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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma
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\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture}(17,4.5)
\DeclareFixedFont{\bigsf}{T1}{phv}{b}{n}{4.5cm}
\DeclareFixedFont{\smallrm}{T1}{ptm}{m}{n}{3mm}
\psboxfill{\smallrm \bleu mathématiques}
\psset{fillstyle=solid,fillcolor=Bfond,linecolor=bleu,linewidth=1.25pt}
\rput[b](3.5,0.1){
\pscharpath[addfillstyle=boxfill,
fillangle=45,fillsep=0.5mm]
{\rput[b](0,0){\bigsf BAC}}}
\rput[bl](17,0.25){
\pscharpath[addfillstyle=boxfill,fillangle=45,fillsep=0.5mm]
{\rput[br](0,0){\bigsf 2017}}}
\end{pspicture}


\vspace{\stretch{2}}

\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales des sujets de mathématiques session 2017}}}
 
\vspace{\stretch{1}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{obligatoire et spécialité}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
 
\begin{center}
\LARGE{\bf {Les sujets proposés sont établis à partir des énoncés mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}

\bigskip

\large{\emph{\prune{Certains énoncés ont été légèrement modifiés pour tenir compte de l'évolution de l'écriture des algorithmes dans les sujets de baccalauréat pour la session 2018}}}
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
\newpage

\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\textsf{\textsc{{sommaire des sujets de la session 2017}}}}

 \vspace{\stretch{1}}
 
\hrulefill

\vspace{\stretch{1}}
}
\textsf{\tableofcontents}

\bigskip
 
\hrulefill

}
\end{titlepage}

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}} 

\pagenumbering{arabic}

\lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat es session 2017}}}}
\rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{obligatoire et spécialité}}}
\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{\leftmark}}}  
\cfoot{\scriptsize{\textsf{-~\thepage{}~-}}}                                                     
\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}


\section{AMÉRIQUE DU NORD 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qc@Q.C.M. Analyse et Probabilités} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.} 

\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x \ln (x) - x$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

On a alors :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $f'(x) = 0$& \item $f'(x) = \ln (x)$& \item $f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1$& \item $f'(x) = \dfrac{1}{x} - x$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Les entiers naturels $n$ vérifiant l'inéquation $6 \times 0,95^n - 1 \leqslant 2$ appartiennent à l'intervalle :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $\left]- \infty ; \dfrac{\ln 3}{\ln (5,7)}\right]$ & \item $\left] -\infty ; \ln \left(\dfrac{0,5}{0,95}\right)\right]$ & \item $\left]- \infty ; \dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)}\right]$&\item $\left[\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)} ; + \infty\right[$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur 2~m.

Un tube métallique est considéré comme étant dans la nonne si sa longueur est comprise entre 1,98~m et 2,02~m. On prélève au hasard un échantillon de \np{1000} tubes, on observe que 954 tubes sont dans la norme.

L'intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de 95\,\%, avec les bornes arrondies à $10^{-3}$, est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $[0,922 ; 0,986]$ & \item $[0,947 ; 0,961]$ & \item $ [1,98 ; 2,02] $ & \item $[0,953 ; 0,955]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Pour un archer, la probabilité d'atteindre la cible est de 0,8. Les tirs sont supposés indépendants.

Quelle est la probabilité qu'il touche 3 fois la cible sur une série de 6 tirs ?

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item  0,512 & \item  2,4 & \item  \np{0,262144} & \item \np{0,08192}
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Une grande université, en pleine croissance d'effectifs, accueillait \np{27500}~étudiants en septembre 2016.

Le président de l'université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de \np{33000}~étudiants.

Une étude statistique lui permet d'élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :


\begin{itemize}
\item $150$ étudiants démissionnent en cours d'année universitaire (entre le 1\up{er} septembre et le 30 juin) ;
\item les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4\,\% par rapport à ceux du mois de juin qui précède.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre $2016 + n$, on a donc $u_0 = \np{27500}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le nombre d'étudiants en juin 2017.
		\item Estimer le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2017.
	\end{enumerate}
\item  Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,04u_n - 156$.
%\item  Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l'algorithme suivant afin qu'il donne l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.
%	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{l l X}
%L1& Variables : &$n$ est un nombre entier naturel\\
%L2& 			&$U$ est un nombre réel\\
%L3& Traitement :&$n$ prend la valeur 0\\
%L4& 			&$U$ prend la valeur \np{27500}\\
%L5& 			&Tant que $U \leqslant \ldots$ faire\\
%L6& 			&\hspace{1em}$n$ prend la valeur \dotfill\\
%L7& 			&\hspace{1em}$U$ prend la valeur \dotfill\\
%L8& 			&Fin Tant que\\
%L9& Sortie:		&Afficher \dotfill\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
%		
%Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes; on arrondira les valeurs de $U$ à l'unité.
%		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}m{5cm}|}\hline		
%&Initialisation &Étape 1 &\ldots\\ \hline
%Valeur de $n$& 0 &\ldots&\\ \hline
%Valeur de $U$& \np{27500}&\ldots&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%		\item Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme.
%	\end{enumerate}
\item  Recopier et compléter les lignes L3, L4 et L5 de l'algorithme suivant afin qu'il calcule le nombre d'années à partir duquel le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|l X|}\hline	
L1 & $n \leftarrow 0$\\
L2 & $U \leftarrow \np{27500}$\\
L3 & Tant que $U \leqslant \ldots$\\
L4 & \hspace{1em}$n\leftarrow \ldots$\\
L5 & \hspace{1em}$U\leftarrow \ldots$\\
L6 & Fin Tant que\\\hline	
\end{tabularx}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
		
Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ; on arrondira les valeurs de $U$ à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}m{5cm}|}\hline		
&Initialisation &Étape 1 &\ldots\\ \hline
Valeur de $n$& 0 &\ldots&\\ \hline
Valeur de $U$& \np{27500}&\ldots&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Donner la valeur de $n$ calculée par cet algorithme.
	\end{enumerate}
\item  On cherche à calculer explicitement le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
	
Pour cela, on note $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - \np{3900}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \: $u_n = \np{23600} \times 1,04^n + \np{3900}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
D'après l'AFDIAG (Association Française Des Intolérants au Gluten), la maladie c\oe liaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ 1\,\% de la population.

On estime que seulement 20\,\% des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.

On considère que si une personne n'est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.

On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ $66,6$ millions d'habitants au 1\up{er} janvier 2016.

On considère les évènements :


\begin{itemize}
\item $I$ : \og la personne choisie est intolérante au gluten \fg{} ;
\item $T$ : \og la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée \fg.
\end{itemize}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$I$}~}\naput{\ldots}}
		{
\TR{\bleu{$T$}}\naput{\bleu \ldots}
\TR{\bleu{$\overline{T}$}}\nbput{\bleu \ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{I}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$T$}}\naput{\bleu{0}}
\TR{~\bleu{$\overline{T}$}}\nbput{\bleu{1}}
 		}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
\item Montrer que $p(T) = 0,002$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l'apparition des premiers symptômes.

On admet que la loi de $X$ peut être assimilée à la loi normale d'espérance $\mu = 11$ et d'écart-type $\sigma = 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Calculer $p(X \leqslant 6)$. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Sachant que $p(X \leqslant a) = 0,84$, donner la valeur de $a$ arrondie à l'unité.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d'espérance $\mu = 11$ et d'écart-type $\sigma = 4$ ? Justifier le choix. On pourra s'aider des réponses aux questions précédentes.

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm, yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(29.5,5.25)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\multido{\n=-4+1}{34}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,5.25)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](-4.5,\n)(29.5,\n)}
\psset{xunit=.5cm, yunit=60cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=.02]{->}(0,0)(-4.5,0)(29.5,.105)
 \psGauss[sigma=4, mue=4, linewidth=1.25pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{-4.5}{29.5}
 \psGauss[sigma=4, mue=11, linewidth=1.25pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{-4.5}{29.5}
 \psGauss[sigma=7, mue=11, linewidth=1.25pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{-4.5}{29.5}
 \rput(15,.009){\textsf {\footnotesize{\bleu{Courbe 1}}}}
\rput(22,.009){\textsf {\footnotesize{\bleu{Courbe 2}}}}
\rput(28,.009){\textsf {\footnotesize{\bleu{Courbe 3}}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!c@Graphes} 

 
Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu'elle a sélectionnés.

Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes:

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\cnodeput(0,0){B}{B} \cnodeput(7.5,4){D}{D} \cnodeput(2.8,2.2){G}{G}
\cnodeput(1,4){H}{H} \cnodeput(8,0){J}{J} \cnodeput(6,1.5){L}{L} \cnodeput(6,4){M}{M} \cnodeput(1,1.6){R}{R}
\cnodeput(4,0){V}{V}}}}
\ncline{D}{M} \ncline{M}{H}\ncline{H}{R} \ncline{R}{G} \ncline{G}{L}   \ncline{L}{J}   \ncline{J}{V} \ncline{V}{B}\ncline{B}{R}  \ncline{V}{G} \ncline{J}{M} \ncline{M}{V} \ncline{V}{L} \ncline{L}{M} 
\end{pspicture}

\begin{tabularx}{.8\linewidth}{>{\small}l  >{\small}l >{\small}X}
B : Le lagon bleu.&H : Rocher Hvitserkur.&M : Lac de M\'yvatn.\\
D : Chute d'eau de Dettifoss.&J : Lagune glacière de Jökulsárlón.&R : Capitale Reykjavik.\\
G : Geyser de Geysir.&L : Massif du Landmannalaugar.&V: Ville de Vik.\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ordre du graphe.
		\item Déterminer si le graphe est connexe.
		\item Déterminer si le graphe est complet.
	\end{enumerate}
\item Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.
\item On appelle $M$ la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l'ordre alphabétique. On donne ci-dessous une partie de la matrice $M$ ainsi que la matrice $M^4$ :
	
\[M = \begin{pmatrix}	
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &1 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 \\
1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\
0 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 
\ldots&\ldots&\ldots&1 &1 &1 &0 &0 &1\\ 
\ldots&\ldots&\ldots&1 &0 &0 &0 &0 &0\\ 
\ldots&\ldots&\ldots&0 &1 &1 &1 &0 &0 \end{pmatrix}\quad  M^4=
\begin{pmatrix}
12 	&3 &16 	&8 	&14 &13 &15 &2 	&10\\
3 	&5 &5 	&6 	&9 	&11 &6 	&3 	&12\\
16 	&5 &24 	&11 &23 &21 &26 &5 	&20\\
8 	&6 &11 	&10 &13 &14 &9 	&3 	&14\\
8 	&6 &11 	&10 &13 &14 &9 	&3 	&14\\
14 	&9 &23 	&13 &28 &29 &29 &8 	&30\\
13 	&11&21 	&14 &29 &38 &32 &15 &40\\
15 	&6 &26 	&9 	&29 &32 &43 &14 &34\\ 
2 	&3 &5 	&3 	&8 	&15 &14 &15 &21\\ 
10 	&12&20 	&14 &30 &40 &34 &21 &49
\end{pmatrix}\]

	\begin{enumerate}
		\item Il manque certains coefficients de la matrice $M$. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice.
		\item Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 permettant d'aller de B à D.
	\end{enumerate}
\item Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilomètre entre les différents lieux :

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\cnodeput(0,0){B}{B} \cnodeput(7.5,4){D}{D} \cnodeput(2.8,2.2){G}{G}
\cnodeput(1,4){H}{H} \cnodeput(8,0){J}{J} \cnodeput(6,1.5){L}{L} \cnodeput(6,4){M}{M} \cnodeput(1,1.6){R}{R}
\cnodeput(4,0){V}{V}}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
\ncline{D}{M}\ncput*{50} \ncline{M}{H}\ncput*{295}\ncline{H}{R}\ncput*{222} \ncline{R}{G}\ncput*{50} \ncline{G}{L}\ncput*{141} \ncline{L}{J}\ncput*{220}   \ncline{J}{V}\ncput*{192} \ncline{V}{B}\ncput*{220}\ncline{B}{R}\ncput*{50}\ncline{V}{G}\ncput*{170} \ncline{J}{M}\ncput*{420} \ncline{M}{V}\ncput*{450} \ncline{V}{L}\ncput*{122} \ncline{L}{M}\ncput*{316}
}}} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Déterminer à l'aide de l'algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d'aller du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d'eau de Dettifoss).

Préciser alors le trajet à emprunter.	
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0,7 ; 6]$ ; on suppose que $f$ est dérivable.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }}Étude graphique}

\medskip

On a représenté la fonction $f$ sur le graphique ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-.25,-.5)(7,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x^2-2*x+1)*EXP(6-2*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(7,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-.5)(7,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.7}{6}{\f}
\psdots[dotsize=3pt,linecolor=bleu](.7,8.95359)(3,4)(6,.061969)(4,0)
\uput[ur](3,4){\bleu{$A$}}\uput[ur](4,0){\bleu{$B$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de $f$ passe par les points $A(3 ; 4)$ et $B(4 ; 0)$. Déterminer $f'(3)$.
\item D'après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de $f'$ sur l'intervalle $[0,7 ; 6]$ .
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }}Étude théorique}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie par $f(x) = \left(x^2 - 2x + 1\right)\e^{-2x+6}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \left(-2x^2 + 6x - 4\right)\e^{-2x+6}$ , où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,7 ; 6]$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,7 ; 6]$. 

On ne demande pas de calculer les ordonnées.
\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l X|}\hline
L1	&$f'(x) := \left(- 2x\:\hat\:\: 2 + 6x - 4\right) * \e\:\hat\:\: (- 2x + 6)$\\
	&$\to f'(x) = \left(- 2x^2 + 6x - 4\right)\e^{- 2x + 6}$\\ \hline
L2	&$g(x) := \text{Dérivée}[f'(x)]$\\
	&$\to g(x) = -16x\e^{-2x+6} + 4x^2\e^{-2x+6} + 14\e^{-2x+6}$\\ \hline
L3	& Factoriser$[g(x)]$\\
	&$\to  2\e^{-2x+6}\left(2x^2 - 8x + 7\right)$\\ \hline
L4	& Résoudre$[g(x) = 0]$\\
	&$\to \left\{x =\frac{- \sqrt{2}+4}{2} ; x =\frac{\sqrt{2}+4}{2}\right\}$\\ \hline
L5	& $F(x) := \text{Primitive}[f(x)]$\\
	&$\to F(x) = \dfrac{1}{4}\left(-2x^2 + 2x - 1\right)\e^{-2x+6}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.
		\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, en donner l'abscisse.
		\item On pose $I = \displaystyle\int_3^5  f(x) \dd x$. Calculer la valeur exacte de $I$ puis la valeur arrondie à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{AMÉRIQUE DU SUD 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qc@Q.C.M. Analyse et Probabilités} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = 11 + 5 \ln (x)$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $y = 5x + 11$ &\item $y = 5x + 6$ &\item $y = 11x - 6$  &\item $y = 5x + 16$
\end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip


\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = 11 + 5 \ln (x)$.

L'équation $f(x) = 0$ d'inconnue $x$ a pour solution :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $- \dfrac{\e^{11}}{5}$&\item $- \ln \left(\frac{11}{5}\right)$&\item $\e^{\frac{-11}{5}}$&\item $\dfrac{\e^{- 11}}{5}$
\end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip


\item On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de $6$ qu'on obtient.

La probabilité $p(X = 1)$ d'obtenir exactement un $6$, arrondie à $10^{-2}$, est:

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 0,08 &\item 0,17  &\item 0,40 &\item 0,80
\end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip


\item On considère une variable aléatoire $T$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[2 ; 7]$.

La fonction de densité de $T$ est représentée ci-dessous.


\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,4)
\psset{xunit=.8cm, yunit=8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=.1,comma=true]{->}(0,0)(9,.4)
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](2,0.2)(7,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

La probabilité conditionnelle $P_{(T\geqslant 3)}(T \leqslant 5)$ est égale à :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $\dfrac{1}{2}$ &\item $\dfrac{3}{5}$  &\item $\dfrac{2}{5}$&\item $\dfrac{3}{4}$
\end{tabularx} \end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Mathieu dispose d'un capital de \np{20000}~euros qu'il veut placer. Sa banque lui propose de choisir entre deux contrats d'épargne.


Contrat A : Le capital augmente chaque année de 4\,\%.

Contrat B : Le capital augmente chaque année de 2,5\,\% et une prime annuelle fixe de 330 euros est versée à la fin de chaque année et s'ajoute au capital.


On note $a_n$ le capital, en euro, acquis au bout de $n$ années si Mathieu choisit le contrat A.

$\hphantom{\text{On note }}$ $b_n$ le capital, en euro, acquis au bout de $n$ années si Mathieu choisit le contrat B.

On a donc $a_0 = b_0 = \np{20000}$ et, pour tout entier naturel $n$,\[a_{n+1} = 1,04 a_n\quad \text{ et }\quad  b_{n+1} = 1,025 b_n + 330.\]

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat A.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur, arrondie à l'euro, du capital disponible au bout de 10 ans.
		\item Déterminer le pourcentage d'augmentation du capital entre le capital de départ et celui obtenu au bout de $10$ ans. Arrondir le résultat à 1\,\%.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat B.
	
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \np{13200} + b_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,025$ et calculer son premier terme $u_0$.
		\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $b_n = \np{33200} \times 1,025^n - \np{13200}$.		
		\item Déterminer au bout de combien d'années le capital disponible devient supérieur à \np{40000} euros.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
%\textsf{\textsc{Variables}}\\
%\hspace{1em}$A$ est un nombre réel\\
%\hspace{1em}$B$ est un nombre réel\\
%\hspace{1em}$N$ est un nombre entier naturel\\
%\textsf{\textsc{Traitement}}\\
%\hspace{1em}$A$ prend la valeur \np{20 000}\\
%\hspace{1em}$B$ prend la valeur \np{20 000}\\
%\hspace{1em}$N$ prend la valeur $0$\\
%\hspace{1em}Tant que $A \leqslant B$\\
%\hspace{2em}$A$ prend la valeur $1,04 \times A$\\
%\hspace{2em}$B$ prend la valeur $1,025 \times B + 330$\\
%\hspace{2em}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
%\hspace{1em}Fin Tant que\\
%\textsf{\textsc{Sortie}}\\
%\hspace{1em}Afficher $N$\\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}	
\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$A \leftarrow \np{20 000}$

$B \leftarrow  \np{20 000}$

$N \leftarrow 0$

Tant que $A \leqslant B$

\begin{itemize}
\item[] $A \leftarrow 1,04 \times A$
\item[] $B \leftarrow 1,025 \times B + 330$
\item[] $N \leftarrow N + 1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Le tableau ci-dessous traduit l'exécution pas à pas de l'algorithme.
		
Recopier et compléter ce tableau en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de $A$ et de $B$ seront arrondies à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X}\hline		
Valeur de $A$				& \np{20000} 	&\ldots &\dotfill\\ \hline
Valeur de $B$				& \np{20000} 	&\ldots &\dotfill\\ \hline
Valeur de $N$				& 0 			&\ldots &\dotfill\\ \hline
Condition $A \leqslant B$	& vraie			&\ldots &\dotfill\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%\item Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
		\item Donner la valeur de $N$ calculée par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!cb@Graphes probabilistes (avec algorithme de Dijkstra)} 

 
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Pour les déplacements entre les principales villes d'une région, les habitants peuvent acquérir soit la carte d'abonnement bus (PassBus), soit la carte d'abonnement train (PassTrain), toutes les deux étant valables un an.

Une étude récente montre que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que, chaque année, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item 10\,\% des abonnements PassBus sont remplacés par des abonnements PassTrain ;
\item 15\,\% des abonnements PassTrain sont remplacés par des abonnements PassBus.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $B$ et $T$ où le sommet $B$ représente l'état \og abonné PassBus \fg{} et $T$ l'état \og abonné PassTrain \fg.
\item Déterminer la matrice de transition de ce graphe en respectant l'ordre $B$, $T$ des sommets.
\item En 2016, les abonnements PassBus représentaient 25\,\% de l'ensemble des abonnements, tandis que les abonnements PassTrain en représentaient 75\,\%.

Quelle sera la part, en 2019, des abonnements PassBus dans l'ensemble des abonnements ? 

Donner le résultat en pourcentage arrondi à $0,1$\,\%.
\item Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le réseau ferroviaire de la région est schématisé par le graphe ci-dessous.

Les sommets représentent les villes et les arêtes représentent les voies ferrées.

Sur les arêtes du graphe sont indiquées les distances exprimées en kilomètre entre les villes de la région.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.25)(12.5,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=gray](-.5,-.25)(12.5,3.25)
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\psset{radius=.8mm,linecolor=bleu}
\Cnode*(0,1.6){A}\Cnode*(3,3){B}\Cnode*(2.5,1.3){C}\Cnode*(8,3){D}\Cnode*(8,1.2){E}\Cnode*(4,0){F}\Cnode*(10,.8){G}\Cnode*(12,2){H}
  \sf{\bleu{\footnotesize{
\uput[l](0,1.6){A}\uput[u](3,3){B}\uput[d](2.5,1.3){C}\uput[u](8,3){D}\uput[ur](8,1.2){E}\uput[d](4,0){F}\uput[d](10,.8){G}\uput[r](12,2){H}
}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
\ncline{A}{B}\ncput*{20}\ncline{B}{D}\ncput*{82} \ncline{D}{H}\ncput*{36}\ncline{H}{G}\ncput*{24}\ncline{G}{F}\ncput*{40}\ncline{F}{E}\ncput*{20}\ncline{E}{C}\ncput*{70}\ncline{C}{A}\ncput*{28} \ncline{A}{F}\ncput*{80}\ncline{F}{B}\ncput*{54}\ncline{B}{E}\ncput*{78}\ncline{E}{G}\ncput*{16}  
 \ncline{B}{C}\ncput*{26} \ncline{E}{D}\ncput*{20}  
 }}} 
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet le plus court pour aller de la ville A à la ville H. Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Une entreprise d'élevage de poissons en bassin a constaté qu'une partie de sa production est infectée par une nouvelle bactérie.

Un laboratoire a réalisé deux prélèvements, l'un au mois de janvier et l'autre au mois de juin, afin d'étudier l'évolution de l'infection.

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Au mois de janvier, lors du premier test, le laboratoire a prélevé au hasard \np{1000} poissons parmi l'ensemble des poissons du bassin.

La fréquence de poissons infectés par la bactérie dans cet échantillon est $f_1 = 5\,\%$.

Au mois de juin, le laboratoire a prélevé de nouveau \np{1000} poissons.

Pour ce second test, la fréquence de poissons infectés est $f_2 = 10\,\%$.



La fréquence de poissons infectés dans les deux échantillons ayant doublé en cinq mois, le laboratoire préconise d'arrêter la vente des poissons de l'entreprise.

On note $p_1$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de janvier et $p_2$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de juin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance 95\,\% de la proportion $p_1$ puis de la proportion $p_2$. 

On arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$.
\item Quel argument pourrait donner l'entreprise pour éviter l'arrêt de la vente ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour déterminer la fréquence de poissons infectés dans un prélèvement, le laboratoire dispose d'un test de dépistage dont les résultats sont les suivants :


\begin{itemize}
\item sur des poissons infectés par la bactérie, le test est positif dans 60\,\% des cas ;
\item sur des poissons non infectés par la bactérie, le test est positif dans 10\,\% des cas.
\end{itemize}

Pour un poisson prélevé au hasard, on note :

\begin{itemize}
\item $B$  l'évènement : \og le poisson est infecté par la bactérie \fg{} ;
\item $T$  l'évènement : \og le test du poisson est positif \fg{} ;
\item $\overline{B}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $B$ et $T$.
\end{itemize}

On note $x$ la probabilité qu'un poisson soit infecté par la bactérie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré traduisant cette situation.
\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$B$}~}\naput{$x$}}
		{
\TR{\bleu{$T$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{\bleu{$\overline{T}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{B}$}~}\nbput{$1-x$}}
		{
\TR{~\bleu{$T$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{~\bleu{$\overline{T}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(T) = 0,5x + 0,1$.
		\item Le laboratoire a constaté que 12,5\,\% des poissons d'un prélèvement ont eu un test positif.
		
Quelle estimation de la proportion de poissons infectés le laboratoire va-t-il proposer pour ce prélèvement ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Un traitement antibiotique permet de guérir les poissons infectés par la bactérie.

Le temps de guérison d'un poisson infecté, exprimé en jours, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 21$ et d'écart-type $\sigma = 5$.

\emph{Les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $p\left(14 < X < 28\right)$.
\item Déterminer la probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après $5$ semaines de traitement antibiotique.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthonormal, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 2]$.

On suppose que $f$ est deux fois dérivable et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

On sait que :

\begin{itemize}
\item le point $A(0 ; 1)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$ ;
\item la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d'abscisse 0,25 est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.4)(5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4*x+1)*EXP(-2*x)}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(5,4)
\psset{unit=3cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,comma,Dx=.5, Dy=.5]{->}(0,0)(-.1,-.1)(2.5,1.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](2.5,0){$x$}\uput[dl](0,1.75){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{2}{\f}
\uput[dr](0,1){\bleu $A$} \uput[u](0.25,1.213){\bleu $B$}\uput[u](1.8,0.25){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{<->}(0.05,1.213)(0.45,1.213)
\psdot[linecolor=bleu, dotscale=.8](.25,1.213)
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip


On suppose que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 2]$ par $f(x) = (ax + b)\e^{-2x}$  où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique et les données de l'énoncé, déterminer $f(0)$ et $f'(0,25)$.
\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Déduire des deux questions précédentes les valeurs des réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 2]$ par $f(x) = (4x + 1)\e^{-2x}$.

On admet par ailleurs que $f'(x) = (2 - 8x)\e^{-2x}$ et $f''(x) = (16x - 12)\e^{-2x}$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$.

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'$ sur $[0 ; 2]$ puis en déduire les variations de $f$ sur $[0 ; 2]$.
\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet, sur l'intervalle $[0 ; 2]$, un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 2]$ par $F(x) = (- 2x - 1,5)\e^{-2x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; 2]$.
		\item En déduire l'aire exacte $\mathcal{A}$, en unité d'aire, du domaine $D$ du plan situé entre $\mathcal{C}_f$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
		\item Déterminer la valeur moyenne, arrondie à $10^{-1}$, de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{ANTILLES GUYANE 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qb@Q.C.M. Probabilités} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

\begin{enumerate}
\item $A$ et $B$ sont deux évènements d'une expérience aléatoire. On note $\overline{B}$ l'évènement contraire de $B$. On sait que : $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ et $P\left(A \cap B\right) = 0,42$. On peut affirmer que :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $P_A(B) = 0,3$ & \item  $P\left(A \cup B\right) = 0,58$ & \item $P_B(A) = 0,28$ & \item $P\left(A \cap \overline{B}\right) = 0,28$ \end{tabularx} \end{enumerate}
\medskip

\item Dans une station de ski, le temps d'attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0 ; 5]$.

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item L'espérance de cette loi $X$ est $\dfrac{2}{5}$ & \item $p(X > 2) =\dfrac{3}{5}$ & \item $p(X \leqslant 2) =\dfrac{3}{5}$ & \item $p(X \leqslant 5) = 0$.
\end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip

\item Une machine remplit des flacons dont le volume annoncé est de 100 mL. On admet que le volume contenu dans le flacon peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 100 mL et d'écart type 2 mL.

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $p(Y \leqslant 100) =0,45$ & \item $p(96 \leqslant Y \leqslant 104) \approx 0,95$ & \item $p(Y \leqslant 110) \approx0,85$ \end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip


\item Un article de journal affirme, qu'en France, il y a 16 \% de gauchers. Un chercheur souhaite vérifier cette affirmation. Pour cela, il veut déterminer la taille de l'échantillon de la population française à étudier qui permettrait d'obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à 0,1 au niveau de confiance de 0,95. La taille de l'échantillon est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 30 & \item 64 & \item 100 & \item 400
\end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip


\item La fonction $f$ est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$. La fonction $g$ est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne $\mu = 3$ et d'écart type $\sigma = 2$.
La représentation graphique de ces deux fonctions est :
\begin{enumerate}
\item ~

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=3, mue=2, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-1.5,.2){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](6.5,.05){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\item ~

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=.75, mue=3, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-1.5,.2){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](4.5,.25){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\item ~

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=3, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=2, mue=3, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-3.5,.07){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](5.5,.1){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\item ~

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{EXP(-.5x^2)/(2*PI)^.5}
\psgrid[gridwidth=.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,0)(8,3)
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-7,0)(8,.6)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-7}{8}
\psGauss[sigma=2, mue=3, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-7}{8}
\uput[u](-1.5,.2){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[u](5.5,.1){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Un particulier possède une piscine et décide de s'équiper d'un système automatique de remplissage pour tenir compte de l'évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont telles qu'il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4 \% de la quantité d'eau. Il décide alors de régler son système de remplissage automatique à un apport de $2 \mathrm{m}^3$ d'eau par jour. 

Le premier jour de la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage, la piscine contient $75 \mathrm{m}^3$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube ($\mathrm{m}^3$), $n$ jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage.

Ainsi, $u_0= 75$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

Est-elle géométrique ?
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,96\times u_n +2$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n= u_n-50$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $v_0$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n= 25\times 0,96^n+50$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Si le volume d'eau dans la piscine est inférieur à $65 \mathrm{m}^3$, le niveau de l'eau est insuffisant pour alimenter les pompes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d'eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l'algorithme suivant :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|l X|c|}\hline
%Variables :& $n$ est un nombre entier naturel & L1\\
% & $u$ est un nombre réel & L2\\
%Traitement :& $n$ prend la valeur 0 & L3\\
%& $u$ prend la valeur 75 & L4\\
%& Tant que $u$ \dotfill & L5\\
%& \multicolumn{1}{@{\hspace{.5cm}}|l|}{$u$ prend la valeur \dotfill} & L6\\
%& \multicolumn{1}{@{\hspace{.5cm}}|l|}{$n$ prend la valeur $n+1$} & L7\\
%& Fin Tant que & L8\\
%Sortie :& Afficher $n$ & L9\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Recopier et compléter les lignes L5 et L6 de cet algorithme.
%\item Quel est le résultat affiché en sortie de cet algorithme ?
%\item Pendant combien de jours le niveau de l'eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|c|}\hline	
$n \leftarrow 0$ &  L1\\
$u \leftarrow 75$ & L2\\
Tant que $u  \ldots$ & L3\\
\hspace{1em}$u\leftarrow \ldots$ & L4\\
\hspace{1em}$n\leftarrow n+1$ & L5\\
Fin Tant que & L6\\ \hline	
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les lignes L3 et L4 de cet algorithme.
\item Quelle est la valeur de $n$ calculée à la fin de cet algorithme ?
\item Pendant combien de jours le niveau de l'eau est-il suffisant si on conserve ce réglage ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!cb@Graphes probabilistes (avec algorithme de Dijkstra)} 

 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le graphe ci-dessous représente le plan d'un centre de vacances. Les arêtes représentent les allées et les sommets, les carrefours. On a indiqué sur chaque arête la longueur en mètre des allées entre deux carrefours.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.2,-.25)(6.2,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\psset{radius=.8mm,linecolor=bleu}
\Cnode*(0,1.5){A}\Cnode*(1,3){B}\Cnode*(1.5,0){C}\Cnode*(3.5,3){D}\Cnode*(3.5,0){E}\Cnode*(4.5,1.5){F}\Cnode*(6,1.5){G}
  \sf{\bleu{\footnotesize{
\uput[l](0,1.5){A}\uput[u](1,3){B}\uput[d](1.5,0){C}\uput[u](3.5,3){D}\uput[d](3.5,0){E}\uput[l](4.5,1.5){F}\uput[r](6,1.5){G}
}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
 \ncline{C}{A}\ncput*{110} \ncline{A}{B}\ncput*{75}
 \ncline{B}{C}\ncput*{30} \ncline{C}{E}\ncput*{72}
 \ncline{E}{B}\ncput*{42} \ncline{B}{D}\ncput*{50}
 \ncline{D}{F}\ncput*{103} \ncline{F}{E}\ncput*{40}
 \ncline{E}{G}\ncput*{93} \ncline{G}{F}\ncput*{80}
 }}} 

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Le service d'entretien doit nettoyer toutes les allées. En partant du carrefour C, peut-on nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles ? Justifier la réponse.
\item Existe-t-il un parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles et de revenir au point de départ ? Justifier la réponse.
\item Déterminer le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
Dans ce centre de vacances, les vacanciers peuvent, chaque jour, déjeuner au restaurant du
centre ou à l'extérieur. On constate chaque jour que :
\begin{itemize}
\item 5 \% des vacanciers ayant déjeuné au centre de vacances ne se réinscrivent pas pour le lendemain ;
\item 20 \% des vacanciers ayant déjeuné à l'extérieur s'inscrivent pour déjeuner au centre de
vacances le lendemain.
\end{itemize}

On note $D$ l'état \og Déjeuner au centre de vacances \fg{} et $E$ l'évènement \og Déjeuner à l'extérieur \fg.

\begin{enumerate}
\item Construire un graphe modélisant cette situation.
\item Écrire la matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l'ordre
alphabétique.
\item Le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances. Quel pourcentage de vacanciers déjeunera au centre de vacances le deuxième jour ? Le cinquième jour ?
\item L'état $\begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}$ est-il stable ?
\item Peut-on affirmer qu'à terme, si les comportements des vacanciers restent les mêmes, 75~\% des vacanciers prendront leur déjeuner au centre ?
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (7 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-4 ;10]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, et $f''$ sa dérivée seconde.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses.

Le domaine $S$ grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 2$ et la droite d'équation $x = 4$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(11,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+4)*EXP(-.5*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{2}{4}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune](4,0)(2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-1)(11,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-1)(11,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{10}{\f}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\psline{<->}(-3.5,5.43656)(-.5,5.43656)
\psdot(-2,5.43656)
\uput[ul](-2,5.4){\footnotesize{\prune{$A$}}}\uput[u](6.5,.3){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en la justifiant, la valeur de $f'(-2)$.
\item Par une lecture graphique, quel semble être le signe de $f'(4)$ ?
\item Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire du domaine $S$ grisé sur la figure.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
La fonction $f$ précédente est définie sur l'intervalle $[-4 ; 10 ]$ par $f (x) = (x +4)\mathrm{e}^{-0,5x}$.

\begin{enumerate}
 \item\begin{enumerate}
 \item Montrer que $f'(x) = (-0,5x -1)\mathrm{e}^{-0,5x}$.
 \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4 ; 10 ]$.
 \item Montrer que sur l'intervalle $[ 1 ; 6 ]$ l'équation $f (x) = 1,5$ admet une unique solution.

On notera $\alpha$ cette unique solution.
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
 \end{enumerate}
 \item On admet que la dérivée seconde de $f$ est définie par $f''(x) = 0,25x\mathrm{e}^{-0,5x}$.
 \begin{enumerate}
  \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4 ; 10 ]$.
 \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion $I$ dont on calculera les coordonnées.
  \end{enumerate} 
  \item \begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $F$ définie par $F(x) = (-2x-12)\mathrm{e}^{-0,5x}$. Comment peut-on montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-4 ; 10 ]$ ? \emph{On ne demande pas d'effectuer cette vérification.}
  \item Calculer $S =\displaystyle\int_{2}^{4}f(x)\;\mathrm {d}x$.

On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate} 
 

 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (3 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!b@Calcul intégral} 

 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ;1]$ par $f (x) = 4+ \mathrm{e}^{-5x}$.

On a tracé dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

Le domaine $\mathcal{D}$ hachuré sur la figure est le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d'équation $y = a$, parallèle à l'axe des abscisses, selon l'exemple donné ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=8cm,yunit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-.15,-.5)(1.3,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4+EXP(-5*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=darkgray](1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=darkgray,hatchwidth=0.25pt] \grestore }
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=darkgray](1,0)(1,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.15,-.5)(1.3,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline(-.15,2.1)(1.3,2.1)
\uput[ul](0,2.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[ul](1.3,2.1){\footnotesize{\prune{$y=a$}}} \uput[u](.2,4.4){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que la valeur $a = 3$ ne convient pas.
\item Déterminer à 0,1 près une valeur de $a$ qui convienne.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qc@Q.C.M. Analyse et Probabilités} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.}

\emph{Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de
réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier l'affirmation choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Des élections doivent se dérouler dans un certain pays. Deux candidats se présentent, le candidat A et le candidat B.

Avant les élections, un organisme de sondage veut estimer la proportion d'électeurs qui voteront pour le candidat A. Pour cela il réalise un sondage auprès d'un échantillon de \np{1050} électeurs. Parmi eux, 504 annoncent vouloir voter pour le candidat A et tous les autres pour le candidat B.

\begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{Affirmation}}} 1 :]
\item C'est certain, le candidat A va perdre l'élection.
\item Le candidat A aura 48\,\% des voix le jour de l'élection.
\item La probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91\,\% et 51,09\,\% des votes est d'environ 0,48.
\item La probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91\,\% et 51,09\,\% des votes est d'environ 0,95.
\end{enumerate}

\item Sur le graphique ci-dessous est représentée la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle $[0 ; 7]$. Les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(2 ; 5)$ et $B(4 ; 6,8)$. La droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.1*x^3-1.2*x^2+4.5*x}
\def\Ta{.9*x+3.2}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=10](0,0)(8,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-.5,-.5)(8,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{7}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{0}{5.2}{\Ta}
\psdot[linecolor=bleu](2,5)\psdot[linecolor=prune](4,6.8)
\uput[u](2,5){\bleu{$A$}}\uput[ul](4,6.8){\footnotesize{\prune{$B$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ admet pour équation :
		
\begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{Affirmation}}} 1 :]
\item $y = - 0,9 x + 3, 2$.
\item $y = 0,9x + 3,5$.
\item $y = 0,9x + 3,2$.
\item $y = 1,8x + 3,2$.
\end{enumerate}

		\item \begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{Affirmation}}} 1 :]
\item $f(0) \leqslant \displaystyle\int_0^5 f(x) \dd x \leqslant  f(5)$.
\item $2 \leqslant  \displaystyle\int_2^7 f(x) \dd x  \leqslant 7$.
\item $18 \leqslant  \displaystyle\int_0^5 f(x) \dd x\leqslant   19$.
\item $25 \leqslant  \displaystyle\int_2^7 f(x) \dd x \leqslant 31$.
\end{enumerate}

	\end{enumerate} 
%	\item  On écrit les deux algorithmes suivants:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.8\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%\textsc{\textsf{Variables :}}\\
%$V$ est un nombre réel\\
%$S$ est un nombre réel\\
%$N$ est un entier naturel\\
%\textsc{\textsf{Traitement :}}\\
%Affecter la valeur $10$ à $V$\\
%Affecter la valeur $10$ à $S$\\
%Affecter la valeur $0$ à $N$\\
%Tant que $S \leqslant 50$\\
%\quad $V$ prend la valeur $1,05 \times V$\\
%\quad $S$ prend la valeur $S + V$\\
%\quad $N$ prend la valeur $N + 1$\\
%Fin Tant que\\
%\textsc{\textsf{Sortie :}}\\
%Afficher $N$\\ \hline
%\end{tabular}&\begin{tabular}{|l|}\hline
%\textsc{\textsf{Variables :}}\\
%$V$ est un nombre réel\\
%$S$ est un nombre réel\\
%$K$ est un nombre réel\\
%\textsc{\textsf{Traitement :}}\\
%Affecter la valeur $10$ à $V$\\
%Affecter la valeur $10$ à $S$\\
%Pour $K$ allant de 1 à 4\\
%\quad $V$ prend la valeur $1,05 \times V$\\
%\quad $S$ prend la valeur $S + V$\\
%Fin Pour\\
%\textsc{\textsf{Sortie :}}\\
%Afficher $S$\\\hline
%\end{tabular}\\
%\textbf{algorithme 1}&\textbf{algorithme 2}\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item \begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{Affirmation}}} 1 :]
%\item L'algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre 43 et 44.
%\item L'algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre 55 et 56.
%\item L'algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à 3.
%\item L'algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à 4.
%\end{enumerate}
%
%		\item \begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{Affirmation}}} 1 :]
%\item L'algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre 43 et 44.
%\item L'algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre 55 et 56.
%\item L'algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à 3.
%\item L'algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à 4.
%\end{enumerate}
\item  On écrit les deux algorithmes suivants:

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$V \leftarrow 10$\\
$S \leftarrow 10$\\
$N \leftarrow 0$\\
Tant que $S \leqslant 50$\\
\quad $V \leftarrow 1,05 \times V$\\
\quad $S \leftarrow S + V$\\
\quad $N \leftarrow N + 1$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}&\begin{tabular}{|l|}\hline
$V \leftarrow 10$\\
$S \leftarrow 10$\\
Pour $K$ allant de 1 à 4\\
\quad $V \leftarrow 1,05 \times V$\\
\quad $S \leftarrow S + V$\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabular}\\
\textbf{algorithme 1}&\textbf{algorithme 2}\\
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item \begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{Affirmation}}} 1 :]
\item La dernière valeur de $N$ calculée par l'algorithme 1 est comprise entre 43 et 44.
\item La dernière valeur de $N$ calculée par l'algorithme 1 est comprise entre 55 et 56.
\item La dernière valeur de $N$ calculée par l'algorithme 1 est égale à 3.
\item La dernière valeur de $N$ calculée par l'algorithme 1 est égale à 4.
\end{enumerate}

		\item \begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{Affirmation}}} 1 :]
\item La dernière valeur de $S$ calculée par l'algorithme 2 est comprise entre 43 et 44.
\item La dernière valeur de $S$ calculée par l'algorithme 2 est comprise entre 55 et 56.
\item La dernière valeur de $S$ calculée par l'algorithme 2 est égale à 3.
\item La dernière valeur de $S$ calculée par l'algorithme 2 est égale à 4.
\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos.  La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.
 
Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, 20\,\% des vélos sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui permet de racheter 30 vélos par an.
 
Le 1\up{er} janvier 2017, le parc contient 200 vélos utilisables.
 
On modélise l'évolution du nombre de vélos utilisables par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le nombre de vélos le 1\up{er} janvier de l'année $2017 + n$.
 
Ainsi $u_0 = 200$ et, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+ 1} = 0,8 \times  u_n + 30$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le coefficient $0,8$ dans l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1\up{er} janvier 2018 ?
	\end{enumerate}
\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - 150$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 50 \times 0,8^n + 150$.
		\item La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à 160.
		
En quelle année le service de location s'arrêtera-t-il ?
	\end{enumerate}
\item  Pour l'aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu'elle est versée pour chaque année le 1\up{er} janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.
	
Cette subvention s'élève à 20 euros par vélo disponible à la location.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à \np{7800} euros.
		\item Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1\up{er} janvier 2017 au 1\up{er} janvier 2025.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!cb@Graphes probabilistes (avec algorithme de Dijkstra)} 

 
\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos réservé à ses habitants.

Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.

Le 1\up{er} janvier 2017, la ville compte 5\,\% d'abonnés parmi ses habitants. Ces dernières années, le responsable du service location a constaté que :


\begin{itemize}
\item 93\,\% des abonnements sont renouvelés;
\item 1\,\% des habitants qui n'étaient pas abonnés l'année précédente souscrivent un abonnement.
\end{itemize}

On note $A$ l'état :  \og un habitant est abonné \fg{} et $P$ l'état: \og un habitant n'est pas abonné \fg.

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_n$ la probabilité qu'un habitant soit abonné l'année $2017 + n$ et $p_n$ la probabilité qu'un habitant ne soit pas abonné l'année $2017 + n$.

La matrice ligne $R_n = \begin{pmatrix}a_n& p_n\end{pmatrix}$ donne l'état probabiliste du nombre d'abonnés l'année $2017 + n$.

Ainsi $R_0 = \begin{pmatrix}a_0& p_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,05 &0,95\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et P où le sommet A représente l'état \og un habitant est abonné\fg{} et P l'état \og un habitant n'est pas abonné \fg.
\item  Déterminer la matrice de transition $T$ de ce graphe en respectant l'ordre A puis P des sommets.
\item  Déterminer $R_1$.
\item  Déterminer l'état probabiliste en 2021.

Les résultats seront arrondis au millième.
\item  On admet qu'il existe un état stable $\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $x$ et $y$ sont solutions du système : $\left\{\begin{array}{l c l}-7x+y&=&0\\ x + y&=&1 \end{array}\right.$.
		\item Déterminer l'état stable de ce graphe.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{Le responsable du service de location souhaite vérifier l'état des pistes cyclables reliant les parkings à vélos de location disposés
dans la ville. 

On modélise la disposition des lieux par le graphe étiqueté ci-contre dont les sommets représentent les parkings à vélo. 

Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, pour se rendre d'un parking à l'autre en suivant la piste cyclable.} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{ 
\begin{flushright}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\cnode*(0.5,1){2pt}{A} \cnode*(2,5.5){2pt}{B}
\cnode*(2.5,2.5){2pt}{C} \cnode*(2,0.5){2pt}{D}
\cnode*(5.25,2){2pt}{E} \cnode*(5.5,5.5){2pt}{F}
\cnode*(3,4.5){2pt}{G} 
\uput[l](0.5,1){$A$} \uput[u](2,5.5){$B$} \uput[r](2.5,2.5){$C$} 
\uput[dr](2,0.5){$D$} \uput[dr](5.25,2){$E$} \uput[ur](5.5,5.5){$F$} 
\uput[u](3,4.5){$G$}}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
\ncline{A}{B}\ncput*{6} \ncline{B}{C}\ncput*{5} \ncline{C}{A}\ncput*{5} 
\ncline{B}{G}\ncput*{5} \ncline{C}{G}\ncput*{4} \ncline{G}{F}\ncput*{7} 
\ncline{F}{E}\ncput*{4} \ncline{E}{G}\ncput*{2} \ncline{E}{D}\ncput*{9} 
\ncline{D}{A}\ncput*{2} \ncline{C}{D} \ncput*{2}}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en A jusqu'à la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin ?
\item  Le responsable est pressé. Déterminer le parcours le plus rapide possible permettant d'aller de A à F.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Chaque année, les organisateurs d'une course de montagne proposent trois parcours de difficulté croissante : vert, bleu et rouge.

Les organisateurs ont constaté que 50\,\% des coureurs choisissent le parcours vert, 30\,\% choisissent le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge.

Ils ont également constaté, en observant les années précédentes, que :

\begin{itemize}
\item 3,2\,\% de l'ensemble des coureurs abandonnent la course ;
\item 2\,\% des coureurs du parcours vert abandonnent la course ;
\item 5\,\% des coureurs du parcours rouge abandonnent la course.
\end{itemize}

 
\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

À la fin de la course, on choisit au hasard un des participants de telle façon que tous ont la même probabilité d'être choisis. On note :


\begin{itemize}
\item  $V$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours vert \fg{} ;
\item $B$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours bleu \fg{} ;
\item $R$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours rouge \fg{} ;
\item $A$ l'évènement \og Le coureur a abandonné la course \fg.
\end{itemize}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $V \cap A$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Un coureur se blesse et abandonne la course. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi le parcours vert ?
\item Démontrer que $P(B \cap A) = 0,012$.
\item En déduire la probabilité $P_B(A)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Le temps hebdomadaire d'entraînement des coureurs du parcours rouge, exprimé en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale dont l'espérance est de 6 heures et l'écart type est de 2 heures.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Lequel des deux graphiques suivants, graphique 1 ou graphique 2, représente la fonction de densité de la loi normale de paramètres $\mu = 6$ et $\sigma = 2$ ? Justifier la réponse.


\begin{center}
\begin{tabularx}{.9\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-.5,-.03)(12,0.7)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,0.7)}
\multido{\n=0.00+0.05}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.05](0,0)(-.5,-.03)(12,0.7)
\uput[dl](0,0){\textsf {\footnotesize{0}}}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu,sigma=0.6,mue=6]{0}{12}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.45cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-.5,-.03)(12,0.7)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,0.7)}
\multido{\n=0.00+0.05}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.05](0,0)(-.5,-.03)(12,0.7)
\uput[dl](0,0){\textsf {\footnotesize{0}}}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu,sigma=2,mue=6]{0}{12}
\end{pspicture}\\
\textbf{graphique 1} &\textbf{graphique 2}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Un magazine spécialisé interroge au hasard quelques participants du parcours rouge afin de mener une enquête sur la durée de leur entraînement. On arrondira les résultats au millième.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5~h et 7~h ?
		\item Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4~h ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[1 ; 25]$ par $f(x) = 10 - \dfrac{ \e^{0,2x+1}}{x}$.

Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l >{\raggedleft \arraybackslash}X|}\hline
$f(x) : 10 -  \e~\hat~ (0.2x+1)/x$&\\ \hline
& \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x \to 10 - \dfrac{\text{exp}(0.2x + 1)}{x}$\\ \hline
factoriser(deriver($f(x)$)&\\ \hline
 &  \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{\text{exp}(0.2x + 1) * (1 - 0.2x)}{x^2}$\\ \hline
factoriser (deriver(deriver($f(x)$)))&\\ \hline
&  \rule[-2ex]{0pt}{6ex}$\dfrac{\text{exp}(0.2x + 1) * (- x^2 + 10x - 50)}{25x^3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Retrouver par le calcul l'expression factorisée de $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\item Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle $[1 ; 25]$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[1 ; 25]$. On arrondira les valeurs au millième.
\item  On s'intéresse à l'équation $f(x) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle $[1 ; 5]$.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[5 ; 25]$.
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la solution $\alpha$.
\item  En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction $f$ est concave sur l'intervalle $[1 ; 25]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en millier d'euros, correspondant à la production d'une quantité de $x$ dizaines de tonnes d'aliments.
 
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la partie A ci-dessus.
 
La production minimale est de 10 tonnes, ainsi $x \geqslant 1$.
 
\emph{Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? 

Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?
\item Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{ASIE 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{VRA-FAUX!f@Vrai - Faux} 

 
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$  par : $f(x) = 1 + \ln (x)$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 1.}}

On note $F$ la primitive sur $]0 ; +\infty[$ de la fonction $f$ qui vérifie $F(1) = 0$.

Pour tout réel $x$ strictement positif, $F(x) = x\ln (x)$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 2.}}

La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 3.}}

L'équation $f(x) = 2$ possède exactement une solution dans l'intervalle $[1 ; 10]$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 4.}}

Il existe au moins un point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe $\mathcal{C}$.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Le graphique suivant indique le type de connexion à internet dont disposent les Français âgés de plus de 12 ans en juin 2016.

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.3)
\newrgbcolor{c1}{0.756 0.764 .576}
\newrgbcolor{c2}{0.656 0.704 .54}
\newrgbcolor{c3}{0.84 0.86 .84}
\newrgbcolor{c4}{0.645 0.51 .51}
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=darkgray,armA=.1,armB=0,angleA=180,angleB=0}
\pnode(0,0){a}
\rput[l](1.2,.2){\pnode{b}{\psframebox{\parbox{1.6cm}{\centering \tiny{ connexion internet fixe au domicile seulement : 28 \%}}}}}
\rput[l](.5,1.1){\pnode{c}{\psframebox{\parbox{1.6cm}{\centering \tiny{pas de connexion internet : 12 \%}}}}}
\rput[r](-1.2,-.2){\pnode(.74,0){d}{\psframebox{\parbox{1.6cm}{\centering \tiny{connexion internet fixe au domicile et en mobilité : 57 \%}}}}}
\rput[l](.8,-1){\pnode{e}{\psframebox{\parbox{1.6cm}{\centering \tiny{connexion internet en mobilité seulement: 3 \%}}}}}
\ncdiag{b}{a}\ncdiag{c}{a}\ncdiag[angleA=0]{d}{a}\ncdiag{e}{a}
\psset{linecolor=white,linewidth=1.25pt}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c1]{1}{-50.4}{50.4}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c2]{1}{50.4}{93.6}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c3]{1}{93.6}{298.8}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=c4]{1}{298.8}{309.6}
\uput[l](2,-1.4){\scriptsize{\emph{Source : CREDOC, Enquêtes sur les \og Conditions de vie et les aspirations \fg, juin 2016.}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On choisit au hasard une personne âgée de plus de 12 ans dans la population française.

On note $D$ l'évènement \og la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile \fg.

On note $M$ l'évènement\og la personne dispose d'une connexion internet en mobilité \fg.

\medskip

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, $p(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé. On note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner sans justification $p(D \cap M)$, puis justifier que $p(D) = 0,85$.
\item Calculer la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité.
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og la personne dispose d'une connexion internet \fg.
\item Calculer $p_{\overline{M}}\left(\overline{D}\right)$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

On interroge un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre de personnes ayant une connexion internet fixe au domicile.


\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
\item Déterminer $P(X \leqslant 75)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille 100.
\item Une enquête sur les usages du numérique, menée en juin 2016 auprès des habitants d'un petit village de montagne, amène au constat suivant : parmi les 100 habitants de plus de 12 ans de ce village, 76 d'entre eux disposent d'une connexion internet fixe au domicile.

Que peut-on penser de l'équipement en connexion internet fixe au domicile dans ce village ?
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-3 ; 2]$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le point $A$ de coordonnées $(0 ; 3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.

$B$ est le point d'abscisse 1 appartenant à la courbe $\mathcal{C}_f$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(3,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\f{(-x^2+2.5*x-2)*EXP(x)+5}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=15](0,0)(-7,-3)(3,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-3)(3,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-3}{2}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-7,3.6409)(3,3.6409)\uput[u](-5.5,3.6409){\prune $\Delta'$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-7,-.5)(3,4.5)\uput[u](-5.5,.25){\prune $\Delta'$}
\psdots[linecolor=bleu](0,3)(1,3.64)\uput[ur](0,3.1){\bleu{\footnotesize  $A$}}\uput[u](1,3.64){\bleu{\footnotesize  $B$}}
\uput[dl](1.7,1.7){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

On dispose des informations suivantes :


\begin{itemize}
\item la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $[-3 ; -0,5]$ et $[1 ; 2]$ et elle est strictement croissante sur $[-0,5 ; 1]$ ;
\item la droite $\Delta$ d'équation $y = 0,5x + 3$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ ;
\item la tangente $\Delta'$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}


Chaque réponse devra être justifiée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f'(1)$.
\item Quel est le signe de $f'(- 2)$ ?
\item Donner la valeur de $f'(0)$.
\item Le point $A$ est-il un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
\item Déterminer un encadrement par deux entiers consécutifs de $\displaystyle\int_0^1 f(x) \dd x$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

On admet qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ pour lesquels la fonction $f$ représentée dans la partie A est définie, pour tout réel $x$ de $[-3; 2]$, par :\[f(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\e^x + 5.\]

\begin{enumerate}
\item En utilisant l'un des points du graphique, justifier que $c = - 2$.
\item On admet que la fonction dérivée $f'$ est donnée, pour tout réel $x$ de $[-3 ; 2]$, par : \[f'(x) = \left(ax^2 + (2a + b)x - 2 + b\right)\e^x.\]

En utilisant les résultats de la partie A, justifier que $b = 2,5$ puis que $a = - 1$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}
\end{center}

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $[-3 ; 2]$ par $f(x) = \left(- x^2 + 2,5x - 2\right)\e^x + 5$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3 ; 2]$, $f'(x) = \left(-x^2 + 0,5x + 0,5\right)\e^x$.

\item  Étudier le signe de $f'$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-3 ; 2]$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1 ; 2]$.
		\item Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Pour l'année scolaire, un professeur de mathématiques propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement : \og Approfondissement\fg{} ou \og Ouverture culturelle \fg .

Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, 20\,\% des élèves de la classe ont choisi \og Approfondissement\fg{} et tous les autres ont choisi \og Ouverture culturelle \fg{}, On admet que


\begin{itemize}
\item 20\,\% des élèves ayant choisi \og Ouverture culturelle\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Approfondissement\fg{} la semaine suivante ;
\item 30\,\% des élèves ayant choisi \og Approfondissement\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Ouverture culturelle\fg{} la semaine suivante.
\end{itemize}



On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines. Chaque semaine, on interroge au hasard un élève de la classe.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $A_n$ l'évènement \og l'élève a choisi \og Approfondissement\fg{} la $n$-ième semaine \fg{} et $p_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$. On a alors $p_1 = 0,2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$A_n$}~}\naput{\bleu $p_n$}}
		{
\TR{~\bleu{$A_{n+1}$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{A_{n+1}}$}}\nbput{\prune \ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{A_n}$}~}\nbput{\bleu $1-p_n$}}
		{
\TR{~\bleu{$A_{n+1}$}}\naput{\prune \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{A_{n+1}}$}}\nbput{\prune \ldots}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,2$.
\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = p_n - 0,4$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de son premier terme $u_1$.
		\item En déduire pour tout entier naturel $n$ l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis l'expression de $p_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\item  On considère l'algorithme suivant où $N$ est un entier :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|X|}\hline
%\textsf{\textsc{Variables}} & $I$ et $N$ sont des entiers naturels strictement supérieurs à 1\\
%&$P$ est un nombre réel\\ \hline
%\textsf{\textsc{Entrée}} &Saisir $N$\\ \hline
%\textsf{\textsc{Initialisation}}& $P$ prend la valeur 0,2\\ \hline
%\textsf{\textsc{Traitement}} &Pour $I$ allant de 2 à $N$ :\\
%&\hspace{1em} $P$ prend la valeur $0,5P + 0,2$\\
%&Fin Pour\\ \hline
%\textsf{\textsc{Sortie}}& Afficher $P$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $N = 5$.
%		\item Modifier l'algorithme afin qu'il affiche le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi \og Approfondissement \fg{} dépasse 39,9.	
\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$P\leftarrow 0,2$

Pour $I$ allant de 2 à $N$

\hspace{2em} $P\leftarrow 0,5P + 0,2$

Fin Pour	

\end{minipage}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de la variable $P$ à la fin de l'exécution de cet algorithme lorsque $N = 5$.
		\item Modifier l'algorithme afin qu'il calcule le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi \og Approfondissement \fg{} dépasse 39,9.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!ca@Graphes probabilistes} 

 
Pour l'année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d'accompagnement: \og Approfondissement\fg{} ou \og Ouverture culturelle \fg .

Chaque semaine, un élève doit s'inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, 20\,\% des élèves de la classe ont choisi \og Approfondissement\fg{} et tous les autres ont choisi \og Ouverture culturelle \fg . On admet que, chaque semaine,


\begin{itemize}
\item 20\,\% des élèves ayant choisi \og Ouverture culturelle\fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Approfondissement\fg{} la semaine suivante ;
\item 30\,\% des élèves ayant choisi \og Approfondissement \fg{} une certaine semaine s'inscrivent en \og Ouverture culturelle \fg{} la semaine suivante.
\end{itemize}


On s'intéresse à l'évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d'accompagnement au fil des semaines.

On interroge au hasard un élève de la classe et on suit son choix d'option au fil des semaines.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $A$ l'état \og L'élève a choisi Approfondissement\fg{} et $B$ l'état \og L'élève a choisi Ouverture culturelle \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
		\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate}
\item On note $P_1$ la matrice traduisant l'état probabiliste de la première semaine. Ainsi $P_1 = \begin{pmatrix}0,2& 0,8\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M^2$ puis déterminer la probabilité que l'élève ait choisi \og Approfondissement\fg{} lors de la troisième semaine.
		\item  À long terme, quelle est la probabilité qu'un élève choisisse \og Approfondissement\fg{} ?
 	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel non nul $n$ on note:
	

\begin{itemize}
\item  $a_n$ la probabilité que l'élève interrogé ait choisi \og Approfondissement\fg{} lors de la $n$-ième semaine,
\item  $b_n$ la probabilité que l'élève interrogé ait choisi \og Ouverture culturelle\fg{} lors de la $n$-ième semaine.
\end{itemize}


Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :  $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,2$.

\item On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $a_n = 0,4 - 0,4 \times  0,5^n$.

Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation suivante :\[0,4 - 0,4 \times 0,5^n > 0,399.\]

\item
	\begin{enumerate}
%\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n > 0,399$.
%		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|X|}\hline		
%\textsf{\textsc{Variables}} &$N$ est un entier naturel\\
%&$A$ est un nombre réel\\ \hline
%\textsf{\textsc{Initialisation}}& Affecter à $N$ la valeur 1\\
%&Affecter à $A$ la valeur 0,2\\ \hline
%\textsf{\textsc{Traitement}} &\ldots\ldots\\	
%&\hspace{2em}\vrule\quad\begin{minipage}{\textwidth}
%Affecter à $A$ la valeur $0,5 \times  A + 0,2$
%
%\ldots\ldots
%\end{minipage} \\
%&\ldots \ldots\\ \hline
%\textsf{\textsc{Sortie}}& Afficher $N$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme en sortie ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.	
	
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n > 0,399$.

\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$N\leftarrow 1$

$A\leftarrow 0,2$

\dotfill

\smallskip

\hspace{2em}{\begin{tabular}{|l}
$A\leftarrow 0,5 \times  A + 0,2$\\
\ldots\ldots\\
\end{tabular}
}

\smallskip

\dotfill
	
\end{minipage}
}
\end{center}

\item Quelle est la valeur de la variable $N$ à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{CENTRES ÉTRANGERS 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qc@Q.C.M. Analyse et Probabilités} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples}

\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. }

\emph{Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} 

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $[1 ; 9]$, alors : 

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $p(1 < X < 9) = \dfrac{1}{8}$ & \item $p(5 < X < 9) = \dfrac{1}{2}$ & \item $p(1 < X < 3) = \dfrac{3}{8}$ & \item $p(1 < X < 2) = \dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip  

\item  Une enquête sanitaire a pour objectif d'estimer la proportion de personnes qui respectent le calendrier de vaccinations préconisé par le Haut Conseil de la Santé Publique. Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,01$ au niveau de confiance 0,95 de cette proportion, il faut interroger : 

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 200 personnes & \item 400 personnes & \item \np{10000} personnes & \item \np{40000} personnes 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip 

\item La solution de l'équation $x^{23} = 92$ est égale à : 

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 4 & \item 1,2  & \item $\e^{\frac{\ln(92)}{23}}$ & \item $\e^{\frac{\ln(23)}{92}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip  

\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[- 10 ; 10]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous : 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,2.4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,2.6) \psline(2,0)(2,2.6) \psline(0,1.8)(16.5,1.8)
\rput(1,2.2){$x$}\rput(2.5,2.2){$- 10$} \rput(7,2.2){$-5$}\rput(11.5,2.2){$3$}\rput(16,2.2){$10$}
\rput(1,.9){$g(x)$} \rput(2.5,1.5){\rnode{A}{$7$}} \rput(7,.3){\rnode{B}{$2$}} \rput(11.5,1.5){\rnode{C}{{$4$}}} \rput(16,.3){\rnode{D}{$-6$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $I = \displaystyle\int_{-5}^3 g(x)\dd x$. On peut affirmer que : 

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $- 5 \leqslant I \leqslant 3$&\item $2 \leqslant I \leqslant 4$ &\item $16 \leqslant I \leqslant 32$ &\item $4\leqslant I \leqslant 8$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 20 ;  20]$ par $f(x) = (- 2x + 30)\e^{0,2x-3}$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f’ (x) = (- 0,4x + 4)\e^{0,2x-3}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[- 20 ;  20]$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 20; 20]$ . 

On précisera la valeur exacte du maximum de $f$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sur l'intervalle $[- 20 ;  20]$, l'équation $f(x) = - 2$ admet une unique solution $\alpha$. 
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1$. 
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|Xr|}\hline     
 \rule[-1ex]{0pt}{4ex} 1	&Dériver $(- 10x + 200)\e^{0,2x-3}$&\\  
	& &$(- 2x + 30)\e^{0,2x-3}$\\ \hline   
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} 2 & Dériver $( 2x + 30)\e^{0,2x-3}$&\\  
	& &$(- 0,4x + 4)\e^{0,2x-3}$\\ \hline  
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} 3	& Dériver $(- 0,4x + 4)\e^{0,2x-3}$&\\
	& &$(- 0,08x + 0,4)\e^{0,2x-3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}   

Répondre aux deux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel:  

	\begin{enumerate}
			\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{10}^{15} f(x) \dd x$. 
			\item Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser l'abscisse du point d'inflexion.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l'intervalle $[0 ; 10]$. Le point $B$ représente le départ de la nouvelle piste et le point $A$ représente la station de ski où se trouve l'arrivée. 


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(11,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\f{(30-2*x)*EXP(.2*x-3)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.125pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f} \gsave
\psline(10,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(11,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,6){$f(x)$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\psdots[linecolor=prune](0,1.49361)(10,3.67879)
\uput[u](6.5,3){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\uput[ur](0,1.5){\bleu $A$}\uput[ur](10,3.7){\bleu $B$}
\end{pspicture}
\end{center}

Le réel $x$ représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et $f(x)$ représente l'altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point $M$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M$. Par exemple, une pente de 15\,\% en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de $\dfrac{15}{100} = 0,15$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle dénivelé d'une piste de ski, la différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée de cette piste. Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre. 
\item La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente. 


\begin{itemize}
\item La piste sera classée noire, c'est-à-dire très difficile, si au moins une portion de la piste a une pente supérieure ou égale à 40\,\%. 
\item La piste sera classée rouge, c'est-à-dire difficile, si au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre 25\,\% et 40\,\% (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à 40\,\%). 
\item Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à 25\,\% alors la piste sera classée bleue, c'est-à-dire facile. 
\end{itemize}


Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse. 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive. 

Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de $120\;\mathrm{m}^2$ au 1\up{er} janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de 10\,\% la superficie de terrain envahi l'année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d'une superficie de $4\;\mathrm{m}^2$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1\up{er} janvier 2018. 

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la superficie de terrain en $\mathrm{m}^2$ envahi par la Renouée du Japon au 1\up{er} janvier de l'année $2017 + n$. 

La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par $u_0 = 120$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n + 1} = 0,9u_n + 4$. 
\item  Le jardinier souhaite connaître l'année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1\up{er} janvier de l'année 2017. 

%Recopier et compléter les lignes L1, L3, L4 et L7 de l'algorithme suivant afin qu'il détermine l'année souhaitée. 
%
%\emph{On ne demande pas de faire fonctionner l' algorithme.}
%
%\begin{center}\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
%L1&$U$ prend la valeur \ldots\\
%L2 &$N$ prend la valeur 0 \\
%L3 &Tant que \dotfill\\ 
%L4 &\hspace{1em}$U$ prend la valeur\dotfill\\
%L5 &\hspace{1em}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
%L6 &Fin tant que \\
%L7 &Afficher \dotfill\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 
Recopier et compléter les lignes L1, L3 et L4 de l'algorithme suivant afin qu'il détermine l'année souhaitée. 

\emph{On ne demande pas de faire fonctionner l' algorithme.}

\begin{center}\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
L1&$U\leftarrow \ldots$\\
L2 &$N\leftarrow 0$ \\
L3 &Tant que \dotfill\\ 
L4 &\hspace{1em}$U\leftarrow \ldots$\\
L5 &\hspace{1em}$N\leftarrow N+1$\\ 
L6 &Fin tant que \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 40$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et préciser le premier terme. 
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. 
		\item Justifier que $u_n = 80 \times  0,9^n + 40$ pour tout entier naturel $n$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $80 \times  0,9^n + 40 \leqslant  60$. 
		\item En déduire l'année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1\up{er} janvier de l'année 2017. 
	\end{enumerate}
\item Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!ca@Graphes probabilistes} 

 
Un parti politique organise une élection en son sein pour désigner son candidat à l'élection présidentielle. Seuls les adhérents de ce parti peuvent voter à cette élection et ils ont le choix entre  deux candidats A et B. 

Pendant la campagne électorale, certains adhérents indécis changent d'avis. 

Un institut de sondage consulte chaque mois le même échantillon d'adhérents et recueille leurs intentions de vote. 

Il observe que l'évolution de l'état de l'opinion peut être modélisée de la façon suivante. 

Chaque mois : 

\begin{itemize}
\item   5\,\% des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat A le mois précédent changent d'avis et déclarent vouloir voter pour le candidat B. 
\item   3\,\% des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat B le mois précédent déclarent vouloir voter pour le candidat A. 
\end{itemize}

Au début de la campagne électorale, 65\,\% des adhérents déclarent vouloir voter pour le candidat A. On représente ce modèle par un graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B où : 

\begin{itemize}
\item   $A$ est l'évènement : \og l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A\fg{} ; 
\item   $B$ est l'évènement :  \og l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B \fg. 
\end{itemize}

Dans la suite de l'exercice, on note : 

\begin{itemize}
\item   $a_n$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A, le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $a_0 = 0,65$ . 
\item   $b_n$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B, le $n$-ième mois après le début de la campagne. 
\end{itemize}


On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ l'état probabiliste correspondant aux intentions de vote le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,65& 0,35\end{pmatrix}$. 


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B. 
		\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que $P_l = \begin{pmatrix}0,628& 0,372\end{pmatrix}$. 

\item On note $P = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ l'état stable associé à ce graphe.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{l l}
0,05a - 0,03b& = 0\\
a +b&=1
\end{array}\right.$.
 
\item Résoudre le système précédent. 
\item Interpréter dans le contexte de l'exercice la solution obtenue à la question 3. b). 
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+ 1} = 0,92a_n + 0,03$. 
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = a_n - 0,375$. 

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,92$ et préciser le premier terme. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que : $a_n = 0,275 \times  0,92^n + 0,375$. 
	\end{enumerate}
\item La campagne électorale dure 11 mois. Si la modélisation de l'institut de sondage est valable, quel candidat sera probablement élu ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Une base nautique propose la location de différentes embarcations pour visiter les gorges du Verdon. Les touristes peuvent louer des kayaks, des pédalos ou des bateaux électriques, pour une durée de 1 heure ou 2 heures. 

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes} 

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip  

Une étude statistique met en évidence que : 


\begin{itemize}
\item   40\,\% des embarcations louées sont des pédalos ; 
\item   35\,\% des embarcations louées sont des kayaks ; 
\item   les autres embarcations louées sont des bateaux électriques ; 
\item   60\,\% des pédalos sont loués pour une durée de 1 heure ; 
\item   70\,\% des kayaks sont loués pour une durée de 1 heure ; 
\item   la moitié des bateaux électriques sont loués pour une durée de 1 heure. 
\end{itemize}


On interroge au hasard un touriste qui vient pour louer une embarcation. On note $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ les évènements suivants : 


\begin{itemize}
\item   $A$ : \og l'embarcation louée est un pédalo\fg{} ; 
\item   $B$ : \og l'embarcation louée est un kayak\fg{} ; 
\item   $C$ :\og l'embarcation louée est un bateau électrique\fg{} ; 
\item   $D$ :\og l'embarcation est louée pour une durée de 1 heure\fg{} ; 
\item   $E$ : \og l'embarcation est louée pour une durée de 2 heures \fg. 
\end{itemize}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré. 
\item Calculer la probabilité $p(A \cap E)$. 
\item Montrer que la probabilité que l'embarcation soit louée pour une durée de 2 heures est égale à $0,39$. 
\item Sachant que l'embarcation a été louée pendant 2 heures, quelle est la probabilité que ce soit un bateau électrique ? Arrondir le résultat au centième. 
\item La base nautique pratique les tarifs suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
							&1 heure   	&2 heures   \\ \hline   
Pédalo   				&15 \euro  	&25 \euro\\ \hline     
Kayak   				&10 \euro  	&16\euro \\ \hline    
Bateau électrique	&35 \euro	&   60\euro\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
     
 En moyenne, 200 embarcations sont louées par jour. Déterminer la recette journalière que peut espérer la base nautique. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

\emph{Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième}

\medskip 

Les bateaux électriques sont équipés d'une batterie d'une autonomie moyenne de 500 minutes.

 Les batteries des bateaux sont rechargées uniquement à la fin de chaque journée d'utilisation. 

On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de fonctionnement de la batterie d'un bateau, exprimée en minutes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 10$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, calculer $p(490 < X < 520)$. 
\item Chaque jour, les bateaux sont utilisés pendant une durée de 8 heures sans être rechargés. 

Déterminer la probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée. 
\item Déterminer l'entier $a$ tel que $p(X < a) \approx 0,01$.

 Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE, LA RÉUNION 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.


\begin{enumerate}
\item Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps $T_l$ avant d'être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d'attente $T_1$ exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0 ; 12]$. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge ?

\item Quel est le temps moyen d'attente à une caisse ? 

\end{enumerate}

\item Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d'attente pour les clients ayant un panier contenant peu d'articles.

Le temps d'attente $T_2$, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart type 1,5.
 
Calculer la probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes.

\item Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes. 
\begin{itemize}
\item Le nombre de caisses automatiques est $n = 10$.

\item La probabilité qu'une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est $p = 0,1$.

\item Une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques. 

\end{itemize}

Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.

\item Calculer la probabilité pour qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée. 
\end{enumerate}

\item Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :
 
\og{}Plus de 90\:\% des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques.\fg{}
 
Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d'entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.

Cela remet-il en question l'affirmation du gérant? 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Au 1\up{er} janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :
 
\begin{itemize}
\item 25\:\% des adhérents de l'association ne renouvellent pas leur adhésion ;

\item 12 nouvelles personnes décident d'adhérer à l'association. 

\end{itemize}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 900$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[u_{n+1} = 0,75u_n + 12.\] 
Le terme $u_n$ donne ainsi une estimation du nombre d'adhérents de l'association au bout de $n$ mois. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer une estimation du nombre d'adhérents au 1\up{er} mars 2017.

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - 48$ pour tout entier naturel $n$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75.

\item Préciser $v_0$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 852\times  0,75^n + 48$.

\end{enumerate}

\item La présidente de l'association déclare qu'elle démissionnera si le nombre d'adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l'hypothèse que l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ? 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l'association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l'année 2017.

%Le trésorier souhaite utiliser l'algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés). 

%\begin{enumerate}
%\item Recopier et compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le montant total des cotisations de l'année 2017. 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|l|X|} \hline
%\textsc{\textsf{Variables :}} &$S$ est un nombre réel\\
%&$N$ est un entier \\
%&$U$ est un nombre réel \\
%\hline
%\textsc{\textsf{Initialisation}}&$S$ prend la valeur 0 \\
%&$U$ prend la valeur 900 \\
%\hline
%&Pour $N$ allant de 1 à 12 : \\
%&\hspace{1em} Affecter à $S$ la valeur \ldots\\
%&\hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $0,75U+12 $\\
%&Fin Pour\\
%\hline
%\textsc{\textsf{Sortie}} &\ldots\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

Le trésorier souhaite utiliser l'algorithme suivant dans lequel la quatrième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés). 


\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme de façon qu'il calcule le montant total des cotisations de l'année 2017. 

\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$S \leftarrow 0$

$U \leftarrow  900$

Pour $N$ allant de 1 à 12

\begin{itemize}
\item[] $S \leftarrow \ldots$
\item[] $U \leftarrow 0,75U+12$
\end{itemize}
Fin Pour

$S \leftarrow \ldots$
\end{minipage}
}
\end{center}


\item Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l'association pendant l'année 2017 ? 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!cb@Graphes probabilistes (avec algorithme de Dijkstra)} 

 
\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

Dans un jeu vidéo, une suite d'énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories: les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.

Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes : 
\begin{itemize}
\item la première énigme est facile ;

\item si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à 0,15 ; 

\item si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à 0,1. 

\end{itemize}

Pour $n \geqslant 1$, on note : 
\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilité que l'énigme numéro $n$ soit facile (de catégorie A) ;

\item $b_n$ la probabilité que l'énigme numéro $n$ soit difficile (de catégorie B) ; 

\item $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste pour l'énigme numéro $n$. 

\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Donner la matrice $P_1$.

\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

\item Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe, puis donner la matrice ligne $P_2$.

\item Sachant que, pour tout entier $n\geqslant 1$, on a : $a_n + b_n = 1$, montrer que, pour tout entier $n\geqslant l$, on a : $a_{n+l} = 0,75a_n + 0,1$.

\item Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on pose $v_n = a_n - 0,4$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que pour tout entier $n\geqslant 1$ : $a_n = 0,8\times 0,75^n + 0,4$.

\item Préciser la limite de la suite $\left(v_n\right)$.

\item Une revue spécialisée dans les jeux vidéo indique que plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d'avoir à résoudre des énigmes difficiles. Que penser de cette analyse ? 

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

Une des énigmes consiste à réaliser un parcours en un minimum de temps. Le graphe suivant schématise le parcours. L'étiquette de chaque arête indique le temps de parcours en minute entre les deux sommets qu'elle relie. Par exemple, le temps de parcours de C vers D, ou de D à C, est égal à quatre minutes. 

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(4,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\cnodeput(0,1){A}{A}\cnodeput(1,0){B}{B}\cnodeput(2,1){C}{C}\cnodeput(1,2){D}{D}\cnodeput(3,2){E}{E}\cnodeput(4,1){F}{F}\cnodeput(3,0){G}{G}
}}}
\sf{\prune{\small{
\ncline{A}{B}\ncput*{2}\ncline{A}{C}\ncput*{6}\ncline{A}{D}\ncput*{10}\ncline{B}{C}\ncput*{3}\ncline{B}{G}\ncput*{15}\ncline{C}{D}\ncput*{4}\ncline{C}{E}\ncput*{9}
\ncline{C}{G}\ncput*{12}\ncline{D}{E}\ncput*{3}\ncline{E}{F}\ncput*{1}\ncline{E}{G}\ncput*{4}\ncline{E}{G}\ncput*{4}\ncline{F}{G}\ncput*{4} 
}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Quel chemin le joueur doit-il prendre pour aller de A à G en minimisant son temps de parcours? Expliquer la démarche utilisée. 


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.

Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l'aide de deux fonctions $f$ et $g$ définies par :

pour tout réel $x$ de $[0 ; 1]$, $f(x)=(1-x)\mathrm{e}^{3x}$ et $g(x)=x^2-2x+1$.

Leurs courbes représentatives seront notées $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(9,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.86 .91 .93}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(1-x)*EXP(3*x)}
\def\g{x^2-2*x+1}
\psset{xunit=4cm,yunit=2.5cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
 \gsave
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.25pt, linecolor=bleu]{1}{0}{\g}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psset{xunit=.8cm,yunit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(9,13)
\psset{xunit=4cm,yunit=2.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,Dy=.2,comma=true]{->}(0,0)(-.6,-.6)(1.8,2.6)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\uput[dl](1.8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2.6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{0}{\g}
\uput[ur](0.8,2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[dr](0.2,0.4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_g$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|m{2cm}X}
\multicolumn{2}{|l}{dériver $(1-x)*\exp(3x)$}\\  
	&: $-3x*\exp(3*x)$+$2*\exp(3*x)$\\ 
	&\\
\multicolumn{2}{|l}{factoriser $-3x*\exp(3*x)+2*\exp(3*x)$}\\  
	& : $\exp(3x)*(-3x+2)$\\ 
	&\\  
\multicolumn{2}{|l}{factoriser(dériver($\exp(3x)(-3x+2)$))}\\
	& : $3*\exp(3*x)(1-3x)$\\ 
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Lecture : la dérivée de la fonction $f$ est donnée par $f'(x)=-3x\mathrm{e}^{3x}+2\mathrm{e}^{3x}$, ce qui, après factorisation, donne $f'(x)=(-3x+2)\mathrm{e}^{3x}$.}

\begin{enumerate}
\item Étudier sur $[0 ; 1]$ le signe de la fonction dérivée $f'$, puis donner le tableau de variation de $f$ sur $[0 ; 1]$ en précisant les valeurs utiles.

\item La courbe $\mathcal{C}_f$ possède un point d'inflexion. Déterminer ses coordonnées.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

On se propose de calculer l'aire de la partie grisée sur le graphique.


\begin{enumerate}
\item Vérifier que les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(1 ; 0)$ et $(0 ; 1)$ sont des points communs aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. 

\item On admet que : pour tout $x$ dans $[0 ; 1]$, $f(x) - g(x) = (1- x)\left(\mathrm{e}^{3x}-1+x\right)$. 


\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout $x$ dans $[0 ; 1]$, $\mathrm{e}^{3x}-1\geqslant 0$.

\item En déduire que pour tout $x$ dans $[0 ; 1]$, $\mathrm{e}^{3x}-1+x\geqslant 0$. 

\item Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ pour tout $x$ dans $[0 ; 1]$. 
\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item Calculer $\int_0^1g(x)\text{ d}x$.

\item On admet que : \[\int_0^1f(x)\text{ d}x=\dfrac{\mathrm{e}^{3}-4}{9}.\]

Calculer l'aire $S$, en unité d'aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième. 

\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (3 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Discrete} 

 
Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de \np{2017} est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.

Dans certaines circonstances, le premier chiffre d'un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que pour tout entier $c$ compris entre 1 et 9, \[P(X=c)=\dfrac{\ln(c+1)-\ln(c)}{\ln(10)}.\]
Cette loi est appelée loi de Benford. 

\medskip


\begin{enumerate}
\item  Que vaut $P(X = 1)$ ?

\item On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.

\begin{enumerate}
\item  \emph{Premier cas.}

Un fichier statistique de l'INSEE indique la population des communes en France au 1\up{er} janvier 2016 (champ: France métropolitaine et départements d'outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).

À partir de ce fichier, on constate qu'il y a \np{36677} communes habitées. Parmi elles, il y a \np{11094} communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.
 
Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l'affirmation : \og{}le premier chiffre de la population des communes en France au 1\up{er} janvier 2016 suit la loi de Benford \fg{} ? 

\item \emph{Deuxième cas.}

Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres  d'un candidat pris au hasard.

La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour $X$ ? 

\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE (PARIS REPASSÉ) 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qb@Q.C.M. Probabilités} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
 

\begin{enumerate}
\item Si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=3$ et d'écart type $\sigma=1$ alors $P\left( X \leqslant 2,5\right)$ a pour valeur approchée arrondie au centième :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 0,16 & \item  0,26 & \item 0,31  & \item 0,54 \end{tabularx} \end{enumerate}
\medskip

\item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type $\sigma$. 

Si $P\left(-5\leqslant Y \leqslant  5\right) \approx 0,95$ alors, parmi les réponses suivantes, la meilleure valeur approchée de $\sigma$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 5 & \item  2,5 & \item 1,3  & \item 0,95 \end{tabularx} \end{enumerate}
\medskip

\item Un institut de sondage réalise une enquête afin de mesurer le degré de satisfaction du service après-vente d'une société. Une première étude portant sur un échantillon aléatoire de 500 clients révèle que l'on dénombre 438 clients satisfaits. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant d'estimer la proportion de clients satisfaits est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $[0,079 ; 0,169]$ & \item $[0,455 ; 0,545]$ & \item $[0,831 ; 0,921]$ & \item $[0,874 ; 0,878]$ \end{tabularx} \end{enumerate}
\medskip

\item Cet institut souhaite réduire l'amplitude de l'intervalle de confiance. Combien de personnes au minimum faut-il interroger pour que cet intervalle de confiance ait une amplitude d'au plus 0,05 ?

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 1500 & \item 40 & \item 2000 & \item 400 \end{tabularx} \end{enumerate}
\medskip

Remarque : l'amplitude d'un intervalle $[e, f]$ est le nombre $f - e$.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!ca@Graphes probabilistes} 

 
En 2016, un institut de sondage mène une enquête régionale sur la manière dont les particuliers paient leur assurance. Les assurés se répartissent en deux catégories distinctes :

\begin{itemize}
\item la catégorie A, composée des assurés qui paient en agence ;
\item la catégorie B, composée des assurés qui paient en ligne.
\end{itemize}

 
En 2016, 92 \% des assurés paient en agence.

On admet que, d'une année à l'autre, 4 \% des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que 1 \% des assurés de la catégorie B passent à la catégorie A.

On suppose que le nombre d'assurés est constant et que chaque année un assuré fait partie d'une seule catégorie.

Pour tout entier naturel $n$, on considère l'année $(2016 + n)$ et on note :

\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, soit de catégorie A cette année-là,
\item $b_n$ la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, soit de catégorie B cette année-là,
\item $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$. Ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,92 & 0,08\end{pmatrix}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.

On notera $A$ l'état \og l'assuré est de catégorie A \fg{} et $B$ l'état \og l'assuré est de catégorie B \fg{}.
\item On admet que la matrice de transition $M$ associée à cette situation est $M = \begin{pmatrix}0,96&0,04\\0,01 &0,99\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $P_1$ en fonction de $M$ et de $P_0$.
\item En déduire la probabilité qu'un assuré soit de catégorie A en 2017. Arrondir le résultat au centième.
\end{enumerate}
\item Soit $P = \begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état stable du graphe.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left\{\begin{array}{r c l} -0,04a + 0,01b &= &0\\ a + b &=& 1	\end{array}\right.$.
\item Résoudre le système précédent. Quelle conclusion peut-on tirer quant à la répartition à long terme des assurés ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,95a_n + 0,01$.

On admet que, pour tout entier naturel $n$, $a_n = 0,2 + 0,72 \times 0,95^n$ et que la suite $\left( a_n \right)$ est décroissante.

\item On souhaite déterminer au bout de combien d'années moins d'un assuré sur deux sera de catégorie A. Recopier et compléter l'algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|p{3cm}|X|} \hline
%\textsc{\textsf{Variables :}} & $A$ est un nombre réel\\
% & $N$ est un entier naturel\\\hline
%\textsc{\textsf{Initialisation}}& Affecter à $A$ la valeur 0,92\\
%& Affecter à $N$ la valeur 0 \\
%\hline
%\textsc{\textsf{Traitement}} & Tant que \dotfill \\
%&\hspace{1em} Affecter à $N$ la valeur \dotfill\\
%&\hspace{1em} Affecter à $A$ la valeur \dotfill\\
%&Fin Tant que\\
%\hline
%\textsc{\textsf{Sortie}} & Afficher \ldots\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$A \leftarrow 0,92$

$N \leftarrow 0$

Tant que \ldots

\begin{itemize}
\item[] $N \leftarrow \ldots$
\item[] $A \leftarrow \ldots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
\item La proportion d'assurés de catégorie A va-t-elle devenir inférieure à 0,5 ? Si oui, à partir de quelle année ? Expliquer la démarche choisie.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Discrete} 

 
L'angine chez l'être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un virus (angine virale).

On admet qu'un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie.

L'angine est bactérienne dans 20 \% des cas.

Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d'un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l'angine est bactérienne, mais il présente des risques d'erreur :

\begin{itemize}
\item si l'angine est bactérienne, le test est négatif dans 30 \% des cas ;
\item si l'angine est virale, le test est positif dans 10 \% des cas.
\end{itemize}

On choisit au hasard un malade atteint d'angine. On note :

\begin{itemize}
\item $B$ l'évènement : \og l'angine du malade est bactérienne \fg{} ;
\item $T$ l'évènement : \og le test effectué sur le malade est positif \fg{}.
\end{itemize}

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, $p(E)$ désigne la probabilité de $E$ et $p_{F}(E)$ désigne la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. On note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre de probabilité.
\item \begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l'angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
\item Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,22.
\item Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?
\end{enumerate}
\item On choisit au hasard cinq malades atteints d'une angine.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
\item Calculer la probabilité qu'au moins l'un des cinq malades ait un test positif.
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2 ; 4]$ ainsi que plusieurs tangentes à $\mathcal{C}_f$ :

\begin{itemize}
\item $T_1$ est la tangente au point $A$ de coordonnées $\left(-1 ; \e^2\right)$,
\item $T_2$ est la tangente au point $B$ de coordonnées $(0 ; 2\e)$,
\item $T_3$ est la tangente au point $C$ de coordonnées $(1 ; 3)$.
\end{itemize}

On sait que la tangente $T_1$ est parallèle à l'axe des abscisses et que la tangente $T_3$ passe par le point $D$ de coordonnées $(2 ; 1)$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(5,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)*EXP(1-x)}
\def\Tb{5-2*x}
\def\Tc{EXP(1)*(2-x)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=10](-3,-1)(5,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1)(5,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2}{4}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-2}{3}{\Tb}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-1.3}{2.3}{\Tc}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-3,7.389)(5,7.389)
\psdots[linecolor=bleu](-1,7.389)(0,5.43656)(1,3)\psdot[linecolor=prune](2,1)
\uput[u](3.5,.4){$\mathcal{C}_f$}\uput[u](-1,7.4){\footnotesize{$A$}}\uput[ur](0,5.4){\footnotesize{$B$}}\uput[ur](1,3){\footnotesize{$C$}}\uput[dr](2.1,1){\footnotesize{$D$}}
\uput[u](3.5,7.4){\footnotesize{$T_1$}}\uput[ur](-1,8){\footnotesize{$T_2$}}\uput[u](-2,8){\footnotesize{$T_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(-1)$ et $f'(1)$.
\item On admet que $B$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. Quelle interprétation graphique peut-on faire ?
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $C$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}


On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2 ; 4]$, par :\[f(x)=(x+2)\e^{-x+1}\]
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[-2; 4]$, on a $f'(x) = -(x + 1)\e^{-x+1}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-2 ; 4]$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}
\end{center}

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|@{\hspace{1em}}c@{\hspace{1em}}|Xr|}\hline     
 \multirow{2}{*}{1} & \multicolumn{2}{l|}{factoriser(dériver $\left[-(x+1)*\exp(-x+1)\right]$}\\ \cline{2-3} 
	& &$x*\exp(-x+1)$\\ \hline   
\multirow{2}{*}{2} & \multicolumn{2}{l|}{intégrer $\left((x+2)*\exp(-x+1)\right)$}\\ \cline{2-3} 
	& &$-(x+3)*\exp(-x+1)$\\ \hline  
\end{tabularx}
}
\end{center}   

En utilisant ces résultats, répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. justifier.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle \int_{-2}^{1} f(x)\mathrm{d}x = -4 + \e^3$.
\item En déduire la valeur moyenne arrondie au millième de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 1]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE, LA RÉUNION SEPTEMBRE 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{VRA-FAUX!f@Vrai - Faux} 

 
On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2 ; 3]$. On note $f'$ la fonction dérivée de cette fonction sur l'intervalle $[-2 ; 3]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(4,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4*x^3-6*x^2-24*x+20)/15}
\def\Ta{1.5-x}
\def\Tb{1.3/3-x}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=10](-3,-2)(4,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(4,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2}{3}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-2}{3}{\Ta}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-2.5}{2.2}{\Tb}
\psdots[linecolor=bleu](-2,.8)(-1,2.26667)(-.5,2)(1.5,-1.06667)(2,-1.3333)(3,.13333)\psdot[linecolor=prune](1,.5)
\uput[ul](-2,.8){\bleu{$\mathcal{C}$}}\uput[u](-1,2.26667){\footnotesize{\bleu{$D$}}}\uput[dl](-.5,2){\footnotesize{\bleu{$A$}}}\uput[dl](1.5,-1){\footnotesize{\bleu{$B$}}}\uput[u](2,-1.3){\footnotesize{\bleu{$E$}}}\uput[ur](1,.5){\footnotesize{\prune{$F$}}}
\uput[u](-1.5,3){\footnotesize{\prune{$T$}}}\uput[ul](-2.1,2.2){\footnotesize{\prune{$T$'}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On dispose des renseignements suivants :

\begin{itemize}
    \item $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A(-0,5 ;2)$, elle passe par le point $F(1 ;0,5)$.
    \item $T'$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $B$ d'abscisse $\dfrac{3}{2}$.
    \item Les droites $T$ et $T'$ sont parallèles.
    \item Les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points $D$ d'abscisse $-1$ et $E$ d'abscisse $2$ sont parallèles à l'axe des abscisses.
    \end{itemize}    
\medskip
 
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

\medskip

\textsc{\textsf{Affirmation 1}}

Les nombres $f'\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ et $f'\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ sont tous deux égaux à $-1$.

\medskip

\textsc{\textsf{Affirmation 2}}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X}
La courbe ci-contre représente la fonction $f'$ sur $[-2 ; 3]$.	&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-7)(7,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.8*(2-x)*(x+1)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=10](-5,-7)(7,5)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2.5,-3.5)(3.5,2.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](3.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2}{3}{\f}
\psdots[linecolor=bleu](-2,-3.2)(3,-3.2)
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\medskip

\textsc{\textsf{Affirmation 3}}

La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $[-2 ; 3]$.

\medskip

\textsc{\textsf{Affirmation 4}}

Sur $[-2 ; 0]$, toute primitive de $f$ est croissante.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
 \begin{center}
 \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
 \end{center}
 
En janvier 2015, le directeur d'un musée d'art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le musée dispose d'un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut se rendre au guichet d'entrée du musée ou commander un billet en ligne.

Trois types de visites sont proposés :
\begin{itemize}
\item La visite individuelle sans location d'audioguide.
\item La visite individuelle avec location d'audioguide.
\item La visite en groupe d'au moins 10 personnes. Dans ce cas, un seul billet est émis pour le groupe.
\end{itemize}

Le site internet permet uniquement d'acheter les billets individuels avec ou sans audioguide. Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d'entrée du musée.

Sur l'année 2015 l'enquête a révélé que :
\begin{itemize}
\item 55 \% des billets d'entrée ont été achetés au guichet du musée ;
\item parmi les billets achetés au guichet du musée, 51 \% des billets correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide, et 37 \% à des visites avec location d'audioguide ;
\item 70 \% des billets achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide.
\end{itemize}
    
On choisit au hasard un billet d'entrée au musée acheté en 2015. On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $E$ : \og le billet a été acheté en ligne \fg{} ;
\item $A$ : \og le billet correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide \fg{} ;
\item $L$ : \og le billet correspond à une visite individuelle sans location d'audioguide \fg{} ;
\item $G$ : \og le billet correspond à une visite de groupe \fg{}.
\end{itemize}

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, $p(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé. On note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l'énoncé :
\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{~\bleu{$E$}~}}
	  {\TR{\bleu{$A$}}
		  \TR{\bleu{$L$}}  
	  }
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{E}$}~}\tbput{\bleu{\footnotesize{0,55}}}}	 
	  {\TR{\bleu{$A$}}\taput{\bleu{\footnotesize{0,37}}}
		  \TR{\bleu{$L$}}
		  \TR{\bleu{$G$}}
	  }
	
}
\end{center} 
\item Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est égale à 0,135.
\item Montrer que $p(A)=0,3385$.
\item Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée ?   

On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour gérer les flux des visiteurs, une partie de l'enquête a porté sur la durée d'une visite de ce musée. Il a été établi que la durée $D$ d'une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne $\mu=90$ et d'écart-type $\sigma=15$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer $p\left(90\leqslant D \leqslant 120\right)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    \item Le directeur précise qu'il augmentera la capacité d'accueil de l'espace restauration du musée si plus de 2 \% des visiteurs restent plus de 2 heures et 30 minutes par visite.
    
    Quelle sera alors sa décision ?
    \end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Sur l'ensemble des musées d'art contemporain, 22 \% des visiteurs sont de nationalité étrangère.

Sur un échantillon aléatoire de \np{2000} visiteurs du musée considéré précédemment, 490 visiteurs sont de nationalité étrangère.

Que peut en conclure le directeur de ce musée ? Argumenter.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d'information générale et politique, c'est-à-dire le nombre moyen d'exemplaires imprimés par jour.

Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline 
Année & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 \\ \hline
Tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires & \np{10982} & \np{10596} & \np{10274} & \np{10197} & \np{10182} & \np{9793} & \np{9321} & \np{8854} \\ \hline
 \multicolumn {9}{r}{\scriptsize{\textsf{Source : D.G.M.I.C (Direction générale des médias et des industries culturelles)}}} \\
\end{tabularx}

\medskip

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

\medskip

\begin{enumerate}
    \item Calculer le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.
    \end{enumerate}  
      
\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année $2007+n$.

On modélise la situation en posant : $V_0=10982$ et, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1}=0,96 V_n+100$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer $V_1$ puis $V_2$.
\item Soit $W_n$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $ W_n=V_n-2500$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $W_n$ est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
\item Déterminer l'expression de $W_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $V_n=8482\times 0,96^n+2500$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017.
\item Déterminer la limite de la suite $W_n$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année $\left(2007+n\right)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!ca@Graphes probabilistes} 

 
Dans une commune, l'école de musique propose des cours d'éveil musical.

En 2013, 20\,\% des enfants de la commune suivaient les cours d'éveil musical de cette école. Chaque année, 70\,\% des enfants inscrits restent dans l'école l'année suivante, et par ailleurs, 20\,\% des enfants de la commune qui n'y étaient pas inscrits viennent s'y ajouter.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item $c_n$ la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical en $(2013 + n)$ ;
\item $d_n$  la proportion des enfants de la commune qui ne sont pas inscrits à cet éveil musical en $(2013 + n)$ ;
\item $E_n = \begin{pmatrix}c_n& d_n\end{pmatrix}$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $(2013 + n)$.
\end{itemize}

Ainsi, on a $E_0 = \begin{pmatrix}0,2 &0,8\end{pmatrix}$.

On choisit au hasard un enfant de la commune.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un graphe probabiliste. On note :
\begin{itemize}
\item $C$ l'état \og l'enfant est inscrit aux cours d'éveil musical \fg{}.
\item $D$ l'état \og l'enfant n'est pas inscrit aux cours d'éveil musical \fg{}.
\end{itemize}

\item  Déterminer la matrice $A$ de transition, c'est-à-dire la matrice vérifiant, pour tout entier naturel $n$, \mbox{$E_{n+1} = E_n \times  A$}.
\item  Déterminer $E_1$ et $E_2$.
\item  Déterminer l'état probabiliste stable en justifiant votre réponse. Interpréter les résultats.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que pour tout entier naturel $n$, on a $c_n + d_n = 1$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,5c_n + 0,2$.
\end{enumerate}
On admet pour la suite de l'exercice que tout entier naturel $n$, $c_n = - 0,2 \times 0,5^n + 0,4$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Proposer un algorithme affichant la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical à partir de 2013 jusqu'à l'année $(2013 + n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur.
		\item La proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical franchira-t-elle le seuil de 39\,\% ? Si oui, indiquer l'année en expliquant la démarche.
	\end{enumerate}
\item  Le directeur de cette école affirme que si ce modèle d'évolution reste valable, la proportion d'enfants de la commune inscrits à cet éveil musical dépassera le seuil de 50\,\%. 
	
Peut-on valider cette affirmation ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!e@Fonction application économique} 

 
Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d'une enceinte est de 300 euros.

On note $x$ le prix de vente en centaines d'euros d'une enceinte.

Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel $x$ de l'intervalle $[3 ; 10]$, si le prix de vente d'une enceinte est $x$ centaines d'euros, alors le nombre d'acheteurs est modélisé par $f(x)= \e^{-0,25x+5}$.

Ainsi, $f(x)$ est une approximation du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de $x$ centaines d'euros. Par exemple, si le prix de vente d'une enceinte est fixé à 400 euros, le nombre d'acheteurs est approché par $f(4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approximative du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de 400 euros. 
\end{enumerate}

\medskip

On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de 400 euros par enceinte ?
\end{enumerate}

\medskip

On note $g(x)$ la marge brute, en centaines d'euros, réalisée par l'entreprise pour une prix de vente de $x$ centaines d'euros par enceinte.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[3 ; 10]$, $g(x)= (x-3)\e^{-0,25x+5}$.
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
    
    \begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|Xr|}\hline 
$\text{\texttt{factoriser}}\left( \text{\texttt{dériver}} \left[\left(x-3\right)\ast\mathrm{exp}\left(-0,25x+5\right)\right]\right)$&\\  
 &\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $-\dfrac{x-7}{4}\e^{-0,25x+5}$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[3 ; 10]$.
\item Pour quel prix de vente unitaire l'entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale ? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l'euro près.
\end{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction telle que $G(x)= (-4x-4)\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ de $[3 ; 10]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$.
\item On pose $I=\displaystyle \int_{3}^{10} g(x)\mathrm{d}x$. Déterminer la valeur exacte de $I$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{LIBAN 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (3 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qc@Q.C.M. Analyse et Probabilités} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par $g(x) = \dfrac{2}{x}$.

La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1 ; \e]$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 2 &\item $\dfrac{1}{\e - 1}$ & \item $\dfrac{2}{\e - 1}$ & \item $\dfrac{- 2}{\e - 1}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-dessous représente la fonction de densité $f$ associée à la variable $X$.

\begin{center}
\psset{xunit=5cm, yunit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-.1)(2,2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=.2, mue=1, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleuclair]{.6}{1.4} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleuclair](1.4,0)(.6,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](.6,0)(0.6,.2699)\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](1.4,0)(1.4,.2699) 
\psaxes[yAxis=false,labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,comma]{->}(0,0)(2,2)
 \psGauss[sigma=.2, mue=1, linewidth=1.25pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{0}{2}
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](1,0)(1,2)
\rput(1,.15){\prune{Aire $\approx 0,95$}}
\uput[u](0.5,0.12){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item L'espérance de $X$ est $0,4$.
		\item L'espérance de $X$ est $0,95$.
		\item L'écart-type de $X$ est environ $0,4$.
		\item L'écart-type de $X$ est environ $0,2$.
	\end{enumerate}
\item À l'occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de 10 euros d'achats. \emph{L'hypermarché \textbf{affirme} que 15\,\% des tickets à gratter sont gagnants}, c'est-à-dire donneront droit à un bon d'achat de 5~euros.
	
Amandine a reçu 50 tickets à gratter après un achat de 500 euros dans cet hypermarché. Deux d'entre eux étaient gagnants.
	
On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu'un échantillon de 50 tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets à gratter est $[0,051 ; 0,249]$, les bornes étant arrondies au millième.
		\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50  tickets à gratter est $[0,100 ; 0,200]$, les bornes étant arrondies au millième.
		\item La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est $\dfrac{50}{500}$.
		\item Amandine peut annoncer avec un risque de 5\,\% que l'affirmation de l'hypermarché n'est pas mensongère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }}L'accord de Kyoto (1997)}

\medskip

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté $\mathrm{CO}_2$.

En 2011, la France a émis 486 mégatonnes de GES en équivalent $\mathrm{CO}_2$ contre 559 mégatonnes en 1990.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans l'accord de Kyoto, la France s'est engagée à réduire ses GES de 8\,\% entre 1990 et 2012.

Peut-on dire qu'en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.
\item  Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de 5,6\,\% par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent $\mathrm{CO}_2$ émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à $0,1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }}Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle}

\medskip

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2\,\% d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent $\mathrm{CO}_2$.

En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de $\mathrm{CO}_2$ au total.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de $\mathrm{CO}_2$ émis dans cette zone industrielle au cours de l'année $2005 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_0$ et $u_1$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98 \times u_n + 0,2$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Préciser son premier terme.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 31 \times (0,98)^n + 10$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de $\mathrm{CO}_2$, par rapport à l'année 2005.

%	\begin{enumerate}
%		\item 	
%\parbox{0.55\linewidth}{Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de
%l'algorithme} \hfill \parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
%1& Variables\\
%2&\quad $U$ est du type nombre\\
%3&\quad  $n$ est du type nombre entier\\
%4& Début Algorithme\\
%5&\quad  $U$ prend la valeur $41$\\
%6&\quad  $n$ prend la valeur $0$\\
%7&\quad  Tant que (\ldots \ldots ) faire\\
%8&\quad \quad  Début Tant que\\
%9&\quad \quad  $U$ prend la valeur \ldots\\
%10&\quad \quad  $n$ prend la valeur $n + 1$\\
%11&\quad \quad  Fin Tant que\\
%12&\quad  Afficher $n$\\
%13& Fin Algorithme\\ \hline
%\end{tabularx}}
%
%\item L'algorithme affiche 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.	
%	\end{enumerate}	

	\begin{enumerate}
		\item 	
\parbox{0.55\linewidth}{Recopier et compléter les lignes 3 et 4 de l'algorithme :} \hfill \parbox{0.3\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
1 & $U \leftarrow 41$\\
2 & $n \leftarrow 0$\\
3 & Tant que \ldots \\
4 & \hspace{1em}  $U \leftarrow \ldots$\\
5 & \hspace{1em}  $n \leftarrow n + 1$\\
6 & Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}}

\item La valeur de $n$ calculée à la fin de l'algorithme est 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.	
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Discrete} 

 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\emph{Notations :}

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.

Si $A$ et $B$ sont deux évènements, on note $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième}

\medskip

Une agence Pôle Emploi étudie l'ensemble des demandeurs d'emploi selon deux critères, le sexe et l'expérience professionnelle.

Cette étude montre que :


\begin{itemize}
\item 52\,\% des demandeurs d'emploi sont des femmes et 48\,\% sont des hommes ;
\item 18\,\% des demandeurs d'emploi sont sans expérience et les autres sont avec expérience ;
\item parmi les hommes qui sont demandeurs d'emploi, on sait que 17,5\,\% sont sans expérience.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }}}

\medskip

On prélève au hasard la fiche d'un demandeur d'emploi de cette agence. On note :


\begin{itemize}
\item $S$ : l'évènement \og le demandeur d'emploi est sans expérience \fg{} ;
\item $F$ : l'évènement \og le demandeur d'emploi est une femme \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser $p(S)$ et $p_{\overline{F}}(S)$.
\item Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.
\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$F$}~}\naput{\ldots}}
		{
\TR{\bleu{$S$}}
\TR{\bleu{$\overline{S}$}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{F}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$S$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{~\bleu{$\overline{S}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
}
\end{center}

\item Démontrer que $p\left(\overline{F} \cap S\right) = 0,084$. Interpréter le résultat.
\item La fiche prélevée est celle d'un demandeur d'emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.
\item Sachant que la fiche prélevée est celle d'une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d'un demandeur d'emploi sans expérience.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


La responsable de l'agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d'emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d'emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d'emploi sans expérience.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!cb@Graphes probabilistes (avec algorithme de Dijkstra)} 

 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays.

En 2015, l'opérateur Alpha possède 30\,\% du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l'opérateur Bravo.

On étudie l'évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l'un ou l'autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l'opérateur Alpha soit chez l'opérateur Bravo.

On estime que, chaque année :


\begin{itemize}
\item 12\,\% des abonnés de l'opérateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l'opérateur Bravo.
\item 86\,\% des abonnés de l'opérateur Bravo lui restent fidèles, les autres le quittent pour l'opérateur Alpha.
\end{itemize}

On modélise cette situation par un graphe probabiliste à deux sommets Alpha et Bravo :

\begin{itemize}
\item  $A$ est l'évènement: \og l'abonné est chez l'opérateur Alpha \fg{} ;
\item  $B$ est l'évènement: \og l'abonné est chez l'opérateur Bravo \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner ce graphe probabiliste.
\end{enumerate}
On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, est : $M = \begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}$.

On note pour tout entier naturel $n$ :


\begin{itemize}
\item  $a_n$ la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Alpha l'année $2015 + n$ ;
\item  $b_n$ la probabilité qu'un abonné soit chez l'opérateur Bravo l'année $2015 + n$.
\end{itemize}


On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2015 + n$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Donner $a_0$ et $b_0$.
\item Montrer qu'en 2018, il y aura environ 44,2\,\% des abonnés chez l'opérateur Alpha.
\item Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l'ensemble des abonnés sur le long terme. On note $P = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ l'état stable de la répartition des abonnés.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{l c l}
0,12x - 0,14y &= &0\\
		x + y &=& 1.
		\end{array}\right.$
		\item Résoudre le système précédent dans l'ensemble des réels.
		\item Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d'un grand nombre d'années. Arrondir les pourcentages à 0,1\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Un opérateur français doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I à l'approche de la saison touristique. À ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.

Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées.

L'opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.

Dans le graphe ci-dessous :


\begin{itemize}
\item  les sommets représentent les stations de ski ;
\item  les arêtes représentent les différents tronçons qu'il est possible de déployer ;
\item  le poids de chaque arête correspond au coût associé, en milliers d'euros.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\cnodeput(0,5){A}{A} \cnodeput(0.5,7){B}{B} 
\cnodeput(4.5,6){C}{C} \cnodeput(7,4){D}{D}
\cnodeput(6,2){E}{E} \cnodeput(2.5,.5){F}{F}
\cnodeput(0,0){G}{G}\cnodeput(1.5,2.5){H}{H}
\cnodeput(3,4){I}{I}
}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
 \ncline{A}{B}\ncput*{5} \ncline{A}{C}\ncput*{25}
 \ncline{B}{C}\ncput*{30} \ncline{C}{D}\ncput*{20}
 \ncline{D}{E}\ncput*{20} \ncline{D}{I}\ncput*{15}
 \ncline{E}{I}\ncput*{15} \ncline{E}{F}\ncput*{20}
 \ncline{F}{G}\ncput*{5} \ncline{F}{H}\ncput*{10}
 \ncline{G}{H}\ncput*{20} \ncline{H}{I}\ncput*{20}
 \ncline{A}{I}\ncput*{15} \ncline{A}{H}\ncput*{10}
 }}} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G.
\item Déterminer, en milliers d'euros, le coût de ce tracé.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!e@Fonction application économique} 

 
\emph{Les deux parties sont liées}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par $f(x) =  \dfrac{1}{0,5 + 100\e^{-x}}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ dans l'intervalle $[0 ; 10]$, on a $f'(x) =  \dfrac{100\e^{-x}}{\left(0,5 + 100\e^{-x} \right)^2}$.
\end{enumerate}
On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.

Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de $f''(x)$ : $f''(x) = \dfrac{100\e^{-x}\left(100\e^{-x} - 0,5\right)}{\left(0,5 + 100\e^{-x} \right)^3}$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, dans l'intervalle $[0 ; 10]$, l'inéquation $100\e^{-x} - 0,5 \geqslant 0$ est équivalente à l'inéquation 
		
		$x \leqslant -\ln(0,005)$.
		\item En déduire le tableau de signes de la fonction $f''$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$.
 	\end{enumerate}
\item  On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ tracée dans un repère.
	
Montrer, à l'aide de la question 2, que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion noté $I$, dont on précisera la valeur exacte de l'abscisse.
\item  En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\emph{Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés \degres C}

\medskip

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays.

Cet accord confirme l'objectif, d'ici l'année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2\degres C la température de l'année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction $f$ de la partie A, une évolution de température possible permettant d'atteindre l'objectif de l'accord de Paris.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction 
est tracée ci-dessous, et $I$ est son point d'inflexion.

Sur l'axe des abscisses, l'année 1900 correspond à 0 et une unité représente $25$~ans, donc l'année 1925 correspond à 1.

Sur l'axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10.2,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/(.5+100*EXP(-x))}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=15](0,0)(10,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(10.2,3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\psdot[linecolor=prune](5.29832,1)
\uput[u](5.3,1){\bleu{$I$}}
\uput[dr](0,3){\footnotesize{Nombre de \degres C au-dessus de la température de 1900}}
\uput[ul](10.2,0){\footnotesize{Rang des années}}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(10)$, en arrondissant le résultat au centième.
		\item En déduire qu'en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la partie A, déterminer l'année correspondant à l'abscisse du point $I$ d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. Arrondir le résultat à l'unité.
		\item Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.
 	\end{enumerate}
\item On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d'augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction $f'$.
	\begin{enumerate}
		\item Est-il vrai de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.
		\item Est-il vrai de dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5\degres C la température de l'année 1900.
	
Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{NOUVELLE CALÉDONIE 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{VRA-FAUX!f@Vrai - Faux} 

 
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{{Affirmation} 1.}}}

\medskip

Pour tout réel $a$ strictement positif, $\ln \left(a^3\right) - \ln\left(a^2\right) = \ln \left(a^{25}\right) - \ln \left(a^{24}\right)$.

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{{Affirmation} 2.}}}

\medskip

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[0 ; 100]$, alors $P(X < 75) = P(X > 25)$.

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{{Affirmation} 3.}}}

\medskip

On a prélevé un échantillon aléatoire de 400 pièces dans une production et observé 6 pièces défectueuses. 

La borne supérieure de l'intervalle de confiance de la proportion de pièces défectueuses dans la production au niveau de confiance de 95\,\% est égale à 0,08.

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{{Affirmation} 4.}}}

\medskip

L'équation $x \ln(x) = 2 \ln (x)$ admet exactement deux solutions : 2 et 1 sur $]0 ; + \infty[$.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{PROBABILIT\'ES!pa@Discrete} 

 
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième}

\medskip

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l'aller et le retour.

À l'aller, le bateau est choisi dans 65\,\% des cas.

Lorsque le bateau est choisi à l'aller, il l'est également pour le retour 9 fois sur 10.

Lorsque le train a été choisi à l'aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70\,\% des cas.

\medskip

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ : \og le client choisit de faire l'aller en bateau \fg{} ;
\item $R$ : \og le client choisit de faire le retour en bateau \fg.
\end{itemize}

\medskip
 
On rappelle que si $E$ est un évènement, $p(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation par un arbre pondéré.
\item On choisit au hasard un client de l'agence.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau.
		\item Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à 0,31.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard 20 clients de cette agence. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport.
	
On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l'on puisse considérer que $X$ suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
		\item Déterminer la probabilité qu'exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents.
		\item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.
	\end{enumerate}
\item Le coût d'un trajet aller ou d'un trajet retour est de \np{1560}~\euro{} en bateau ; il est de \np{1200}~\euro{}  en train. 
	
On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!cb@Graphes probabilistes (avec algorithme de Dijkstra)} 

 
\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

En 2012, un village ne comptait qu'un seul médecin, Albert. 

Début 2013, un nouveau médecin, Brigitte, s'installe dans ce village.

À l'arrivée de Brigitte, 90\,\% des habitants du village choisirent Albert comme médecin, les autres choisirent Brigitte. 

On suppose que chaque habitant du village est patient du même médecin, Albert ou Brigitte, tout au long d'une année. 

On observe, à partir de 2013, que chaque année :


\begin{itemize}
\item 13\,\% des patients d'Albert changent de médecin et deviennent des patients de Brigitte ;
\item 8\,\% des patients de Brigitte deviennent des patients d'Albert.
\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard un habitant de ce village. Pour tout entier naturel $n$,

$a_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient d'Albert pour l'année (2013+n),

$b_n$ est la probabilité que cet habitant soit un patient de Brigitte pour l'année (2013+n),

$P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ est la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année  $(2013 + n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.
\item Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,791& 0,209\end{pmatrix}$.
\item Exprimer $P_n$ en fonction de $P_0$, $M$ et $n$.
\item En déduire la matrice ligne $P_4$ et interpréter le résultat. Les résultats seront arrondis au millième.
\item Déterminer l'état stable $\begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ de la répartition des patients des médecins Albert et Brigitte. 

En donner une interprétation.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


Le médecin Albert, qui officie dans le village A, doit rendre visite à un patient d'un village voisin G. Il a construit le graphe ci-dessous où les sommets représentent les villages alentours. Sur les arêtes sont indiquées les distances en kilomètres.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-.3)(10,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=.75pt}
\def\Hepta[#1]{%
\SpecialCoor
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.3;38.57)(0.3;90)(0.3;141.43)(0.3;192.86)(0.3;244.29)(0.3;295.71)(0.3;347.14)
\rput(-.01,0){#1}
}
\pnode(0,3.5){A}
\pnode(3,5.2){B}
\pnode(7.5,6){C}
\pnode(4,2.5){D}
\pnode(1,1){E}
\pnode(6,0){F}
\pnode(10,3){G}
\sf{\prune{\footnotesize{
\ncline{A}{B}\ncput*{8}\ncline{A}{D}\ncput*{18}\ncline{A}{E}\ncput*{13}\ncline{B}{C}\ncput*{23}\ncline{B}{D}\ncput*{9}\ncline{C}{D}\ncput*{10}\ncline{C}{F}\ncput*{4}\ncline{C}{G}\ncput*{3}\ncline{D}{F}\ncput*{7}\ncline{E}{F}\ncput*{13}\ncline{F}{G}\ncput*{9}
 }}} 
 \sf{\bleu{\footnotesize{
\rput(A){\Hepta[A]}\rput(B){\Hepta[B]}\rput(C){\Hepta[C]}\rput(D){\Hepta[D]}\rput(E){\Hepta[E]}\rput(F){\Hepta[F]}\rput(G){\Hepta[G]}
}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer le plus court chemin pour aller du village A au village G.


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Début 2013, la superficie totale des forêts sur la terre représente un peu plus de 4 milliards d'hectares.

Au cours de l'année 2013, on estime qu'environ 15 millions d'hectares ont été détruits.

Des plantations d'arbres et une expansion naturelle des forêts ont ajouté 10,2 millions d'hectares de nouvelles forêts en 2013.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la superficie totale des forêts détruites au cours de l'année 2013 représente $0,375$\,\% de la superficie totale des forêts mesurée au début de l'année.
\end{enumerate}

On admet dans la suite que chaque année, la proportion des surfaces détruites de forêts et la superficie de nouvelles forêts restent constantes.

On note $u_n$ la superficie (en millions d'hectares) occupée par les forêts sur la Terre au début de l'année $(2013+n)$ avec $u_0 = \np{4000}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \np{0,99625}u_n + 10,2$.
		\item Montrer que la superficie totale des forêts sur la Terre, au début de l'année 2014, en millions d'hectares, est $u_1 = \np{3995,2}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(d_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $d_n = u_n - \np{2720}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $d_{n+1} = \np{0,99625} \times d_n$.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Calculer $d_0$.
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $d_n$, en fonction de $n$ ; en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Proposer un algorithme affichant la superficie (en millions d'hectares) occupée par les forêts sur la Terre, pour chaque année de 2013 à 2029.
		\item À partir de quelle année la superficie des forêts présentes sur la Terre sera inférieure à 3,9 milliards d'hectares ? Préciser la démarche utilisée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
La courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-1 ; 2]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$.

La courbe $\left(\mathcal{C}_2\right)$ ci-dessous représente, dans le repère orthonormé, la fonction  $f''$.

Le point $A(0 ; 1)$ est situé sur la courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$.

Le point $B$ est le point d'intersection de $\left(\mathcal{C}_2\right)$ avec l'axe des abscisses. Une valeur approchée de l'abscisse de $B$ est $0,37$.

La tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$ au point $A$ est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(1-x)*EXP(x)+x^2}
\def\g{2-(x+1)*EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](-3,-5)(6,5)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,comma,Dx=.5, Dy=.5]{->}(0,0)(-1.5,-2.5)(3,2.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](3,0){$x$}\uput[dl](0,2.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{1.91}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-1}{.8753}{\g}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-1.5,1)(3,1)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](0,1)(.3748,0)
\uput[u](1.9,-1.5){\bleu $\mathcal{C}_1$}\uput[u](.8,-1.5){\prune $\mathcal{C}_2$}
\uput[dl](0,1){\bleu $A$}\uput[dl](.37,0){\prune $B$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique,
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f(0)$.
		\item Donner la valeur de $f'(0)$.
		\item Étudier la convexité de $f$ sur $[-1 ; 2]$. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item On admet désormais que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ dans $[-1 ; 2]$ par $f(x) = (1 - x)\e^x + x^2$.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|c|X|}\hline
1 &$f(x)$ :\: $= (1 - x) * \mathrm{exp} (x) + x^2$\\
&\hspace{4cm}$ \to (1 - x)\e^x + x^2$\\ \hline
2 &factoriser$\big\lbrack$dériver$\left[f(x)\right] \big\rbrack$\\
&\hspace{4cm}$\to x\left(2 - \e^x\right)$\\ \hline
3 &primitive$\left[f(x)\right]$\\
&\rule[-2ex]{0pt}{0ex}\hspace{4cm}$\to \dfrac{1}{3}x^3 + (-x + 2)\e^x$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier le résultat trouvé par le logiciel pour le calcul de $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-1 ; 2]$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[-1 ; 2]$.
		\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente à $\left(\mathcal{C}_1\right)$ au point d'abscisse 1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier la ligne 3 du tableau de calcul formel.
		\item On admet que la fonction $f$ est positive sur $[-1 ; 1]$. En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\left(\mathcal{C}_1\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 1$, puis en donner une valeur arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{NOUVELLE CALÉDONIE FÉVRIER 2018} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qc@Q.C.M. Analyse et Probabilités} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie sans justifier le choix effectué.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un laboratoire désire tester l'efficacité d'un médicament Pour cela, il constitue un échantillon aléatoire de 500 malades auxquels on prescrit ce médicament. On constate que 325 sont guéris au bout d'un mois.

Un intervalle de confiance au niveau $0,95$ de la proportion de patients guéris au bout d'un mois est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $[0,305 ; 0,395]$ & \item $[0,32 ; 0,33]$ & \item $[0,605 ; 0,695]$ & \item $[0,648 ; 0,652]$
\end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip

\item  Dans le laboratoire précédent, le nombre minimal de patients à interroger pour obtenir un intervalle de confiance de longueur inférieure ou égale à $0,01$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $200$ & \item $\np{40000}$ & \item $\np{4000}$ & \item $\np{1000}$
\end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip

\item  On admet que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$ est dérivable sur cet intervalle. 

Si on note $f'$ sa fonction dérivée, alors pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$, on a :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$ & \item $f'(x) = \dfrac{\ln (x) - 1}{x^2}$ & \item $f'(x) = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2}$ & \item $f'(x) = \dfrac{1}{x}$
\end{tabularx} \end{enumerate}

\medskip

\item  Deux collègues communiquent régulièrement par vidéoconférence. On suppose que la durée d'une communication entre ces deux personnes, exprimée en minutes, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0 ; 120]$.

Sachant que la communication dure depuis 30 minutes, la probabilité que la durée de la communication ne dépasse pas 90 minutes est égale à :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $\dfrac{1}{3}$ & \item $\dfrac{1}{2}$ & \item $\dfrac{2}{3}$ & \item $\dfrac{3}{4}$
\end{tabularx} \end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Cette étude porte sur l'utilisation principale des véhicules du parc automobile français.

Les réponses seront arrondies au dix-millième.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Les véhicules de la région parisienne représentent 16\,\% du parc automobile français en 2015.

22\,\% des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 34\,\% pour les loisirs.

En province, 49\,\% des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 31\,\% pour les loisirs.

On choisit un véhicule au hasard dans le parc automobile français.

On note :

\begin{itemize}
\item $R$ l'évènement : \og le véhicule provient de la région parisienne \fg,
\item $\overline{R}$ l'évènement : \og le véhicule provient de la province \fg,
\item $T$ l'évènement : \og le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail \fg,
\item $L$ l'évènement : \og le véhicule est utilisé principalement pour les loisirs \fg,
\item $F$ l'évènement : \og le véhicule est utilisé principalement pour d'autres fonctions que le travail ou les loisirs\fg.
\end{itemize}

\medskip

On rappelle que, si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ et $p_B(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre de probabilité.
\item  Montrer que la probabilité qu'un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à \np{0,4468}.
\item  Madame Dupont et Monsieur Durand ont une conversation sur l'utilisation de leur véhicule. Madame Dupont dit utiliser principalement sa voiture pour les loisirs, Monsieur Durand principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Qui de Madame Dupont ou de Monsieur Durand a la plus grande probabilité d'habiter la région parisienne ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On sélectionne un échantillon aléatoire de $10$ véhicules du parc automobile français. On note $X$ la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la loi de probabilité de $X$ ainsi que ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité qu'exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
\item Déterminer la probabilité qu'au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution du parc automobile de la région parisienne. On considère qu'en 2018 le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne suivra la loi normale de moyenne $50$ et d'écart type $4$.


On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en 2018 en région parisienne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre \np{42000} et \np{58000} ?
\item Pour ne pas avoir de délais d'enregistrement trop longs, le nombre de dossiers doit être inférieur à \np{55000}. Quelle est la probabilité que les délais d'enregistrement ne soient pas trop longs en 2018 ?
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015. 

Le tableau suivant indique, pour chaque année de 2011 à 2015, le nombre d'abonnés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015\\ \hline
Nombre d'abonnés & \np{620214} & \np{610156} & \np{575038} & \np{578282} & \np{555239}\\ \hline
Taux d'évolution annuel & & $- 1,62$\,\% & $- 5,76$\,\% & $0,56$\,\% & $- 3,98$\,\% \\ \hline
Taux d'évolution par rapport  à l'année 2011 & & $- 1,62$\,\% & $- 7,28$\,\% & $- 6,76$\,\% & $- 10,48$\,\% \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Retrouver par le calcul, le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013.
\item  Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de $-2,73$\,\%. Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Afin d'étudier cette évolution, on suppose qu'à l'avenir, tous les ans, 10\,\% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement à ce quotidien mais que l'on compte $52$ milliers de nouveaux abonnés.

En 2011, le nombre d'abonnés est égal, après arrondi, à $620$ milliers.

On s'intéresse, pour tout entier naturel $n$, au nombre d'abonnés, en milliers, pour l'année $(2011 + n)$.

On note $u_n$ le nombre d'abonnés en milliers pour l'année $(2011 + n)$.

On fixe donc $u_0 = 620$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'abonnés en 2012 suivant ce modèle.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 0,9u_n + 52$.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 520$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 100 \times 0,9^n + 520$.
	\end{enumerate}
\item Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d'abonnés est inférieur à $540$ milliers.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer l'année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.
		
\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U \leftarrow 620$

$N \leftarrow 0$


Tant que \dotfill

\hspace{1em} $U \leftarrow\ldots $

\hspace{1em} $N \leftarrow \ldots$

Fin Tant que

\end{minipage}
}
\end{center}
		\item  Résoudre l'inéquation $u_n \leqslant 540$.
		\item  Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3 ; 8]$. On note $f'$ sa dérivée.

$A$ est le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $-2$. $B$ est le point de $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $(0 ; 3)$.

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est horizontale.

La droite $T$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d'abscisse 0 et elle passe par le point $D(1 ;  1)$.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-4,-.5)(9,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+3)*EXP(-x)}
\def\g{3-2*x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,0)(9,9)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-.5)(9,9)
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,9){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{8}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=.75pt, linecolor=prune]{-2.7}{1.7}{\g}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-3,7.389)(-1,7.389)
\psdots[dotscale=.8,linecolor=bleu](-2,7.389)(0,3)(1,1)
\uput[u](-2,7.4){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](0,3){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ul](1,1){\prune{\footnotesize{$D$}}}
\uput[l](8,.4){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}


À l'aide du graphique :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f'( - 2)$.
\item Interpréter géométriquement $f'(0)$ et donner sa valeur.
\item La fonction $f$ est-elle convexe sur $[-2 ; 2]$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On admet désormais que la fonction $f$ de la partie A est définie sur l'intervalle $[-3 ; 8]$ par $f(x) = (x + 3)\e^{- x}$.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|m{.8cm}|X|}\hline
\multirow{2}{.8cm}{\centering 1}&dériver $(x + 3) * \mathrm{exp}( -x)$\\ \cline{2-2}
&\multicolumn{1}{r|}{$\mathrm{exp}( -x) + (x + 3) * (- \mathrm{exp}( -x))$} \\ \hline

\multirow{2}{.8cm}{\centering 2}& factoriser (dériver $(x + 3) * \mathrm{exp}( -x)$)\\  \cline{2-2}
&\multicolumn{1}{r|}{$(- x - 2) * \mathrm{exp}( -x)$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de la dérivée de la fonction $f$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 3 ; 8]$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3 ; -2]$.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[- 3 ; 8]$ par $F(x) = (-x - 4)\e^{- x}$ est une primitive de $f$ sur le même intervalle.
		\item Calculer la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_0^3 f(x)\dd x$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{POLYNÉSIE 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qa@Q.C.M. Analyse} 

 
\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}


\begin{enumerate}
\item La solution exacte de l'équation $\left( \dfrac{1}{2} \right)^x = \dfrac{3}{10}$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 1,74 & \item  $\dfrac{\ln 10-\ln 3}{\ln 2}$ & \item $-\dfrac{\ln 3}{\ln 5}$ & \item 0,6 \end{tabularx} \end{enumerate}
\medskip

\item $f$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=2x\mathrm{e}^{x^2}$.

La valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\;\mathrm {d}x$ est :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $4\mathrm{e}^{4}-4\mathrm{e}^{-4}$ & \item  $4\left(\mathrm{e}^{4}+\mathrm{e}^{-4}\right)$ & \item 0 & \item 1 \end{tabularx} \end{enumerate}
\medskip

\item $f$ est la fonction définie pour tout $x$ de l'intervalle $] 0 ; + \infty [$ par $f(x)=(2x+3)\ln x$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $] 0 ; + \infty [$.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; + \infty [$ on a :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\item $f'(x)=\dfrac{2x+3}{x}$ & \item  $f'(x)=\dfrac{2}{x}$ \\ \item $f'(x)=2\ln x + \dfrac{3}{x} +2$ & \item $f'(x)=2\ln x + \dfrac{3}{x}$ \end{tabularx} \end{enumerate}
\medskip

\item Une grandeur a été augmentée de 5\% la première année, puis de 7\% la deuxième année.

Sur ces deux années, le pourcentage global d'augmentation est égal à :

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 12 \% & \item  35 \% & \item 0,35 \% & \item 12,35 \% \end{tabularx} \end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

D'après le \og bilan des examens du permis de conduire \fg{} pour l'année 2014 publiée par le Ministère de l'Intérieur en novembre 2015, 20 \% des personnes qui se sont présentées à l'épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière de l'apprentissage anticipé de la conduite (AAC). Parmi ces candidats, 75 \% ont été reçus à l'examen. Pour les candidats n'ayant pas suivi la filière AAC, le taux de réussite à l'examen était seulement de 56,6 \%.

On choisit au hasard l'un des candidats à l'épreuve pratique du permis de conduire en 2014.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ \og le candidat a suivi la filière AAC \fg{} ;
\item $R$ \og le candidat a été reçu à l'examen \fg .
\end{itemize}

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, la probabilité de l'évènement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$. De plus $\overline{E}$ désigne l'évènement contraire de $E$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $P(A)$, $P_A(R)$ et $P_{\overline{A}}(R)$.
\item Traduire la situation par un arbre pondéré.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P\left( A \cap R\right)$.
\item Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.
\end{enumerate}
\item Justifier que $P(R)=0,6028$.
\item Sachant que le candidat a été reçu à l'examen, calculer la probabilité qu'il ait suivi la filière AAC.

On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près de cette probabilité.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

Un responsable d'auto-école affirme que pour l'année 2016, la probabilité d'être reçu à l'examen est égale à 0,62.

Ayant des doutes sur cette affirmation, une association d'automobilistes décide d'interroger 400 candidats à l'examen parmi ceux de 2016. Il s'avère que 220 d'entre eux ont effectivement obtenu le permis de conduire.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \%  de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de 400 candidats.
 \item Peut-on émettre des doutes sur l'affirmation du responsable de cette auto-école ?
 
 Justifier votre réponse. 
 \end{enumerate} 
 
 \begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}
\end{center}

Selon une enquête menée en 2013 par l'association \og Prévention Routière \fg{}, le coût moyen d'obtention du permis de conduire atteignait environ \np{1500} \euro . On décide de modéliser le coût d'obtention du permis de conduire par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=1500$ et d'écart-type $\sigma=410$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité que le coût du permis de conduire soit compris entre \np{1090} \euro{} et \np{1910} \euro .
\item Déterminer $P\left( X \leqslant 1155\right)$.

On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
\item \begin{enumerate}
\item Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $a$ arrondi à l'unité, vérifiant \mbox{$P\left( X \geqslant a\right)=0,2$}.
\item Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
En 2015, les forêts couvraient environ \np{4000} millions d'hectares sur terre. On estime que, chaque année, cette surface diminue de 0,4 \%. Cette perte est en partie compensée par le reboisement, naturel ou volontaire, qui est estimé à 7,2 millions d'hectares par an.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0= \np{4000}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,996\times u_n +7,2$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ permet d'obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d'hectares l'année $2015 +n$.
%\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule et affiche la première année pour laquelle la surface totale de forêt couvre moins de \np{3500} millions d'hectares sur terre.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|l X|}\hline
%Variables :		& $N$ est un entier naturel\\
%				& $U$ est un nombre réel\\
%Initialisation :&Affecter à $N$ la valeur 2015\\
%				&Affecter à $U$ la valeur \np{4000}\\
%Traitement :	& \\
%				& \\
%				& \\
%				& \\
%Sortie :		&Afficher $N$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la première année pour laquelle la surface totale de forêt couvre moins de \np{3500} millions d'hectares sur terre.

\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$N \leftarrow \np{2015}$

$U \leftarrow  \np{4000}$


\dotfill

\begin{itemize}
\item[] \dotfill
\item[] \dotfill
\end{itemize}
\dotfill
\end{minipage}
}
\end{center}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n= u_n-1800$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique puis préciser son premier terme et sa raison.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n= 2200\times 0,996^n+1800$.
\item Selon ce modèle et si le phénomène perdure, la surface des forêts sur terre va-t-elle finir par disparaître ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\item Une étude montre que, pour compenser le nombre d'arbres détruits ces dix dernières années, il faudrait planter 140 millions d'arbres en 10 ans.

En 2016 on estime que le nombre d'arbres plantés par l'Organisation des Nations unies (ONU) est de 7,3 milliards.

On suppose que le nombre d'arbres plantés par l'ONU augmente chaque année de 10 \%.

L'ONU peut-elle réussir à replanter 140 millions d'arbres de 2016 à 2025 ? 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!c@Graphes} 

 
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}
\end{center}

Alex a téléchargé sur son smartphone un jeu lui permettant de combattre des animaux virtuels par localisation GPS. Le graphe pondéré représenté ci-dessous illustre le trajet qu'Alex doit suivre en marchant dans les rues de sa ville et le nombre d'animaux virtuels qu'il doit combattre sur la route suivie. 


\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm, yunit=.9cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(3,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\cnodeput(-.3,-.6){B}{B} \cnodeput(.9,.6){D}{D} 
\cnodeput(-.6,2.5){A}{A} \cnodeput(-1.9,.2){O}{O}
\cnodeput(-1.1,-2.7){C}{C} \cnodeput(.5,-3){E}{E}
\cnodeput(3,3){F}{F}
}}}
\sf{\prune{\small{
 \ncarc[arcangle=10]{B}{D}\ncput*{5} \ncarc[arcangle=-10]{D}{A}\ncput*{7}
\ncarc[arcangle=-30]{A}{O}\ncput*{2} \ncarc[arcangle=-30]{O}{C}\ncput*{4}
 \ncarc[arcangle=-20]{C}{E}\ncput*{4} \ncarc[arcangle=-20]{E}{F}\ncput*{8}
\ncarc[arcangle=-10]{F}{D}\ncput*{6} \ncarc[arcangle=-10]{D}{E}\ncput*{1}
\ncarc[arcangle=-10]{E}{B}\ncput*{3} \ncarc[arcangle=-10]{B}{A}\ncput*{2}
\ncarc[arcangle=10]{O}{B}\ncput*{5} \ncarc[arcangle=-10]{B}{C}\ncput*{1}
 }}} 
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide d'un algorithme, déterminer le nombre minimal de créatures qu'Alex doit combattre s'il part du point O pour arriver au point F de la ville. Détailler les étapes de l'algorithme.

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}
\end{center}

Alex retrouve d'autres personnes, ayant le même jeu, dans le parc de la ville dans le but de comparer le nombre de créatures qu'ils ont combattues.

Le premier jour, 8 personnes se sont retrouvées dans le parc. Le second jour, on comptait 25 personnes et le troisième jour, 80 personnes se sont retrouvées dans le parc.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels et $x$ un nombre entier compris entre 1 et 10. On admet que la fonction $f$ modélise le nombre de personnes qui se retrouvent dans le parc le $x$-ième jour.

\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé par un système de trois équations à trois inconnues $a$, $b$ et $c$.
\item Vérifier que ce système est équivalent à l'équation $AX=B$ avec :\[A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\4 & 2 & 1 \\9 & 3 & 1 \\\end{pmatrix} \, \text{, }\: X=\begin{pmatrix}a \\b \\c \\\end{pmatrix}\:\text{ et }\: B=\begin{pmatrix}8 \\25\\80 \\\end{pmatrix} \]
\item Soit la matrice $M=\begin{pmatrix}0,5 & -1 & 0,5 \\-2,5 & 4 & -1,5 \\3 & -3 & 1 \\\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $M\times A$.
\item Que représente la matrice $M$ pour la matrice $A$ ?
\end{enumerate}
\item À l'aide d'un calcul matriciel, déterminer les valeurs des nombres $a$, $b$ et $c$.
\item Le parc de la ville a une capacité d'accueil de \np{2500} personnes.

Selon ce modèle, le parc risque-t-il de refuser d'accueillir des personnes un de ces dix jours ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!c@Fonction exponentielle I} 

 
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[ 0 ; 5]$ par $f(x)=(ax-2)\mathrm{e}^{-x}$, où $a$ est un nombre réel.

On admet dans tout l'exercice que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $[ 0 ; 5]$.

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère d'origine O. 

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(8*x-2)*EXP(-x)}
\def\g{10*x-2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(6,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](6,0){$x$}\uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.05}{.5}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f}
\psdot[linecolor=bleu](0,-2)
\uput[ur](0,-2){\bleu{$A$}}
\uput[dr](.5,3){\prune{$\mathcal{D}$}}\uput[u](2.5,1.5){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ passent toutes les deux par le point $A(0 ; -2)$.

La droite $\mathcal{D}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ et admet pour équation $y=10x-2$.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide des informations ci-dessus et sans justifier les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[ 0 ; 5]$ on a :\[f'(x)=(-ax+a+2)\mathrm{e}^{-x}\]
\item Déduire des questions précédentes que $a=8$.
\item Donner l'expression de $f'(x)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Préciser le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[ 0 ; 5]$. On pourra faire un tableau.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
\item Résoudre sur l'intervalle $[ 0 ; 5]$ l'équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}
\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
\multirow{2}*{1} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} $g(x) := \left(- 8*x + 10\right) * \mathrm{exp} (- x)$\\
	&$\to g(x) := \left(- 8x +10\right)\mathrm{e}^{- x}$\\ \hline
\multirow{2}*{2} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Dériver $\left[g(x) , x\right]$\\
	&$\to ( 8 * x -18) * \mathrm{exp} (- x)$\\ \hline
\multirow{2}*{3} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} Résoudre $\left[( 8 * x -18) * \mathrm{exp} (- x) >0 , x\right]$\\
	&$\to x > 9/4$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En utilisant ces résultats :

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $f''$, fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion dont on donnera la valeur exacte de l'abscisse.
\end{enumerate}
\item Une entreprise fabrique des grille-pains. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l'entreprise fabrique chaque jour $x$ milliers de grille-pains (où $x$ est un nombre réel de l'intervalle $[ 0 ; 5]$), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d'euros, par la fonction $f$ définie par : \[f(x)=(8x-2)\mathrm{e}^{-x}\]
\begin{enumerate}
\item Quelle quantité de grille-pains l'entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal ?
\item Quel est alors la valeur de ce bénéfice maximal ?

On donnera une valeur approchée du résultat à l'euro près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{POLYNÉSIE SEPTEMBRE 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!da@Fonction logarithme  (avec intégrale)} 

 
La courbe $\mathcal{C}$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d'origine O est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; 10]$.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(11,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1-x*ln(x)+2*x}
\def\g{x+2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(11,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-3)(11,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](11,0){$x$}\uput[dl](0,7){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.001}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.5,0.5)(4.5,6.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,3.71828)(10,3.71828)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.71828,-.1)(2.71828,.1)
\psdots[linecolor=bleu](1,3)(4,6)(2.71828,3.71828)
\uput[d](2.71828,0){\prune{e}}
\uput[ul](1,3){\bleu{$P$}}\uput[ul](4,6){\bleu{$R$}}\uput[u](2.7,3.7){\bleu{$Q$}}
\uput[dr](10,3.7){\prune{$\mathcal{D}$}}\uput[u](6.5,2){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère les points $P(1 ; 3)$ et $R(4 ; 6)$. Le point $Q$ a pour abscisse $\e$, avec $\e\approx 2,718$.

Les points $P$ et $Q$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$. La droite $\mathcal{D}$ est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point $Q$.

La droite $(PR)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $P$ et la droite $\mathcal{D}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $Q$.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

Les parties A et B sont indépendantes.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront donnés à l'aide d'une lecture graphique et sans justification.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois propositions ci-dessous, quelle est celle qui désigne l'équation de la droite $(PR)$ ?

\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item  $y = 2x + 1$ &\item  $y=x+2$ &\item  $y = 2x + 2$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  Donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
\item  Une seule de ces trois propositions est exacte :
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est convexe sur l'intervalle $]0 ; 10]$;
		\item $f$ est concave sur l'intervalle $]0 ; 10]$ ;
		\item $f$ n'est ni convexe ni concave sur l'intervalle $]0 ; 10]$.
 	\end{enumerate}
Laquelle ?	
\item Encadrer l'intégrale $\displaystyle\int_1^2 f(x) \dd x$ par deux entiers consécutifs.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; 10]$ par :
\[f (x) = - x \ln x + 2x + 1.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Démontrer que la fonction $f$ admet un maximum sur l'intervalle $]0 ; 10]$.
		\item Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l'intervalle $]0 ; 10]$.
\item  On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = - \dfrac{x^2}{2} \ln x + \dfrac{5}{4}x^2 + x - 7$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 10]$.
	
Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^2 f(x) \dd x$.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!e@Fonction application économique} 

 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1 ; 10]$ par :\[f(x) = 4\e^{-0,5x+1} + x - 1\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1 ; 10]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On donne en annexe, à remettre avec la copie, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 10]$ dans un repère d'origine O.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 10]$ on a : $f'(x) = - 2\e^{-0,5x+1} + 1$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle $[1 ; 10]$, l'équation $f'(x) = 0$ admet pour unique solution le nombre ${\alpha = 2 + 2\ln 2}$.
		\item Placer sur le graphique fourni en annexe  le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item  On admet que l'ensemble des solutions sur l'intervalle $[1 ; 10]$ de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ est $[2 + 2\ln 2 ; 10]$.
	
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 10]$.
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
L'entreprise \og COQUE EN STOCK \fg{} fabrique et commercialise des coques pour téléphone portable.
 
Son usine est en mesure de produire entre 100 et \np{1000} coques par jour.
 
La fonction $f$ permet de modéliser le coût de production d'une coque en fonction du nombre de centaines de coques produites par jour. Ainsi, si $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites alors $f(x)$ représente le coût, en euros, de production d'une coque.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer, au centime près, le coût de production d'une coque dans le cas de la fabrication de 500 coques par jour.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que produire 339 coques par jour permet de minimiser le coût unitaire de production.
		\item En déduire le coût minimal de production d'une coque, en euros, au centime près.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Le prix de vente d'une coque peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[1 ; 10]$ par :\[g(x) = -\dfrac{1}{4}x + 6\]

où $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites et $g(x)$ le prix de vente d'une coque en euros.

Estimer les quantités de coques à produire par jour afin d'assurer un bénéfice à l'entreprise.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4*EXP(-.5*x+1)+x-1}
\def\g{x+2}
\rput(5,12){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\rput(5,11.5){\textsf {\textbf{À remettre avec la copie}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(11,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(11,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](11,0){$x$}\uput[dl](0,10){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{10}{\f}
\uput[dr](9.5,8.5){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$, de raison 0,9 et de premier terme $u_0 = 50$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il calcule et affiche le 25\up{e} terme de cette suite, c'est-à-dire $u_{24}$ :
%		
%		\begin{center}
%		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l X|}\hline
%\textsc{\textsf{Variables :}} & $N$ est un entier naturel\\
% & $U$ est un nombre réel\\
%\textsc{\textsf{Initialisation :}} & $U$ prend la valeur \:\ldots\\
%\textsc{\textsf{Traitement :}} & Pour $N$ allant de 1 à 24\\
% & $U$ prend la valeur \:\ldots\\
% & Fin Pour\\
%\textsc{\textsf{Sortie :}} & Afficher $U$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il calcule le 25\up{e} terme de cette suite, c'est-à-dire $u_{24}$ :

\begin{center}	
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U \leftarrow \ldots$


Pour $N$ allant de 1 à 24

\hspace{1em}  $U \leftarrow \ldots$

Fin pour
\end{minipage}
}
\end{center}

\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $u_{24}$ et donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n  < 0,01$.
\item On souhaite calculer la somme $S_{24} = u_0 + u_1 + \cdots + u_{24}$.
	
Voici trois propositions d'algorithmes :
	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|m{0.2cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}	
%\textsc{\textsf{Variables :}}		&&\textsc{\textsf{Variables :}}&&\textsc{\textsf{Variables :}}\\
%$N$ est un entier naturel	&&$N$ est un entier naturel&&$N$ est un entier naturel\\
%$S$ est un nombre réel		&&$S$ est un nombre réel&&$S$ est un nombre réel\\
%\textsc{\textsf{Initialisation :}}	&&\textsc{\textsf{Initialisation :}}&&\textsc{\textsf{Initialisation :}}\\
%$S$ prend la valeur $0$		&&$S$ prend la valeur $0$&&$S$ prend la valeur $50$\\
%\textsc{\textsf{Traitement :}}		&&\textsc{\textsf{Traitement :}}&&\textsc{\textsf{Traitement :}}\\
%Pour $N$ allant de 0 à 24	&&Pour $N$ allant de 0 à 24&&Pour $N$ allant de 0 à 24\\
%$S$ prend la valeur $S + 50 \times 0, 9^N$	& &$S$ prend la valeur $ 50 \times 0, 9^N$ &&$S$ prend la valeur $S + 50 \times 0, 9^N$\\
%Fin Pour					&&Fin Pour&&Fin Pour\\
%\textsc{\textsf{Sortie :}}			&&\textsc{\textsf{Sortie :}}&&\textsc{\textsf{Sortie :}}\\
%Afficher $S$				&&Afficher $S$&&Afficher $S$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
%\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 1}\rule[-2ex]{0pt}{6ex} }&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 3}}\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
%	\begin{enumerate}
%		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer la somme $S_{24}$ et de l'afficher.
%		
%Préciser lequel en justifiant la réponse.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|m{0.2cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
$S \leftarrow 0$ & & $S \leftarrow 0$ & & $S \leftarrow 50$\\
Pour $N$ allant de 0 à 24 & & Pour $N$ allant de 0 à 24 & & Pour $N$ allant de 0 à 24\\
$S \leftarrow S + 50 \times 0, 9^N$	& & $S \leftarrow 50 \times 0, 9^N$ & & $S \leftarrow S + 50 \times 0, 9^N$\\
Fin Pour & & Fin Pour & & Fin Pour\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 1}\rule[-2ex]{0pt}{6ex} }&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer la somme $S_{24}$. Préciser lequel en justifiant la réponse.
		\item Calculer la somme $S_{24}$.
		
On donnera une valeur approchée du résultat à l'unité près.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n = u_0 + \cdots + u_n$.

On admet que la suite $\left(S_n\right)$ est croissante et que pour tout entier naturel $n$, $S_n = 500 - 450 \times 0,9^n$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		\item Alex affirme que $S_n$ peut dépasser $500$ pour une valeur de l'entier $n$ suffisamment grande.
		
Que pensez-vous de son affirmation ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
\begin{center}
\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une entreprise spécialisée dans la personnalisation des étuis de smartphones fait ses achats chez deux fournisseurs :

\begin{itemize}
\item un fournisseur A qui lui garantit 99\,\% d'étuis non défectueux;
\item un fournisseur B qui lui garantit 94\,\% d'étuis non défectueux.
\end{itemize}

On sait également que 80\,\% des étuis achetés par l'entreprise proviennent du fournisseur A (le reste provenant du fournisseur B).

On choisit au hasard un étui de smartphone et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item  $A$  : \og l'étui provient du fournisseur A \fg{} ;
\item  $B$ : \og l'étui provient du fournisseur B\fg{} ;
\item  $D$ : \og l'étui est défectueux \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité qu'un étui soit défectueux.
\item On choisit un étui au hasard et on constate qu'il est défectueux.

Montrer que la probabilité qu'il provienne du fournisseur B est égale à 0,6.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On rappelle que le fournisseur B garantit 94\,\% d'étuis non défectueux.

Un employé de l'entreprise prélève un échantillon de 400 étuis qui proviennent du fournisseur B. Il constate que 350 de ces étuis ne sont pas défectueux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de 400 étuis provenant du fournisseur B.

On donnera des valeurs approchées au millième des bornes de cet intervalle.
\item Faut-il informer le fournisseur B d'un problème ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre $19,8\:\mathrm{mm}$ et $20,2\:\mathrm{mm}$.

Le fournisseur B souhaite qu'au moins 95\,\% des étuis produits soient conformes. Pour cela, il veut vérifier les réglages des machines de production.

On choisit un étui au hasard dans la production du fournisseur B. 

On note $X$ la variable aléatoire associée à l'épaisseur (en mm) de l'étui. On admet que $X$ suit une loi normale d'espérance $20\:\mathrm{mm}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En observant les réglages des machines de production, le fournisseur B constate que l'écart-type de $X$ est égal à 0,2.

Justifier qu'il faut revoir les réglages des machines.
\item Déterminer une valeur de l'écart-type de $X$ pour laquelle la probabilité qu'un étui soit conforme est environ égale à 0,95.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

 \newpage 
 \thispagestyle{empty}  
 \null 
  \newpage 

\section{PONDICHÉRY 2017} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}} \: (4 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{Q.C.M!qa@Q.C.M. Analyse} 

 
\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte
ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; 10]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous dans un repère d'origine $\mathrm{O}$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*ln(x)-x^2/4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(11,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(11,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.00001}{10}{\f}
\uput[u](4.5,2){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Le nombre de solutions sur l'intervalle $]0 ; 10]$ de l'équation $f' (x) = 0$ est égal à :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item 1 & \item  2 & \item  3
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Le nombre réel $f' (7)$ est :
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item nul & \item  strictement positif & \item  strictement négatif
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item La fonction $f'$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item croissante sur $]0 ; 10]$ & \item  croissante sur $[4 ; 7]$ & \item  décroissante sur $[4 ; 7]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ; 10]$ on a : $f' (x) = \ln x -\dfrac{x}{2}+ 1$.

La courbe $\mathcal{C}$ admet sur cet intervalle un point d'inflexion :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item d'abscisse 2,1 & \item  d'abscisse 0,9 & \item  d'abscisse 2
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}} \: (5 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{PROBABILIT\'ES!pb@Loi normale, intervalle de fluctuation} 

 
Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.

Dans cet exercice, tous les résultats approchés seront donnés à $10^{-3}$ près.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :
\begin{itemize}
\item 34 \% des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes ;
\item parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 \% ont plus de 60 ans ;
\item parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 \% ont moins de 60 ans.
\end{itemize}

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ : \og le coureur a terminé le marathon en moins de 234 minutes \fg{} ;
\item $B$ : \og le coureur a moins de 60 ans \fg{} ;
\end{itemize}

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, la probabilité de l'évènement $E$ est notée $P (E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F (E)$. De plus $\overline{E}$ désigne l'évènement contraire de $E$.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l'exercice :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$A$}~}\naput{\bleu{0,34}}}
		{
\TR{\bleu{$B$}}\naput{\bleu \ldots}
\TR{\bleu{$\overline{B}$}}\nbput{\bleu \ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{A}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$B$}}\naput{\bleu \ldots}
\TR{~\bleu{$\overline{B}$}}\nbput{\bleu{ \ldots}}
 		}
}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans.
\item Vérifier que $P \left( \overline{B} \right) \approx 0,123$.
\item Calculer $P_{\overline{B}} (A)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart-type $\sigma = 39$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $P \left( 210 \leqslant T \leqslant 270\right)$.
\item Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon.

Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de 240 minutes.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $P \left(T \leqslant 300\right)$.
\item Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $t$, arrondi à l'unité, vérifiant \mbox{$P \left(T \geqslant t\right) = 0, 9$}.
\item Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3 obligatoire]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES}} \index{ANALYSE!a@Suites} 

 
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 150$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8 u_n + 45$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
%\item Voici deux propositions d'algorithmes :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|X|m{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
%\textsc{\textsf{Variables :}}
%
%$N$ est un entier naturel
%
%$U$ est un nombre réel
%&&\textsc{\textsf{Variables :}} 
%
%$N$ est un entier naturel
%
%$U$ est un nombre réel\\
%\textsc{\textsf{Initialisation:}}
%
%$U$ prend la valeur 150
%
%$N$ prend la valeur 0
%&&\textsc{\textsf{Initialisation:}}
%
%$U$ prend la valeur 150
%
%$N$ prend la valeur 0\\
%\textsc{\textsf{Traitement :}}
%
%Tant que $U \geqslant 220$
%
%$U$ prend la valeur $0,8 \times U + 45$
%
%$N$ prend la valeur $N + 1$
%
%Fin Tant que
%&&\textsc{\textsf{Traitement :}}
%
%Tant que $U < 220$
%
%$U$ prend la valeur $0,8 \times U + 45$
%
%$N$ prend la valeur $N + 1$
%
%Fin Tant que\\
%\textsc{\textsf{Sortie :}}
%
%Afficher $N$&&\textsc{\textsf{Sortie :}}
%
%Afficher $N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}
%\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 1}}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 2}}}
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 220$.
%		
%Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.
%		\item Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme choisi à la question précédente ?
%	\end{enumerate}
\item Voici deux propositions d'algorithmes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|X|m{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}

$U \leftarrow 150$

$N \leftarrow 0$
&&

$U \leftarrow 150$

$N \leftarrow 0$\\

Tant que $U \geqslant 220$

$U \leftarrow 0,8 \times U + 45$

$N \leftarrow N + 1$

Fin Tant que
&&

Tant que $U < 220$

$U \leftarrow 0,8 \times U + 45$

$N \leftarrow N + 1$

Fin Tant que\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 1}}}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textsc{\textsf{Algorithme 2}}}
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Un seul de ces algorithmes permet de calculer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 220$.
		
Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.
		\item Quelle est la valeur numérique de $n$ calculée par l'algorithme choisi à la question précédente ?
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n - 225$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 225 - 75 \times  0,8^n$.
	\end{enumerate}
\item Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre. En 2015, le nombre de participants à cette course était de 150.
		
On fait l'hypothèse que d'une année sur l'autre :

\begin{itemize}
\item 20 \,\% des participants ne reviennent pas l'année suivante ;
\item 45 nouveaux participants s'inscrivent à la course.
\end{itemize}

La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de participants à 250.

Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 3  spécialité]{\sf{\bf{EXERCICE 3}} \: (5 points) \hfill \emph{candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \index{z@SP\'ECIALIT\'E!c@Graphes} 

 
Alexis part en voyage dans l'Est des \'Etats-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes :
\begin{center}
Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).\end{center}

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(12,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\rput(0,8.5){\circlenode{C}{C}}
\rput(12,9){\circlenode{B}{B}}
\rput(9.5,7){\circlenode{N}{N}}
\rput(7,5.5){\circlenode{W}{W}}
\rput(3,3.5){\circlenode{A}{A}}
\rput(4,0){\circlenode{M}{M}}
}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
\ncarc[arcangle=50]{N}{M}\ncput*[nrot=:D]{250}\ncarc[arcangle=20]{M}{W}\ncput*[nrot=:U]{160}\ncarc[arcangle=-20]{W}{C}\ncput*[nrot=:D]{120}\ncarc[arcangle=20]{C}{B}\ncput*[nrot=:U]{130}\ncarc[arcangle=40]{B}{N}\ncput*[nrot=:D]{170}\ncarc[arcangle=-40]{N}{W}\ncput*[nrot=:D]{140}\ncarc[arcangle=-20]{W}{A}\ncput*[nrot=:D]{130}\ncarc[arcangle=-20]{A}{C}\ncput*[nrot=:D]{100}\ncarc[arcangle=-50]{C}{M}\ncput*[nrot=:U]{150}
}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles caractéristiques du graphe permettent d'affirmer qu'il existe un trajet qui permet à Alexis d'emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
		\item Donner un exemple d'un tel trajet.
	\end{enumerate}
\item Alexis veut relier Boston à Miami.
	
En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher ainsi que le coût de ce trajet.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice d'adjacence $P$ de ce graphe en classant les sommets par ordre
alphabétique.
		\item Alexis souhaite aller d'Atlanta à Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes.
		
Combien y a-t-il de trajets possibles ? Justifier la démarche puis décrire chacun de ces
trajets.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \pagebreak 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}} \: (6 points) \hfill \emph{commun à tous les candidats}} \index{ANALYSE!ca@Fonction exponentielle II (avec intégrale)} 

 
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe.

Celui-ci présente dans un repère d'origine O la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 7]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l'équation $f(x) = 10$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$.
\item Donner le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$ et préciser la valeur en laquelle il est atteint.
\item La valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\dd x$ appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\item $[9 ; 17]$ & \item  $[18 ; 26]$ & \item  $[27 ; 35]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 7]$ d'expression :\[f(x) = 2x \e^{- x + 3}.\]

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 7]$, $f'(x) = (- 2x + 2)\e^{-x + 3}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$ puis en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
		\item Calculer le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 10$ admet deux solutions sur l'intervalle $[0 ; 7]$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$.
		\item On admet que $\alpha \approx 0,36$ à $10^{-2}$ près.
		
Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0 ; 7]$ par :\[F(x) = (- 2x - 2)\e^{-x + 3}.\]	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 7]$.
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine plan délimité par les droites d'équation $x = 1$, $x = 3$, l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ étudiée modélise le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ centaines d'objets ($x$ compris entre 0 et 7).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l'euro près, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets.
		\item L'entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à \np{10000} euros.
		
Déterminer le nombre d'objets possibles que l'entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.75cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*x*EXP(3-x)}
\rput(3.5,18){\textsf {\textbf{ANNEXE}}}
\rput(3.5,17.5){\textsf {\textbf{N'est pas à rendre avec la copie}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(8,16)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(8,16)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,16){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{7}{\f}
\uput[u](3.5,5){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\setdefaultenum {I - }{}{}{}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT 2017}}

\bigskip

{\Large \textsc{série es obligatoire et spécialité}}  

\vspace{1cm}

{\Large \textsc{index thématique}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2cm}{2cm}
\vspace{\stretch{1}}

\hrulefill

\begin{enumerate}
  \item ANALYSE
  \begin{itemize}
     \item[] Suites \dotfill \hyperpage{2}, \hyperpage{10}, \hyperpage{18}, \hyperpage{25}, \hyperpage{35}, \hyperpage{41}, \hyperpage{46}, \hyperpage{61}, \hyperpage{66}, \hyperpage{76}, \hyperpage{83}, \hyperpage{88}, \hyperpage{97}, \hyperpage{102}
    \item[] Fonction exponentielle I \dotfill \hyperpage{29}, \hyperpage{90}
    \item[] Fonction exponentielle II (avec intégrale) \dotfill \hyperpage{7}, \hyperpage{14}, \hyperpage{20},  \hyperpage{33}, \hyperpage{39}, \hyperpage{48}, \hyperpage{55}, \hyperpage{77}, \hyperpage{84}, \hyperpage{104}
    \item[] Fonction logarithme  \dotfill 	\hyperpage{93}
	\item[] Calcul intégral \dotfill  \hyperpage{21}
    \item[] Fonction application économique \dotfill  \hyperpage{63}, \hyperpage{70}, \hyperpage{95}
\end{itemize}

	\medskip
	
	\item PROBABILIT\'ES
  \begin{itemize}
    \item[] Probabilités discrètes \dotfill \hyperpage{50}, \hyperpage{54}, \hyperpage{67}, \hyperpage{74}
    \item[] Loi normale, intervalle de fluctuation \dotfill  \hyperpage{3}, \hyperpage{12}, \hyperpage{27}, \hyperpage{32}, \hyperpage{43}, \hyperpage{45}, \hyperpage{59}, \hyperpage{81}, \hyperpage{87}, \hyperpage{98}, \hyperpage{101}
\end{itemize}

\medskip
	
	\item Q.C.M
	\begin{itemize}
    \item[] Analyse \dotfill  \hyperpage{86}, \hyperpage{100}
    \item[] Probabilités \dotfill  \hyperpage{16}, \hyperpage{52}
    \item[] Analyse et Probabilités \dotfill  \hyperpage{1}, \hyperpage{9}, \hyperpage{23}, \hyperpage{38}, \hyperpage{65}, \hyperpage{80}
	\item[] Vrai - Faux  \dotfill  \hyperpage{31}, \hyperpage{58}, \hyperpage{73}
\end{itemize}

\medskip
	
	\item SP\'ECIALIT\'E
  \begin{itemize}
    \item[] Graphes \dotfill  \hyperpage{5}, \hyperpage{89}, \hyperpage{103}
    \item[] Graphes probabilistes \dotfill  \hyperpage{36}, \hyperpage{42}, \hyperpage{53}, \hyperpage{62}
    \item[] Graphes probabilistes et plus court chemin \dotfill \hyperpage{11}, \hyperpage{19}, \hyperpage{26}, \hyperpage{47}, \hyperpage{68}, \hyperpage{75}
\end{itemize}
\end{enumerate}   
   
   \hrulefill  
   
   \vspace{\stretch{2}}  
   \end{ModifMarges}  
   \end{sffamily} 
   
 \end{document}
