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\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture*}(16,4.5)
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\end{pspicture*}



\vspace{\stretch{2}}

\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales des sujets de mathématiques session 2016}}}
 
\vspace{\stretch{1}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{ES obligatoire et L spécialité}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
 
\begin{center}
\LARGE{\bf {Les sujets proposés sont établis à partir des énoncés mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
\newpage

\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\textsf{\textsc{{sommaire des sujets de la session 2016}}}}

 \vspace{\stretch{1}}
 
\hrulefill

\vspace{\stretch{1}}
}
\textsf{\tableofcontents}

\bigskip
 
\hrulefill

}
\end{titlepage}

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}} 

\pagenumbering{arabic}

\lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat es - l session 2016}}}}
\rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{ES obligatoire et L spécialité}}}
\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{\leftmark}}}  
\cfoot{\scriptsize{\textsf{-~\thepage{}~-}}}                                                     
\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}

\section{AMÉRIQUE DU NORD 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

À une sortie d'autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que :

\begin{itemize}
\item 28\,\% des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés;
un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes;
\item 52\,\% des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75\,\% franchissent le péage en moins de 10 secondes ;
\item les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement  (pièces ou billets).
\end{itemize}

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $G$  : \og l'automobiliste emprunte la voie de gauche \fg{} ;
\item $C$  : \og l'automobiliste emprunte la voie du centre \fg{} ;
\item $D$  : \og l'automobiliste emprunte la voie de droite \fg{} ;
\item $T$  : \og l'automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes \fg.
\end{itemize} 


On note $\overline{T}$ l'évènement contraire de l'évènement $T$.

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice.
\item Calculer la probabilité $p(C \cap T)$.
\item L'étude a aussi montré que 70\,\% des automobilistes passent le péage en moins de 10~secondes.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $p (D \cap T) = 0,03$.
		\item Calculer la probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Quelques kilomètres avant la sortie de l'autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire $V$ qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en $\mathrm{km.h}^{-1}$.

On admet que $V$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 120$ et d'écart-type $\sigma = 7,5$.


\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $p(120 < V < 130)$. On arrondira le résultat au millième.
\item Une contravention est envoyée à l'automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à $138 \mathrm{km.h}^{-1}$.

Déterminer la probabilité qu'un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1\up{er} janvier 2016, on compte \np{4000} abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d'un mois sur l'autre, 8\,\% des anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, \np{8000} nouvelles personnes s'abonnent.


\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'abonnés à la date du 1\up{er} février 2016.
\end{enumerate}

Pour la suite de l'exercice, on modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$  représente le nombre de milliers d'abonnés au bout de $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2016.

La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par : $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,92 u_n + 8$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\textsc{\textsf{Variables}} \\
$N$ est un nombre entier naturel\\
$U$ est un nombre réel\\
\textsc{\textsf{Traitement}}\\
$U$ prend la valeur 4\\
$N$ prend la valeur 0\\
Tant que $U < 40$ 
\begin{itemize}
\item[] $U$ prend la valeur $0,92 \times U + 8$ 
\item[] $N$ prend la valeur $N + 1$
\end{itemize}
Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{Sortie}}\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
		
Les valeurs de $U$ seront arrondies au dixième.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X }\hline		
Valeur de $U$& 4& \ldots & \ldots \\ \hline
Valeur de $N$& 0& \ldots & \ldots \\ \hline
Condition $U < 40$ & vraie & \ldots & \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le
contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 100$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,92$ et calculer son premier terme $v_0$.
		\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 100 - 96 \times  0,92^n$.
	\end{enumerate}
\item  En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre
d'abonnés devient supérieur à \np{70000}.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (4 points)} \index{B@Q.C.M. Analyse et Probabilités!} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle $[10 ; 50]$. La probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle $[15 ; 20]$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item$\dfrac{5}{50}$&\item$\dfrac{1}{8}$&\item$\dfrac{1}{40}$&\item$\dfrac{1}{5}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Le prix d'un produit est passé de 200~\euro{} à 100~\euro.

Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d'environ :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item50\,\% & \item 25\,\% & \item 29\,\% & \item 71\,\%
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle $[0 ; 18]$.

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(10,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{5*(x-2)*(x^2-31*x+274)/83}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-4)(10,5)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-1.99,-39.9)(20,50)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](20,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,50){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{18}{\f}
\uput[d](17,40){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On peut affirmer que :

	\begin{enumerate}
		\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 18]$ sont négatives sur l'intervalle $[0 ; 2]$.
		\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 18]$ sont négatives sur l'intervalle $[8 ; 12]$.
		\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 18]$ sont croissantes sur l'intervalle $[0 ; 2]$.
		\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 18]$ sont croissantes sur l'intervalle $[8 ; 12]$.
	\end{enumerate}
\item Lors d'un sondage, 53,5\,\% des personnes interrogées ont déclaré qu'elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% donné par l'institut de sondage est {$[51\,\% ; 56\,\%]$}. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item	40&\item 400&\item \np{1600}&\item \np{6400}
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!da@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
\textsf{\textbf{{\textsc{partie a :}}} Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; 1,5]$ par $f(x) = 9x^2(1 - 2\ln x) + 10$.

La courbe représentative de $f$ est donnée ci-dessous:

\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=0.2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-3)(1.8,25)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=5]{->}(0,0)(-.12,-3)(1.8,25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](1.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,25){\footnotesize{$y$}}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0.0001}{1.5}{1 x ln 2 mul sub x dup mul mul 9 mul 10 add}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = - 36 x \ln x$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 1,5]$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0 ; 1,5]$.
		\item Déduire de la question précédente les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 1,5]$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $f''(x) = - 36 \ln x - 36$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 1,5]$.
	
Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion dont l'abscisse est $\e^{ -1}$.
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; 1,5]$ par $F(x) = 10 x + 5x^3 - 6x^3\ln x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0 ; 1,5]$.
		\item Calculer $\displaystyle\int_1^{1,5}  f(x)\dd x$. 
		
On donnera le résultat arrondi au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b :}}} Application économique}

\medskip	
	

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
	\medskip
	
Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.
	
Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, où $x$
représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et $f(x)$ représente le prix de
l'action, exprimé en euros.
	
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la
réponse.
	
\medskip
	
 \textsf{\textbf{{\textsc{Proposition 1 :}}}}
	
\og Sur la période des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur. \fg

\medskip
	
 \textsf{\textbf{{\textsc{Proposition 2 :}}}}	

\og Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été inférieure à 17~\euro. \fg


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{AMÉRIQUE DU SUD 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (4 points)} \index{B@Q.C.M. Analyse et Probabilités!} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 6]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{3*x-1.538*x*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-1,-1)(7,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(7,5)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
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\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.001}{6}{\f}
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](0,0)(6,1.444)
\uput[ur](6,1.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
On pose $I=\displaystyle \int_2^4 f(x) \dd x$. Un encadrement de $I$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $0 \leqslant I \leqslant 2$	& \item $2 \leqslant I \leqslant 4$ & \item $4 \leqslant I \leqslant 6$ & \item $6 \leqslant I \leqslant 8$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 2\e^x-3x^2$.

La courbe représentative de $g$ admet un point d'inflexion qui a pour abscisse :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item 1	& \item 0 & \item $\ln 3$ & \item $\ln 2$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10 ; 0,6)$.

La probabilité qui admet pour valeur approchée 0,012 est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $p(X = 2)$	& \item $p(X \geqslant 2)$ & \item $p(X \leqslant 2)$ & \item $p(X < 2)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Une société de vente en ligne de chaussures souhaite connaître la proportion d'articles présentant un défaut de coloris. Pour cela, on prélève au hasard dans le stock 400 paires de chaussures. On constate que 24 paires présentent ce défaut.

L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de 95 \%, de la proportion $p$ de paires de chaussures présentant un défaut de coloris est : 

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $[0,89 ; 0,99]$	& \item $[0,01 ; 0,11]$ & \item $[0,05 ; 0,07]$ & \item $[0,92 ; 0,96]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!da@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[1 ; 45]$ par $g(x) = - 20x + 5x \ln(x) + 30$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$.
		
Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $[1 ; 45]$, on a $g'(x) = - 15 + 5 \ln(x)$.
		\item Montrer que l'inégalité $- 15 + 5 \ln(x) \geqslant 0$ est équivalente à $x \geqslant \e^3$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ (les valeurs seront arrondies au centième si besoin).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1 ; 45]$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle $[1 ; 45]$.
 	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[1 ; 45]$ par $G(x) = - 11,25x^2 + 2,5x^2\ln (x) + 30x$.
	
Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1 ; 45]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer une valeur approchée au dixième de l'intégrale $\displaystyle\int_{10}^{45} g(x) \dd x$.
		\item Déduire de la question précédente la valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle $[10 ; 45]$. Arrondir le résultat à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


Un ballon sonde, lâché à une altitude de 1 km, relève en continu la température atmosphérique jusqu'à 45 km d'altitude.

On admet que la fonction $g$ définie dans la partie A modélise la température de l'air, exprimée en degrés Celsius, en fonction de l'altitude $x$ du ballon sonde, exprimée en km.


À l'aide des résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'altitude à partir de laquelle la température devient inférieure à 0 degré Celsius.
\item Déterminer la température minimale relevée par la sonde.
\item On appelle stratosphère la couche atmosphérique se situant entre 10~km et 45 km d'altitude.

Déterminer la température moyenne de la stratosphère. Le résultat sera arrondi au degré.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Le gérant d'un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son établissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures.

Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial de l'UNESCO et l'hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l'indique le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1997 &1998 &1999 &2000\\ \hline
Nombre de clients& 950 &\np{1105} &\np{2103} &\np{2470}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000.
\end{enumerate}

Par ailleurs, depuis le 1\up{er} janvier 2000, une étude statistique a permis de mettre en évidence que, chaque année, l'hôtel compte \np{1200} nouveaux clients et que 70\,\% des clients de l'année précédente reviennent.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre total de clients de l'hôtel durant l'année $2000 + n$.

On a ainsi $u_0 = \np{2470}$ et, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+ 1} = 0,7u_n + \np{1200}$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Déterminer le nombre total de clients durant l'année 2001.
\item Le gérant de l'hôtel souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera \np{3900}.

Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année correspondante.

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|c|X|}
\multicolumn{1}{c}{\textsf{Algorithme 1}} &\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textsf{Algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textsf{Algorithme 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
$U$ prend la valeur \np{2470} && $U$ prend la valeur \np{2470}&& $N$ prend la valeur 0\\
$N$ prend la valeur 0 && $N$ prend la valeur 0 && $N$ prend la valeur 0\\
Tant que $U < \np{3900}$ 
\begin{itemize}
\item[] $U$ prend la valeur  $0,7\times U + \np{1200}$
\item[] $N$ prend la valeur $N + 1$
\end{itemize}
Fin tant que && Tant que $U > \np{3900}$
\begin{itemize}
\item[] $U$ prend la valeur  $0,7\times U + \np{1200}$
\item[] $N$ prend la valeur $N + 1$
\end{itemize}
Fin tant que && Tant que $U < \np{3900}$
\begin{itemize}
\item[] $U$ prend la valeur  $0,7\times U + \np{1200}$
\item[] $N$ prend la valeur $N + 1$
\end{itemize}
Fin tant que\\      
Afficher 2000 + $N$ && Afficher 2000 + $N$ && Afficher $U$\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{4000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$ et préciser le premier terme.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item Justifier que $u_n = \np{4000} - \np{1530} \times  0,7^n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé \np{3900}.
	\end{enumerate}
\item À long terme, déterminer le nombre de clients que le gérant de l'hôtel peut espérer avoir chaque année.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

L'entreprise Éclairage vend des ampoules à deux magasins de bricolage : Atelier et Bricolo. 

Cette entreprise propose trois types d'ampoules : les ampoules fluocompactes qui représentent 30\,\% du stock, les ampoules halogènes qui représentent 25\,\% du stock et les ampoules à LED qui représentent 45\,\% du stock.

On sait que :

\begin{itemize}
\item 65\,\% des ampoules fluocompactes sont achetées par le magasin Atelier ;
\item 70\,\% des ampoules halogènes sont achetées par le magasin Bricolo ;
\item 50\,\% des ampoules à LED sont achetées par le magasin Atelier.
\end{itemize}


On prélève au hasard une ampoule provenant du stock de l'entreprise Éclairage.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[ ]$F$ : \og l'ampoule est une ampoule fluocompacte \fg{} ;
\item[ ]$H$ : \og l'ampoule est une ampoule halogène \fg{} ;
\item[ ]$L$ : \og l'ampoule est une ampoule à LED \fg{} ;
\item[ ]$A$ : \og l'ampoule est achetée par le magasin Atelier \fg{} ;
\item[ ]$B$ : \og l'ampoule est achetée par le magasin Bricolo \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :


\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,labelsep=1pt,nodesepB=1.5pt,linecolor=bleu]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $F$}}
	  {\TR{\bleu $A$}
		  \TR{\bleu $B$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $H$}}
	  {\TR{\bleu $A$}
		\TR{\bleu $B$}}
	\pstree[nodesepA=1pt]{\TR{\bleu $L$}}
	  {\TR{\bleu $A$}
		  \TR{\bleu $B$}
	  }	
}
\end{center}

\item Calculer $p(F \cap A)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer la probabilité qu'une ampoule soit achetée par le magasin Bricolo.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une norme de qualité stipule qu'une marque peut commercialiser ses ampoules si leur durée de vie est supérieure à \np{20000}~heures avec une probabilité d'au moins 0,95.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque ÉclaireBien. On admet que $X$ suit la loi normale dont la fonction de densité est tracée ci-après.

L'aire grisée comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 0,46.

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm, yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.05)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleuclair]{-2}{0} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleuclair](0,0)(-2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
\psset{unit=.8cm}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-7,0)(7,5)
\psset{xunit=1.6cm, yunit=8cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=100, yAxis=false]{-}(0,0)(-3.5,0)(3.5,0)
\multido{\n=-3+1,\i=10000+10000}{7}{% 
\uput[d](\n,0){\footnotesize\np{\i}}
}
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1.25pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-2,0)(-2,.05399)\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0)(0,.39894)
\uput[u](-.75,.1){\footnotesize\prune{0,46}}
\end{pspicture}
\end{center}
À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'espérance mathématique de $X$.
		\item Déterminer $p(\np{20000} < X < \np{60000})$.
		\item Déterminer si la marque ÉclaireBien pourra commercialiser ses ampoules. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item On note $Y$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, en heures, d'une ampoule de la marque BelleLampe.
	
On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance \np{42000} et d'écart-type \np{15000}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la marque BelleLampe ne pourra pas commercialiser ses ampoules.
		\item Déterminer le nombre $a$, arrondi à l'unité, tel que $p(Y < a) = 0,05$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{ANTILLES GUYANE 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (5 points)} \index{B@Q.C.M. Analyse et Probabilités!} 

 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[ - 1 ; 3]$ :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(13.5,2.4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(13.5,2.6) \psline(2,0)(2,2.6) \psline(0,1.8)(13.5,1.8)
\rput(1,2.2){$x$}\rput(2.5,2.2){$- 1$} \rput(6,2.2){$1$} \rput(9.5,2.2){$2$}\rput(13,2.2){$3$}
\rput(1,1.2){variations}
\rput(1,.6){de $f$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{$-2$}} \rput(6,1.5){\rnode{B}{$2$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{{$-1$}}} \rput(13,1.5){\rnode{D}{$-0,5$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=1pt,arrowscale=1.5}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans l'intervalle $[ - 1 ; 3]$, l'équation $f(x) = 0$ admet :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}}
 \item exactement 3 solutions &  \item  exactement 2 solutions \\  \item exactement 1 solution  & \item  pas de solution
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item L'équation $\ln (2x) = 2$ admet une unique solution $x_0$ sur $\R$. On a :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $x_0 = 0$ & \item $x_0 = \dfrac{\e^2}{2}$ & \item $x_0 = \dfrac{\ln 2}{2}$ & \item $x_0 = \np{3,6945}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item La suite $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 400$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.

La somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$ est égale à :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $2\times \left(1 - 0,5^{10}\right)$ & \item $2\times \left(1 - 0,5^{11}\right)$ & \item $800\times\left(1 - 0,5^{10}\right)$ & \item $800 \times \left(1 - 0,5^{11}\right)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On considère l'algorithme ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline
\textsf{Variables :}	&$n$ est un nombre entier naturel \\
								&$U$ est un nombre réel\\
\textsf{Traitement :}&Affecter à $n$ la valeur $0$ \\
								&Affecter à $U$ la valeur 50\\
								&Tant que $U < 120$ faire\\
								&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
												$U$ prend la valeur $1,2\times U$\\ 
												$n$ prend la valeur $n+1$
												\end{tabular}\\
								&Fin Tant que \\
\textsf{Sortie :}						&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  
En  fin d'exécution, cet algorithme affiche la valeur :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item  4 & \item $124,416$ & \item  5 & \item 96
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 2 + 3 \ln(x)$.

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ a pour équation :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item  $y = \dfrac{3}{x}$ & \item  $y = 3x - 1$ & \item  $y = 3x$ & \item  $y = 3x + 2$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate} 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

Une agence de location de voitures dispose de trois types de véhicules : berline, utilitaire ou luxe, et propose, au moment de la location, une option d'assurance sans franchise.

Une étude statistique a permis d'établir que :

\begin{itemize}
\item 30\,\% des clients ont loué une berline et 10\,\% ont loué un véhicule de luxe.
\item 40\,\% des clients qui ont loué une berline ont choisi l'option d'assurance sans franchise.
\item 9\,\% des clients ont loué un véhicule de luxe et ont choisi l'option d'assurance sans franchise.
\item 21\,\% des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont choisi l'option d'assurance sans franchise.
\end{itemize}

On prélève au hasard la  fiche d'un client et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $B$ : le client a loué une berline.
\item $L$ : le client a loué un véhicule de luxe.
\item $U$ : le client a loué un véhicule utilitaire.
\item $A$ : le client a choisi l'option d'assurance sans franchise.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous avec les données de l'énoncé.
\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,labelsep=1pt,nodesepB=1.5pt,linecolor=bleu]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $B$}\ncput*{\psframebox[linewidth=.5pt,framesep=4pt]{$\cdots$}}}
	  {\TR{\bleu $A$}\ncput*{\psframebox[linewidth=.5pt,framesep=4pt]{$\cdots$}}
		  \TR{\bleu $\overline{A}$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $L$}\ncput*{\psframebox[linewidth=.5pt,framesep=4pt]{$\cdots$}}}
	  {\TR{\bleu $A$}~{\hspace{1em}\psframebox[linewidth=.5pt,framesep=4pt]{$\quad\cdots\quad$}}
		\TR{\bleu $\overline{A}$}}
	\pstree[nodesepA=1pt]{\TR{\bleu $U$}}
	  {\TR{\bleu $A$}~{\hspace{1em}\psframebox[linewidth=.5pt,framesep=4pt]{$\quad\cdots\quad$}}
		  \TR{\bleu $\overline{A}$}
	  }	
}
\end{center}
\item Quelle est la probabilité que le client ait loué une berline et ait choisi l'option d'assurance sans franchise ?
\item Calculer la probabilité qu'un client ait choisi l'option d'assurance sans franchise.
\item Calculer $P_L(A)$, la probabilité que le client ait souscrit une assurance sans franchise sachant qu'il a loué une voiture de luxe.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Le temps d'attente au guichet de l'agence de location, exprimé en minutes, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1 ; 20]$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'attendre plus de douze minutes ? 
\item Préciser le temps d'attente moyen.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip

Cette agence de location propose l'option   retour du véhicule dans une autre agence.

Une étude statistique a établi que le nombre mensuel de véhicules rendus dans une autre agence peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 220$ et d'écart-type $\sigma = 30$.

Si pour un mois donné, le nombre de véhicules rendus dans une autre agence dépasse $250$~véhicules, l'agence doit prévoir un rapatriement des véhicules.

À l'aide de la calculatrice, déterminer, à 0,01 près, la probabilité que l'agence doive prévoir un rapatriement de véhicules.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (7 points)} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 6]$.

$ABCD$ est un rectangle, le point $D$ a pour coordonnées $(2 ; 0)$ et le point $C$ a pour coordonnées $(4 ; 0)$.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-.5,-1.5)(6.5,3.4)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\f{(10*x-5)*EXP(-x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=bleu]{2}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-2)(7,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.5,comma=true]{->}(0,0)(-.49,-1.49)(6.5,3.4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](0,3.4){\footnotesize{$y$}}\uput[dl](6.5,0){\footnotesize{$x$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.2979}{6}{\f} 
  \psframe[linewidth=1pt,linecolor=prune](2,0)(4,1.27959)
  \uput[ul](2,0){\footnotesize{\prune $D$}}\uput[ul](2,1.28){\footnotesize{\prune $A$}}\uput[ur](4,1.28){\footnotesize{\prune $B$}}\uput[ur](4,0){\footnotesize{\prune $C$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d'une lecture graphique.


\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > 0$.
\item Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$.
\item Quel semble être le signe de $f’(x)$ sur l'intervalle $[2 ;  6]$ ? Justifier.
\item Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d'inflexion ?
\item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de   $\displaystyle\int_2^4 f(x)\dd x$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip
 
La fonction $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 6]$ par $f(x) = (10 x - 5)\e^{- x}$.
 
Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier) :
\[f'(x)=(-10x+15)\e^{-x} \quad \text{et} \quad f''(x)=(10x-25)\e^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$ en précisant la valeur de l'extremum et les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition.
\item Étudier la convexité de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$.
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0 ; 6]$ par  $F(x) = (- 10 x - 5)\e^{- x}$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$.
\item En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de $\displaystyle\int_2^4 f(x)\dd x$.
\item On souhaiterait que l'aire du rectangle $ABCD$ soit égale à l'aire du domaine grisé sur la  figure. 

Déterminer, à $0,01$ près, la hauteur $AD$ de ce rectangle.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (3 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Afin de lutter contre la pollution de l'air, un département a contraint dès l'année 2013 certaines entreprises à diminuer chaque année la quantité de produits polluants qu'elles rejettent dans l'air.

Ces entreprises ont rejeté 410 tonnes de ces polluants en 2013 et 332 tonnes en 2015. On considère que le taux de diminution annuel de la masse de polluants rejetés est constant.

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'on peut considérer que l'évolution d'une année sur l'autre correspond à une diminution de 10\,\%.
\item En admettant que ce taux de 10\,\% reste constant pour les années à venir, déterminer à partir de quelle année la quantité de polluants rejetés par ces entreprises ne dépassera plus le seuil de 180 tonnes  fixé par le conseil départemental.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{ASIE 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle  $\left[ -1 ; 5 \right]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(0 ; 1)$ et par le point $B$ d'abscisse 1.

La tangente $T_0$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C (2 ; 3)$ et la tangente $T_1$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.

 \begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-.2)(5.4,3.4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+1)^2*EXP(-x)}
\def\g{x+1}
\psgrid[griddots=50,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=.5,comma=true]{->}(0,0)(-1.2,-.2)(5.4,3.4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-1.25}{2.25}{\g}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-.8,1.47152)(3.8,1.47152)
\psdots[linecolor=bleu](0,1)(1,1.47152)(2,3)
\uput[ul](5,.3){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[dr](0,1){\footnotesize{\bleu{$A$}}}\uput[u](1,1.47){\footnotesize{\bleu{$B$}}}\uput[ul](2,3){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[dr](1.5,2.5){\footnotesize{\prune{$T_0$}}}\uput[u](3.5,1.47){\footnotesize{\prune{$T_1$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des question, une seule des réponses proposées est correcte.}

\emph{Une bonne réponse rapporte $0,75$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.}

\emph{Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur exacte de $f'(1)$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
 \item 0 & \item  1 &  \item  1,6 & \item autre réponse
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item La valeur exacte de $f'(0)$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
 \item 0 & \item  1 &  \item  1,6 & \item autre réponse
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item La valeur exacte de $f(1)$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
 \item 0 & \item  1 &  \item  1,6 & \item autre réponse
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x$ par des entiers naturels successifs est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
 \item $3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x \leqslant 4$ & \item  $2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x \leqslant 3$ &  \item  $1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x \leqslant 2$ & \item autre réponse
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $F$ définie sur $\left[ -1 ; 5 \right]$ par $F(x)=-\left(x^2+4x+5\right)\e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item En déduire l'expression de $f(x)$ sur $\left[ -1 ; 5 \right]$.

\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan limité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.

\end{enumerate}

\item Montrer que sur l'intervalle $\left[ 1 ; 5 \right]$, l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution.

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (6 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\emph{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.}

\medskip

Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l'industrie informatique.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

On prélève au hasard 100 clés dans la production de la journée pour vérification. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés.

On admet que la probabilité qu'une clé USB prélevée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est égale à 0,015.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de clés défectueuses de ce prélèvement.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

\item Calculer les probabilités $p(X=0)$ et $p(X=1)$.

\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses.

\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip 

Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appartient à l'intervalle $\left[ 98 ; 103\right]$. Une clé est dite conforme pour l'écriture lorsque sa vitesse d'écriture exprimée en Mo/s appartient à l'intervalle $\left[ 28 ; 33\right]$.

\begin{enumerate}
\item On note $R$ la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture. On suppose que la variable aléatoire $R$ suit la loi normale d'espérance $\mu=100$ et d'écart-type $\sigma=1$.

Calcule la probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture.

\item On note $W$ la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse d"écriture On suppose que la variable aléatoire $W$ suit une loi normale. 

Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléatoire $W$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=8cm}
\begin{pspicture*}(25.2,-.05)(34.8,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=30, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{28}{32} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](32,0)(28,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=25, yAxis=false]{->}(25,0)(35,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=30, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{25}{35}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](28,0)(28,.05399)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](32,0)(32,.05399)
  \psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=4pt 3pt,linecolor=prune](30,-.05)(30,.45)
\end{pspicture*}
\end{center}

L'unité d'aire est choisie de façon à ce que l'aire sous la courbe soit égale à un et l'aire grisée est environ égale à 0,95 unité d'aire. La droite d'équation $x=30$ est un axe de symétrie de la courbe.

Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $W$. Justifier. 

\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip 

Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que 94 clés sont sans défaut.


Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Le 1\up{er} septembre 2015, un ensemble scolaire compte \np{3000} élèves.


Une étude statistique interne a montré que chaque 1\up{er} septembre :

\begin{itemize}
\item 10\,\% de l'effectif quitte l'établissement ;
\item 250 nouveaux élèves s'inscrivent.
\end{itemize}

On cherche à modéliser cette situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre d'élèves le 1\up{er} septembre de l'année $2015+n$.

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite $(u_n)$ telle que $u_0=\np{3000}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,9 u_n + 250$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-\np{2500}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9. Préciser $v_0$.

\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.

En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=500\times 0,9^n + \np{2500}$.
\end{enumerate}

\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n = -50\times 0,9^n$.

En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

\item La capacité optimale d'accueil est de \np{2800} élèves. Ainsi, au 1\up{er} septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.

\'Ecrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (3 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Discrete} 

 
D'après une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que :

\begin{itemize}
\item 60\,\% de la population sont des femmes;
\item 56\,\% des femmes travaillent à temps partiel;
\item 36\,\% de la population travaillent à temps partiel.
\end{itemize}

On interroge une personne dans la population. Elle affirme qu'elle travaille à temps partiel.

Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme ?


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{CENTRES ÉTRANGERS 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (4 points)} \index{ANALYSE!fa@Q.C.M} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point, Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x) = 5 - x + 2 \ln x$.

On a représenté ci-dessous la courbe représentative $C$ de la fonction $f$, ainsi que $T$, la tangente
à la courbe $C$ au point $A$ d'abscisse 4.

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1.2)(11,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{5-x+2*ln(x)}
\def\g{3-.5*x+4*ln(2)}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-1)(11,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1)(11,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](11,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.051}{10.75}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{11}{\g}
\psdot[linecolor=bleu](4,3.77259)
\uput[r](.4,3){\small{\bleu{$C$}}}\uput[u](4,3.8){\small{\bleu{$A$}}}\uput[dr](.4,6){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, on a :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}}
\item  $f'(x) =  - 1 + 2x$&\item  $f'(x) = - 2\ln x + (5 - x)\dfrac{2}{x}$ \\
\item   $f'(x) = \dfrac{-x + 2}{x}$&\item $f'(x) =  4 + \dfrac{2}{x}$.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Sur l'intervalle $]0 ; 10]$, l'équation $f'(x) =  0$ admet :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item  Aucune solution &\item  Une seule solution &\item  Deux solutions &\item  Plus de deux solutions
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Une équation de $T$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item  $y = \dfrac{1}{2}x + 5,7$ &\item  $ y = 5,7x - \dfrac{1}{2}$ &
\item   $y = - \dfrac{1}{2}x + 1 + 2 \ln 4$& \item  $y= - \dfrac{1}{2}x +  3 + 2 \ln 4$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item La valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\dd x$ appartient à l'intervalle :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $[1 ; 3]$ & \item $[4 ; 5]$ &\item $[8 ; 9]$ & \item $[10 ; 15]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (6 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Un fabricant produit des pneus de deux catégories, la catégorie \og pneu neige \fg{} et la catégorie \og pneu classique \fg. Sur chacun d'eux, on effectue des tests de qualité pour améliorer la sécurité.

On dispose des informations suivantes sur le stock de production :

\begin{itemize}
\item le stock contient 40\,\% de pneus neige ;
\item parmi les pneus neige, 92\,\% ont réussi les lests de qualité ;
\item parmi les pneus classiques, 96\,\% ont réussi les tests de qualité.
\end{itemize}

Un client choisit un pneu au hasard dans le stock de production. On note :

\begin{itemize}
\item $N$ l'évènement : \og Le pneu choisi est un pneu neige \fg{} ;
\item $C$ l'évènement : \og Le pneu choisi est un pneu classique \fg{} ; 
\item $Q$ l'évènement : \og Le pneu choisi a réussi les tests de qualité \fg .
\end{itemize}

\medskip

\textsf{Rappel des notations :}

\medskip

Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_B(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. 

On notera aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

\medskip

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.


\emph{Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Illustrer la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $N \cap Q$ et interpréter ce résultat par une phrase.
\item Montrer que $p(Q) = 0,944$.
\item Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, quelle est la probabilité que ce pneu soit un pneu neige ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip 

On appelle durée de vie d'un pneu la distance parcourue avant d'atteindre le témoin d'usure.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque pneu classique sa durée de vie, exprimée en milliers de kilomètres. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 30$ et d'écart-type $\sigma =  8$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'un pneu classique ait une durée de vie inférieure à 25 milliers de kilomètres ?
\item Déterminer la valeur du nombre $d$ pour que, en probabilité, 20\,\% des pneus classiques aient une durée de vie supérieure à $d$ kilomètres. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip 

Une enquête de satisfaction effectuée l'an dernier a révélé que 85\,\% des clients étaient satisfaits de la tenue de route des pneus du fabricant. Ce dernier souhaite vérifier si le niveau de satisfaction a été le même cette année.

Pour cela, il décide d'interroger un échantillon de 900 clients afin de conclure sur l'hypothèse d'un niveau de satisfaction maintenu.

Parmi les 900 clients interrogés, 735 sont satisfaits de la tenue de route.

Quelle va être la conclusion du directeur avec un niveau de confiance 0,95 ? Détailler les calculs, la démarche et l'argumentation.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger.

Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6\,\%.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ où $n$ désigne le nombre de mois depuis l'ouverture du site. On a donc $u_0 = 500$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$ et donner le résultat arrondi à l'unité.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Dans cette partie, on souhaite déterminer à partir de combien  de mois le site aura doublé le nombre de films proposés par rapport au nombre  de films proposés à l'ouverture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On veut  déterminer cette valeur à l'aide d'un algorithme.

Recopier et compléter les lignes L3, L5 et L7 pour que l'algorithme donne le résultat attendu.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{l l X}
L1 :& \textsf{Initialisation}&Affecter à $U$ la valeur 500\\
L2 :&						&Affecter à $N$ la valeur $0$\\
L3 :& \textsf{Traitement}	&Tant que $U$ \ldots \\
L4 :&						&\hspace{1em}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$ \\
L5 :&						&\hspace{1em}Affecter à $U$ la valeur \ldots \\
L6 :&						&Fin Tant que\\
L7 :&\textsf{Sortie}		&Afficher \ldots \\
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On veut maintenant utiliser une méthode algébrique Calculer le nombre de mois recherché.
 \end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c}}}}

\medskip

En raison d'une offre de bienvenue, le nombre d'abonnés au lancement est \np{15000}. Sur la base des
premiers mois, on estime que  le nombre des clients abonnés au site évolue suivant la règle suivante :

chaque mois,  10\,\% des clients se désabonnent et \np{2500} nouveaux abonnés sont enregistrés.

On note $v_n$ l'estimation du nombre d'abonnés $n$ mois après l'ouverture, on a ainsi $v_0 =  \np{15000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} =  0,9 \times v_n + \np{2500}$.
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n -  \np{25000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que  la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et préciser son premier terme.
		\item En déduire que, pour tout entier $n$,  $v_n =  \np{25000} - \np{10000} \times  0,9^n$.
		\item Peut-on prévoir, à l'aide de ce modèle, une stabilisation du nombre d'abonnés sur le long terme ?  Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $[0 ; 8]$ par $f(x) = \dfrac{0,4}{20\e^{- x} + 1}  + 0,4$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{8\e^{- x}}{\left(20\e^{- x} + 1 \right)^2}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|}\hline
1 & $f'(x) : = 8* \text{e }\hat{\:} (- x) / (20*\text{e }\hat{\:} (- x)+1)^2$ \\
 & $\to f'(x) :\dfrac{8 \e^{- x}}{400\left(\e^{- x}\right)^2 + 40\e^{- x} + 1}$ \\ \hline
2 & $g(x) : =$ Dérivée $[f'(x)]$\\
 & $\to g(x) : = \dfrac{160\left(\e^{- x}\right)^2 -8\e^{- x} }{8000 \left(\e^{- x}\right)^3+1200\left(\e^{- x}\right)^2+60\e^{- x}+1}$ \\ \hline
3	& Factoriser $[g(x)]$\\
 & $\to 8\e^{- x} \cdot \dfrac{20\e^{- x} - 1}{\left(20\e^{- x} + 1\right)^3}$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En s'appuyant sur ces résultats, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes. 

La fonction $f$, définie dans la partie A, modélise le profil de ce projet routier. La variable $x$ représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et $f(x)$ représente l'altitude associée, en kilomètres.

La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.1)(8.5,1.1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.4/(20*EXP(-x)+1)+.4}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=0.25pt, linecolor=grisb]{0}{8}{\f} \gsave
\psline(8,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore}
\psset{unit=1cm}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8.5,5.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=.2]{->}(0,0)(-0.5,-0.1)(8.5,1.1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](8.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,1.125){\footnotesize{$f(x)$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.419)(8,0.797)
\uput[ur](0,0.419){\bleu $A$}\uput[ur](8,0.797){\bleu $B$}\uput[u](5.5,0.78){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en un point $M$ est appelé \og pente  en $M$ \fg.

On précise aussi qu'une pente en $M$ de 5\,\% correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ en $M$ égal à $0,05$.

Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu'en aucun point de $\mathcal{C}_f$ la pente ne dépasse 12\,\%.

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\medskip
\begin{itemize}
\item[]\textsf{Proposition 1}

L'altitude du village B est 0,6~km.

\medskip

\item[]\textsf{Proposition 2}

L'écart d'altitude entre les  villages A et B est $378$ mètres, valeur arrondie au mètre.
\medskip

\item[]\textsf{Proposition 3}

La pente en A vaut environ 1,8\,\%.


\medskip

\item[]\textsf{Proposition 4}

Le projet de route ne sera pas accepté.
\end{itemize}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE, LA RÉUNION 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (4 points)} \index{B@Q.C.M. Analyse et Probabilités!} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.}

\emph{Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\begin{enumerate}

\item Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits. 

Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013 est : 

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $[0,713 ; 0,771]$ & \item$[0,692 ; 0,808]$ &\item $[0,754 ; 0,813]$ &\item $[0,701 ; 0,799]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}


\item En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l'intervalle $[4 ; 11]$. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $\dfrac{6}{11}$ 	& \item $\dfrac{10}{7}$ & \item $\dfrac{10}{11}$ 	& \item $\dfrac{6}{7}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+1)\e^{-2x+3}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée $f'$ est donnée par :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item $f'(x)=-2\e^{-2x+3}$ 		& \item $f'(x) = \e^{-2x+3}$ \\ \item $f'(x)=(-2x+3)\e^{-2x+3}$ 	& \item $f'(x) = (-2x-1)\e^{-2x+3}$
\end{tabularx} 
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\item 

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que sa fonction dérivée $f'$ soit aussi dérivable sur $\R$. 

La courbe ci-contre représente la fonction $f''$. 

On peut alors affirmer que : 

\begin{enumerate}
\item $f$ est convexe sur $[-2 ; 2]$. 
\item $f$ est concave sur $[-2 ; 2]$.
\item La courbe représentative de $f$ sur $[-2 ; 2]$ admet un point d'inflexion.
\item $f'$ est croissante sur $[-2 ; 2]$.
\end{enumerate}
\end{minipage} 
\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(2,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(x-1)*(x^2+x+1)}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-6)(2,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-2,-6)(2,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.70998}{1.70998}{\f}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Un loueur de voitures dispose au 1\up{er} mars 2015 d'un total de \np{10000} voitures pour l'Europe. 

Afin d'entretenir son parc, il décide de revendre, au 1\up{er} mars de chaque année, 25\,\% de son parc automobile et d'acheter \np{3000} voitures neuves.

\medskip

On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite : 

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1\up{er} mars de l'année $2015+n$. 

On a donc $u_0=\np{10000}$.

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n+\np{3000}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=u_n-\np{12000}$.

\begin{enumerate}
 \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser son premier terme.

\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.

\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{12000} - \np{2000} \times 0,75^n$.

\item En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années ?  
\end{enumerate} 

\item On admet dans cette question que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. 

On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins \np{11950} voitures. 

\begin{enumerate}
\item Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|l @{}X|}
\hline
 \textsf{\textsc{Initialisation}} & \\
& U prend la valeur \np{10000}\\
& N prend la valeur 0\\
\textsf{\textsc{Traitement}} &\\
    & Tant que \dots\\
& \hspace{1em} N prend la valeur \dotfill \\
 & \hspace{1em} U prend la valeur \dotfill \\
& Fin Tant que\\
\textsf{\textsc{Sortie}} & \\
       & Afficher \dots\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}


\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée.

\item Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation  $\np{12000} - \np{2000}\times 0,75^n \geqslant \np{11950}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Un téléphone portable contient en mémoire \np{3200} chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae~\dots{} dont certaines sont interprétées en français. 

Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock. 



Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode \og lecture aléatoire\fg{}: les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l'ensemble du répertoire. 

Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture. 

On note:

\begin{itemize}
\item $R$ l'évènement: \og la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock \fg{} ;
\item $F$ l'évènement: \og la chanson écoutée est interprétée en français\fg . 
\end{itemize}

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}

\item Calculer $P(R)$, la probabilité de l'évènement $R$.

\item 35\,\% des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français; traduire cette donnée en utilisant les évènements $R$ et $F$. 

\item Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français.

\item Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5\,\% sont interprétées en français.

Montrer que $P\left(F \cap \overline R\right) = 0,28$. 

\item En déduire  $P_{\overline R}(F)$ et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat. 

\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}\hspace{1cm} \emph{Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.} 

\medskip 

Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l'aide de son téléphone portable. 

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante ; on admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu=30$ et d'écart-type $\sigma=10$. 

Le propriétaire écoute de la musique. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes? 

\item Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d'une heure? 

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!da@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
La courbe $(C)$ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0,5 ; 6]$.
Les points $A(1 ; 3)$ et $B$ d'abscisse 1,5 sont sur la courbe $(C)$. 

Les tangentes à la courbe $(C)$ aux points $A$ et $B$ sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point $B$ est horizontale. 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-2)(7,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{5-2*x+3*ln(x)}
\def\g{x+2}
\def\fmax{2+3*ln(1.5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-2)(7,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-2)(7,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.5}{6}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linestyle=dashed, linecolor=prune]{0}{3}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linestyle=dashed, linecolor=prune]{.5}{2.5}{\fmax}
\uput[l](1,3){\footnotesize{\bleu{$A$}}}\uput[u](1.5,3.1){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[l](5.5,-.8){\bleu{\footnotesize{$(C)$}}}
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu](1,3)(1.5,3.2164)
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a : } étude graphique}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(1,5)$.
\item La tangente à la courbe $(C)$ passant par $A$ passe par le point de coordonnées $(0 ; 2)$. Déterminer une équation de cette tangente.
\item Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.
\item Déterminer la convexité de la fonction $f$ sur $[0,5 ; 6]$. Argumenter la réponse.

\end{enumerate}


\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b : } étude analytique}}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[0,5 ; 6]$ par  $f(x) = - 2x + 5 + 3\ln (x)$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de $[0,5 ; 6]$, calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{-2x+3}{x}$. 
\item Étudier le signe de $f'$ sur $[0,5 ; 6]$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0,5 ; 6]$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha$ sur $[0,5 ; 6]$.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.  

\item En déduire le tableau de signe de $f$ sur $[0,5 ; 6]$.

\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0,5 ; 6]$ par $F(x)= -x^2 +2x +3x \ln(x)$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0,5 ; 6]$.
		\item En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE, LA RÉUNION SEPTEMBRE 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Discrete} 

 
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième. 
 
À partir d'une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par : 

\begin{itemize}
\item 60\% des clients sont des hommes ;
\item 80\% des hommes mangent un dessert alors que seulement 45\% des femmes en mangent un. 
\end{itemize}  

On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note : 
\begin{itemize}
\item $H$ l'événement \og le client interrogé est un homme \fg{}; 
\item $D$ l'événement \og le client interrogé a mangé un dessert \fg.
\end{itemize} 
 
On note également :
\begin{itemize} 
\item $\overline{A}$ l'événement contraire d'un événement $A$ ; 
\item $p(A)$ la probabilité d'un événement $A$. 
 \end{itemize} 
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré. 
\item Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert. 
\item Montrer que $p(D)=0,66$. 
\item Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits des menus proposés dans ses restaurants. 

Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 se déclarent satisfaits des menus proposés. 
\begin{enumerate}
\item Donner un intervalle de confiance au niveau de 95\% de la proportion de clients satisfaits. 
\item Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et donc veut un intervalle de confiance au niveau de 95\% d'amplitude 0,06. 

Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel intervalle. 
 \end{enumerate}
 

 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (4 points)} \index{B@Q.C.M. Analyse et Probabilités!} 

 
Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. 

Une bonne réponse rapporte un point. 

Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. 

Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. 
 
Les parties de cet exercice sont indépendantes. 
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 90 et d'écart-type 6. Une valeur arrondie au millième de $p\left( X\geqslant 100\right)$ est :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item 0,500 	& \item 0,452 & \item 0,048 	& \item 0,952
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type 10. Une valeur arrondie au millième de $p\left( \mu-20 \leqslant Y\leqslant \mu +20 \right)$ est :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item 0,68	& \item 0,5 & \item 0,8 	& \item 0,95
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
  
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur $[-5 ;3]$. On donne ci-dessous le tableau de variation de $f'$. 


 \begin{center}
	\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(14,3.5)
\psset{linewidth=.75pt}
\psframe(14,3.5) \psline(0,2.5)(14,2.5) \psline(3,0)(3,3.5)
\rput(1.5,3){$x$} \rput(3.5,3){$- 5$} \rput(8.5,3){$-1$} \rput(11,3){$1$} \rput(13.5,3){$3$} 
\rput(1.5,1.25){Variation de $f'$} \rput(3.5,2){\rnode{A}{$-0,5$}} \rput(8.5,.5){\rnode{B}{$-3$}} \rput(13.5,2){\rnode{C}{$4$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncput*{0}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	\item La fonction $f$ est :
	\begin{enumerate}
	\item croissante sur $[-5 ; 3]$  
\item décroissante sur $[-5 ; 1]$ 
\item décroissante sur $[-5 ; 3]$  
\item croissante sur $[-1 ; 3]$ 
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est :
\begin{enumerate}
\item convexe sur $[-5 ; -1]$     
\item concave sur $[-5 ; -1]$   
\item concave sur $[-5 ; 1]$    
\item convexe sur $[-5 ; 3]$  
\end{enumerate}
\end{enumerate} 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Le 31 décembre 2015 une forêt comportait 1500 arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que chaque année, 5\% des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés. 

On modélise le nombre d'arbres de cette forêt par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le nombre d'arbres au 31 décembre de l'année $(2015+n)$. 

Ainsi $u_0=1500$. 
  
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. 
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,95\times u_n +50$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n-1000$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. En préciser la raison et le premier terme. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n=1000+500\times 0,95^n$. 
\item En déduire le nombre d'arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030. 
 \end{enumerate} 
\end{enumerate}
  
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d'un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3\%. 

Au bout de combien d'années le prix d'un stère de bois aura-t-il doublé ? 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!da@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
On définit une fonction $g$ sur l'intervalle $[0,5 ; 5]$ par $g(x)=5x-3x\ln x$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x$ appartenant à $[0,5 ; 5]$, $g'(x)=2-3\ln x$. 
\item Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire le sens de variation de $g$ sur $[0,5 ; 5]$. 
\item En déduire pour quelle valeur $x_0$, arrondie au centième, la fonction $g$ atteint un maximum. 
\item Montrer que l'équation $g(x)=4$ admet deux solutions sur $[0,5 ; 5]$ que l'on note $\alpha_1$ et $\alpha_2$. En donner un encadrement d'amplitude 0,01. 
\item Résoudre $g(x)\geqslant 4$. 
\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $[0,5 ; 5]$ par $G(x)=-\dfrac{3}{2}x^2\ln x+\dfrac{13}{4}x^2$ est une primitive de $g$ sur $[0,5 ; 5]$. 
\item Calculer alors la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0,5 ;5]$. On donnera la valeur arrondie au millième. 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{LIBAN 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (4 points)} \index{ANALYSE!fa@Q.C.M} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni
n'enlève aucun point.}

\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d'abscisses $- 3$ et $0$.

 \begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(-58*x^3-957*x^2-5776*x-5481)/1600}
\def\g{5*x^3/27+x^2-1}
\def\h{-3*x^3/250+89*x^2/500-1}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{-3}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{0}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\h}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-5,5)(3,-3)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-7,-1)(5,-1)
\uput[dr](-6,5){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $f'(0) = - 1$ & \item $f'(-1) = 0$ & \item  $f'(-3) = - 1$ & \item  $f'(-3) = 3$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $g(x) = (x + 1)\ln (x)$.

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
 \item  $g'(x) = \dfrac{1}{x}$& \item  $g'(x) = 1 + \ln (x)$ &  \item  $g'(x) = - \dfrac{1}{x^2}$& \item  $g'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} + \ln (x)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  On considère la fonction $h$ définie sur $[0 ; 7]$ et représentée par la courbe ci-dessous :

 \begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{3*x^3/125-2*x^2/25-2*x+10}
\def\g{9*x^2/8-49*x/4+273/8}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,11)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(9,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{5}{7}{\g}
\uput[dl](1,10){\small{\bleu{$\mathcal{C}_h$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}}
 \item  $\displaystyle\int_0^5  h(x)\dd x = h(5) - h(0)$& \item $20 < \displaystyle\int_0^5  h(x)\dd x < 30$ \\  \item  $15 < \displaystyle\int_0^5  h(x)\dd x < 20$& \item $\displaystyle\int_0^5  h(x)\dd x = 20$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k''$ d'une fonction $k$
définie sur $[0 ; + \infty[$.


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-1.5)(3.25,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^2*(x^2-4)/3}
\psgrid[griddots=15,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1.5)(3.25,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{3}{\f}
\uput[ur](2,3){\small{\bleu{$\mathcal{C}_{k''}$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}}
 \item $k$ est concave sur l'intervalle $[1 ; 2]$.&  \item  $k$ est convexe sur l'intervalle $[0 ; 2]$.\\
 \item $k$ est convexe sur $[0 ; + \infty[$.& \item  $k$ est concave sur $[0 ; + \infty[$.
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip 

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60\,\% de collégiens et 40\,\% de lycéens.

Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80\,\% des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70\,\% en possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s'intéresse aux évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $C$ : \og le jeune choisi est un collégien \fg{} ;
\item $L$ : \og le jeune choisi est un lycéen \fg{} ;
\item $T$ : \og le jeune choisi possède un téléphone portable \fg.
\end{itemize}
 
\emph{Rappel des notations}
 
\medskip
 
Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_B(A)$ désigne la probabilité de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. On note aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités : $p(C)$, $p(L)$, $p(T)$, $p_C(T)$.
\item Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l'énoncé.
\item Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable.
\item Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(T \cap L)$, en déduire $p_L(T)$.
		\item Compléter l'arbre construit dans la question 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip 

En 2012 en France, selon une étude publiée par l'Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ \np{2500} par mois. On admet qu'en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{2500}$ et d'écart-type $\sigma = 650$.


\emph{Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.}


\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un adolescent envoie entre \np{2000} et \np{3000} SMS par mois.
\item Calculer $p(X \geqslant \np{4000})$.
\item Sachant que $p(X \leqslant a) = 0,8$, déterminer la valeur de $a$. On arrondira le résultat à l'unité.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12\,\% de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.

En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année $2015+ n$. Ainsi, on a $u_0 = 75$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2016.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 1,12 u_n - 6$.
	\end{enumerate}
\item L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de $100$ contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
	
On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l'algorithme suivant :
\begin{center}
	
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c l X|}\hline
L1& Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel\\
L2& 			&$U$ est un nombre réel\\
L3& 			&Traitement: Affecter à $n$ la valeur 0\\
L4& 			&Affecter à $U$ la valeur 75\\
L5& 			&Tant que $U \leqslant  100$ faire\\
L6& 			&\hspace{1em} $n$ prend la valeur $n + 1$\\
L7& 			&\hspace{1em} $U$ prend la valeur $1,12 U - 6$\\
L8& 			&Fin Tant que\\
L9& Sortie :	&Afficher \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter la ligne L9.
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X|m{3cm}|}\hline 
Valeur de $n$	&0	&	&\\ \hline
Valeur de $U$	&75	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,12u_n - 6$ et $u_0 = 75$.
	
On pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 50$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a \[u_n = 25 \times  1,12^n + 50 .\]
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n > 100$.
		\item Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[3 ; 13]$ par : $f(x) = - 2x + 20 - \e^{-2x + 10}$.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a :}}} Étude de la fonction  $f$}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$, de la fonction $f$, définie pour tout $x$ de l'intervalle $[3 ; 13]$, a pour expression :

\[f'(x) = 2\left(- 1 + \e^{-2x+10}\right).\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'intervalle $[3 ; 13]$ l'inéquation : $f'(x) \geqslant 0$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[3 ; 13]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à $10^{-3}$.
			\end{enumerate}
			\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_3^{13} f(x) \dd x$. 
		
On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b :}}} Application}

\medskip

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et \np{1300}. On suppose que toute la production est commercialisée. 

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de toboggans est modélisé sur l'intervalle $[3 ; 13]$ par la fonction $f$.

En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de toboggans que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro.
\item Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et \np{1300} toboggans. Arrondir le résultat à l'euro.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie c :}}} Rentabilité}

\medskip

Pour être rentable, l'usine doit avoir un bénéfice positif.

Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l'usine doit fabriquer en un mois pour qu'elle soit rentable. Justifier la réponse.


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{NOUVELLE CALÉDONIE 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (4 points)} \index{ANALYSE!fa@Q.C.M} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\begin{enumerate}
\item On considère $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) = (2x + 3)\e^{-x}$ .
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $f'(x)=2\e^{-x}$	& \item $f'(x)=-2\e^{-x}$ & \item $f'(x)=(2x + 5)\e^{-x}$ 	& \item $f'(x)=(-2x - 1)\e^{-x}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On considère le nombre $I=\displaystyle \int_0^1 \left( 2 \e^{2x}+3 \right) \dd x$.
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $I=\e^2 +3$	& \item $I=\e^2 +2$ & \item $I=2\e^2 +3$ 	& \item $I=2\e^2 -2$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  On considère $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=5\e^{x}+3$.

La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 0 passe par le point :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}}
\item $A\left(1 ;5\e +3\right)$	& \item $B\left( -1 ; 5 \right)$ & \item $C\left( 1 ; 13 \right)$ 	& \item $D\left( 0 ; 3 \right)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On considère $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=x^3-6x+3$.
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}}
\item $h$ est strictement croissante sur $\R$	& \item $h$ est concave sur $\left[ 0 ; +\infty \right[$ \\
 \item $h$ est concave sur $\R$ 	& \item $h$ est convexe sur $\left[ 0 ; +\infty \right[$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soit $\left( u_n \right)$ la suite définie par :
$u_0 = 350$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1} = 0,5u_n + 100$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item On considère la suite $\left( w_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_n - 200$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left( w_n \right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 200 + 150 \times 0,5^n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une commune propose aux enfants d'adhérer à une association sportive. Au premier septembre 2015 le nombre d'enfants inscrits dans cette association est 500
dont 350 filles.

Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l'évolution du nombre d'adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante :
\begin{itemize}
\item Chaque année, la moitié des filles inscrites l'année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l'association accueille chaque année
100 nouvelles filles.
\item D'une année à l'autre, le nombre de garçons inscrits à l'association augmente de 10 \%.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On représente l'évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite $\left( F_n \right)$ où $F_n$ désigne le nombre de filles adhérentes à l'association en l'année $2015 + n$. On a donc $F_0 = 350$.

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $F_{n + 1}$ en fonction de $F_n$.
\item On représente l'évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite $\left( G_n \right)$, où $G_n$ désigne le nombre de garçons adhérents à l'association l'année $2015 + n$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $G_n$ en fonction de $n$.
\item À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons ?
\end{enumerate}
\item On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles. On propose l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|X|}\hline
\textsc{\textsf{Initialisation}} 
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $n$ la valeur 0
\item[] Affecter à $G$ la valeur 150
\item[] Affecter à $F$ la valeur 350
\end{itemize}\\
\textsc{\textsf{Traitement}}\\
\begin{itemize}
\item[] Tant que $G \leqslant F$ 
\begin{itemize}
\item[] $n$ prend la valeur $n + 1$
\item[] $G$ prend la valeur $1,1G$
\item[] $F$ prend la valeur $0,5F + 100$
\end{itemize}
\item[]  Fin Tant que
\end{itemize}\\
\textsc{\textsf{Sortie}}\\
\begin{itemize}
\item[] Afficher le nombre $n$
\end{itemize}
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X }\hline		
Valeur de $n$ & 0 & 1 & \ldots & \\ \hline
Valeur de $G$ & 150 &  \ldots & \ldots & \\ \hline
Valeur de $F$ & 350  &  \ldots & \ldots & \\ \hline
Condition $G \leqslant F$ & vrai   &  \ldots & \ldots & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item En déduire l'affichage obtenu, puis répondre au problème posé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
\emph{Les trois parties A, B et C sont indépendantes.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une enquête révèle que dans un lycée, 67\,\% des élèves jouent régulièrement aux jeux vidéo.

On sait de plus que 57\,\% des élèves du lycée sont des filles et que, parmi elles, 49\,\% jouent régulièrement aux jeux vidéo.

On choisit au hasard un élève du lycée.

On note : $J$ l'évènement: \og l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo \fg, et $F$ l'évènement : \og l'élève est une fille \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$F$}~}\naput{\bleu{\ldots}}}
		{
\TR{\bleu{$J$}}\naput{\bleu\ldots}
\TR{\bleu{$\overline{J}$}}\nbput{\bleu\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{F}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$J$}}
\TR{~\bleu{$\overline{J}$}}
 		}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que l'élève soit une fille qui joue régulièrement aux jeux vidéo.
\item Montrer que la probabilité que l'élève soit un garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo est égale à \np{0,3907}.
\item Calculer la probabilité que l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo sachant que c'est un garçon. Arrondir au dix-millième.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Zoé, grande amatrice de jeux vidéo, souhaite s'offrir une tablette numérique pour son anniversaire. Elle pense commander sur un site web marchand une tablette de marque Alpha.

Elle s'inquiète quant à l'autonomie de sa tablette en mode veille.

On admet que l'on peut modéliser la durée d'autonomie de chaque tablette de marque Alpha en mode veille par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 120$ et d'écart-type $\sigma = 10$.

La durée $X$ est exprimée en heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la tablette numérique ait en mode veille une autonomie strictement inférieure à 5 jours.
\item Déterminer $p(96 \leqslant X \leqslant 144)$. Arrondir le résultat au millième.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Le service des ventes de la société Alpha affirme que 91\,\% des utilisateurs de cette tablette sont satisfaits de leur achat.

Le gestionnaire du site marchand organise une enquête afin de vérifier cette affirmation.

Il interroge au hasard $150$~clients ayant acheté cette tablette; parmi eux, $130$ se déclarent satisfaits de leur acquisition.

Peut-on valider l'affirmation du service des ventes de la société ? Justifier.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!da@Fonction logarithme II (avec intégrale)} 

 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

La fonction $f$ est  définie sur l'intervalle $[0,5 ; 10]$ par $f(x) = ax + 2 + b \ln (x)$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

\begin{itemize}
\item la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $f$ ;
\item la droite $d$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point $A$ de coordonnées $(1 ; 1)$ ;
\item la droite $d'$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point $B$ d'abscisse 3.
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(13,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{2-x+3*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-2,-2)(13,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(13,5)
\uput[dl](13,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.5}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.5,-2)(3,5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2,2.29584)(13,2.29584)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](1,1)(3,2.29584)(0,-1)
\uput[ul](1,1){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[u](3,2.3){\bleu{$B$}}\uput[dr](0,-1){\prune{$E$}}
\uput[dl](2.8,5){\prune{$d$}}\uput[ul](10,2.3){\prune{$d'$}}
\uput[ul](8,.5){\bleu{$\Gamma$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On sait de plus que :

\begin{itemize}
\item la tangente au point $A$ passe par le point $E$ de coordonnées $(0 ; -1)$.
\item la tangente au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner par lecture graphique la valeur de $f'(1)$, puis celle de $f'(3)$.
\item Calculer $f'(x)$.
\item En déduire les valeurs des nombres $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0,5 ; 10]$ par  $f(x) = - x + 2 + 3\ln (x)$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x$ dans $[0,5 ; 10]$, $f'(x) = \dfrac{- x + 3}{x}$.

\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $A$ d'abscisse 1.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0,5 ; 10]$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
\item Montrer que sur l'intervalle $[0,5 ; 3]$ l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième.
\item Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|c|X|}\hline
1	&	\emph{intégrer} \: $[3\ln (x) - x + 2]$ \\ \hline
	& \multicolumn{1}{r|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $3x\ln (x) - x -\dfrac{x^2}{2}$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


Calculer, en unités d'aire, l'aire $S$ du domaine délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 8$.

On donnera la valeur exacte de $S$ puis sa valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Tom observe que sur le dessin précédent, la courbe représentative de $f$ est située en dessous des deux tangentes aux points $A$ et $B$. Il affirme :

\og La courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $[0,5 ; 10]$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.\fg

Démontrer que l'affirmation de Tom est exacte.


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{POLYNÉSIE 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

On s'intéresse à l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandes banques.

Une étude montre que 42\,\% des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Karl, 35\,\% des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa, alors que cette proportion est de 23\,\% pour la banque Miro.

Par ailleurs :

\begin{itemize}
\item 76\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Karl sont acceptées ;
\item 65\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Lofa sont acceptées ;
\item 82\,\% des demandes de prêts déposées auprès de la banque Miro sont acceptées.
\end{itemize}

On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprès des trois banques.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $K$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Karl \fg{} ;
\item $L$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Lofa \fg{} ;
\item $M$ : \og la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Miro \fg{} ;
\item $A$ : \og la demande de prêt est acceptée \fg.
\end{itemize}


On rappelle que pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité et on désigne par $\overline{E}$ son événement contraire.

\emph{Dans tout l'exercice on donnera, si nécessaire, des valeurs approchées au millième des résultats.}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée.
\item Montrer que $P(A) \approx 0,735$.
\item La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu'elle ait été déposée à la banque Miro.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la durée moyenne d'un prêt immobilier.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, en années.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 20$ et d'écart-type $\sigma = 7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans.
\item Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près du nombre réel $a$ tel que $P(X > a) = 0,1$.

Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}



 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (7 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2010 &2011 &2012\\ \hline
Nombre d'écrans 3D vendus& 0&\np{5000} &\np{11000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année $(2010 + n)$ est modélisé par une suite $\left(u_n\right)$, arithmético-géométrique, de premier terme $u_0 = 0$.

On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel $n$, une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = a \times u_n + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En supposant que $u_1 = \np{5000}$, déterminer la valeur de $b$.
		\item En supposant de plus que $u_2 = \np{11000}$, montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 1,2 \times u_n + \np{5000}$.
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_3$ et $u_4$.
		\item En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement \np{18000} et \np{27000} écrans 3D.
		
La modélisation semble-t-elle pertinente ?		
	\end{enumerate}
	
\textbf{Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre
d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.}
		
\smallskip
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n + \np{25000}$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.
		
Préciser la valeur de son premier terme $v_0$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{25000} \times 1,2^n - \np{25000}$.
	\end{enumerate}
\item On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D dépassera \np{180000} unités.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que résoudre l'inéquation $u_n > \np{180000}$ revient à résoudre l'inéquation $1,2^n > 8,2$.
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine et affiche le plus petit entier naturel $n$, solution de l'inéquation $1,2^n > 8,2$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline		
\textsf{Variables :}		& $N$ est un entier naturel\\
							&$W$ est un nombre réel\\
\textsf{Initialisation :}	&$N$ prend la valeur 0\\
							&$W$ prend la valeur \ldots\\
\textsf{Traitement :}		&Tant que \ldots\\
							&\hspace{0,5cm} \begin{tabular}{|l}
							$W$ prend la valeur $W \times 1,2$\\
							\ldots
							\end{tabular}\\
							&Fin du Tant que\\
\textsf{Sortie :}			&Afficher \ldots\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Déterminer cet entier naturel $n$.
\item À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15\,\% par an du nombre de ses ventes d'écrans 3D. Combien d'écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!f@Vrai - Faux} 

 
\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\emph{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

On rappelle que $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.


\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = x \ln x - x + 1$.

\textsf{\textsc{affirmation A :}} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]0 ; 1[$.

\textsf{\textsc{affirmation B :}} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.

\textsf{\textsc{affirmation C :}} Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; + \infty[$, $f(x) \leqslant 50$.
\item On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$ définie sur $\R$.

On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on rappelle que $g'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.

On a tracé en pointillé la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point $A$ de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(3,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 1pt,linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](\n,-1)(\n,8)}
\multido{\n=-1+1}{10}{\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 1pt,linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](-2,\n)(3,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1)(3,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-1.08,8)(-.9,2.5)(-.6,1.8)(0,2.7)(.3,3.15)(.45,3.1)(1,2)(1.5,1)(1.5,1.7)(3,2.9)
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{-1.5}{2.5}{4 x 2 mul  sub}
\psdots[linecolor=bleu](1,2)\uput[ur](1,2){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[u](2.8,2.8){\bleu $\mathcal{C}_g$}
\uput[ur](2.5,-1){\prune\footnotesize{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textsc{affirmation D :}} $g'(1) = -2$.

\textsf{\textsc{affirmation E :}} $\displaystyle\int_0^1 g(x) \dd x < 3$.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (3 points)} \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
Un publicitaire envisage la pose d'un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par :\[f(x) = 4\e^{-0,4x}.\]

Cette courbe $\mathcal{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère d'origine O :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.5)(12,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{4*EXP(-.4*x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(11,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[ul](12,0){\footnotesize{$x$ (en mètres)}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$ (en mètres)}}
\psframe[linecolor=prune, linewidth=1pt,fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.5pt](1.5,2.195)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-1.5,4)(0,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[u](6,0.4){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\footnotesize{
\uput[ul](0,0){\bleu $A$}\uput[ul](0,2.2){\bleu $D$}\uput[ur](1.5,2.2){\bleu $C$}\uput[ur](1.5,0){\bleu $B$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Le rectangle $ABCD$ représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point $A$ est situé à l'origine du repère, le point $B$ est sur l'axe des abscisses, le point $D$ est sur l'axe des ordonnées et le point $C$ est sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$.


\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que le point $B$ a pour abscisse $x = 2$.

Montrer qu'une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est $3,6\,\mathrm{m}^2$.
\item Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ?

On donnera les dimensions d'un tel panneau au centimètre près.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{PONDICHÉRY 2016} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \hfill (4 points)} \index{B@Q.C.M. Analyse et Probabilités!} 

 
\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par $f(x) = 3x - x \ln x$.

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ on a :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item  $f'(x) = 3 - \dfrac{1}{x}$ & \item  $f'(x) = 3 - \ln x$ & \item  $f'(x) = 2 - \ln x$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item \np{4095} &\item \np{8191} &\item $\dfrac{1 - 2^{14}}{1 - 2}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $[2 ; 7]$ dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.4,-.8)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,4)
\psaxes[labels=x,labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.4,-.8)(8,4)
\uput[l](0,2){\footnotesize{$\dfrac{1}{5}$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](2,2)(7,2)
\end{pspicture}
\end{center}

$P(A)$ désigne la probabilité d'un évènement $A$ et $E(X)$ l'espérance de la variable aléatoire $X$.

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item $P\left(3 \leqslant X \leqslant 7\right) = \dfrac{1}{4}$ & \item $P\left(X\geqslant4\right) = P\left(2\leqslant X \leqslant 5\right)$ & \item $E(X) = \dfrac{9}{5}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On réalise un sondage sur un échantillon de $n$ personnes ($n$, entier naturel non nul).

Parmi les tailles de l'échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d'obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ avec une amplitude de $0,02$ ?

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item $n = \np{5000}$ & \item $n = 100$ & \item $n = \np{10000}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \hfill (6 points)} \index{ANALYSE!e@Fonction application économique} 

 
\begin{center}
\emph{La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.}
\end{center}

\medskip

L'entreprise \emph{BBE (Bio Bois Énergie)} fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

L'entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

\begin{itemize}
\item Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[1 ; 15]$ par : \[C(x) = 0,3x^2 - x + \e^{- x + 5}\] où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d'euros.
\item Dans l'entreprise \emph{BBE} le prix de vente d'une tonne de granulés de bois est de 300~euros.

La recette quotidienne de l'entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle $[1 ; 15]$ par :\[R(x) = 3x\] où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante en centaines d'euros.
\item On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l'entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes.
\end{itemize}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}} Étude graphique}

\medskip

Sur le graphique situé en annexe, on donne $\mathcal{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d'origine O.

\medskip

\textbf{Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est minimal.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs  $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l'entreprise pour 6~tonnes de granulés fabriqués et vendus.
		\item Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l'entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}} Étude d'une fonction}

\medskip


On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[1 ; 15]$ par :

\[g(x) = - 0,6x + 4 + \e^{- x + 5}\]

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[1 ; 15]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 15]$.
		\item En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $[1 ; 15]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1 ; 15]$, en précisant les valeurs  $g(1)$ et  $g(15)$ arrondies à l'unité.
		\item Le tableau de variation permet d'affirmer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1 ; 15]$.
		
Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,1$ près.
		\item Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 15]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c :}} Application économique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 15]$, on a :

\[D (x) = - 0,3x^2 + 4x - \e^{- x + 5}\]

\item On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l'intervalle $[1 ; 15]$ et on note $D'$ sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 15]$, on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B.
\item En déduire les variations de la fonction $D$ sur l'intervalle $[1 ; 15]$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?
		
On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près.
		\item Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.4,-.8)(16,30)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(7.8,30){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\rput(7.8,29){\emph{N'est pas à rendre avec la copie}}
\def\f{.3*x^2-x+EXP(5-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(16,27)
\psset{xunit=1cm,yunit=.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-.4,-1.6)(16,54)
\uput[dl](16,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,54){\footnotesize{$y$}}\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1}{15}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](1,3)(15,45)
\uput[ur](1,50){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\uput[dr](1,3){\prune{$\Delta$}}
\end{pspicture}
\end{center}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \hfill (5 points)} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
\begin{center}
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}
\end{center}

 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 :

\begin{itemize}
\item 49\,\% des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20\,\% un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel ;
\item 91,5\,\% des candidats au baccalauréat général ont été reçus ainsi que 90,6\,\% des candidats au baccalauréat technologique.
\end{itemize}  
\begin{flushright}\emph{Source: DEPP (juillet 2015)}\end{flushright}

On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $G$ : \og Le candidat s'est présenté au baccalauréat général \fg ;
\item $T$ : \og Le candidat s'est présenté au baccalauréat technologique\fg ;
\item $S$ : \og Le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel\fg ;
\item $R$ : \og Le candidat a été reçu \fg.
\end{itemize}

Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire.

De plus, si $B$ est un autre évènement, on note $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser les probabilités $P(G)$, $P(T)$, $P_T(R)$ et $P_G(R)$.
\item Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite.
\item Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l'ait obtenu est égale à \np{0,1812}.
\item Le ministère de l'Éducation Nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8\,\% pour l'ensemble des candidats présentant l'un des baccalauréats.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l'ait obtenu est égale à \np{0,24845}.
		\item Sachant que le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu'il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

À l'issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues par les candidats en mathématiques et en français.

On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléatoire $X_M$ qui suit la loi normale de moyenne $12,5$ et d'écart-type $3,5$.

De même la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire $X_F$ qui suit la loi normale de moyenne $13,2$ et d'écart-type $2,1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P\left(9 \leqslant X_M \leqslant 16\right)$ en donnant le résultat arrondi au centième.
\item Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillé la fonction densité associée à la variable aléatoire $X_M$.

La fonction densité associée à $X_F$ est représentée sur un seul de ces graphiques.

Quel est ce graphique ? Expliquer le choix.


\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=.6cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-.8,-.8)(6,5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(6,5)
\psset{xunit=.12cm, yunit=15cm}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5, Dy=0.05,comma]{->}(0,0)(-4,-.03)(30,.25)
  \psGauss[sigma=3.5, mue=12.5, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu,linestyle=dashed]{-4}{30}
   \psGauss[sigma=5, mue=13.2, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-4}{30}
   \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
 \end{pspicture}&
\psset{xunit=.6cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-.8,-.8)(6,5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(6,5)
\psset{xunit=.12cm, yunit=15cm}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5, Dy=0.05,comma]{->}(0,0)(-4,-.03)(30,.25)
  \psGauss[sigma=3.5, mue=12.5, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu,linestyle=dashed]{-4}{30}
   \psGauss[sigma=2.1, mue=13.2, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-4}{30}
   \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
 \end{pspicture}&
\psset{xunit=.6cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-.8,-.8)(6,5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(6,5)
\psset{xunit=.12cm, yunit=15cm}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5, Dy=0.05,comma]{->}(0,0)(-4,-.03)(30,.25)
  \psGauss[sigma=3.5, mue=12.5, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu,linestyle=dashed]{-4}{30}
   \psGauss[sigma=2.1, mue=10, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-4}{30}
   \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
 \end{pspicture}\\
Graphique 1 &Graphique 2& Graphique 3\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \hfill (5 points)} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant \np{5700}~euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d'un montant de \np{5700}~euros, au taux mensuel de 1,5\,\%. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300~euros est versée par l'emprunteur à l'organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5\,\% puis baisse de 300~euros.

Le premier versement a lieu le 25 février 2016.

On note $u_n$ le capital restant dû en euros juste après la $n$-ième mensualité ($n$ entier naturel non nul). On convient que $u_0 = \np{5700}$.

Les résultats seront donnés sous forme approchée à $0,01$ près si nécessaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $u_1$, capital restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité, est de \np{5485,50}~euros.
		\item Calculer $u_2$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1} = 1,015 u_n - 300$.
	
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|lX|}\hline	
\textsc{\textsf{Variables :}}	&$n$ est un entier naturel\\
						&$u$ est un nombre réel\\
\textsc{\textsf{Traitement :}}	&Affecter à $u$ la valeur \np{5700}\\
						&Affecter à $n$ la valeur 0\\
						&Tant que $u > \np{4500}$ faire\\
						&\begin{tabular}{m{0.4cm}|l}
							&$u$ prend la valeur $1,015 \times u - 300$\\
							&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
							\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{Sortie :}}		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne.
	
	\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-2}\cline{4-5}
Valeur de $u$& 5700 &\ldots &  & \\\cline{1-2}\cline{4-5} 
Valeur de $n$& 0&\ldots & & \\\cline{1-2}\cline{4-5} 
$u > 4500$ (vrai/faux)& vrai&\ldots & vrai & faux\\\cline{1-2}\cline{4-5} 
\end{tabularx}
\end{center}	


\item Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{20000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1} = 1,015 \times  v_n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \np{20000} - \np{14300} \times 1,015^n$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une valeur approchée du capital restant dû par l'emprunteur au 26 avril
2017 est \np{2121,68}~euros.
		\item Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt.
		\item Quel sera le montant de la dernière mensualité ?
		\item Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera
le coût total de son achat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\setdefaultenum {I - }{}{}{}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT 2016}}

\bigskip

{\Large \textsc{série es - l : index thématique}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2.5cm}{2.5cm}
\vspace{\stretch{1}}

\hrulefill

\begin{enumerate}
  \item ANALYSE
  \begin{itemize}
    \item[] Suites \dotfill \hyperpage{2}, \hyperpage{8}, \hyperpage{15}, \hyperpage{20}, \hyperpage{25}, \hyperpage{30}, \hyperpage{36}, \hyperpage{42}, \hyperpage{46}, \hyperpage{52}, \hyperpage{61}
    \item[] Fonction exponentielle I \dotfill  \hyperpage{26}, \hyperpage{54}
    \item[] Fonction exponentielle II (avec intégrale) \dotfill \hyperpage{14}, \hyperpage{17}, \hyperpage{43}
    \item[] Fonction logarithme II (avec intégrale) \dotfill \hyperpage{4}, \hyperpage{7}, \hyperpage{32}, \hyperpage{37}, \hyperpage{48}
    \item[] Fonction application économique \dotfill  \hyperpage{57}
    \item[] Vrai - Faux \dotfill  \hyperpage{53}
    \item[] Q.C.M \dotfill  \hyperpage{23}, \hyperpage{39}, \hyperpage{45}
\end{itemize}

	\medskip
	
  \item Q.C.M. Analyse et Probabilités \dotfill  \hyperpage{3}, \hyperpage{6}, \hyperpage{12}, \hyperpage{29}, \hyperpage{35}, \hyperpage{56}

	\medskip

  \item PROBABILIT\'ES
  \begin{itemize}
    \item[] Probabilités discretes \dotfill  \hyperpage{21}, \hyperpage{34}
    \item[] Loi normale, intervalle de fluctuation \dotfill  \hyperpage{1}, \hyperpage{9}, \hyperpage{13}, \hyperpage{19}, \hyperpage{24}, \hyperpage{31}, \hyperpage{41}, \hyperpage{47}, \hyperpage{51}, \hyperpage{59}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\hrulefill
\vspace{\stretch{2}}
\end{ModifMarges}

	\end{sffamily} 

 \end{document}