ : \og La pomme provient du fournisseur B \fg. 

$C$ : \og La pomme est commercialisable \fg. 

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. 
\item Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. 
\item La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois plus de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ? 
\end{enumerate}

Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième. 

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip  

On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? 
\item Quelle est la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ? 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip 

Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s'aperçoit que 22 pommes sont non commercialisables. 

Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? 


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2015 (2 obligatoire)}} 

 \index{Polynésie 2015}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

Sur une exploitation agricole, une maladie rend la conservation de fruits difficile. Un organisme de recherche en agronomie teste un traitement sur un champ : sur une partie du champ, les fruits sont traités, sur l'autre, non.

On considère que le nombre de fruits récoltés est extrêmement grand et que la maladie touche les fruits de manière aléatoire.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} Étude de l'efficacité du traitement}

\medskip


On prélève au hasard 100 fruits sur la partie du champ traité et 100 fruits sur l'autre partie du champ. On constate que :

\begin{itemize}
\item sur l'échantillon des 100 fruits traités, 18 sont abimés;
\item sur l'échantillon des 100 fruits non traités, 32 sont abimés.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion de fruits abimés par la maladie au niveau de confiance de 95\,\% :
	\begin{enumerate}
		\item pour la partie du champ traitée;
		\item pour la partie du champ non traitée.
	 \end{enumerate}
\item  Au vu des intervalles obtenus à la question 1, peut-on considérer que le traitement est efficace ?

\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}} Qualité de la production}

\medskip

Une étude plus poussée permet d'estimer la proportion de fruits abimés à $0,12$ dans la partie du champ traitée et à $0,30$ dans la partie non traitée.

On sait de plus qu'un quart du champ a été traité.

Une fois récoltés, les fruits sont mélangés sans distinguer la partie du champ d'où ils proviennent.

On prélève au hasard un fruit récolté dans le champ et on note :

\begin{itemize}
\item[ ] $T$ l'évènement \og Le fruit prélevé provient de la partie traitée \fg{} ;
\item[ ] $A$ l'évènement \og Le fruit prélevé est abimé \fg.
\end{itemize}

On arrondira les résultats au millième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le fruit prélevé soit traité et abimé.
		\item  Montrer que $P(A) = 0,255$.
 	\end{enumerate}
\item  Un fruit prélevé au hasard dans la récolte est abimé, Peut -on affirmer qu'il y a une chance sur quatre pour qu'il provienne de la partie du champ traitée?
\item  Dans le but d'effectuer un contrôle, cinq fruits sont prélevés au hasard dans le champ. Calculer la probabilité qu'au plus un fruit soit abimé.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{LOI NORMALE, LOI UNIFORME} 

 \subsubsection[Amérique du Sud 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2015 (1)}} 

 \index{Amérique du Sud 2015}
\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes. Les probabilités demandées seront données à $0,001$ près.}

\medskip

Une étude est menée par une association de lutte contre la violence routière. Des observateurs, sur un boulevard d'une grande ville, se sont intéressés au comportement des conducteurs d'automobile au moment de franchir un feu tricolore.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on s'intéresse au respect de la signalisation par les automobilistes.}

\medskip

Sur un cycle de deux minutes (120 secondes), le feu est à la couleur \og rouge \fg{} pendant 42 secondes, \og orange\fg{} pendant 6 secondes et \og vert\fg{} pendant 72 secondes.

Par ailleurs, les observateurs notent que les comportements diffèrent selon la couleur du feu :


\begin{itemize}
\item lorsque le feu est rouge, 10\,\% des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent ;
\item lorsque le feu est orange, 86\,\% des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent ;
\item lorsque le feu est vert, tous les conducteurs continuent de rouler.
\end{itemize}

On s'intéresse à un conducteur pris au hasard, et on observe son comportement selon la couleur du feu. On note :

\begin{itemize}
\item R l'évènement \og le feu est au rouge\fg{} ;
\item O l'évènement \og le feu est à l'orange\fg{} ;
\item V l'évènement \og le feu est au vert\fg{} ;
\item C l'évènement \og le conducteur continue de rouler \fg.
\end{itemize}


Pour tout évènement $A$, on note $p(A)$ sa probabilité, $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

\begin{enumerate}
\item Modéliser cette situation par un arbre pondéré.
\item Montrer que la probabilité que le conducteur continue de rouler au feu est 0,678.
\item Sachant qu'un conducteur continue de rouler au feu, quelle est la probabilité que le feu soit vert ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on s'intéresse au trafic aux heures de pointe.}

\medskip

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de voitures par heure à proximité du feu évoqué dans la partie A.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne \np{3000} et d'écart type 150.

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité de compter entre \np{2800} et \np{3200} voitures par heure à cet endroit.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité de compter plus de \np{3100} voitures par heure à cet endroit.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

À un autre endroit du boulevard, à proximité d'un pont, la variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre de voitures par heure suit la loi normale de moyenne \np{3000} et d'écart type $\sigma$ strictement supérieur à $150$.

Sur le graphique ci-dessous, la courbe correspondant à $X$ est en traits pleins et la courbe correspondant à $Y$ est en pointillés.

Déterminer à quel endroit du boulevard, à proximité du feu ou du pont, la probabilité qu'il passe en une heure, entre \np{2800} et \np{3200} voitures, est la plus grande. Justifier à l'aide du graphique.

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(15,0)(45,6.6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\multido{\n=15+1}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,6.6)}
\multido{\n=0+1,\na=0+0.0005}{7}{\psline[linestyle=dotted](15,\n)(45,\n)\uput[l](15,\n){\footnotesize{\np{\na}}}}
\psset{xunit=0.003cm,yunit=24cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=1500,Dx=500,Dy=0.05,labels=x]{->}(1500,0)(4500,0.33)
\uput[dl](4500,0){$x$}\uput[dl](1500,.33){$y$}
\def\f{100/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\m{3000}% moyenne 
\def\s{285.452}% écart type
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{2000}{4000}{\f}
\def\s{150}% écart type
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1500}{4500}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2015 (4)}} 

 \index{Antilles Guyane 2015}
Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles.

La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle $X$.

On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X \leqslant 496)$. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
\item  Déterminer la probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres.
Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
\item  Comment choisir la valeur de $\alpha$ afin que $P(500 - \alpha \leqslant X \leqslant  500 + \alpha)$ soit approximativement égale à 0,95 à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Une association de consommateurs a testé un lot de 200 bouteilles issues de cette chaine de production. Il a été constaté que  15  bouteilles contiennent moins de  500 ml de jus de fruit contrairement à ce qui est annoncé sur l'étiquetage.

L'entreprise qui assure le conditionnement de ce jus de fruit affirme que 97\,\% des bouteilles produites contiennent au moins  500 millilitres de jus de fruit.

Le test réalisé par l'association remet-il en cause l'affirmation de l'entreprise ?


 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2015 (3)}} 

 \index{Centres étrangers 2015}
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

Une entreprise spécialisée dans la fabrication de confitures fait appel à des producteurs locaux. À la livraison, l'entreprise effectue un contrôle qualité à l'issue duquel les fruits sont sélectionnés ou non pour la préparation des confitures.

Une étude statistique a établi que :


\begin{itemize}
\item 22\,\% des fruits livrés sont issus de l'agriculture biologique;
\item parmi les fruits issus de l'agriculture biologique, 95\,\% sont sélectionnés pour la préparation des confitures ;
\item parmi les fruits non issus de l'agriculture biologique, 90\,\% sont sélectionnés pour la préparation des confitures.
\end{itemize}

On prélève au hasard un fruit et on note :


\begin{itemize}
\item[ ] $B$ l'évènement \og  le fruit est issu de l'agriculture biologique \fg{} ;
\item[ ] $S$ l'évènement \og  le fruit est sélectionné pour la préparation des confitures \fg.
\end{itemize}

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité, $p_F(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé et $\overline{E}$ évènement contraire de $E$.


\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Déterminer la probabilité que le fruit soit sélectionné pour la préparation des confitures et qu'il soit issu de l'agriculture biologique.
\item Montrer que $p(S) = 0,911$.
\item Sachant que le fruit a été sélectionné pour la préparation des confitures, déterminer la probabilité qu'il ne soit pas issu de l'agriculture biologique.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip


Cette entreprise conditionne la confiture en pots de 300 grammes.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pot de confiture, associe sa masse en gramme.

On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 300$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

L'entreprise ne commercialise les pots de confiture que si l'écart entre la masse affichée (c'est-à-dire 300 g) et la masse réelle ne dépasse pas 4 grammes.


\begin{enumerate}
\item On prélève un pot au hasard. Déterminer la probabilité que le pot soit commercialisé.
\item Déterminer le réel $a$ tel que $p(X < a) = 0,01$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans
l'évaluation.}

\medskip

Le directeur commercial affirme que 90\,\% des consommateurs sont satisfaits de la qualité des produits commercialisés par son entreprise.

On réalise une étude de satisfaction sur un échantillon de 130~personnes.

Parmi les personnes interrogées, 15 déclarent ne pas être satisfaites des produits.

Déterminer, en justifiant, si l'on doit remettre en question l'affirmation du directeur commercial.


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2015 (1)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2015}
Le service marketing d'un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de 42\,\% de femmes, 35\,\% des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55\,\% pour les hommes.

Une personne entre dans le magasin. On note :

\begin{itemize}
\item $F$ l'évènement : \og La personne est une femme \fg{} ;
\item $R$ l'évènement : \og La personne repart sans rien acheter \fg{} ;
\end{itemize}

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire et $p(A)$ sa probabilité.

\emph{Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.}

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu'elle reparte sans rien acheter.
\item Montrer que $p(R) = 0,534$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Un client du magasin s'inquiète de la durée de vie du téléphone de type $T_1$ qu'il vient de s'offrir.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type $T_1$ prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 48$ et d'écart-type $\sigma = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité que le téléphone de type $T_1$ prélevé fonctionne plus de 3 ans, c'est-à-dire 36 mois, est d'environ 0,885.
\item On sait que le téléphone de type $T_1$ prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne moins de 5 ans ?
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip

Le gérant du magasin émet l'hypothèse que 30\,\% des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur,  \ldots).

Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille \np{1500}.
\item Le service marketing interroge un échantillon de \np{1500} personnes. L'étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires.

Doit-on rejeter au seuil de 5\,\% l'hypothèse formulée par le gérant ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015 (1)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015}
Lors d'une opération promotionnelle, un magasin d'électroménager propose deux modèles de téléviseurs: un modèle A et un modèle B.

On s'intéresse aux acheteurs qui profitent de cette promotion.

70\,\% des acheteurs choisissent un téléviseur de modèle A.

Pour ces deux téléviseurs, le magasin propose une extension de garantie de 5 ans.

40\,\% des acheteurs du téléviseur de modèle A choisissent l'extension de garantie et 50\,\% des acheteurs du téléviseur de modèle B choisissent cette extension.

On interroge au hasard un acheteur à la sortie du magasin.

\emph{Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.}

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}

On note :

$A$ l'évènement \og Un acheteur choisit le téléviseur de modèle A \fg{} ;

$B$ l'évènement \og Un acheteur choisit le téléviseur de modèle B \fg{} ;

$E$ l'évènement \og Un acheteur choisit l'extension de garantie \fg,


On note $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité qu'un acheteur choisisse le modèle A avec l'extension de garantie.
\item Montrer que $p(E) = 0,43$.
\item Un acheteur n'a pas pris l'extension de garantie, calculer la probabilité qu'il ait acheté le modèle A.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le directeur du magasin souhaite estimer, parmi tous ses clients, le pourcentage de personnes qui trouvent l'opération promotionnelle intéressante.

Pour cela, il interroge au hasard 210 clients et note que 123 la trouvent intéressante.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% pour la proportion de clients qui trouvent l'opération promotionnelle intéressante.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Pour sa prochaine promotion, le directeur s'intéresse à l'âge de ses clients. On modélise l'âge des clients en années par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 40$ et d'écart-type $\sigma = 8$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un client ait plus de 60 ans.
\item Calculer la probabilité qu'un client ait un âge compris entre 30 et 50 ans.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Liban 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2015 (3)}} 

 \index{Liban 2015}
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.

\medskip

\emph{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à} \:$10^{-3}$.

\medskip

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.

La totalité de la production est réalisée par deux machines $M_A$ et $M_B$.

La machine $M_A$ fournit 40\,\% de la production totale et $M_B$ le reste.

La machine $M_A$ produit 2\,\% de médailles défectueuses et la machine $M_B$ produit 3\,\% de médailles défectueuses.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

On prélève au hasard une médaille produite par l'entreprise et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ : \og la médaille provient de la machine $M_A$ \fg{} ;
\item $B$ : \og la médaille provient de la machine $M_B$ \fg{} ;
\item $D$ : \og la médaille est défectueuse \fg{} ;
\item $\overline{D}$ est l'évènement contraire de l'évènement $D$. 
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Traduire cette situation par un arbre pondéré.
		\item Montrer que la probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à $0,026$.
		\item Calculer la probabilité qu'une médaille soit produite par la machine $M_A$ sachant qu'elle est défectueuse.
	\end{enumerate}
\item Les médailles produites sont livrées par lots de 20. On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.

On suppose que la production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.

On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la loi que suit $X$ et donner ses paramètres.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le diamètre exprimé en millimètre, d'une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu'il appartient à l'intervalle $[74,4 ; 75,6]$.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type 0,25.

La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de $Y$.


\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-8*(x-2)^2)/(2*PI)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,4)
\psset{xunit=3cm,yunit=20cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(4,.2)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](2,0)(2,.159155)
\uput[d](1,0){\footnotesize{74}}\uput[d](2,0){\footnotesize{75}}\uput[d](3,0){\footnotesize{76}}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Indiquer par lecture graphique la valeur de $\mu$.
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice la probabilité $P(74,4 \leqslant Y \leqslant 75,6)$.
\item En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de $h$ pour que $P(75 - h \leqslant Y \leqslant 75 + h) \approx 0,95$.

\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la machine $M_B$, on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est de 3\,\%.

Pour contrôler le bon  fonctionnement  de la machine $M_B$, on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, dans l'échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme.
\item Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine $M_B$.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2015 (3)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2015}
Pierre a des pommiers dans son verger. Il décide de faire du jus de pomme avec ses fruits.

Dans sa récolte :

\begin{itemize}
\item il dispose de 80\,\% de pommes de variété A et de 20\,\% de pommes de variété B.
\item 15\,\% des pommes de variété A et 8\,\% des pommes de variété B sont avariées et devront être jetées.
\end{itemize}

On prend une pomme au hasard dans la récolte et on note :

\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og la pomme est de variété A\fg{} ;
\item $B$ l'évènement \og la pomme est de variété B \fg{} ;
\item $J$ l'évènement \og la pomme est jetée\fg{} ;
\item $\overline{J}$ l'évènement contraire de l'évènement $J$.
\end{itemize}

On note $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.


\begin{center}
\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que la pomme soit de variété A et soit jetée.
\item Montrer que la probabilité qu'une pomme soit jetée est égale à 0,136.
\item Calculer la probabilité qu'une pomme soit de variété A sachant qu'elle a été jetée.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une pomme pèse en moyenne 150 g.

On modélise le poids d'une pomme en grammes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart type $\sigma = 10$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la pomme ait un poids inférieur à 150 g.
\item Déterminer $p\left( 120 \leqslant X \leqslant 170\right))$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Pierre a pris rendez-vous dans une fabrique de jus de pomme artisanale. Il arrive au hasard entre 8 heures et 9 heures 30 minutes. 

Son heure d'arrivée est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[8 ; 9,5]$.

Déterminer la probabilité que Pierre arrive entre 8 h 30 et 8 h 45.


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie mars 2016]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie mars 2016 (3)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie mars 2016}
\emph{Cet exercice comporte trois parties qui peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip

Les 275 passagers d'un vol long-courrier s'apprêtent à embarquer dans un avion possédant 55 sièges en classe confort et 220 sièges en classe économique. Les voyageurs partent soit pour un séjour court, soit pour un séjour long.

Parmi les passagers voyageant en classe économique, 35\,\% partent pour un séjour long alors que parmi les passagers ayant choisi la classe confort, 70\,\% ont opté pour un séjour long.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On choisit au hasard un passager du vol.

On note les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $E$ : \og Le passager voyage en classe économique. \fg
\item $L$ : \og Le passager part pour un séjour long. \fg
\end{itemize}

On note $\overline{E}$ et $\overline{L}$ les évènements contraires des évènements $E$ et $L$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $E$, notée $p(E)$.
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Déterminer la probabilité que le passager choisi parte en classe économique pour un séjour long.
\item Montrer que $p(L) = 0,42$.
\item On choisit au hasard un passager partant pour un long séjour. Quelle est la probabilité que ce passager voyage en classe économique ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Lors de l'embarquement, chaque passager enregistre un bagage qui sera placé dans la soute de l'avion pendant le vol. Le poids de ce bagage ne doit pas excéder 20~kg. Dans le cas où le poids de son bagage dépasserait 20~kg, le passager doit s'acquitter d'une \og taxe d'excédent de
bagage \fg. Le montant à payer en cas d'excédent est précisé dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{4cm}|X|}\hline
Poids $p$ (en kg) du bagage&Taxe d'excédent de bagage\\ \hline
$20 < p \leqslant 21$	&12~\euro\\ \hline
$21 < p \leqslant 22$	&24~\euro\\  \hline
$22 < p \leqslant 24$	&50~\euro\\ \hline
$p > 24$				&20~\euro/kg au-delà des 20~kg autorisés\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On choisit au hasard un bagage devant être transporté dans la soute de l'avion.

On admet que le poids de ce bagage, exprimé en kg, est modélisé par une variable aléatoire $M$ qui suit la loi normale d'espérance $18,4$ et d'écart type $1,2$.

\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage.
\item Calculer la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage de 24~\euro.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

L'enregistrement des bagages des passagers est possible pendant une durée de 2~h.

Un passager du vol est choisi au hasard et on note $T$ la durée (en minutes] qui s'est écoulée entre le début des enregistrements des bagages et l'arrivée de ce passager au comptoir d'enregistrement.

On admet que $T$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0 ; 120]$.

Déterminer la probabilité que le passager choisi enregistre ses bagages dans les $30$~dernières minutes autorisées.


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{Q.C.M} 

\subsection{Q.C.M Analyse} 

 \subsubsection[Antilles Guyane 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2015 (1)}} 

 \index{Antilles Guyane 2015}
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 + 6x^2$ est convexe sur l'intervalle :


\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $]- \infty ; +\infty[$ & \item $[- 2 ; +\infty[$ & \item $]-\infty ; -2]$ & \item $[-6 ; +\infty[$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item  Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (x - 2)\e ^{x}$.
L'équation $g(x) = 0$ admet sur $\R$ :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item aucune solution &\item une seule solution \\ \item exactement deux solutions & \item plus de deux solutions
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item  On pose : $I = \displaystyle\int_0^1 - 2x\e ^{- x^2} \dd x$. La valeur de $I$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $1 - \e ^{-1}$ & \item $\e ^{-1} - 1$ & \item$- \e ^{-1} $ & \item $\e ^{-1}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item  La fonction $h$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ par $h(x) = (2x + 4) \ln x$. On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$.

Pour tout nombre $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$, $h'(x)$ est égale à :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $\dfrac{2}{x}$ &\item $2\ln x + \dfrac{4}{x}$ & \item$\dfrac{2x + 4}{x}$ & \item$2\ln x + \dfrac{2x + 4}{x}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item  Le prix d'une action a augmenté chaque mois de 5\,\% et cela pendant 3 mois consécutifs.

Globalement, le prix de l'action a été multiplié par :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $1,05^3$ &\item  1,15 & \item  $3 \times 1,05$ & \item  1,45
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2015 (1)}} 

 \index{Centres étrangers 2015}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[1 ; 7]$.

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point  $A(3 ; 3)$ et passe par le point de coordonnées $(5 ; 0)$.

Le point $A$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1)(9,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1.5*(x-1)*EXP(3-x)}
\def\g{7.5-1.5*x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-1)(9,7)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-.999)(9,7)
\uput[dl](9,0){$x$}\uput[dl](0,7){$y$}\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1}{7}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{.3333}{5.666}{\g}
\uput[ur](1,3){\bleu $\mathcal{C}$}
\psdots(3,3)(7,.164841)
\uput[ur](3,3){\bleu $A$} \uput[u](1.5,5.2){\prune $T$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ :
		
	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
		\item $f'(3)=3$	&	\item $f'(3)=\dfrac{3}{2}$	&	\item $f'(3)=-\dfrac{2}{3}$	&	\item $f'(3)=-\dfrac{3}{2}$
	\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$ :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
		\item $f''(3)=3$	&	\item $f''(3)=0$	&	\item $f''(5)=0$	&	\item $f''(2)=0$
	\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\item Toute primitive $F$ de la fonction $f$ est nécessairement :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
		\item croissante sur $[1 ; 7]$	&	\item décroissante sur $[2 ; 7]$	&	\item négative sur $[2 ; 7]$	&	\item positive sur $[1 ; 7]$
	\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\item On note $I=\displaystyle \int_2^3{f(x)\dd x}$ :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
		\item $1\leqslant I \leqslant 2$	&	\item $2\leqslant I \leqslant 3$	&	\item $3\leqslant I \leqslant 4$	&	\item $4\leqslant I \leqslant 5$
	\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2015 (1)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2015}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 1 ; 3]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$.

La tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A(1 ; 0)$ est tracée, elle passe par le point de coordonnées $(0 ; 3)$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(4,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x^2-2*x-2)}
\def\g{-3*x+3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-3)(4,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](4,0){$x$}\uput[dl](0,4){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-1}{3}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-.333}{2}{\g}
\uput[ur](1,0){\bleu $A$ } \uput[l](4,1.5){\bleu $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calcul de $f'(1)$

\medskip

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $f'(1) = 3$ &\item $f'(1) = - 3$ & \item $f'(1) = - \dfrac{1}{3}$ & \item $f'(1) = 0$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item La fonction $f$ est :

\medskip

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  concave sur $[-1 ;  1]$ & \item convexe sur $[-1 ;  1]$ & \item  concave sur $[0 ; 2]$ &\item  convexe sur $[0 ; 2]$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item On pose $I = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$. Un encadrement de $I$ est :

\medskip

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  $0 \leqslant I \leqslant 1$ & \item  $1 \leqslant I \leqslant 2$ & \item  $2 \leqslant I \leqslant 3$ & \item   $3 \leqslant I \leqslant 4$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\medskip

\item La fonction $F$ est :

\medskip

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  croissante sur $[0 ; 1]$ & \item  décroissante sur $[0 ; 1]$ & \item  croissante sur $[-1 ; 0]$ & \item  croissante sur $[- 1 ;  1]$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{VRAI-FAUX Analyse} 

 \subsubsection[Liban 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2015 (1)}} 

 \index{Liban 2015}
\emph{Pour chacune des situations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse justifier la réponse.}

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 3 ; 1]$.


\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(14.5,2.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(14.5,2.6) \psline(3,0)(3,2.6) \psline(0,1.8)(14.5,1.8)
\rput(1.5,2.2){$x$}\rput(3.5,2.2){$- 3$} \rput(7,2.2){$-1$}\rput(10.5,2.2){$0$}\rput(14,2.2){$1$}
\rput(1.5,.9){Variations de $f$} \rput(3.5,.3){\rnode{A}{$-6$}} \rput(7,1.5){\rnode{B}{$-1$}} \rput(10.5,.3){\rnode{C}{{$-2$}}} \rput(14,1.5){\rnode{D}{$4$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Proposition 1 :} L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[- 3 ; 1]$.

\medskip

\item On considère une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 13]$ et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g'$, fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 13]$.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(13.5,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(2-x/2)-1}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(13.5,8)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=650,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{13}{\f}
\uput[ul](13.5,0){$x$}\uput[dl](0,8){$y$}\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[d](1,0){\footnotesize{1}}\uput[d](4,0){\footnotesize{4}}\uput[d](13,0){\footnotesize{13}}\uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\end{pspicture} 
\end{center}

\textbf{Proposition 2 :} La fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0 ; 4]$.

\textbf{Proposition 3 :} La fonction $g$ est concave sur l'intervalle $[0 ; 13]$.

\medskip

\item La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[1 ; \e]$ par \mbox{$h(x) = \dfrac{1}{x}$}.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(7,3)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(3.5,1.5)
\uput[dl](3.5,0){$x$}\uput[dl](0,1.5){$y$}\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1}{2.71828}{\f}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=prune](2.71828,0.368)(2.71828,0)
\uput[d](2.71828,0){\prune{e}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Proposition 4 :} La fonction $h$ est une fonction de densité de probabilité sur l'intervalle $[1 ; \mathrm{e}]$.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{Q.C.M Analyse et Probabilités} 

 \subsubsection[Antilles Guyane septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2015 (1)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2015}
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip 

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur $[1 ; 100]$ par $f(x) = 200 \ln x + 10x$, $f’(x)$ désigne la fonction dérivée de $f$. On a :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  $f'(x) = 200 + \dfrac{1}{x}$&\item  $f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10$ & \item   $f'(x) = 200 + 10x$ & \item $f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10x$ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate} 

\item On note $L$ une primitive sur $]0 ; +\infty[$ de la fonction $\ln$. Cette fonction $L$ est :
 
\begin{enumerate}
\item  croissante puis décroissante 
\item  décroissante sur $]0 ; +\infty[$
\item croissante sur $]0 ; +\infty[$
\item décroissante puis croissante 
\end{enumerate}

\item La fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = x - \ln x$ est :
 
\begin{enumerate}
\item convexe sur  $]0 ; +\infty[$
\item  concave sur $]0 ; +\infty[$
\item ni convexe ni concave sur $]0 ; +\infty[$
\item change de convexité sur $]0 ; +\infty[$ 
\end{enumerate}

\item  On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ ainsi que sa tangente au point $A$ d'abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que : 


\parbox{0.5\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item  $h'(2) = 2$
\item $h'(2) = \dfrac{1}{2}$
\item $h'(2) = 0$
\item $h'(2) = 1$
\end{enumerate}
}\parbox{0.5\linewidth}{
\psset{unit=.8cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(x/2)+1}
\psgrid[gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=8](-1,-2)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-2)(6,3)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0.099}{6}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-1,-.5)(6,3)
\uput[ul](2,1){\bleu $A$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}
\item La variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 0$ et d'écart type $\sigma$ inconnu mais on sait que $P( -10 < X < 10) = 0,8$. On peut en déduire: 

\begin{enumerate}
\item $P(X < 10) = 0,1$
\item $P(X < 10) = 0,2$
\item $P(X < 10) = 0,5$
\item $P(X < 10) = 0,9$
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie mars 2016]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie mars 2016 (1)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie mars 2016}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.}

\emph{Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification.}

\emph{Chaque réponse exacte rapportera $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte
ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
 \setdefaultenum {\bfseries \scshape \sffamily {Question} 1}{}{}{}
\item \hfill

La proportion de gauchers dans la population française est de 13\,\%.

Un intervalle de fluctuation asymptotique, au seuil de 95\,\%, de la fréquence de gauchers dans un échantillon de $500$ personnes prises au hasard dans la population française est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  $[0,080 ; 0,180]$ &  \item  $[0,085 ; 0,175]$ &  \item  $[0,100 ; 0,160]$ & \item  $[0,128 ; 0,132]$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
(\emph{Les bornes de chaque intervalle sont données à $10^{-3}$ près})	
\medskip
\item \hfill 

Sur $\R$, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x + \ln 3 \leqslant  \ln (2x + 1)$  est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  $[2 ; + \infty[$ &  \item  $]0 ; 2]$ &  \item  $]- \infty ; 1]$ & \item  $]0 ; 1]$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\medskip

Pour les questions 3.,  4. et 5., on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,5 ; 5]$ par : \[f(x) = x^2 - 3x\ln x + 1\]
On a représenté, ci-dessous, cette fonction $f$ dans un repère orthonormé :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.25,-.25)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2-3*x*ln(x)+1}
\psgrid[gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=20](0,0)(6,3)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-.25)(6,3)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](.5,0){\prune{$\vec{i}$}}
\uput[l](0,.5){\prune{$\vec{j}$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0.5}{5}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \setdefaultenum {\bfseries \scshape \sffamily {Question} 1}{}{}{}
 \setcounter{enumi}{2}
\item \hfill

\begin{enumerate}
 \item La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[0,5 ; 3]$.
 \item La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[0,5 ; 5]$.
 \item La courbe représentant $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 2.
 \item La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $[0,5 ; 1,5]$.
 \end{enumerate} 
 
\medskip

\item \hfill

On note $I$ l'intégrale $\displaystyle\int_1^2 f(x)\dd x$ ; on peut affirmer que :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item  $0,5\leqslant  I \leqslant 1$ &  \item  $4 \leqslant I \leqslant 7$ &  \item  $1 \leqslant I \leqslant 1,75$ & \item  $2 \leqslant I \leqslant 4$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
\medskip

\item \hfill

On souhaite utiliser un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée au centième de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 1$ sur l'intervalle $[1 ; 3]$. (On admet que sur cet intervalle l'équation admet bien une unique solution.)

Voici trois algorithmes :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|}

\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 1}} &\multicolumn{1}{c}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 2}}\\\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\textsf{Initialisation}}}&& \multicolumn{1}{c|}{\textbf{\textsf{Initialisation}}}\\
\begin{itemize}
\item[]$a$ prend la valeur 1
\item[]$b$ prend la valeur 3 
\item[]$s$ prend la valeur 0  
\end{itemize}&&\begin{itemize}
\item[]$a$ prend la valeur 1
\item[]$b$ prend la valeur 3 
\end{itemize}\\ 
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\textsf{Traitement}}}&& \multicolumn{1}{c|}{\textbf{\textsf{Traitement}}} \\ 
$n = (b - a) \times 100$\par
Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
	\item $x$ prend la valeur $a + 0,01 \times i$
	\item  $s$ prend la valeur $s + 0,01 \times  f(x)$
	\end{itemize}
	Fin de Pour	&&Tant que $b - a > 0,01$ faire
	\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
	\item $c$ prend la valeur $(a + b)/2$
	\item Si $f(c) > 1$ alors $a$ prend la valeur $c$
	\item Sinon $b$ prend la valeur $c$
	\end{itemize}
	Fin de Tant que	\\
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\textsf{Sortie}}}&& \multicolumn{1}{c|}{\textbf{\textsf{Sortie}}} \\ 
Afficher $s$&&Afficher $a$\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|X|}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 3}}\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\textsf{Initialisation}}}\\
\begin{itemize}
\item[]$a$ prend la valeur 1
\item[]$b$ prend la valeur 3  
\end{itemize}\\ 
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\textsf{Traitement}}}\\ 
Pour $x$ allant de 1 à 3 faire
	\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{\textbullet}
	\item Si $f(x) < 1$ alors $a$ prend la valeur $(a + b)/2$
	\item Sinon $b$ prend la valeur $(a + b)/2$
	\end{itemize}
	Fin de Pour\\
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\textsf{Sortie}}}\\ 
Afficher $a$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\begin{enumerate}
\item L'algorithme 1 affiche une valeur approchée au centième de $\alpha$. 
\item L'algorithme 2 affiche une valeur approchée au centième de $\alpha$.
\item L'algorithme 3 affiche une valeur approchée au centième de $\alpha$.
\item Aucun des trois algorithmes n'affiche de valeur approchée au centième de $\alpha$.
\end{enumerate}

 \end{enumerate}
 

 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2015 (1)}} 

 \index{Polynésie 2015}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ strictement positif par $g(x) = 2\e^{3x} + \dfrac{1}{2}\ln (x)$.

Si $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$, on a :

	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $g'(x) = 2\e^{3x} + \dfrac{2}{x}$ & \item $g'(x) = 6\e^{3x} + \dfrac{2}{x}$ & \item $g'(x) = 6\e^{3x} + \dfrac{1}{2x}$ & \item $g'(x) = 6\e^{x} + \dfrac{1}{2x}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}

\medskip

\item La courbe représentative $C$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2 ; 4]$ est donnée ci-dessous. La tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $0$ traverse la courbe en ce point.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X>{\raggedleft\arraybackslash}m{7cm}@{}}
La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle : 

\begin{enumerate}
\item $[-1 ; 4]$
\item $[-2 ; 0]$
\item $[-2 ; -1]$
\item $[0 ; 4]$
\end{enumerate}
&  \psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)*EXP(-x)}
\def\g{2-x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-3,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2.999,-.999)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2}{4}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-2}{3}{\g}
\uput[u](3.5,0){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[d](2.5,-0.5){\prune{\footnotesize{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\medskip

\item On donne l'algorithme ci-dessous.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X>{\raggedleft\arraybackslash}m{7cm}@{}}
La valeur affichée en sortie de cet algorithme est :

\begin{enumerate}
\item 7,1
\item 7,6
\item 8
\item 17
\end{enumerate}
&  \begin{tabular}{|p{6cm}|}\hline
\textsc{\textsf{variables}}\\ 
\hspace{1em}$n$ : un nombre entier naturel\\
\textsc{\textsf{traitement}}\\
\hspace{1em}Affecter à $n$ la valeur $0$\\
\hspace{1em}Tant que $1,9^n < 100$\\
\hspace{2em}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\hspace{1em}Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{sortie}}\\
\hspace{1em}Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{tabularx}

\medskip

\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0 ; 5]$ dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X>{\raggedleft\arraybackslash}m{7cm}@{}}
On a alors : 

\begin{enumerate}
\item $P(X \geqslant 3) = P(X < 3)$
\item $P(1 \leqslant  X \leqslant 4) = \dfrac{1}{3}$
\item $E(X) = \dfrac{5}{2}$
\item $E(X) = \dfrac{1}{5}$
\end{enumerate}
&  \psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(6,3)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=x]{->}(0,0)(-.999,-.999)(6,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](0,1)(5,1)
\uput[l](0,1){$\frac{1}{5}$}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie septembre 2015 (1)}} 

 \index{Polynésie septembre 2015}
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

À une roue de loterie dans une fête foraine, la probabilité annoncée de gagner une partie est égale à 0,12. Un joueur a la possibilité de jouer plusieurs parties.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un joueur achète un carnet de tickets permettant de faire quatre parties. La valeur la plus approchée de la probabilité que le joueur gagne une seule fois sur les quatre parties est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item \np{0,3271}& \item \np{0,0002} &\item \np{0,4824} &\item \np{0,1215}
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

\item  Après avoir gagné une partie, le joueur a la possibilité d'emporter son lot ou de le remettre en jeu. La probabilité qu'un joueur emporte son lot sachant qu'il a gagné est 0,8. La valeur la plus approchée de la probabilité qu'il parte avec son lot après une seule partie est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item 0,024 &\item 0,12 &\item 0,096 &\item 0,8
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

\item  On modélise le nombre de parties jouées par jour à cette loterie par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart-type $\sigma = 10$.

Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(140 < X < 160)$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item 0,954 & \item 0,683 &\item 0,997 &\item 0,841
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item  la fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2x + 1)\e^{-x}$, a pour expression :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $(-x - 1)\e^{-x}$ & \item $(- 2x - 3)\e^{-x}$ & \item $(2x + 3)\e^{-x}$ & \item $(-2x + 1)\e^{-x}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

\item Soit un nombre réel strictement positif $a$. Parmi ces suites d'inégalités quelle est l'inégalité correcte ?
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $a < \ln a < \e^a$& \item $\e^a < a < \ln a$
& \item $\ln a < \e^a < a$& \item $\ln a < a < \e^a$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{Q.C.M PROBABILITÉS} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2015 (1)}} 

 \index{Amérique du Nord 2015}
\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Un industriel veut lancer sur le marché une gamme de produits spécialement conçus pour les gauchers. Auparavant il cherche à estimer la proportion de gauchers dans la population française. Une première étude portant sur un échantillon de \np{4000} Français révèle que l'on dénombre de 484 gauchers.
\begin{enumerate}
	\item Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 permettant de connaître la proportion de gauchers dans la population française est (les bornes ont été arrondies à $10^{-3}$) :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
			\item $[0,120 ; 0,122]$	&	\item $[0,863 ; 0,895]$	&	\item $[0,105 ; 0,137]$	&	\item $[0,090 ; 0,152]$	
	\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

	\item La taille $n$ de l'échantillon que l'on doit choisir afin d'obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 ayant une amplitude de 0,01 est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
			\item $n=15$ &	\item $n=200$	& \item $n=\np{10000}$	& \item $n=\np{40000}$	
	\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Des chercheurs ont conçu un test pour évaluer la rapidité de lecture d'élèves de CE2. Ce test consiste à chronométrer la lecture d'une liste de 20 mots. On a fait passer ce test à un très grand nombre d'élèves de CE2. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le temps en seconde mis par un élève de CE2 pour passer le test. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu=32$ et d'écart-type $\sigma=13$.

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	\item La probabilité $p(19 \leqslant X \leqslant 45)$ arrondie au centième est :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
			\item $0,50$	&	\item $0,68$	&	\item $0,84$	&	\item $0,95$	
	\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On note $t$ la durée de lecture vérifiant $p(X \leqslant t)=0,9$. La valeur de $t$ arrondie à l'entier est :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
			\item $t=32~s$	&	\item $t=45~s$	&	\item $t=49~s$	&	\item $t=58~s$	
	\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Amérique du Sud 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2015 (4)}} 

 \index{Amérique du Sud 2015}

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\smallskip

\emph{Les probabilités sont données à $0,001$ près.}

\smallskip

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.

Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent $400$ enfants à cette fête ; ils indiquent aussi que 32\,\% des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'enfants issus des villages voisins est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item 128 &\item 272 & \item 303 & \item 368
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif. On admet que le nombre d'enfants est suffisamment grand pour que cette situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d'enfants de l'équipe habitant le village de Boisjoli.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $n = 400$ et $p = 0,32$ &\item $n = 8$ et $p = 0,32$ & \item $n = 400$ et $p = 8$ & \item $n = 8$ et $p = 0,68$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

\item La probabilité que dans l'équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item 0,125 &\item 0,875 & \item 0,954 & \item 1
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

\item L'espérance mathématique de $X$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item \np{1,7408} &\item 2,56 & \item 87,04 & \item 128
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Asie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2015 (1)}} 

 \index{Asie 2015}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\emph{Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point.}

\emph{Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun
point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 10 fois de suite. $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de \og pile \fg{} obtenus. 

La probabilité d'obtenir exactement 5 \og pile \fg{} est, arrondie au centième :
		
	\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
		\item 0,13	&	\item 0,19	&	\item 0,25	&	\item 0,5
	\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d'écart-type 2 ; alors une valeur approchée au centième de la probabilité $p(X \geqslant 5)$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
		\item 0,14	&	\item 0,16	&	\item 0,32	&	\item 0,84
	\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\item Dans une ville donnée, pour estimer le pourcentage de personnes ayant une voiture rouge, on effectue un sondage. 

L'amplitude de l'intervalle de confiance au seuil de 0,95 étant inférieure ou égale à 0,04 la taille de l'échantillon choisi est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
		\item 400	&	\item 1000	&	\item 2000	&	\item 2500
	\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
\item Une entreprise vendant des parquets flottants s'approvisionne auprès de deux fournisseurs A et B. Le fournisseur A livre 70\,\% du stock de l'entreprise. On sait que 2\,\% des pièces livrées par A présentent un défaut et 3\,\% des pièces livrées par B présentent un défaut. 

On prélève au hasard une pièce du stock de l'entreprise, quelle est la probabilité, que cette pièce soit sans défaut ?

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
		\item 0,023	&	\item 0,05	&	\item 0,97	&	\item 0,977
	\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
	\item Pour une puissance électrique donnée, le tarif réglementé du kilowattheure est passé de  0,1140 \euro{} au 01/07/2007 à  0,1372 \euro{} au 01/07/2014. 
	
	Cette augmentation correspond à un taux d'évolution arrondi au centième, chaque année, de :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
		\item 1,72 \%	&	\item 1,67 \%	&	\item 2,68 \%	&	\item 1,33 \%
	\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{VRAI-FAUX Probabilités} 

 \subsubsection[Pondichéry 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Pondichéry 2015 (1)}} 

 \index{Pondichéry 2015}
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\medskip

L'entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables et des clés USB.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi :


\begin{itemize}
\item Parmi les ordinateurs vendus, 5\,\% ont été retournés pour un défaut de batterie et parmi ceux-ci, 2\,\% ont aussi un disque dur défectueux.
\item Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5\,\% ont un disque dur défectueux.
\end{itemize}

\medskip

On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits.

Suite à l'achat en ligne d'un ordinateur :

\medskip

\emph{Proposition 1}

La probabilité que l'ordinateur acheté n'ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à $0,08$ à $0,01$ près.

\medskip

\emph{Proposition 2}

La probabilité que l'ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à \np{0,0485}.

\medskip

\emph{Proposition 3}

Sachant que l'ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO, exprimée en heure, suit une loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

\medskip

\emph{Proposition 4}

La probabilité que l'ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10~h est inférieure à 0,2.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

L'entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant que 98\,\% des clés commercialisées fonctionnent correctement.

Sur \np{1000} clés prélevées dans le stock,  50 clés se révèlent défectueuses.

\medskip

\emph{Proposition 5}

Ce test, réalisé sur ces \np{1000} clés, ne remet pas en cause la communication de l'entreprise.


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{SPÉCIALITÉ} 

\subsection{GRAPHES} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2015 (2)}} 

 \index{Amérique du Nord 2015}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}\medskip

Un créateur d'entreprise a lancé un réseau d'agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d'agences n'a fait qu'augmenter. Ainsi, l'entreprise qui comptait 200 agences au 1\up{er} janvier 2010 est passée à 300 agences au 1\up{er} janvier 2012 puis à 500 agences au 1\up{er} janvier 2014.

On admet que l'évolution du nombre d'agences peut être modélisée par une fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.

La variable $x$ désigne le nombre d'années écoulées depuis 2010 et $f(x)$ exprime le nombre d'agences en centaines. La valeur 0 de $x$ correspond donc à l'année 2010.

Sur le dessin ci-dessous, on a représenté graphiquement la fonction $f$.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X m{6cm}@{}}
On cherche à déterminer la valeur des c\oe fficients $a$, $b$ et $c$.
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item \`A partir des données de l'énoncé, écrire un système d'équations traduisant cette situation.
	\item En déduire que le système précédent est équivalent à : $MX=R$ avec $M=\begin{pmatrix*}[r]
	0	&	0	&	1 \\
	4	&	2	&	1	\\
	16	&	4	&	1	
\end{pmatrix*}$, $X=\begin{pmatrix}
	a \\b \\ c
\end{pmatrix}$ et $R$ une matrice colonne que l'on précisera.
\end{enumerate}
	\item On admet que $M^{-1}=\begin{pmatrix*}[l]
	\phantom{-}0,125 & -0,25 & \phantom{-}0,125 \\
	-0,75 &	\phantom{-}1 & -0,25 \\
	\phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0  \\
\end{pmatrix*}$.

\`A l'aide de cette matrice, déterminer les valeurs des c\oe fficients $a$, $b$ et $c$, en détaillant les calculs.
\end{enumerate}
&
\begin{flushright}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^2/8+x/4+2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(5,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-.25)(5,6)
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{4.744}{\f}
\psdots[linecolor=prune](0,2)(2,3)(4,5)
\uput[ur](0,2){\bleu{\footnotesize $D$}}
\uput[dr](2,3){\prune{\footnotesize $E$}}
\uput[dr](4,5){\prune{\footnotesize $C$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Suivant ce modèle, déterminer le nombre d'agences que l'entreprise possédera au 1\up{er} janvier 2016.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le responsable d'une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu'il doit visiter quotidiennement. 

Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X m{6cm}@{}}
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer si le graphe est connexe.
	\item Déterminer si le graphe est complet.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Déterminer si ce circuit existe dans les deux cas suivants :
\begin{enumerate}
	\item Le point d'arrivée est le même que le point de départ.
	\item Le point d'arrivée n'est pas le même que le point de départ.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
&

\begin{flushright}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.2,-.2)(5.2,5.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(1,5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}\rput(2,5){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}\rput(0,4){\cnode*{2pt}{C}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(1,4){\cnode*{2pt}{D}{\uput[ur](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(2,4){\cnode*{2pt}{E}{\uput[ur](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(4,4){\cnode*{2pt}{F}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(0,3){\cnode*{2pt}{G}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu G}}}}  \rput(1,3){\cnode*{2pt}{H}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu H}}}}  \rput(2,3){\cnode*{2pt}{I}{\uput[ur](0,0){\sf{\bleu I}}}} \rput(4,3){\cnode*{2pt}{J}{\uput[ur](0,0){\sf{\bleu J}}}} \rput(5,3){\cnode*{2pt}{K}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu K}}}} \rput(1,1){\cnode*{2pt}{L}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu L}}}} \rput(2,1){\cnode*{2pt}{M}{\uput[ur](0,0){\sf{\bleu M}}}} \rput(4,1){\cnode*{2pt}{N}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu N}}}}  \rput(2,0){\cnode*{2pt}{O}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu O}}}}  \rput(5,0){\cnode*{2pt}{P}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu P}}}}
\ncline{H}{L} \ncline{L}{M} \ncline{M}{O} \ncline{O}{P} \ncline{P}{K} \ncline{K}{J} \ncline{J}{N} \ncline{N}{M} \ncline{M}{I} \ncline{I}{J} \ncline{J}{F} \ncline{F}{E} \ncline{E}{B} \ncline{B}{A}\ncline{A}{D} \ncline{D}{C} \ncline{C}{G} \ncline{G}{H} \ncline{H}{D} \ncline{D}{E} \ncline{E}{I}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{tabularx}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2015 (2)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2015}
\parbox{0.6\linewidth}{Un cycliste désire visiter plusieurs villages notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables. 

Le graphe ci-contre schématise son plan ; les arêtes représentent les pistes cyclables et les distances sont en kilomètre. }
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{xunit=1.25cm,yunit=.8cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(0,5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}\rput(1.4,5){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}\rput(5,5){\cnode*{2pt}{C}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(5,1.5){\cnode*{2pt}{D}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(3.5,0){\cnode*{2pt}{E}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(0,1.5){\cnode*{2pt}{F}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(1.4,1.5){\cnode*{2pt}{G}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu G}}}} 
\ncline{A}{B}\ncput*{\small{\textsf{\prune 15}}} \ncline{B}{C}\ncput*{\small{\textsf{\prune 21}}}\ncline{C}{D}\ncput*{\small{\textsf{\prune 20}}}\ncline{D}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 10}}} \ncline{E}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 15}}}\ncline{G}{D}\ncput*{\small{\textsf{\prune 17}}} \ncline{D}{B}\ncput*{\small{\textsf{\prune 25}}} \ncline{B}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 10}}}\ncline{G}{F}\ncput*{\small{\textsf{\prune 20}}} \ncline{F}{A}\ncput*{\small{\textsf{\prune 30}}}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{flushright}}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

 Pour faire son parcours, le cycliste décide qu'il procèdera selon l'algorithme ci-dessous : 
 
 \begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|X|}\hline
ligne 1&Marquer sur le plan tous les villages comme non \og visités\fg \\ \hline
ligne 2& Choisir un village de départ \\ \hline
ligne 3&Visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ \hline
ligne 4&Rouler vers le village le plus proche\\ \hline
ligne 5& Tant que le village où il arrive n'est pas un village déjà visité \\ \hline
ligne 6&\hspace{1em}visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ 
ligne 7 &\hspace{1em}rouler vers le village le plus proche sans revenir en arrière\\ \hline
ligne 8& Fin Tant que\\ \hline
ligne 9&afficher la liste des villages visités \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle propriété du graphe permet à la ligne 4 d'être toujours exécutable ? 
\item En partant du village noté G, quelle sera la liste des villages visités ? 
\item Existe-t-il un village de départ qui permette, en suivant cet algorithme, de visiter tous les villages ? 
\item Le cycliste abandonne l'idée de suivre l'algorithme. Il souhaite maintenant, partant d'un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois. Cela sera-t-il possible ? 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip
                 
\begin{enumerate}
\item Écrire la matrice $M$ de transition de ce graphe (dans l'ordre $A, B, C, \ldots ,G$).   
\item  On donne la matrice $M^4$  :
  
\[M^4 =\bordermatrix{&A&   B&   C&   D&   E&   F&   G\cr
A&10	&5		&9	&11   &4   	&\textbf{1}   	&16\cr 
B&5 	&30   	&12  & 23 &18   &16  	&16\cr  
C&9 	&12   	&12  &14  &9   	&4   	&18\cr
D&11& 23  	& 14 &28  &14   &11   	&23\cr   
E&4  &18   	&9   &14   &12  	& 9   	&12\cr   
F&1  &16   	&4   &11   &9   	&10  	& 5\cr   
G&16 &16   	&18  &23   &12  & 5   	&30\cr
}\]

Interpréter le terme en gras, ligne A, colonne F (valant 1 ) dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Asie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2015 (2)}} 

 \index{Asie 2015}
La coopérative LAFRUITIERE collecte le lait de 7 exploitations de montagne. La situation
géographique est représentée par le graphe ci-dessous, noté $G_L$. La coopérative est située au
sommet A, les autres sommets B, C, D, E, F, G et H représentent les différentes exploitations ;
les arêtes représentent le réseau routier reliant ces exploitations.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(10,7.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(.5,7){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}\rput(6.5,7){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}\rput(10,4.5){\cnode*{2pt}{C}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(9,2){\cnode*{2pt}{D}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(3,6){\cnode*{2pt}{E}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(0,2.5){\cnode*{2pt}{F}{\uput[l](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(5,0){\cnode*{2pt}{G}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu G}}}}  \rput(6,4){\cnode*{2pt}{H}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu H}}}}
\ncline{A}{B} \ncline{A}{E} \ncline{A}{F} \ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} \ncline{B}{H} \ncline{C}{D} \ncline{D}{F} \ncline{D}{G} \ncline{D}{H} \ncline{E}{F} \ncline{E}{H} \ncline{F}{G}\ncline{F}{H}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe $G_L$ est-il complet ? Justifier.
		\item  Le graphe $G_L$ est-il connexe ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Est-il possible d'organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse.
\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $G_L$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique).
	
On donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix*}[r]
4 	&11 &3 &7 	&8 	&11 &3 &6\\
11 &8 	&7 &13 	&12 &8 	&6 &13\\
3 	&7 	&2 &7 	&5 	&6 	&2 &4\\
7	&13 &7 &8 	&8 	&13 &7 &12\\
8	&12 &5 &8 	&8 	&12 &5 &11\\
11 	&8 	&6 &13 	&12 &8 	&7 &13\\
3 	&6 	&2 &7 	&5 	&7 	&2 &4\\
6 	&13 &4 &12 	&11 &13 &4 &8
\end{pmatrix*}$

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à H.

Indiquer ces chemins.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Les arêtes sont pondérées par les distances entre les exploitations, exprimées en kilomètres. La coopérative doit collecter du lait provenant de l'exploitation D ; quel est le plus court parcours pour se rendre de A à D ? Justifier.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(10,7.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(.5,7){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}\rput(6.5,7){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}\rput(10,4.5){\cnode*{2pt}{C}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(9,2){\cnode*{2pt}{D}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(3,6){\cnode*{2pt}{E}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(0,2.5){\cnode*{2pt}{F}{\uput[l](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(5,0){\cnode*{2pt}{G}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu G}}}}  \rput(6,4){\cnode*{2pt}{H}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu H}}}}
\ncline{A}{B}\ncput*{\small{\textsf{\prune 19}}} \ncline{A}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 6}}} \ncline{A}{F}\ncput*{\small{\textsf{\prune 10}}} \ncline{B}{C}\ncput*{\small{\textsf{\prune 13}}} \ncline{B}{D} \ncput*{\small{\textsf{\prune 20}}}\ncline{B}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 7}}} \ncline{B}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 7}}} \ncline{C}{D}\ncput*{\small{\textsf{\prune 6}}} \ncline{D}{F}\ncput*{\small{\textsf{\prune 25}}} \ncline{D}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 15}}} \ncline{D}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 13}}} \ncline{E}{F}\ncput*{\small{\textsf{\prune 5}}} \ncline{E}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 14}}} \ncline{F}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 12}}}\ncline{F}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 8}}}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}


 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2015 (2)}} 

 \index{Centres étrangers 2015}
On a schématisé ci-dessous une partie du plan du métro londonien par un graphe $\Gamma$ dont les sommets sont les stations et les arêtes sont les lignes desservant ces stations.

Chaque station de métro est désignée par son initiale comme indiqué dans la légende.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12cm}@{\extracolsep{\fill}}X@{}}
\psset{unit=.9cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(12.5,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\cnodeput(0,4){B}{\small {\bleu {B}}} \cnodeput(10,0){E}{\small {\bleu {E}}} \cnodeput(2.5,2){G}{\small {\bleu {G}}} \cnodeput(12,4){H}{\small {\bleu {H}}} \cnodeput(9.5,6){K} {\small {\bleu {K}}}\cnodeput(5,4){O}{\small {\bleu {O}}} \cnodeput(7.5,2){P}{\small {\bleu {P}}} \cnodeput(5,0){W}{\small {\bleu {W}}}
\ncline{O}{H} \ncline{H}{K} \ncline{K}{O} \ncline{O}{P} \ncline{P}{G} \ncline{G}{O} \ncline{O}{B} \ncline{B}{G} \ncline{G}{W} \ncline{W}{E} \ncline{E}{P} \ncline{P}{H}
\end{pspicture}.&Légende 
\begin{itemize}
\item[]	B : Bond Street 
\item[]	E : Embankment 
\item[]	G : Green Park 
\item[]	H : Holborn 
\item[]	K : King's Cross St Pancras
\item[]	O : Oxford Circus 
\item[]	P : Piccadilly Circus 
\item[]	W : Westminster
\end{itemize}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est connexe.
		\item Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est complet.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.
\item Donner la matrice d'adjacence $M$ du graphe $\Gamma$ (les sommets seront rangés dans l'ordre
alphabétique).

Pour la suite de l'exercice, on donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix}
2 &3 &6 &4 &2 &7 &3  &1\\
3 &0 &1 &1 &2 &3 &6  &4\\
6 &1 &4 &4 &4 &9 &10 &6\\
4 &1 &4 &4 &5 &8  &8  &3\\
2 &2 &4 &5 &2 &7 &3  &1\\
7 &3 &9 &8 &7 &8 &10 &3\\
3 &6 &10&8 &3 &10&4  &1\\
1 &4 &6 &3 &1 &3 &1  &0\\
\end{pmatrix}$.

\item Un touriste se trouve à la station Holborn. Il prévoit de se rendre à la station Green Park en utilisant exactement trois lignes de métro sur son trajet.
	\begin{enumerate}
		\item Sans utiliser le graphe, donner le nombre de trajets possibles et justifier la réponse.
		\item Donner les trajets possibles .
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12cm}@{\extracolsep{\fill}}X@{}}
\psset{unit=.9cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(12.5,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\cnodeput(0,4){B}{\small {\bleu {B}}} \cnodeput(10,0){E}{\small {\bleu {E}}} \cnodeput(2.5,2){G}{\small {\bleu {G}}} \cnodeput(12,4){H}{\small {\bleu {H}}} \cnodeput(9.5,6){K} {\small {\bleu {K}}}\cnodeput(5,4){O}{\small {\bleu {O}}} \cnodeput(7.5,2){P}{\small {\bleu {P}}} \cnodeput(5,0){W}{\small {\bleu {W}}}
\ncline{O}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 1}}} \ncline{H}{K} \ncput*{\small{\textsf{\prune 3}}}\ncline{K}{O} \ncput*{\small{\textsf{\prune 5}}} \ncline{O}{P} \ncput*{\small{\textsf{\prune 1}}} \ncline{P}{G} \ncput*{\small{\textsf{\prune 2}}} \ncline{G}{O} \ncput*{\small{\textsf{\prune 2}}}\ncline{O}{B} \ncput*{\small{\textsf{\prune 3}}}\ncline{B}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 1}}} \ncline{G}{W}\ncput*{\small{\textsf{\prune 3}}} \ncline{W}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 2}}} \ncline{E}{P}\ncput*{\small{\textsf{\prune 4}}} \ncline{P}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 4}}}
\end{pspicture}.&Légende 
\begin{itemize}
\item[]	B : Bond Street 
\item[]	E : Embankment 
\item[]	G : Green Park 
\item[]	H : Holborn 
\item[]	K : King's Cross St Pancras
\item[]	O : Oxford Circus 
\item[]	P : Piccadilly Circus 
\item[]	W : Westminster
\end{itemize}
\end{tabularx}

\medskip

Sur le graphe pondéré ci-dessus, on a indiqué la durée, exprimée en minutes, des trajets entre
chaque station (la durée est indiquée sur chaque arête du graphe $\Gamma$).
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}\item À partir de la station Westminster, ce touriste doit rejoindre la station King's Cross St Pancras le plus rapidement possible pour prendre un train.

En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le trajet permettant de relier la station Westminster à la station King's Cross St Pancras en une durée minimale. On précisera cette durée.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2015 (2)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2015}
\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(5.5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(1.5,3.5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}\rput(3.8,3.5){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}\rput(1.5,1.9){\cnode*{2pt}{C}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(0,1.5){\cnode*{2pt}{D}{\uput[l](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(2,0){\cnode*{2pt}{E}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(3,1.9){\cnode*{2pt}{F}{\uput[ul](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(5.5,2.1){\cnode*{2pt}{G}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu G}}}}  \rput(5.2,0){\cnode*{2pt}{H}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu H}}}}
\ncline{A}{D} \ncline{D}{E} \ncline{E}{H}\ncline{H}{F} \ncline{F}{E} \ncline{E}{C} \ncline{C}{F} \ncline{F}{B} \ncline{B}{H} \ncline{H}{G} \ncline{G}{B} \ncline{B}{A}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer en justifiant si ce graphe :
	\begin{enumerate}
		\item est connexe ;
		\item admet une chaîne eulérienne.
	\end{enumerate}
\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe en prenant les sommets
dans l'ordre alphabétique.
On donne :

\[M^3 = \begin{pmatrix}
0 	&5 	&2 	&3 	&2 	&2 	&1 	&3\\
5	&4	&3	&2	&5	&9	&6	&8\\
2	&3	&2	&1	&6	&6	&3	&3\\
3	&2	&1	&0	&5	&3	&2	&2\\
2	&5	&6	&5	&4	&8	&3	&9\\
2 	&9 	&6 	&3 	&8 	&6 	&3 	&9\\
1	&6	&3 	&2 	&3 	&3 	&2 	&6\\
3	&8	&3 	&2	&9	&9 	&6 	&6\\
\end{pmatrix}
\]

Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Un club alpin souhaite proposer à ses membres des randonnées de plusieurs jours dans
les Alpes. À cet effet, huit refuges notés A, B, C, D, E, F, G et H ont été sélectionnés.

Le graphe $\mathcal{G}$ de la partie A permet de visualiser les différents itinéraires possibles, les
sommets représentant les refuges et les arêtes schématisant tous les sentiers de
randonnée balisés les reliant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après l'étude effectuée dans la partie A, le club alpin est-il en mesure de proposer :
	\begin{enumerate}
		\item un itinéraire au départ du refuge A qui passerait par tous les refuges en empruntant une fois et une seule fois chacun des sentiers? Si oui, proposer un tel itinéraire ;
		\item des itinéraires de trois jours (un jour correspondant à une liaison entre deux refuges) reliant le refuge E au refuge B ? Si oui, combien peut-il en proposer ?
	\end{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ est complété ci-dessous par la longueur en kilomètres de chacun des
sentiers.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(5.5,3.8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(1.5,3.5){\cnode*{2pt}{A}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu A}}}}\rput(3.8,3.5){\cnode*{2pt}{B}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu B}}}}\rput(1.5,1.9){\cnode*{2pt}{C}{\uput[u](0,0){\sf{\bleu C}}}} \rput(0,1.5){\cnode*{2pt}{D}{\uput[l](0,0){\sf{\bleu D}}}} \rput(2,0){\cnode*{2pt}{E}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu E}}}} \rput(3,1.9){\cnode*{2pt}{F}{\uput[ul](0,0){\sf{\bleu F}}}} \rput(5.5,2.1){\cnode*{2pt}{G}{\uput[r](0,0){\sf{\bleu G}}}}  \rput(5.2,0){\cnode*{2pt}{H}{\uput[d](0,0){\sf{\bleu H}}}}
\ncline{A}{D}\ncput*{\small{\textsf{\prune 14}}} \ncline{D}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 10}}}\ncline{E}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 10}}}\ncline{H}{F}\ncput*{\small{\textsf{\prune 11}}} \ncline{F}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 16}}}\ncline{E}{C}\ncput*{\small{\textsf{\prune 13}}} \ncline{C}{F}\ncput*{\small{\textsf{\prune 10}}} \ncline{F}{B}\ncput*{\small{\textsf{\prune 9}}}\ncline{B}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 21}}} \ncline{H}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 11}}} \ncline{G}{B}\ncput*{\small{\textsf{\prune 16}}}\ncline{B}{A}\ncput*{\small{\textsf{\prune 12}}}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip


Le club alpin désire aussi proposer à ses membres l'itinéraire le plus court reliant A à H.

Déterminer cet itinéraire et en préciser la longueur en kilomètres.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{GRAPHES PROBABILISTES} 

 \subsubsection[Amérique du Sud 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2015 (3)}} 

 \index{Amérique du Sud 2015}
Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l'hebdomadaire littéraire \og La Lecture \fg. Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et demande ou non l'avis de la bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire \og La Lecture \fg.

Lorsque Claudine demande à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle le demande de nouveau la semaine suivante est 0,9.

Lorsque Claudine ne demande pas à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle ne le demande pas non plus la semaine suivante est 0,6.

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut 0,1.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note :


\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis à la bibliothécaire la $n$-ième semaine ;
\item $b_n$, la probabilité que Claudine ne demande pas d'avis à la bibliothécaire la $n$-ième semaine ;
\item $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste la $n$-ième semaine.
\end{itemize}


On a ainsi $a_1 = 0,1$ et $b_1 = 0,9$.


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Illustrer la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B :
		
A représente l'état \og Claudine demande un avis à la bibliothécaire\fg{} ;

B représente l'état \og Claudine ne demande pas d'avis à la bibliothécaire \fg.

		\item Indiquer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A, B).
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'on a $P_2 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'état stable de la répartition du choix de la demande d'avis est $P = \begin{pmatrix}0,8& 0,2\end{pmatrix}$.
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a : $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4$.
	
On considère l'algorithme suivant :
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
\textsc{\textsf{Variables :}} & $A$ est un réel et $N$ est un entier naturel\\ \hline
\textsc{\textsf{Initialisation :}} & $A$ prend la valeur $0,1$\\
				& $N$ prend la valeur 1\\ \hline
\textsc{\textsf{Traitement :}} & Tant que $A \leqslant 0,79$\\
				& \hspace{1em}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
				& \hspace{1em}$A$ prend la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\
				& Fin du Tant que\\ \hline
\textsc{\textsf{Sortie :}} & Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir. (On ne demande pas de donner la valeur de $N$ affichée en sortie d'algorithme.)
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a : $a_n = 0,8 - 0,7 \times  0,5^{n-1}$.

Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à 0,799.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2015 (2)}} 

 \index{Antilles Guyane 2015}
Une municipalité vient de mettre en place le service \og vélo en liberté \fg. Il s'agit d'un service de location de vélos à la journée.

Les vélos sont disponibles sur deux sites $A$ et $B$ et doivent être ramenés en fin de journée indifféremment dans l'un des deux sites.

Après une étude statistique, on considère que :

\begin{itemize}
\item si un vélo est loué sur le site $A$, la probabilité d'être ramené en $A$ est 0,6 ;
\item si un vélo est loué sur le site $B$, la probabilité d'être ramené en $B$ est 0,7.
 \end{itemize}
 
Les résultats numériques seront arrondis à $10^{-2}$ près.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item En notant respectivement $A$ et $B$ les états \og le vélo est en $A$ \fg{} et \og le vélo est en $B$ \fg,
traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
\item  Donner $M$ la matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre $A$, $B$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ (respectivement $b_n$) la probabilité qu'un vélo quelconque soit, après $n$ jours, sur le site $A$ (respectivement sur le site $B$).

On note $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste après $n$ jours.

Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item On donne :

		\[M^2 = \begin{pmatrix} 0,48& 0,52\\0,39& 0,61\end{pmatrix}.\]
		
Calculer $P_2$ en donnant le détail des calculs matriciels.
		\item Calculer $P_4$ et interpréter le résultat dans le contexte du problème.
		\item Déterminer l'état stable du graphe, noté $\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$.
		\item Tous les mois, un véhicule est affecté à la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de 70 vélos sur chaque site.
		
La municipalité envisage d'affecter un véhicule pouvant contenir  12 vélos.
		
Ce choix parait-il adapté à la situation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015 (3)}} 

 \index{France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015}
Dans une société d'assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que 30\,\% de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l'année suivante, alors que 85\,\% de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l'année suivante.

En 2014, 60\,\% des clients paient en une fois et 40\,\% paient mensuellement.

Dans toute la suite de l'exercice, $n$ désigne un nombre entier naturel.

On note :

\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie en une fois pour l'année
$2014 + n$ ;
\item $b_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie mensuellement pour l'année $2014 + n$.
\end{itemize}

On a $a_0 = 0,6$ et $b_0 = 0,4$ et on note $P_n$ l'état probabiliste pour l'année $2014 + n$. Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}0,6& 0,4\end{pmatrix}$.

On note :

\begin{itemize}
\item A l'état \og le client paie en une fois \fg{} ;
\item B l'état \og le client paie mensuellement \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B.
\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
\item Déterminer la probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 (arrondir les résultats au millième).
\item Déterminer l'état stable et en donner une interprétation.
\item Pour tout entier naturel $n$, justifier que $a_{n+1} = 0,55a_n + 0,15$.
\item On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire un algorithme permettant de déterminer cet entier $n$.
		\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $a_n  = \dfrac{4}{15} \times 0,55^n + \dfrac{1}{3}$.
		
Déterminer par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Liban 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2015 (4)}} 

 \index{Liban 2015}
Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).

Une étude a montré que d'une année à l'autre :

\begin{itemize}
\item 41\,\% des clients de l'opérateur SAFIR le quittent pour l'opérateur TECIM ;
\item 9\,\% des clients de l'opérateur TECIM le quittent pour l'opérateur SAFIR ;
\item Aucun client ne renonce à l'utilisation de la 4G.
\end{itemize}

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste $\mathcal{G}$ de sommets S et T où :

\begin{itemize}
\item $S$ est l'évènement \og l'utilisateur de la 4G est un client de l'opérateur SAFIR \fg{} ;
\item $T$ est l'évènement \og l'utilisateur de la 4G est un client de l'opérateur TECIM \fg.
\end{itemize}

Chaque année on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}
\item $s_n$ la probabilité que cet utilisateur soit un client de l'opérateur SAFIR en $2014 + n$ ;
\item $t_n$ la probabilité que cet utilisateur soit un client de l'opérateur TECIM en $2014 + n$.
\end{itemize}


On note $P_n = \begin{pmatrix} s_n & t_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2014 + n$.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'opérateur TECIM atteindra l'objectif d'avoir comme
clients au moins 80\,\% de la population utilisatrice de la 4G.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste $\mathcal{G}$.
\item On admet que la matrice de transition du graphe $\mathcal{G}$ en considérant les sommets dans l'ordre $S$ et $T$ est $M = \begin{pmatrix}0,59& 0,41\\0,09& 0,91\end{pmatrix}$.

On note $P = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ la matrice ligne correspondant à l'état stable de ce graphe $\mathcal{G}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{l c l}
0,41a - 0,09b&=&0\\ a + b &=& 1\end{array}\right.$.
		\item Résoudre le système précédent.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que $a = 0,18$ et $b = 0,82$.
Déterminer, en justifiant, si l'opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

En 2014, on sait que 35\,\% des utilisateurs de la 4G sont des clients de l'opérateur SAFIR et que 65\,\%
sont des clients de l'opérateur TECIM. Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,35 & 0,65 \end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $t_{n+1} = 0,5t_n + 0,41$.
\item Pour déterminer au bout de combien d'années l'opérateur TECIM atteindra son objectif, on a
commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. 

Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet
algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|l X|}\hline
L1&\textsc{\textsf{variables :}}& $T$ est un nombre\\
L2&& $N$ est un nombre entier\\
L3&\textsc{\textsf{traitement :}}& Affecter à $T$ la valeur 0,65\\
L4&& Affecter à $N$ la valeur 0\\
L5&& Tant que $T < 0,80$\\
L6&& Affecter à $T$ la valeur \ldots\\
L7&& Affecter à $N$ la valeur \ldots\\
L8&& Fin Tant que\\
L9&\textsc{\textsf{sortie :}}& Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = t_n - 0,82$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$. Préciser son premier terme.
		\item En déduire que : $t_n = - 0,17 \times  0,5^n + 0,82$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation: $- 0,17 \times  0,5^n + 0,82 \geqslant 0,80$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2015 (2)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2015}
L'été un centre de loisirs propose aux adolescents la pratique du canoë-kayak ou de la planche à rame.

Tous les matins, chaque adolescent doit choisir un et un seul sport parmi les deux proposés.

On admet que :

\begin{itemize}
\item si un adolescent choisit le canoë-kayak un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse la planche à rame le jour suivant est égale à 0,4 ;
\item si un adolescent choisit la planche à rame un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse le canoë-kayak le jour suivant est égale à 0,2 ;
\item le premier jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le  canoë-kayak est égale à 0,85.
\end{itemize}

On note :

\begin{itemize}
\item $K$ l'état : \og l'adolescent choisit le canoë-kayak \fg{} ;
\item $\overline{K}$ l'état : \og l'adolescent choisit la planche à rame \fg.
\end{itemize}

On note, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\begin{itemize}
\item $p_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse le canoë-kayak lors du $n$-ième jour ;
\item $q_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse la planche à rame le $n$-ième jour ;
\item $P_n = \begin{pmatrix}p_n&q_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors du $n$-ième jour.
\end{itemize}

\begin{center}
\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $K$ et $\overline{K}$.
\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe, les sommets $K$ et $\overline{K}$ étant classés dans cet ordre.
\item Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}0,85& 0,15\end{pmatrix}$.
\item Avec la calculatrice, déterminer l'état probabiliste lors du 3\up{e} jour.
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, montrer que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$.
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\textsc{\textsf{Initialisation}}\\
Choisir un nombre entier naturel $N \geqslant 2$\\
$p$ prend la valeur $0,85$\\

\textsc{\textsf{Traitement}}\\
Pour $i$ allant de $2$ à $N$ 

\hspace{0.5cm}$p$ prend la valeur $0,4p +0,2$\\
Fin pour\\

\textsc{\textsf{Sortie}} 

Afficher $p$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur $N = 5$ saisie, recopier et compléter le tableau suivant par
autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de
l'algorithme. Arrondir les résultats au millième.

\begin{center}

\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $i$	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&2	&	&\\ \hline
Valeur de $p$	&0,85	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $N$ saisie est $5$.
		\item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le
nombre obtenu en sortie de cet algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

D'après la partie A, on sait que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.

On admet que $p_n = \dfrac{31}{60} \times 0,4^{n - 1} + \dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.

\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
\item Interpréter le résultat.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie mars 2016]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie mars 2016 (2)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie mars 2016}
Deux supermarchés concurrents, Alphamarché et Bétamarché ouvrent simultanément un service de retrait permettant à leurs clients de récupérer leurs courses après avoir passé leur commande sur internet.

Afin de promouvoir leur service de retrait, chacun organise une campagne de publicité.

Alphamarché contrôle l'efficacité de sa campagne par des sondages mensuels où les clients qui utilisent les services de retrait se prononcent tous en faveur d'un seul service de retrait, celui d'Alphamarché ou celui de Bétamarché.

Au début de la campagne, 20\,\% des personnes interrogées préfèrent Alphamarché.

Les sondages mensuels ont permis de mettre en évidence que les arguments publicitaires font évoluer chaque mois la répartition. 

On décide de modéliser cette évolution en considérant que 10\,\% des personnes préférant Alphamarché et 15\,\% des personnes préférant Bétamarché changent d'avis d'un mois sur l'autre.

Le mois du début de la campagne est noté mois $0$.

On interroge, au hasard, un client faisant ses courses dans l'un des deux services de retrait.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilité que le client interrogé préfère Alphamarché le mois $n$ ;
\item $b_n$ la probabilité qu'il préfère Bétamarché le mois $n$ ;
\item $P_n = \begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne désignant l'état probabiliste au mois $n$.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.
\item On note $A$, l'état \og Le client interrogé préfère Alphamarché \fg{} et $B$ l'état \og Le client interrogé préfère Bétamarché \fg.

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des
sommets.
		\item Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $P_n$ en fonction de $P_0$, $M$ et $n$.
		\item En déduire la matrice ligne $P_3$ et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Le service de retrait d'Alphamarché finira-t-il par être préféré à celui de Bétamarché ? Justifier.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2015 (2)}} 

 \index{Polynésie 2015}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Un constructeur de planches de surf fabrique 3 modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par 3 postes de travail. Le \textbf{tableau 1} indique le nombre d'heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le \textbf{tableau 2} indique le coût horaire par poste de travail.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.9\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-4}\cline{6-7}
\textsc{\textsf{tableau 1}}& Poste 1 	&Poste 2 	&Poste 3&	&\textsc{\textsf{tableau 2}}	&\\ \cline{1-4}\cline{6-7}
Modèle 1 &8 h 		&10 h 		&14 h	&	&Poste 1	& 25 \euro/h\\ \cline{1-4}\cline{6-7}
Modèle 2 &6 h 		&6 h 		&10 h	&	&Poste 2	& 20 \euro/h\\ \cline{1-4}\cline{6-7}
Modèle 3 &12 h 		&10 h 		&18 h	&	&Poste 3	& 15 \euro/h\\ \cline{1-4}\cline{6-7}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ et $C$ les deux: matrices suivantes : $H = \begin{pmatrix*}[r]8&10&14\\6&6&10\\12&10 &18\end{pmatrix*}$ et $C = \begin{pmatrix}25\\20\\15\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice produit $P = H \times C$.
		\item Que représentent les coefficients de la matrice $P = H \times C$ ?
	\end{enumerate}
\item  Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants :
	
	\begin{center}
Modèle 1 : 500 \euro{} ;\hfill  Modèle 2 : 350 \euro{} ;\hfill Modèle 3 : 650 \euro \end{center}
	
Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés $a$, $b$ et $c$, permettant d'obtenir ces prix de revient.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les réels $a$, $b$ et $c$ doivent être solutions du système $H \times \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}500\\350\\650\end{pmatrix}$.
		\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La façade du magasin dans lequel sont commercialisées les planches est illuminée par un très grand nombre de spots qui sont programmés de la manière suivante :


\begin{itemize}
\item les spots s'allument tous à 22 heures ;
\item toutes les 10 secondes à partir de 22 heures, et ce de manière aléatoire, 30\,\% des spots allumés s'éteignent et 50\,\% de ceux qui sont éteints se rallument.
\end{itemize}

On note : $A$ l'état: \og le spot est allumé\fg{} et $E$ l'état : \og le spot est éteint \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner un graphe probabiliste traduisant la situation.
		\item Recopier et compléter la matrice de transition (dans l'ordre $A$,  $E$) associée au graphe, $M = \begin{pmatrix}\cdots& 0,3\\0,5&\cdots\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item On note $n$ le nombre d'étapes (c'est à dire d'intervalles de temps de 10 secondes) qui
s'écoulent à partir de 22 heures et $P_n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix}$ l'état d'un spot à l'étape $n$, où $a_n$ est la probabilité qu'il soit allumé et $b_n$ la probabilité qu'il soit éteint.
	
On a alors, pour tout entier naturel $n$ :\: $P_{n+ 1} = P_n \times M$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$. Écrire une relation entre $P_0$ et $P_n$.
		\item Déterminer les coefficients de la matrice $P_3$. Quelle est la probabilité que le spot considéré soit éteint à 22 heures et 30 secondes ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable $\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ du graphe probabiliste.
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsubsection[Pondichéry 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Pondichéry 2015 (2)}} 

 \index{Pondichéry 2015}
Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois sites peut, à toutes les minutes, soit y rester soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.

\begin{itemize}
\item Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d'utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,2.
\item Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,4.
\item Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,2 mais il n'y a pas de lien direct avec B.
\end{itemize}


\medskip

L'unité de temps est la minute, et à un instant $t = 0$, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : 100, 0 et 0.

On représente la distribution des internautes sur les trois sites après $t$ minutes par une matrice $N_t$ ; ainsi $N_0 = \begin{pmatrix}100& 0& 0\end{pmatrix}$.

On suppose qu'il n'y a ni déconnexion pendant l'heure (de $t = 0$ à $t = 60$) ni nouveaux internautes visiteurs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite.
\item Écrire la matrice $M$ de transition associée à ce graphe (dans l'ordre A, B, C).
\item On donne

\[M^2 = \begin{pmatrix}0,42& 0,22& 0,36\\0,19& 0,27& 0,54\\0,28& 0,04& 0,68\end{pmatrix}
\quad \text{et} \quad M^{20} \approx \begin{pmatrix}
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\end{pmatrix}.\]

Calculer $N_2$. Interpréter le résultat obtenu.
\item Calculer $N_0 \times  M^{20}$. Conjecturer la valeur de l'état stable et interpréter la réponse.
\item Un des internautes transmet un virus à tout site qu'il visitera.

Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l'instant $t = 0$, le site C est donc infecté.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 1$ le site A soit infecté ?
		\item Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 2$ les trois sites soient infectés ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{GRAPHES PROBABILISTES (Avec algorithme de Dijkstra)} 

\subsubsection[Polynésie septembre 2015]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie septembre 2015 (2)}} 

 \index{Polynésie septembre 2015}
Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de réduire l'utilisation des automobiles en ville en instaurant une taxe pour les automobiles circulant dans une zone du centre ville appelée ZTL (Zone à Trafic Limité) et de développer un réseau de navettes.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

L'objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans
la zone ZTL, dans les deux ans à venir.

Initialement, 40\,\% des automobiles circulant dans la ville, circulaient dans cette zone ZTL. Suite à l'instauration de la taxe, l'évolution du trafic dans la ville a été suivie mois après mois.

L'étude a révélé que, parmi les automobiles circulant dans la ville :

\begin{itemize}
\item 3\,\% des automobiles circulant dans la zone ZTL n'y circulaient plus le mois suivant.
\item 0,2\,\% des automobiles qui ne circulaient pas dans la zone ZTL ont été amenés à y circuler le mois suivant.
\end{itemize}

On note $Z$ l'état: \og l'automobile a circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg{} et 
$\overline{Z}$ l'état : \og l'automobile n'a pas circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg{}.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item $a_n$ la proportion d'automobiles circulant dans la zone ZTL au cours du $n$-ième mois ;
\item $b_n$ la proportion d'automobiles ne circulant pas dans la zone ZTL au cours du $n$-ième mois ;
\item $P_n = \begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste après $n$ mois.
\end{itemize}

On a : $a_n + b_n = 1$ et $P_0 = \begin{pmatrix}0,4& 0, 6\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $Z$ et $\overline{Z}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe (la première colonne concerne $Z$ et la deuxième concerne $\overline{Z}$).
		\item Vérifier que $P_1 = \begin{pmatrix}\np{0,3892}& \np{0,6108}\end{pmatrix}$.
 	\end{enumerate}
\item  L'objectif affiché par la municipalité sera-t-il atteint ?
\end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}


\parbox{0.45\linewidth}{Un réseau de navettes gratuites est mis en
place entre des parkings situés aux abords
de la ville et les principaux sites de la ville.
 
 \medskip
 
Le graphe ci-contre indique les voies et les
temps des liaisons, en minutes, entre ces différents
sites.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{ \psset{xunit=1.5cm, yunit=1cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\cnodeput(2,4.5){A}{\sf{\bleu A}}
\cnodeput(2,2.5){B}{\sf{\bleu B}}
\cnodeput(2,0.5){C}{\sf{\bleu C}}
\cnodeput(4,4.5){D}{\sf{\bleu D}}
\cnodeput(4,0.5){E}{\sf{\bleu E}}
\cnodeput(5.5,4.5){F}{\sf{\bleu F}}
\cnodeput(6,2.5){G}{\sf{\bleu G}}
\cnodeput(0.5,2.5){H}{\sf{\bleu P}}
\ncline{A}{D}\ncput*{\small{\textsf{\prune 5}}}
\ncline{D}{F}\ncput*{\small{\textsf{\prune 5}}}
\ncline{F}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 7}}}
\ncline{A}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 9}}}
\ncline{A}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 6}}}
\ncline{B}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 8}}}
\ncline{B}{C}\ncput*{\small{\textsf{\prune 3}}}
\ncline{B}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 5}}}
\ncline{C}{H}\ncput*{\small{\textsf{\prune 4}}}
\ncline{C}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 9}}}
\ncline{D}{B}\ncput*{\small{\textsf{\prune 6}}}
\ncline{D}{E}\ncput*{\small{\textsf{\prune 4}}}
\ncline{D}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 8}}}
\ncline{D}{F}\ncput*{\small{\textsf{\prune 5}}}
\ncline{F}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 7}}}
\ncline{E}{G}\ncput*{\small{\textsf{\prune 10}}}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{flushright}}


\begin{enumerate}
\item Peut-on envisager un itinéraire qui relierait le parking P à la gare G en desservant une et
une seule fois tous les sites ?
\item Peut-on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?
\item Déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G.
\end{enumerate}


\newpage

\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\setdefaultenum {I - }{}{}{}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT 2015}}

\bigskip

{\Large \textsc{série es : index des différents sujets}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2.25cm}{2.25cm}
\vspace{\stretch{1}}
\hrulefill

  \begin{itemize}
  \item[] Amérique du Nord 2015 \dotfill \hyperpage{1}, \hyperpage{15}, \hyperpage{41}, \hyperpage{69}, \hyperpage{75}
  \item[] Amérique du Sud 2015 \dotfill  \hyperpage{2}, \hyperpage{30}, \hyperpage{46}, \hyperpage{70}, \hyperpage{84}
  \item[] Antilles Guyane 2015 \dotfill  \hyperpage{3}, \hyperpage{42}, \hyperpage{48}, \hyperpage{57}, \hyperpage{85}
  \item[] Antilles Guyane septembre 2015 \dotfill \hyperpage{4}, \hyperpage{17}, \hyperpage{43}, \hyperpage{63}, \hyperpage{76}
  \item[] Asie 2015 \dotfill \hyperpage{5}, \hyperpage{19}, \hyperpage{39}, \hyperpage{71}, \hyperpage{77}
  \item[] Centres étrangers 2015 \dotfill  \hyperpage{6}, \hyperpage{31}, \hyperpage{49}, \hyperpage{58}, \hyperpage{79}
  \item[] France Métropolitaine, La Réunion 2015 \dotfill \hyperpage{7}, \hyperpage{20}, \hyperpage{32}, \hyperpage{50}, \hyperpage{81}
  \item[] France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015 \dotfill \hyperpage{8}, \hyperpage{22}, \hyperpage{33}, \hyperpage{51}, \hyperpage{86}
  \item[] Liban 2015 \dotfill \hyperpage{9}, \hyperpage{24}, \hyperpage{52}, \hyperpage{61}, \hyperpage{87}
  \item[] Nouvelle Calédonie 2015 \dotfill \hyperpage{10}, \hyperpage{25}, \hyperpage{54}, \hyperpage{59}, \hyperpage{89}
  \item[] Nouvelle Calédonie mars 2016 \dotfill \hyperpage{11}, \hyperpage{26}, \hyperpage{55}, \hyperpage{64}, \hyperpage{90}
  \item[] Polynésie 2015 \dotfill \hyperpage{12}, \hyperpage{34}, \hyperpage{44}, \hyperpage{66}, \hyperpage{91}
  \item[] Polynésie septembre 2015 \dotfill \hyperpage{27}, \hyperpage{36}, \hyperpage{67}, \hyperpage{94}
  \item[] Pondichéry 2015 \dotfill \hyperpage{13}, \hyperpage{28}, \hyperpage{37}, \hyperpage{73}, \hyperpage{92} 
\end{itemize}

\hrulefill
\vspace{\stretch{2}}
\end{ModifMarges}

	\end{sffamily}

 \end{document}