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\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

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\end{pspicture}


\vspace{\stretch{2}}

\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales d'exercices regroupés par thème}}}
 
\vspace{\stretch{1}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{obligatoire et spécialité}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
 \hrulefill


\large{
Ce document, rassemble l'ensemble des exercices, classés par thèmes, des sujets du baccalauréat de la série ES de la session 2019. De par la nature même de l'épreuve, les exercices peuvent recouvrir plusieurs thèmes.

\medskip

Les exercices sont regroupés sous trois rubriques :

\begin{itemize}
	\item Analyse
	\item Probabilités
	\item Spécialité
\end{itemize}
}
\medskip

\hrulefill

\vspace{\stretch{1}}
\begin{center}
\Large{\bf {\textsf {Les exercices proposés sont établis à partir des sujets mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}}
\end{center}
}
\end{titlepage}


\pagenumbering{roman}
\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\Large \textsf{\textsc{{sommaire des exercices de la session 2019}}}}

\vspace{\stretch{1}}

\hrulefill
}

\textsf{\tableofcontents}

\hrulefill

\vspace{\stretch{2}}

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}}
  
\newpage

\pagenumbering{arabic}

 \lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat es session 2019}}}}
 \rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{\leftmark}}} 
 \lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{\rightmark}}}  
 \cfoot{\scriptsize{\textsf{-~\thepage{}~-}}}                                                     
\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}
\section{ANALYSE} 
 
\subsection{SUITES} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2019 (2 obligatoire)}} 

 \index{Amérique du Nord 2019}
Une commune dispose de 380 voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

\begin{itemize}
\item chaque voiture est louée pour une durée d'un mois ;
\item la location commence le 1\ier{} jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
\item le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.
\end{itemize}

À la fin du mois de janvier 2019, 280 voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l'évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $(u_n)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l'égalité: $u_{n+1}=0,9 u_n + 42$.

\begin{enumerate}
\item Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-420$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera le premier terme $v_0$ et la raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que  $u_n=-140\times 0,9^{n} + 420$.
\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item La commune, qui possède initialement 380 véhicules, envisage d'acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.

On souhaite utiliser l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$N \gets 0$

$U \gets 280$

Tant que \dotfill

\begin{itemize}
\item[] $N \gets N+1$
\item[] $U \gets \cdots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme.
\item Que contient la variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
\item En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
\end{enumerate}

\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation :\[-140\times 0,9^n + 420 > 380\] 
et retrouver le résultat précédent.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Amérique du Sud 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2019 (2)}} 

 \index{Amérique du Sud 2019}
Au 1\ier{} janvier 2018, un arboriculteur possède \np{5000} pommiers. Chaque année :

\begin{itemize}
\item il arrache $4\,\%$ des pommiers car ils sont endommagés ;
\item il replante $300$ nouveaux pommiers.
\end{itemize}

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l'arboriculteur au 1\ier{} janvier de l'année $(2018 + n)$.


On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que : $u_0 = \np{5000}$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.

Combien de pommiers possèdera l'arboriculteur au 1\ier{} janvier 2020 ?

\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{7500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n = \np{7500} - \np{2500} \times  0,96^n$.
 	\end{enumerate}
\item  La superficie des terrains de l'arboriculteur lui permet d'avoir au maximum \np{6000} pommiers. L'arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.

On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|m{3cm}|X|}
\hline
Ligne 1 & $ n \gets 0$\\
Ligne 2 & $u \gets \np{5000}$\\
Ligne 3 & Tant que \ldots\ldots\\
Ligne 4 &    $n \gets n+1$\\
Ligne 5 &    $u \gets \cdots$\\
Ligne 6 & Fin tant que\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter les lignes 3 et 5 de cet algorithme afin qu'il  réponde à la problématique énoncée ci-dessus.
		\item  Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
 	
\item  Si l'évolution se poursuit toujours selon ce modèle, vers quelle valeur va tendre à terme le nombre de pommiers de cet arboriculteur ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2019 (2 obligatoire)}} 

 \index{Antilles Guyane 2019}
Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d'un bambou. Il prend pour modèle un bambou d'une taille initiale de 1 m dont la taille augmente d'un mois sur l'autre de 5\,\% auxquels s'ajoutent 20 cm.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du $n$-ième mois, et $u_0 = 100$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,05 \times u_n + 20$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = u_n + 400$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 500 \times 1,05n - 400$.
		\item  Calculer la taille du bambou, au centimètre près, à la fin du 7\up{e} mois.
 	\end{enumerate}
\item  On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $n$ est un entier naturel et $u$ est un nombre réel.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$u \gets 100$

$n \gets 0$

Tant que $u < 200$ faire

\begin{itemize}
\item[] $u \gets 1,05 \times u + 20$
\item[] $n \gets n+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Test $u < 200$& &vrai &&\ldots\\ \hline
Valeur de $u$& 100&&& \ldots\\ \hline
Valeur de $n$& 0&&&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée dans cet exercice.
		\item  Modifier les lignes nécessaires dans l'algorithme pour déterminer le nombre de mois qu'il faudrait à un bambou de 50 cm pour atteindre ou dépasser 10 m.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2019 (4)}} 

 \index{Antilles Guyane 2019}
Afin de respecter l'accord signé sur la pollution de l'air, certaines entreprises, dès l'année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de $\mathrm{CO}_2$ qu'elles produisent.

Une de ces entreprises émettait 15 milliers de tonnes de $\mathrm{CO}_2$ en 2014 et 14,7 milliers de tonnes en 2015.

On suppose que le taux de diminution annuel de $\mathrm{CO}_2$ émis restera constant pendant les années suivantes.


\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution de l'émission de $\mathrm{CO}_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015.
\item L'accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de 12 milliers de tonnes de $\mathrm{CO}_2$ par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la
quantité de $\mathrm{CO}_2$ émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de 12 milliers de tonnes.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2019 (3)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2019}
Un particulier souhaite réaménager l'espace paysager de sa parcelle boisée comptant \np{10000} arbres en 2018. Pour cela, il se fixe un plan progressif qui consiste à couper chaque année $20$\,\% des arbres et à planter $600$ nouveaux pieds d'arbre.
 
On modélise l'évolution du nombre d'arbres de cette parcelle par une suite  $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$  est le nombre d'arbres de la parcelle en $2018 + n$, ainsi $u_0 = \np{10000}$.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Justifier, pour tout entier naturel $n$, l'égalité $u_{n+1} = 0,8 \times u_n + 600$.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{3000}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{7000} \times 0,8^n + \np{3000}$.
		\item Si le réaménagement de cette parcelle se poursuit selon ce même modèle, que peut-on conjecturer à long terme concernant le nombre d'arbres de celle-ci ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Le propriétaire de la parcelle souhaite conserver au moins \np{4000} arbres sur sa parcelle. Il cherche à déterminer l'année où il devra cesser son plan de réaménagement progressif.
 
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. Dans les algorithmes ci-dessous, $U$ est un nombre réel et $N$ est un nombre entier. 

Parmi ces algorithmes ci-dessous, un seul donne le nombre d'années nécessaires pour que le nombre d'arbres devienne inférieur ou égal à \np{4000}.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.25cm}|X|p{0.25cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
$U \gets \np{10000}$&&$U \gets \np{10000}$&&$U \gets \np{10000}$\\
$N \gets 0$&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $U \leqslant  \np{4000}$&&Tant que $U >  \np{4000}$&&Tant que $U >  \np{4000}$\\
\begin{tabular}{p{1em}|l}
&$N\gets N+1$\\
&$U \gets 0,8 \times U + 600$
\end{tabular}&&\begin{tabular}{p{1em}|l}
&$N\gets N+1$\\
&$U \gets 0,8^N \times U + 600$
\end{tabular}&& \begin{tabular}{p{1em}|l}
&$N\gets N+1$\\
&$U \gets 0,8 \times U + 600$
\end{tabular}\\
Fin Tant Que &&Fin Tant Que&& Fin Tant Que\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textsf{algorithme 1}& \textsf{algorithme 2}& \textsf{algorithme 3}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Indiquer pourquoi les algorithmes 1 et 2 ne conviennent pas.
\item  Déterminer l'année au cours de laquelle le propriétaire devra cesser son plan de réaménagement.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Asie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2019 (3 obligatoire)}} 

 \index{Asie 2019}
\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}
\end{center}


 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Tous les ans, au mois de septembre, Richard prélève $8,5$ tonnes d'algues sur les plages de sa commune.

Au 1\ier{} septembre 2018, il y avait 230 tonnes d'algues sur ces plages.

Tous les ans, entre le 1\ier{} octobre et le 1\ier{} septembre suivant, la quantité d'algues sur ces plages augmente de 4\,\%.

On note $u_n$ la quantité en tonnes d'algues présente sur les plages au 1\ier{} septembre de l'année $2018+n$. Ainsi, $u_0=230$. 

\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1\ier{} septembre 2019.

On admet que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=1,04\,u_n - 8,84$.

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout $n\in\N$, $v_n=u_n-221$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,04$.

Préciser son premier terme.
\item Exprimer, pour tout $n\in\N$, $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que, pour tout $n\in\N$, $u_n=221+9\times 1,04^n$.
\end{enumerate}

\item La quantité d'algues présentes sur ces plages dépassera-t-elle un jour 250~tonnes ? Si oui, préciser au bout de combien d'années cette quantité sera atteinte.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour développer son entreprise, à partir du 1\ier{} septembre 2019, Richard a besoin de 10\,\% d'algues de plus que l'année précédente.

On rappelle qu'au 1\ier{} septembre 2018, il disposait de 230 tonnes d'algues et qu'il en avait consommé 8,5 tonnes en septembre 2018. Dans cette nouvelle situation, il disposera de $230,36$ tonnes d'algues au 1\ier{} septembre 2019 et en utilisera $9,35$ tonnes pendant ce mois.

Richard souhaite étudier la quantité d'algues sur les plages concernées pour les 16 prochaines années selon ce modèle.

Pour cela il rédige l'algorithme ci-contre.

\begin{minipage}{.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Que représentent les variables $A$ et $B$ de l'algorithme?
\item Dans le tableau en annexe 2, on a obtenu différentes valeurs de $A$ et $B$ de l'algorithme. Compléter les lignes du tableau pour les valeurs de $K=1$ et $K=2$.

Arrondir les résultats au centième.
\item Que peut conclure Richard pour 2034?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{.35\linewidth}
\begin{flushright}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{4cm}

$A\gets 230$

$B \gets 8,5$

Pour $K$ allant de 1 à 16

\begin{itemize}
\item[] $A\gets \left (A-B\right ) \times 1,04$
\item[] $B\gets B\times 1,1$
\end{itemize}
Fin Pour
\end{minipage}
}
\end{flushright}
\end{minipage}

\pagebreak

\begin{center}

 \textsf{\textbf{\textsc{annexe 2}}}

\medskip

\emph{Valeurs de $A$ et $B$ obtenues à l'aide d'un tableur}

\medskip

\footnotesize{
\begin{tabularx}{.3\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$K$ & $A$ & $B$ \\
\hline
\cellcolor{lightgray} & 230 & 8,5 \\
\hline
1 & & \\
\hline
2 & & \\
\hline
3 & 228,35 & 11,31\\
\hline
4 & 225,72 & 12,44\\
\hline
5 & 221,80 & 13,69\\
\hline
6 & 216,44 & 15,06\\
\hline
7 & 209,43 & 16,56\\
\hline
8 & 200,58 & 18,22\\
\hline
9 & 189,66 & 20,04\\
\hline
10 & 176,40 & 22,05\\
\hline
11 & 160,53 & 24,25\\
\hline
12 & 141,73 & 26,68\\
\hline
13 & 119,65 & 29,34\\
\hline
14 & 93,92 & 32,28\\
\hline
15 & 64,11 & 35,51\\
\hline
16 & 29,75 & 39,06\\
\hline
\end{tabularx}
}

\end{center}


 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2019 (3 obligatoire)}} 

 \index{Centres étrangers 2019}
Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de 20\,\% de son stock et achète ensuite 35 nouveaux vélos. 

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$,  $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au 1\up{er} juillet de l'année $(2018 + n)$. 

Au 1\up{er} juillet 2018, le loueur possède 150 vélos, ainsi $u_0 = 150$. 


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au 1\up{er} juillet 2019. 
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,8u_n + 35$. 
	\end{enumerate}
\item On a calculé les premiers termes de cette suite à l'aide d'un tableur. 

Une copie d'écran est donnée ci-dessous: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A   &B\\ \hline   
1   &rang $n$   &terme $u_n$\\ \hline   
2   &0   &150 \\ \hline   
3   &1   &155\\ \hline    
4   &2   &159 \\ \hline   
5   &3   &162,2\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}   

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B3 pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
		\item Pour les termes de rang 36, 37, 38, 39 et 40, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
38&   36&   174,992 \\ \hline   
39&   37&   174,994\\ \hline    
40&   38&   174,995\\ \hline    
41&   39&   174,996\\ \hline    
42&   40&   174,997\\ \hline    
\end{tabularx}
\end{center} 

Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, on cherche à démontrer la conjecture émise à la question précédente}. 

Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ :  $v_n= u_n - 175$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = - 25 \times  0,8^n + 175$. 
		\item Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 
	\end{enumerate}
\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. 

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que : $u_n \geqslant 170$. 

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2019 (2 obligatoire)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2019}
En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l'agriculture biologique, a acheté une ferme de 14 hectares de pommiers. Elle estime qu'il y a 300 pommiers par hectare. Chaque année, Laurence élimine 4\,\% des pommiers existants et replantera 22 nouveaux pommiers par hectare.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de pommiers par hectare l'année $2018+n$. On a ainsi $u_0=300$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n + 22$.
\item Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l'unité, en 2020.
\end{enumerate}
\item Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera 400 pommiers par hectare. Pour cela on utilise l'algorithme suivant :

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$N \gets 0$

$U \gets 300$

Tant que $U \cdots$

\begin{itemize}
\item[] $N \gets N+1$
\item[] $U \gets \cdots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus pour qu'il détermine le rang de l'année cherchée.
\item Quelle est la valeur de $N$ en sortie d'algorithme ?
\end{enumerate}

\item On définit la suite $(v_n)$ en posant $v_n=u_n-550$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démonter que :\[u_n=550 - 250\times 0,96^{n}.\]
\item Estimer le nombre de pommiers de l'exploitation de Laurence en 2025.
\item En résolvant l'inéquation $u_n>400$, retrouver le résultat obtenu à la question  2.b.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019 (1)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019}
En 2018, la France comptait environ \np{225000} médecins actifs. On prévoit que chaque année, 4\,\% des médecins cessent leur activité tandis que \np{8000} nouveaux
médecins s'installent.

Pour étudier l'évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$
représente le nombre de médecins en $2018 + n$, exprimé en millier.


\begin{enumerate}
\item Donner $u_0$ et calculer $u_1$.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U \gets 225$

Pour $N$ allant de \ldots  à \ldots

\hspace{1em} $U \gets \cdots$

Fin Pour
\end{minipage}
}
\end{center}

\item  On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 200$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$. Préciser son terme initial.
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} - u_n = - 0,96^n$.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $[25 \times  0,96^n + 200 < 210$.
		\item  Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Liban 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2019 (2 obligatoire)}} 

 \index{Liban 2019}
La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambid\ae, originaire d'Extrême-Orient.
Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d'Ardèche donne les estimations suivantes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|X|c|c|c|}\hline
Date & 01/06/18 & 02/06/18 & 03/06/18\\
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Nombre de chenilles en centaines & 97 & 181 & 258\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

L'exercice étudie et compare deux modélisations de l'évolution du nombre de chenilles.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie 1 :}} Modèle 1} 

\medskip

Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le 1\ier{} juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q=1,63$. Ainsi $u_0=97$.

\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_2$. Arrondir à l'unité.
 \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. 
 \item Justifier que la suite $(u_n)$ est croissante.
 \item Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
 \end{enumerate} 

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie 2 :}} Modèle 2} 

\medskip

Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour  après le 1\ier{} juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $(v_n)$ telle que :

\begin{center}
$v_0=97$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0,91 v_n + 93$.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $v_n=\dfrac{1}{3} \left( \np{-2809} \times 0,91^n + \np{3100} \right)$.

Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.

\item En étudiant le signe de $v_{n+1} - v_n$, montrer que la suite $(v_n)$ est croissante.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie 3 :}} Comparaison des différents modèles} 

\medskip

La valeur relevée dans le camping le 13 juin 2018 est de 745 centaines de chenilles.

\begin{enumerate}
\item À partir de ce relevé, quel modèle paraît le plus adapté ?
\item On reprend l'étude du deuxième modèle.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation: $v_n \geqslant \np{1000}$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2019 (2 obligatoire)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2019}
\begin{center}
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La responsable d'un aquarium public constate qu'en l'absence d'action particulière la population d'une espèce de poisson augmente de $20\,\%$ par an.

Pour démarrer un nouveau bassin, elle décide de prélever 28 poissons à la fin de chaque année.

La situation est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0=150$, le terme $u_n$ donnant une estimation du nombre de poissons au 1\ier{} janvier de l'année $2018+n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Justifier que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} = 1,2u_n - 28$.
\item On définit la suite $\left(w_n\right)$ par : $w_n = u_n - 140$ pour tout $n\in\N$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.

Préciser son terme initial.
\item Exprimer pour tout $n\in\N$, $w_n$ en fonction de $n$.

En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Sachant que l'aquarium ne peut contenir plus de 200 poissons, la responsable doit-elle prévoir l'achat d'un autre aquarium dans les années à venir ? Si oui, en quelle année ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On sait qu'il y a eu \np{1350} visiteurs le premier mois et que le prix d'entrée est fixé à 8 euros. La responsable fait l'hypothèse d'une augmentation mensuelle de la fréquentation des visiteurs de $12\,\%$. Elle veut alors savoir, sous cette hypothèse, la recette totale accumulée durant les six premiers mois.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine la recette cherchée.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$S \gets 0$

$V \gets \np{1350}$

 Pour $N$ allant de 1 à \dots
 
\begin{itemize}
\item[] $S \gets \cdots$
\item[] $V \gets 1,12 V$
\end{itemize}
Fin Pour

$S \gets 8S$
\end{minipage}
}
\end{center}
 
\item Quel est le montant de la recette cherchée ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2019 (3 obligatoire)}} 

 \index{Polynésie 2019}
Sur un site de vente en ligne, Antoine a commandé une machine à café à capsules.

\begin{enumerate}
\item Chaque capsule achetée à l'unité coûte 0,60~\euro. Une offre permet d'acquérir 150 capsules au prix de 60~\euro.

De quel pourcentage de réduction bénéficie-t-on grâce à l'offre par rapport à un achat à l'unité ?
\item Au 1\up{er} janvier 2017, on comptait \np{60000} utilisateurs de cette machine à café. 

On estime que chaque mois, 10\,\% des propriétaires cessent de l'utiliser mais on compte \np{24000} nouveaux utilisateurs.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi le nombre d'utilisateurs de cette machine à café $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2017, peut être modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ définie par :\[u_0 = \np{60000} \quad \text{ et } \quad u_{n+1} = 0,9u_n + \np{24000}.\]
		
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = un - \np{240000}$.
		
Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$  est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $n$ étant un entier naturel, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{240000} - \np{180000} \times 0,9^n$.
 	\end{enumerate}
\item Au bout de combien de mois le nombre d'utilisateurs de cette machine à café dépassera-t-il pour la première fois \np{230000} ?
\item L'entreprise qui fabrique cette machine à café prétend qu'elle touchera un certain mois plus de \np{250000} utilisateurs. Que penser de cette affirmation ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{FONCTION EXPONENTIELLE} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2019 (4)}} 

 \index{Amérique du Nord 2019}
Dans le repère orthogonal donné ci-dessous, $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\left[ 0 ; 30 \right]$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 0 passe par le point $B(5 ; 0)$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $C$ d'abscisse 11 est parallèle à l'axe des abscisses.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm, yunit=.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-16)(30,20)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x^2-11)*EXP(-.2*x)}
\multido{\n=-2+1}{33}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray,linestyle=dotted,dotsep=2pt](\n,-16)(\n,20)}
\multido{\n=-16+1}{37}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray,linestyle=dotted,dotsep=2pt](-2,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-16)(30,20)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2.5pt 2.5pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-16)(30,20)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{30}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{<->}(6,12.188)(16,12.188)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{<->}(-1.5,-14.3)(6.5,3.3)
\psdots[linecolor=prune](0,-11)(5,0)(11,12.188)
\uput[dr](0,-11){\bleu{$A$}} \uput[u](5,0){\prune{$B$}} \uput[u](11,12.188){\bleu{$C$}}
\uput[r](28,5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}


Dans toute la suite, on note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\left[ 0 ; 30 \right]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\left[ 0 ; 30 \right]$.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a -- }}Lectures graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement les valeurs de $f(0)$, $f'(0)$ et $f'(11)$.
\item L'affirmation \og La fonction $F$ est croissante sur $\left[ 0 ; 11 \right]$. \fg{} est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b -- }}Étude d'une fonction}

\medskip


La fonction $f$ est définie sur $\left[ 0 ; 30 \right]$ par :\[f(x)=\left (x^2-11\right ) \e^{-0,2x}.\]

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|l|c|}
\hline
 & \hfill{}\textbf{\textsf{Instruction:}}\hfill{} & \textbf{\textsf{Résultat:}}\\
 \hline
 1 & $f(x)=(x^2-11) * \exp(-0,2*x)$ & $\left (x^2-11\right ) \e^{-0,2x}$ \\
 \hline
 2 & $\text{Dérivée}(f(x))$ & $\left (-0,2 x^2 +2x + 2,2\right )  \e^{-0,2x}$ \\
 \hline
  3 & $\text{Intégrale}(f(x))$ & $\left (-5x^2 -50x -195\right )  \e^{-0,2x}$ \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x \in \left[ 0 ; 30 \right]$, justifier le résultat de l'instruction obtenu en ligne 2 du logiciel.
\item Étudier le signe de $f'$ sur $\left[ 0 ; 30 \right]$ puis dresser le tableau des variations de $f$ sur $\left[ 0 ; 30 \right]$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[ 0 ; 11 \right]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\item En utilisant sans le démontrer un résultat du logiciel, calculer la valeur exacte puis l'arrondi à $10^{-2}$ de l'intégrale : $I=\displaystyle\int_{10}^{20} f(x) \dd x$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c -- }}Application économique}


\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ si nécessaire.}

\smallskip

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle $\left[ 5 ; 30 \right]$ par la fonction $f$ étudiée dans la  partie B.

Le nombre $f(x)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à 15 euros.
\item En utilisant les résultats de la  partie B, déterminer la demande moyenne arrondie au millier d'objets, lorsque le prix unitaire varie entre 10 et 20 euros.
\item L'élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de $1\,\%$ du prix.

On admet qu'une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par :\[E(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\times x \text{ lorsque } x\in \left[ 5 ; 30 \right].\]

Calculer $E(15)$ et interpréter le résultat.  
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Amérique du Sud 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2019 (4)}} 

 \index{Amérique du Sud 2019}
\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous, associée à une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 19]$, représente l'audience journalière d'une chaîne de télévision entre le 1\ier{} janvier 2000 (année numéro 0) et le 1\ier{} janvier 2019 (année numéro 19), c'est-à-dire le nombre quotidien de téléspectateurs, en milliers.

\begin{center}
\psset{xunit=.6cm, yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(19,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(20*x^2 - 80*x + 460)*EXP(-.1*x)}
\def\g{460-126*x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(19,10)
\psset{xunit=.6cm, yunit=.08mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=100]{->}(0,0)(19,1000)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{19}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=.75pt,linecolor=prune]{0}{3.8}{\g}
\psdots[linecolor=prune](0,460)(3,82)
\uput[ur](0,460){\bleu{$A$}} \uput[ur](3,82){\prune{$B$}} \uput[u](10.5,660){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Ainsi, le 1\ier{} janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ \np{460000} téléspectateurs.


\begin{enumerate}
\item Décrire l'évolution de l'audience journalière de cette chaîne de télévision entre le 1\ier{} janvier 2000 et le 1\ier{} janvier 2019.
\item  Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le 1\ier{} janvier 2014.
\item  La droite $(AB)$, où les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A (0 ; 460)$ et $B (3 ;  82)$, est la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A$.

Déterminer la valeur de $f'(0)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ représentée par $(\mathcal{C})$ ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On cherche maintenant à prévoir l'évolution de l'audience de cette chaîne de télévision lors des dix prochaines années.

On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 29]$ par : \[f(x)= (20 x^2 - 80 x + 460) \e^{-0,1x}\]
où $x$ représente le nombre d'années depuis 2000 (par exemple $x = 19$ pour l'année 2019).
\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la chaîne le 1\ier{} janvier 2014.
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 29]$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f'$ est définie par : $f'(x)= (-2 x^2 +48 x -126) \e^{-0,1x}$.

		\item On considère l'équation : $-2 x^2 +48 x -126=0$.
		
Un logiciel de calcul formel donne :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|X|m{3cm}|}
\hline
\textsf{Instruction :} & \textsf{Résultat :}\\
 \hline
$\text{Solve}(-2 x^2 +48 x -126=0)$ & \hfill 3 et 21\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Retrouver ce résultat par le calcul.

		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 29]$ et construire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 29]$. Arrondir les éléments du tableau à l'unité.
		\item Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du million avant l'année 2029 ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 800$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[3 ; 21]$. Déterminer un encadrement d'amplitude 1 de $\alpha$.

Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision dépassera-t-il \np{800000} ?
\item  On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0 ; 29]$ par : $F(x)=(-200x^2 - \np{3200} x - \np{36600})\e^{-0,1x}$ est une primitive de la fonction $f$.
	
Déterminer à mille près l'audience journalière moyenne de téléspectateurs de la chaîne de télévision entre le 1\ier{} janvier 2018 et le 1\ier{} janvier 2019.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2019 (3)}} 

 \index{Antilles Guyane 2019}
Dans la figure ci-dessous sont représentés dans un repère orthogonal :

\begin{itemize}
\item la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10 ; 5]$ ;
\item la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $-5$ ;
\item la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ ;
\item le domaine $S$ situé entre la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$, grisé sur la figure.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-12,-2)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x-5)*EXP(.2*x)+5}
\def\g{5-(x+15)/Euler}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.25pt, linecolor=grisb]{0}{5}{\f} \gsave
\psline(5,5)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-2)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-12,-2)(8,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-10}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-12}{4}{\g}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{-}(-2,-2)(7,7)
\psdots[linecolor=prune](-5,1.321)(5,5)
\uput[ur](-5,1.3){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[ul](5,5){\bleu{\footnotesize{$B$}}} \uput[ur](-11,3.5){\prune{$T$}}\uput[dr](6,6){\prune{$\mathcal{D}$}}
\uput[r](-10,2.5){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\emph{Dans cette partie les estimations seront obtenues par lecture graphique.}


Cette partie A est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre valeurs ci-dessous, la meilleure valeur approchée du coefficient directeur de la tangente $T$ est:

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $- \dfrac{1}{3}$ & \item $- 3$ & \item $3$ & \item  $\dfrac{1}{3}$\\ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item La fonction $f$ semble :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item concave sur $[-5 ; 0]$ & \item  concave sur $[-10 ; 0]$ & \item  convexe sur $[-10 ; 5]$	&\item  convexe sur $[-5 ; 5]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  L'aire du domaine $S$, en unité d'aire, appartient à l'intervalle :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $[-4 ; -2]$	& \item   $[4 ; 7]$ &  \item  $[0 ; 3]$		&  \item  $[7 ; 10]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ précédente, définie et dérivable sur l'intervalle $[-10 ; 5 ]$, a pour expression $f(x) = (x - 5)\e^{0,2x} + 5$.

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[-10 ; 5]$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = 0,2x\e^{0,2x}$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10 ; 5]$.
		\item Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $-5$.
	\end{enumerate}
\item  Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline	
1 	&$g(x) = 0,2x * \mathrm{exp}(0,2x)$\\
	&$\to  g(x) = \dfrac{1}{5} x \e^{\frac{1}{5}x}$\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\\ \hline
2	&Dérivée  $g'(x) = \dfrac{1}{25} x \e^{\frac{1}{5}x} + \dfrac{1}{5}\e^{\frac{1}{5}x}$\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est définie par \mbox{$f''(x) = (0,2 + 0,04x)\e^{0,2x}$}.
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10 ; 5]$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet qu'une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-10 ; 5]$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = (5x - 50)\e^{0,2x} + 5x$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de $I$ définie par $I = \displaystyle\int_0^5  f(x) \dd x$.
		\item Montrer que l'aire du domaine du plan situé sous la droite $\mathcal{D}$, au-dessus de l'axe des abscisses et limité par la droite d'équation $x = 5$ vaut $12,5$ unités d'aire.
		\item En déduire une valeur approchée de l'aire du domaine $S$ en unité d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2019 (4)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2019}
\begin{center}
\emph{Cet exercice comporte trois parties.}
\end{center}

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 3]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ; elle passe par le point $A$ de coordonnées $(0,5 ; 1)$.

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(32,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*x*EXP(-.5*x^2)}
\def\g{2*EXP(-1.5)*(3^1.5-2*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,18)
\psset{unit=3cm}
\multido{\n=1+1}{3}{\psline[linewidth=.5pt](\n,0)(\n,1.8)}
\psline[linewidth=.5pt](0,1)(3.2,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.1,-.1)(3.2,1.8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{3}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0)(.8,1.6)\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{<->}(.7,1.213)(1.3,1.213)\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{1.3}{2.3}{\g}
\psdots[linecolor=bleu,dotstyle=+,dotscale=2](.5,1)(1.732,.7729)
\uput[ul](2.8,.2){\bleu $\mathcal{C}$}
\uput[ul](0.5,1){\footnotesize{\prune $A$}} \uput[u](1.2,1.2){\footnotesize{\prune $T$}} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.


\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.
\item Donner la valeur de $f'(1)$.
\item Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 3]$ par $f(x) = 2x\e^{-0,5x^2}$.

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = \left(2 - 2x^2\right)\e^{-0,5x^2}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 3]$ et dresser son tableau de variation.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $F$, définie par $F(x) = - 2\e^{-0,5x^2}$, est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$.

En déduire la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$ et en donner une valeur approchée au millième.
 \end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par cette fonction $f$ l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d'hiver.

Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; 3]$, $f(x)$ représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant $x$, exprimé en mois.

Un journal affirme que cet hiver :

\begin{itemize}
\item le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million ;
\item le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ \np{400000}.
\end{itemize}

Que dire de ces deux affirmations ?


 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2019 (4)}} 

 \index{Centres étrangers 2019}
 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10 ; 2]$. On a placé les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C( -2 ; 0)$. 

On dispose des renseignements suivants : 

\begin{itemize}
\item Le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\item La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite horizontale. 
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-10.5,-1.5)(2.5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2-x)*EXP(x)}
\def\g{x+2}
\multido{\n=-10+1}{13}{\psline[linewidth=.5pt,linecolor=darkgray,linestyle=dotted,dotsep=2pt](\n,-1.5)(\n,3.5)}
\multido{\n=-1+1}{5}{\psline[linewidth=.5pt,linecolor=darkgray,linestyle=dotted,dotsep=2pt](-10.5,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-10.5,-1.5)(2.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-10}{2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-3.5}{1.5}{\g}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-10.5,2.71828)(2.5,2.71828)
\uput[dr](2,2){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\uput[dr](0,2){\footnotesize{\bleu $A$}} \uput[ur](2,0){\footnotesize{\bleu $B$}} \uput[ul](-2,0){\footnotesize{\prune $C$}}
\end{pspicture}
\end{center}


Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
\item Indiquer la valeur de $f'(1)$. 
\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$. 
\item  Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10 ; 2]$. 
\item  Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10 ; 2]$. 
\item  Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe, et celui sur lequel elle est concave. 
\item  On s'intéresse au nombre $I = \displaystyle\int_0^2 f(x) \dd x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique donné en annexe  et à rendre avec la copie, hachurer le domaine du plan dont l'aire, exprimée en unités d'aire, est égale à $I$. 
		\item Donner un encadrement du nombre $I$ par deux entiers consécutifs. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A. 

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-10 ; 2]$ par : $f(x) = (2 - x)\e^x$.


\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et $f(2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[-10 ; 2]$. 
		\item En déduire la valeur de $f'(1)$. 
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10 ; 2]$. 
		\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10 ; 2]$, puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions. 
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
1	&  $ f(x): = (2 - x) * \mathrm{exp}(x)$\\ \hline   
  	&\hspace{3em}$f(x): = (-x + 2)\e^x$\\ \hline   
2 	&Simplifier(Dérivée(Dérivée($f(x)$)))\\ \hline   
	&\hspace{3em}$- x \e^x$ \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}

Utiliser le résultat du logiciel pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10 ; 2]$. 

\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[-10 ; 2]$ par : $F(x) = (3 - x)\e^x$.

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10 ; 2]$. 
		\item En déduire la valeur exacte et une valeur approchée au centième du nombre $I = \displaystyle\int_0^2 f(x) \dd x$.
 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textsf{Feuille annexe à rendre avec la copie} 

\bigskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-21,-3)(5,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(2-x)*EXP(x)}
\def\g{x+2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-21,-3)(5,7)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.5,comma]{->}(0,0)(-10.5,-1.5)(2.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-10}{2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=.75pt]{-3.5}{1.5}{\g}
\psline[linewidth=.75pt](-10.5,2.71828)(2.5,2.71828)
\uput[dr](2,2){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\uput[dr](0,2){\footnotesize{$A$}} \uput[ur](2,0){\footnotesize{$B$}} \uput[ul](-2,0){\footnotesize{$C$}}
\end{pspicture}
\end{center}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2019 (4)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2019}
Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d'un fauteuil (ébauche du fauteuil en  annexe 1).
On modélise l'accoudoir à l'aide de la fonction $f$ définie sur $\left[0 ; 60 \right]$ par :\[f(x) = 70 + \left (14x+42\right ) \e^{-\frac{x}{5}}.\]

La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$ est donnée en  annexe 2.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left[0 ; 60 \right]$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\emph{Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de $f$ donnée en  annexe 2.}

\medskip

On admet que le point $A$ de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 7 est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une valeur approchée de $f(0)$ et $f(60)$.
\item Déterminer $f''(7)$.
\item On considère la surface située entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$, et les droites d'équation $x=0$ et $x=60$.
\begin{enumerate}
\item Hachurer la surface décrite ci-dessus sur l' annexe 2.
\item L'ébéniste estime l'aire de cette surface à \np{3800} unités d'aire. Cette estimation est-elle correcte ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[0 ; 60 \right]$ on a :\[f'(x)= \dfrac{1}{5}\left ( -14x+28\right )\e^{-\frac{x}{5}}.\]

\item
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left[0 ; 60 \right]$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; 60 \right]$.

On arrondira à l'unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.
\end{enumerate}

\item Un logiciel de calcul formel permet d'afficher les lignes suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline	
1 	&$\text{Dérivée }\left(\text{Dérivée }\left(70+\left (14x+42\right) \e^{-\frac{x}{5}}\right)\right)$\\
$\circ$	&$\quad \to \dfrac{1}{25}\left (14x+42\right ) \e^{-\frac{1}{5}x} - \dfrac{28}{5}\e^{-\frac{1}{5}x}$\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\\ \hline
2	&$\text{Factoriser }\left(\dfrac{1}{25}\left(14x+42\right) \e^{-\frac{1}{5}x} - \dfrac{28}{5}\e^{-\frac{1}{5}x} \right)$\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\\ 
$\circ$	&$\quad \to 14\e^{-\frac{1}{5}x}.\dfrac{x-7}{25}$\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de $f$.

\item Pour tout nombre réel de l'intervalle $\left[0 ; 60 \right]$, on pose : $g(x) = \left( 14x+42\right) \e^{-\frac{x}{5}}$ et $G(x)=\left(-70x-560\right) \e^{-\frac{x}{5}}$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $\left[0 ; 60 \right]$.
\item En déduire une primitive de $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; 60 \right]$.
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle \int_{0}^{60} f(x) \dd x$, puis en donner une valeur approchée à l'unité d'aire près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

L'ébéniste découpe 2 accoudoirs identiques sur le modèle de la surface hachurée de l'annexe 2 en choisissant comme unité le cm.

Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir ( annexe 1 ) ainsi que le dossier du fauteuil dont l'aire est égale à $\np{5400}\,\mathrm{cm}^2$. Or il lui reste le quart d'un petit pot de vernis pouvant couvrir $10\,\mathrm{m}^2$. Aura-t-il suffisamment de vernis ?

\newpage

 \textsf{\textbf{\textsc{annexes : } à rendre avec la copie}}
 
\medskip

\begin{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{annexe 1 : } ébauche du fauteuil}}

\medskip


\psset{xunit=.6cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(9,13)
\newrgbcolor{C0}{0.28 0.25 .35}
\newrgbcolor{C1}{.78 .75 .75}
\newrgbcolor{C2}{1 .26 .28}
\newrgbcolor{C3}{.88 .86 .84}
\newrgbcolor{C4}{.92 .91 .89}
\newrgbcolor{C5}{.92 .92 .92}
\psset{Alpha=150,Beta=35,linecolor=C0, linewidth=1pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4]{
\pstThreeDLine(.2,0.8,11.6922)(.2,5,11.6922)(.2,5,0)(.2,.8,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\pstThreeDLine(0.1,5,0)(.1,5,11.58)(.1,5.8,11.58)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](0.1,6){t 5.8 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,5.8,0)(6,5,0)(0,5.8,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](0,6){t 5 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,5,0)(0,5,0)(0,5,11.2)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\pstThreeDLine(6,0,5)(6,5,5)(0,5,5)(0,0,5)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2]{
\pstThreeDLine(0.1,0,0)(.1,0,11.58)(.1,0.8,11.58)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](0.1,6){t .8 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,0.8,0)(6,0,0)(0,0.8,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=50](0,6){t 0 7 14 t mul 4.2 add 2.71828 t -2 mul exp mul add}
\pstThreeDLine(6,0,0)(0,0,0)(0,0,11.2)
}
\pstThreeDLine(6,0,7)(6,0.8,7)\pstThreeDLine(6,5,7)(6,5.8,7)
\pstThreeDLine[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](0,0,0)(0,5,0)(0,5,5)\pstThreeDLine[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](0,5,0)(3.5,5,0)\pstThreeDLine[linestyle=dashed,linewidth=.5pt](0,4,5)(0,.8,5)(6,.8,5)
\rput(-3,3){\rnode{A}{\psframebox{\parbox{1.5cm}{\centering{\sf{\small{Face d'un accoudoir}}}}}}}
\pnode(1,3){B}
\ncline[linewidth=1.5pt]{->}{A}{B}
\end{pspicture}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{annexe 2}}}

\medskip

\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.25,-.5)(6.5,7.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{70+(14*x+42)*EXP(-.2*x)}
\def\g{14*EXP(-1.4)*(17+5*EXP(1.4)-x)}
\multido{\n=1+1}{6}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,7.5)}
\multido{\n=1+1}{7}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](0,\n)(6.5,\n)}
\psset{xunit=0.2cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-3,-10)(65,150)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{60}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-2}{40}{\g}
\psdot[linewidth=1pt,linecolor=bleu](7,104.524)
\uput[ur](7,105){\bleu{$A$}}
\uput[u](35,70){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}

\end{center}

 \newpage 

\subsubsection[Liban 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2019 (3)}} 

 \index{Liban 2019}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ -4 ; 10 \right]$ par :\[f(x)=1+ \left ( -4x^2 - 10x +8\right )\e^{-0,5x}.\]

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[ -4 ; 10 \right]$ :\[f'(x)=\left (2x^2-3x-14\right ) \e^{-0,5x}.\]

\item Dresser, en justifiant, le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $\left[ -4 ; 10 \right]$.

On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left[ -4 ; -2 \right]$.

\item 
\begin{minipage}{.5\linewidth}
%\parbox[t][4cm]{0.6\linewidth}{
On considère l'algorithme ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{flushright}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$a\gets -4$

$b\gets -2$

Tant que $(b-a) > 10^{-1}$
\begin{itemize}
\item[] $m \gets \dfrac{a+b}{2}$
\item[] $p\gets f(a)\times f(m)$
\item[]  Si $p>0$ alors

\hspace{1em} $a\gets m$ 
\item[]  Sinon

\hspace{1em} $b\gets m$ 
\item[]  Fin Si
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{flushright}
\end{minipage}

Recopier et compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous correspondant au deuxième passage dans la boucle.
\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*6{c|}}
\hline
 & $m$ & signe de $p$ & $a$ & $b$ & $b-a$ & $b-a>10^{-1}$\\
 \hline
 Initialisation & \cellcolor{lightgray!40} & \cellcolor{lightgray!40} & $-4$ & $-2$ & $2$ & VRAI\\
 \hline
 Après le 1\ier{} passage dans la boucle & $-3$ & Négatif & $-4$ & $-3$ & $1$ & VRAI\\
 \hline
 Après le 2\ieme{} passage dans la boucle & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À la fin de l'exécution de l'algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent les valeurs $\np{-3,1875}$ et $-3,125$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item On admet qu'une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ -4 ; 10 \right]$ est la fonction $F$ définie par \mbox{$F(x)=x + \left( 8x^2 + 52x + 88 \right) \e^{-0,5x}$}.

Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ -4 ; 10 \right]$. Arrondir au centième.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2019 (4)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2019}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = (-5x^2+5)\e^{x}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, et $f''$ la fonction dérivée seconde. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan, donnée en \textsf{annexe 2}.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point $A$, intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées. Placer le point $A$ dans le repère fourni en \textsf{annexe 2}.
\item Démontrer que $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en deux points. Déterminer leurs coordonnées et les placer dans le repère fourni en \textsf{annexe 2}.
\item Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=(-5x^2-10x+5)\e^{x}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5 ; 2]$.
\end{enumerate}

\item Soit $\Delta$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation de $\Delta$ est $y=5x+5$.
\item Tracer la droite $\Delta$ dans le repère fourni en \textsf{annexe 2}.
\end{enumerate}

\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants que l'on pourra utiliser sans justification :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|l|l|}\hline
\cellcolor{lightgray}1 & $f(x)$\\
\cellcolor{lightgray}$\circ$ & $\rightarrow \: (-5x^2+5)\e^{x}$\\
\hline
\cellcolor{lightgray}2 & $f''(x)$\\
\cellcolor{lightgray}$\circ$ & $\rightarrow \: -20 x \e^{x} - 5 x^2 \e^{x} -5\e^{x}$\\
\hline
\cellcolor{lightgray}3 & $\text{Résoudre }(f''(x)=0,x)$\\
\cellcolor{lightgray}$\circ$ & $\rightarrow \: \left \lbrace x=-\sqrt{3}-2\,,\, x=\sqrt{3}-2 \strut \right \rbrace$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x\in [-5 ; 2]$, $f''(x)=-(5x^2+20x+5)\e^{x}$.
\item Étudier la convexité de le fonction $f$ sur l'intervalle  $[-5 ; 2]$.
\end{enumerate}

\item On s'intéresse à l'aire $\mathcal{A}$, en unité d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =- 1$ et $x = 0$.
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur \textsf{l'annexe 2} ce domaine.
\item On admet que sur l'intervalle $[-1~ ; 0]$, la droite $\Delta$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$.

Justifier que l'aire $\mathcal{A}$ est inférieure à $2,5$ unités d'aire.
\item On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = (-5x^2+10x-5)\e^{x}$ est une primitive de $f$.

Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x) \dd x$.

On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf{\textbf{\textsc{annexe 2}}}

\medskip


\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-9,-5)(6,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(5-5*x^2)*EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-9,-5)(6,7)
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5]{->}(0,0)(-4.49,-5)(3,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-4.5}{1.14776}{\f}
\uput[ul](1.5,-4){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{FONCTION LOGARITHME} 

 \subsubsection[Asie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2019 (4)}} 

 \index{Asie 2019}
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\left[ 0,5 ; 12 \right]$, la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse 1 et la tangente $T_2$ à $\mathcal{C}$  au point $B$ d'abscisse 2. La tangente $T_1$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.4)(14.5,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(x)+1/x}
\def\g{x/4+ln(2)}
\multido{\n=-1+1}{16}{\psline[linewidth=.5pt,linecolor=darkgray,linestyle=dotted,dotsep=2pt](\n,-.4)(\n,4.5)}
\multido{\n=1+1}{4}{\psline[linewidth=.5pt,linecolor=darkgray,linestyle=dotted,dotsep=2pt](-1.5,\n)(14.5,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.4)(14.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{.5}{12}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=.75pt,linecolor=prune]{-1}{14.2}{\g}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-1,1)(14.2,1)
\psdots[linecolor=bleu](1,1)(2,1.193)
\uput[u](9.5,1.9){\bleu $\mathcal{C}$}
\uput[u](1,1){\footnotesize{\bleu $A$}} \uput[u](2,1.2){\footnotesize{\bleu $B$}} \uput[u](11.5,1){\footnotesize{\prune $T_1$}} \uput[u](11.5,3.6){\footnotesize{\prune $T_2$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique :
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(1)$.
\item Déterminer les éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}$.
\item Déterminer un encadrement de $\displaystyle\int_{6}^{8} f(x) \dd x$ par deux entiers consécutifs.
\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $\left[ 0,5 ; 12 \right]$ par : $f(x) = \ln(x) + \dfrac{1}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $x\in \left[ 0,5 ; 12 \right]$, $f'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}$.
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.

Si nécessaire, on arrondira à $0,1$ les valeurs numériques.
\end{enumerate}

\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l'on pourra admettre.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lr|}
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{\textsf{Calcul formel}}\\ \hline
1 & $g(x):=(x-1)/x^2$ & \\
& & \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $g(x) = \dfrac{x-1}{x^2}$\\
\hline
2 & Dérivée $(g(x))$ &\\
& & \rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{x^2-2x(x-1)}{x^4}$\\
\hline
3 & Simplifier(Dérivée($g(x)$) & \\
& &\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{-x+2}{x^3}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel $f$ est concave.

\item Soit $F$ la fonction définie sur $\left[ 0,5 ; 12 \right]$ par $F(x)=\left(x+1\right) \ln(x)-x$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[ 0,5 ; 12 \right]$.
\item En déduire la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[ 0,5 ; 12 \right]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019 (3)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019}
La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[1,1 ; 8]$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(9,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2*x-1)/ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,13)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(9,13)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1.1}{8}{\f}
\uput[ul](2,12){\bleu {$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}


\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}
\end{center}
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a :}} étude graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1,1 ; 8]$.
\item Quel est le signe de $f'(5)$ ? Justifier.
\item Encadrer l'intégrale $\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\dd x$ par deux entiers consécutifs.
\item  La fonction $f$ est-elle convexe sur $[1,1 ; 3]$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b :}} étude analytique}

\medskip


On admet que $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[1,1 ; 8]$ par $f(x) = \dfrac{2x - 1}{\ln (x)}$.


\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1,1 ; 8]$, on a : $f'(x) = \dfrac{2\ln (x) - 2  + \dfrac{1}{x}}{\left({\ln (x)}\right)^2}$.

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $[1,1 ; 8]$ par : $h(x) = 2\ln (x) - 2 + \dfrac{1}{x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle $[1,1 ; 8]$. 
		
		Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1,1 ; 8]$, $[h'(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}$.

		\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $[1,1 ; 8]$.
		\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1,1 ; 8]$. Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
 	\end{enumerate}
\item Déduire des résultats précédents le signe de $h(x)$ sur l'intervalle $[1,1 ; 8]$.
\item À l'aide des questions précédentes, donner les variations de $f$ sur $[1,1 ; 8]$.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2019 (4)}} 

 \index{Polynésie 2019}
\begin{center}\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}


 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1 ; 9]$ par $f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x)$.

On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pneus produits.

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1 ; 9]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1 ; 9]$ on a : $f'(x)= \dfrac{x^2 -7 x + 6}{x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 9]$ :
		
		\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10,2.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2.5)\psline(0,1.8)(10,1.8) \psline(3,0)(3,2.5)
\rput(1.5,2.2){$x$} \rput(3.5,2.2){$1$} \rput(6.5,2.2){$6$} \rput(9.5,2.2){$9$}
\rput(1.5,1){Variations de $f$} \rput(3.5,1.4){\rnode{A}{}} \rput(6.5,.4){\rnode{B}{}} \rput(9.5,1.4){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}

		\item  Justifier que, sur l'intervalle $[1 ; 9]$, l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
		\item  Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
		\item  On considère l'algorithme ci-dessous :
		
		\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$X \gets 1$

$Y \gets 7,5$

Tant que $Y > 5$

\begin{itemize}
\item[] $X \gets X + 0,01$
\item[] $Y \gets 0,5X^2 - 7X + 14 + 6*\ln (X)$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

À la fin de l'exécution de l'algorithme, quelle valeur numérique contient la variable $X$ ?
	\end{enumerate}
\item  Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est-il minimal ? À combien s'élève-t-il ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole). 

On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 100]$ par $g (x) = 2x -1 + \e^{0,05x}$ modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de $x$ semoirs.

\begin{enumerate}
\item Donner une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 100]$.
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 100]$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{PROBABILITÉS} 

 \subsection{PROBABILITÉ DISCRÈTES} 

 \subsubsection[Amérique du Sud 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2019 (3 obligatoire)}} 

 \index{Amérique du Sud 2019}
Lors d'une course cyclosportive, $70\,\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.

Aucun participant n'abandonne la course.

\begin{itemize} 
\item Parmi les licenciés, $66\,\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en plus de 5 heures.
\item Parmi les non licenciés, $83\,\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres en moins de 5 heures.
\end{itemize}

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note :

\begin{itemize}
\item $L$ l'évènement \og le cycliste est licencié dans un club\fg{} et $\overline{L}$ son évènement contraire,
\item $M$ l'évènement \og le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures\fg{} et $\overline{M}$ son évènement contraire.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item À l'aide des données de l'énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\overline{L}}\left (\overline{M}\right )$.
\item  Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant représentant la situation.

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$L$}~}\naput{\ldots}}
		{
\TR{\bleu{$M$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{\bleu{$\overline{M}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{L}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$M$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{~\bleu{$\overline{M}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
}
\end{center}

\item  Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
\item  Justifier que $P(M) = 0,513$.
\item  Un organisateur affirme qu'au moins $90\,\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
\item  Un journaliste interroge indépendamment dix cyclistes au hasard. On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les dix cyclistes interrogés, le nombre de cyclistes ayant fait le parcours en moins de cinq heures. On suppose le nombre de cyclistes suffisamment important pour assimiler le choix de dix cyclistes à un tirage aléatoire avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
		\item Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures.
		\item Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019 (4 obligatoire)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019}
\emph{Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $P(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.}

  \emph{On arrondira les résultats au millième si besoin.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet d'établir que :

\begin{itemize}
\item 53\,\% de ses clients ont plus de 50 ans ;
\item 32\,\% de ses clients sont intéressés par des placements dits \emph{risqués} ;
\item 25\,\% de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits \emph{risqués}.
\end{itemize}

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$ : \og Le client a plus de 50 ans \fg{} ;
\item $R$ : \og Le client est intéressé par des placements dits risqués \fg.
\end{itemize}



\begin{enumerate}
\item Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
\item Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
\item Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est \np{0,1325}.
\item Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu'il ait plus de $50$ ans ?
\item Calculer $P\left(\overline{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}(R)$. 

Interpréter les deux résultats obtenus.
 \end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit \emph{risqué}, $R_1$ à tous ses clients.

Elle promet à ses conseillers une prime de $150$\euro{} s'ils convainquent au moins $10$ clients d'effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$\euro{} s'ils convainquent au moins $15$ clients d'effectuer ce placement en un mois.

L'une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci.


\begin{enumerate}
\item On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l'un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d'un client est indépendante de celles des autres clients.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci.
		\item Calculer la probabilité que Camille ait $300$\euro{} de prime.
		\item Montrer que la probabilité que Camille ait $150$\euro{} exactement de prime est environ de $0,532$.
	\end{enumerate}
\item Le placement $R_1$ a rapporté $30$\,\% d'intérêt sur les $5$ dernières années. Calculer le taux d'intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{LOI NORMALE, LOI UNIFORME} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2019 (1)}} 

 \index{Amérique du Nord 2019}
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ si nécessaire.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On rappelle que le triathlon est une discipline qui comporte trois sports: la natation, le cyclisme et la course à pied.

Fabien s'entraîne tous les jours pour un triathlon et organise son entraînement de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item chaque entraînement est composé d'un ou deux sports et commence toujours par une séance de course à pied ou de vélo ;
\item lorsqu'il commence par une séance de course à pied, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,4$ ;
\item lorsqu'il commence par une séance de vélo, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,8$.
\end{itemize} 

Un jour d'entraînement, la probabilité que Fabien pratique une séance de vélo est de $0,3$.

On note :

\begin{itemize}
\item $C$ l'évènement: \og Fabien commence par une séance de course à pied \fg{}; 
\item $V$ l'évènement: \og Fabien commence par une séance de vélo \fg{}; 
\item $N$ l'évènement: \og Fabien enchaîne par une séance de natation \fg.
\end{itemize} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant représentant la situation :

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$C$}~}\naput{\ldots}}
		{
\TR{\bleu{$N$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{\bleu{$\overline{N}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$V$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$N$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{~\bleu{$\overline{N}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
}
\end{center}


\item Quelle est la probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation ? 
\item Démontrer que: $P(N)= 0,52$.
\item Sachant que Fabien n'a pas fait de séance de natation, quelle est la probabilité qu'il ait commencé son entraînement par une séance de vélo ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'épreuve de triathlon s'est déroulée.

Pour chaque participant on enregistre sa performance, c'est-à-dire le temps total pour effectuer les trois épreuves du parcours.

On admet que l'ensemble des performances des participants, exprimées en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $2,5$ et d'écart-type $0,25$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $P\left(T\geqslant 3\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer la probabilité qu'une performance prise au hasard se situe entre 2 heures et 3 heures.
\item Déterminer $t$, à la minute près, pour que $P\left(T\leqslant t\right)=0,75$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Chaque participant au triathlon complète une fiche d'inscription comportant différents renseignements, dont le sexe du participant.

L'organisateur affirme que le pourcentage de femmes ayant participé à ce triathlon est de 50\,\%.

En raison du très grand nombre de participants au triathlon, l'organisateur décide de vérifier cette affirmation sur la base d'un échantillon de 60 fiches tirées au hasard.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la proportion de femmes dans un échantillon aléatoire de 60 fiches.
\item L'échantillon prélevé au hasard comprend 25 fiches correspondant à des femmes.

Ce constat remet-il en question l'affirmation de l'organisateur ? Justifier la réponse.

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2019 (1)}} 

 \index{Antilles Guyane 2019}
\emph{La partie C est indépendante des parties A et B.}

\medskip

Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu se déroule en deux étapes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 1} : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert ;
\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 2}:
	\begin{itemize}
		\item s'il découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile ;
		\item sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.
	\end{itemize}
\end{itemize}

Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Un client joue à ce jeu. On note :

$N$ l'évènement \og Le client découvre un numéro entre 1 et 15\fg{};

$E$ l'évènement \og Le client obtient une étoile \fg.


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
		\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.
\item Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à 0,31.
\item Le client a gagné un bon d'achat. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip


Le montant d'un bon d'achat est de 10 euros.

Pour ce jeu, le directeur de l'hypermarché a prévu un budget de 250 euros par tranche de 100 clients y participant. Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule 100 fois le jeu d'un client à l'aide d'un logiciel.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à 100 jeux simulés, associe le nombre de bons d'achat gagnés. On admet que $X$ suit une loi binomiale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser les paramètres de $X$.
\item Calculer la probabilité pour qu'il y ait exactement 30 clients gagnants.
\item Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat ?
Le budget prévisionnel est-il suffisant ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

La direction de l'hypermarché étudie le temps que les clients passent dans son magasin.

On admet que le temps, exprimé en minute, passé dans ce magasin par un client peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 45$ et d'écart type $\sigma = 5$.


\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste entre 30 et 60 minutes.
\item Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de 50 minutes.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2019 (2 obligatoire)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2019}
Un grossiste en flacons de parfum souhaite étudier la qualité des flacons qu'il reçoit.

 Il a reçu \np{1500} flacons d'un certain modèle provenant de deux sites de production différents, le site A et le site B. Sur les \np{1500} flacons de ce modèle reçus, $900$ proviennent du site A, les autres du site B.
 
\begin{center}
\emph{Les trois parties A, B et C sont indépendantes}.
 
\emph{Si nécessaire, les résultats seront arrondis au millième}.
\end{center}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le grossiste s'intéresse à l'aspect du flacon.

Parmi les flacons provenant du site A, 95\,\% ont un aspect conforme au cahier des charges tandis que 92\,\% des flacons provenant du site B ont un aspect conforme.

Il prélève au hasard un des flacons qu'il a reçus lors de la dernière livraison.

On note :

\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og Le flacon provient du site A \fg{} ;
\item $B$ l'évènement \og Le flacon provient du site B \fg{} ;
\item $C$ l'évènement \og Le flacon a un aspect conforme au cahier des charges \fg.
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges.
\item  Montrer que la probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est $0,938$.
\item  Le flacon prélevé se trouve avoir un aspect non conforme. Déterminer la probabilité qu'il provienne du site B.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le grossiste souhaite également étudier le volume de parfum contenu dans les flacons qu'il a reçus lors de la dernière livraison.

On considère qu'un flacon est correctement rempli s'il contient plus de $98\,\mathrm{ml}$ de parfum.

On admet que le volume de parfum, exprimé en millilitre, contenu dans un flacon prélevé au hasard peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart type $\sigma = 1$.

Déterminer la probabilité qu'un flacon prélevé au hasard soit correctement rempli.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Le producteur du site A indique que le pourcentage de flacons \og correctement remplis \fg{} est de 96\,\%.

Le grossiste contrôle un échantillon de $120$ flacons prélevés au hasard dans la livraison du producteur du site A et compte $18$ flacons qui ne sont pas correctement remplis. Le grossiste met alors en doute l'affirmation du producteur. Comment peut-il justifier sa contestation ?


 \newpage 

\subsubsection[Asie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2019 (2)}} 

 \index{Asie 2019}
\begin{center}
\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\emph{Si nécessaire, les résultat seront arrondis au centième.}
\end{center}

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Un club de football est composé d'équipes adultes masculines, adultes féminines et d'équipes d'enfants. Chaque week-end, la présidente Claire assiste au match d'une seule des équipes du club et elle suit :

\begin{itemize}
\item dans 10\,\% des cas, le match d'une équipe adulte féminine ;
\item dans 40\,\% des cas, le match d'une équipe adulte masculine ;
\item dans les autres cas, le match d'une équipe d'enfants.
\end{itemize}

Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe masculine, la probabilité que celle-ci gagne est 0,6. Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe d'enfants, la probabilité que celle-ci gagne est 0,54.

La probabilité que Claire voie l'équipe de son club gagner est 0,58.

On choisit un week-end au hasard. On note les événements suivants:

\begin{itemize}
\item $F$ : \og Claire assiste au match d'une équipe féminine \fg{};
\item $M$ : \og Claire assiste au match d'une équipe masculine \fg{}; 
\item $E$ : \og Claire assiste au match d'une équipe d'enfants \fg{};
\item $G$ : \og l'équipe du club de Claire gagne le match \fg . 
\end{itemize}


\emph{Pour tous événements $A$ et $B$, on note $\overline{A}$ l'événement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de $A$ et, si $B$ est de probabilité non nulle, $p_{B}(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilité est donné en  annexe 1. Le compléter au fur et à mesure de l'exercice.
\item Déterminer la probabilité $p\left(M \cap G\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p\left(F \cap G\right) = 0,07$.
		\item En déduire $p_{F}(G)$.
		\item La probabilité que l'équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$. La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l'équipe adulte féminine ?
\end{enumerate}

\item Claire annonce avoir assisté à la victoire d'une équipe du club. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi le match d'une équipe adulte féminine ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Au guichet, un supporter attend pour acheter son billet. On modélise le temps d'attente en minute par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 30$ et d'écart-type $\sigma=10$.

\begin{enumerate}
\item En moyenne, combien de temps attend ce supporter au guichet ?
\item Le supporter ne dispose que de 15 minutes avant le début du match pour acheter son billet.

Quelle est la probabilité qu'il puisse acheter son billet avant le début du match ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Des études statistiques ont montré que la probabilité qu'un enfant se réinscrive d'une année sur l'autre dans le même club de football est 0,6.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion d'enfants se réinscrivant d'une année sur l'autre pour un échantillon de $75$ enfants pris au hasard dans le même club de football.
\item 52 des 75 enfants du club de Claire veulent se réinscrire en septembre 2018.

La victoire de la France aux championnats du monde en 2018 a-t-elle eu un effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}

 \textsf{\textbf{\textsc{annexe 1}}}

\medskip

\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$D$}~}}
		{
\TR{\bleu{$C$}}
\TR{\bleu{$\overline{C}$}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{D}$}~}}
		{
\TR{~\bleu{$C$}}
\TR{~\bleu{$\overline{C}$}}
 		}
}
\end{center}


 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2019 (1)}} 

 \index{Centres étrangers 2019}
\emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. Les résultats approchés seront arrondis au millième.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip  

On s'intéresse à la clientèle d'un musée. 

Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l'acheter aux caisses du musée à son arrivée. 

Pour l'instant, la location d'un audioguide pour la visite n'est possible qu'aux caisses du musée. Le directeur s'interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que : 

\begin{itemize}
\item 70\,\% des clients achètent leur billet sur internet ; 
\item parmi les clients achetant leur billet sur internet, 35\,\% choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ; 
\item parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, 55\,\% choisissent une visite avec un audioguide. 
\end{itemize}

On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants : 

\begin{itemize}
\item $A$ : \og Le client choisit une visite avec un audioguide \fg{} ; 
\item $B$ : \og Le client achète son billet sur internet avant sa visite \fg. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à 0,41. 
\item On s'intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide. 

Si plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée. 

D'après les résultats de cette étude, que va décider le directeur ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

On s'intéresse désormais à la fréquentation de la boutique du musée. 

On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque visiteur, associe la durée en minutes passée dans la boutique. 

Une étude statistique a montré que la variable aléatoire $T$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma = 2$.


\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique ? 
\item Calculer $P\left(6 \leqslant T \leqslant 14\right)$. 
\item Déterminer une valeur approchée au dixième du nombre réel $a$ tel que $P\left(T\geqslant a\right) = 0,25$. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. 
\item Les recettes obtenues par la boutique ne sont pas jugées satisfaisantes ; celle-ci est donc réaménagée. Une étude menée suite à ce réaménagement montre que 25\,\% des visiteurs passent désormais au moins 15 minutes dans la boutique. 

Pour s'en assurer le gérant de la boutique constitue un échantillon aléatoire de 720 visiteurs. Il constate que 161 d'entre eux sont restés 15 minutes ou plus. 

Cet échantillon confirme-t-il les résultats de l'étude ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2019 (3)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2019}
\begin{center}
\emph{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.}

\emph{Les résultats seront arrondis au centième.}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Les cours d'eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou de pénurie d'eau.

Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d'une rivière.

Ce débit en mètre cube par seconde $\left(\mathrm{m}^3.\mathrm{s}^{-1}\right)$ peut être modélisé par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 15,5$ et $\sigma = 6$.

On estime qu'il y a pénurie d'eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à $8\,\mathrm{m}^3.\mathrm{s}^{-1}$.

On estime qu'il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à $26\,\mathrm{m}^3.\mathrm{s}^{-1}$.

Entre ces deux débits, il n'y a pas de vigilance particulière.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'il y ait pénurie d'eau.
\item Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas de vigilance particulière.
\item Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5\,\mathrm{m}^3.\mathrm{s}^{-1}$ et $27,5\,\mathrm{m}^3.\mathrm{s}^{-1}$ est d'environ $0,95$. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d'eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.

Un quart des relevés est effectué par l'équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.

On choisit 10 relevés au hasard sur l'ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à 10 tirages avec remise.
On s'intéresse au nombre de relevés effectués par l'équipe de Sébastien parmi ces 10 relevés.

\begin{enumerate}
\item Quelle loi de probabilité modélise cette situation ? Préciser les paramètres de cette loi.
\item Calculer la probabilité que 4 relevés exactement soient effectués par l'équipe de Sébastien.
\item Calculer la probabilité qu'au moins 2 relevés soient effectués par l'équipe de Sébastien.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l'eau: \og satisfaisante \fg{} ou \og non satisfaisante \fg . On s'intéresse à la proportion de relevés de qualité \og satisfaisante \fg . Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de $95\,\%$ dont l'amplitude est inférieure à $0,1$ ?


 \newpage 

\subsubsection[Liban 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2019 (4)}} 

 \index{Liban 2019}
\begin{center}
\emph{Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.}
\end{center}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie 1}}} 

\medskip

D'après un sondage sur la fréquence de rejet de produits polluants dans les canalisations, on estime que $72\,\%$ de la population est respectueuse de son environnement.

On interroge 300 personnes choisies au hasard pour savoir si elles jettent régulièrement des produits polluants dans les canalisations, ce qui permet de repérer des personnes respectueuses de leur environnement. On estime que la population est suffisamment grande pour que ce choix de 300 personnes soit assimilable à un tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes respectueuses de leur environnement dans un échantillon de 300 personnes choisies au hasard.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $X$? Justifier.
\item Calculer la probabilité que 190 personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
\item Calculer la probabilité qu'au moins 220 personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie 2}}} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation: $2x^2-7x-4 \geqslant 0$.
\item On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle $\left[ 0 ; 10 \right]$.
Calculer la probabilité que ce nombre soit solution de l'inéquation précédente.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie 3}}} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $2,3$ et d'écart-type  $0,11$.
 \begin{enumerate}
 \item Calculer $P(2,18 \leqslant Z \leqslant 2,42)$. Arrondir à $10^{-2}$.
 \item Calculer $P(Z\geqslant 2,25)$.  Arrondir à $10^{-2}$.
 \end{enumerate}

\item On suppose maintenant que $Z$ suit une loi normale d'espérance $2,3$ et d'écart-type $\sigma$.

Donner une valeur approchée de $\sigma$ pour que $P(2,18 \leqslant Z \leqslant 2,42) \approx 0,95$. Justifier.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2019 (3)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2019}
\begin{center}
\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}

\emph{Les résultats seront arrondis au centième.}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Lors d'un safari photo en Afrique, un groupe de touristes souhaite observer des familles d'éléphants. Le guide leur explique que :

\begin{itemize}
\item la probabilité de voir des éléphants adultes dans la journée est de $0,85$ ;
\item la probabilité de voir des bébés éléphants sachant que l'on voit des éléphants adultes est de $0,5$ ;
\item la probabilité d'observer des bébés éléphants mais pas d'adultes éléphants dans la journée est de $0,015$.
\end{itemize} 

On choisit au hasard un touriste de ce groupe et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $A$: \og Le touriste voit des éléphants adultes dans la journée \fg{};
\item $B$: \og Le touriste voit des bébés éléphants dans la journée \fg.
\end{itemize} 

\emph{Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.}

\begin{enumerate}
\item Donner $p\left (\overline{A}\cap B \right )$.
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l'exercice. 
\item Montrer que $p(B)=0,44$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{\overline{A}}(B)$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

À 20~h, le groupe de touristes fait une pause autour d'un point d'eau pour observer le bain des éléphants. On considère que le temps d'attente en minute nécessaire pour observer des éléphants suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;\,90]$

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le groupe attende plus d'une heure avant d'apercevoir les éléphants ?
\item Calculer l'heure moyenne d'arrivée des éléphants.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Lors de leur séjour, les touristes ont appris que les éléphants d'Afrique sont généralement plus grands que les éléphants d'Asie.

On modélise la taille en centimètre d'un éléphant d'Afrique par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$. De même, on modélise la taille en centimètre d'un éléphant d'Asie par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne $\mu'$ et d'écart type $\sigma'$.

Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ des densités de probabilité associées à $X$ et $Y$ sont données en \textsf{annexe 1}.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Associer chaque courbe $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ à sa variable aléatoire.
\item Donner une valeur approchée à la dizaine de l'espérance pour chacune d'entre elles.
\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement $p(X>330)$ et $p(Y>330)$ puis comparer ces deux probabilités.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer à l'aide de la calculatrice $p(Y>330)$ sachant que $\mu'=268$ et $\sigma'=50$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\bigskip
\begin{center}
\textsf{\textbf{\textsc{annexe 1}}}

\medskip

\psset{xunit=0.05cm, yunit=300cm,comma=true}
\begin{pspicture}(180,-0.002)(450,0.012)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\multido{\n=220+20}{12}{\psline[linecolor=gray,linewidth=.25pt](\n,0)(\n,0.012)}
\multido{\n=0.002+0.002}{5}{\psline[linecolor=gray,linewidth=.25pt](180,\n)(450,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=200,Dx=20,Dy=0.002]{->}(200,0)(182,-.0015)(450,0.012)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu,mue=330,sigma=50]{180}{450}\uput[u](330,0.008){\bleu $\mathcal{C}_1$}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=prune,mue=268,sigma=50,linestyle=dashed]{180}{450}\uput[u](268,0.008){\prune $\mathcal{C}_2$}
\end{pspicture}
\end{center}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2019 (2)}} 

 \index{Polynésie 2019}
\begin{center} \emph{Les parties sont indépendantes.} \end{center}

Une entreprise vend des téléviseurs.

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. 

Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.

L'étude indique que :


\begin{itemize}
\item  3\,\% des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci 2\,\% ont aussi un défaut sur le condensateur.
\item  5\,\% des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.
\end{itemize}


On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $D$ :\og le téléviseur a un défaut sur la dalle \fg{};
\item $C$ :\og le téléviseur a un défaut sur le condensateur\fg.
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item  Les résultats seront approchés si nécessaire à  $10^{-4}$  près.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer les trois données numériques de l'énoncé sous forme de probabilités.
		\item  Recopier l'arbre ci-dessous et  compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :

\medskip

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$D$}~}\naput{\bleu{\ldots}}}
		{
\TR{\bleu{$C$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{\bleu{$\overline{C}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{D}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$C$}}
\TR{~\bleu{$\overline{C}$}}
 		}
}
\end{center}		

\medskip

	\item  Calculer la probabilité $p\left(D \cap C\right)$ de l'évènement $D \cap C$.
	\item  Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu'il ait un défaut sur la dalle ?
	\item  La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle vaut \np{0,0494}. Justifier cette affirmation.
\end{enumerate}
\item  Les résultats seront approchés à  $10^{-2}$ près.

On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur prélevé, associe le temps exprimé en mois avant la première panne. On admet que $T$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 84$ et d'écart type $\sigma = 6$.
\begin{enumerate}
	\item Donner la probabilité qu'un téléviseur tombe en panne pour la première fois après 72 mois d'utilisation.
	\item  Quelle est la probabilité que la première panne arrive entre 6 années et 8 années d'utilisation.
	\item  Le téléviseur n'a pas eu de panne après 6 années d'utilisation. Quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 8 années d'utilisation ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Afin de satisfaire davantage de clients, l'entreprise décide d'apporter des améliorations à son service d'assistance. Après quelques mois de mise en place du nouveau service, elle affirme que 90\,\% des clients sont maintenant satisfaits. Un service de contrôle indépendant veut vérifier cette affirmation. Pour cela il interroge au hasard 300 clients. Parmi eux, 265 affirment être satisfaits.

Les résultats de cette étude remettent-ils en cause l'affirmation de l'entreprise ?

Justifier la réponse.


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{Q.C.M} 

\subsection{Q.C.M Analyse} 

 \subsubsection[Antilles Guyane septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2019 (1)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2019}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.} 

\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'équation $\ln 5 + \ln (x + 1) = 1$ a pour solution :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $x = \e- 6$ & \item  $x = - 1$ & \item  $x = \dfrac{1}{5}\e - 1$ & \item  $x = - 0,5$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 2\ln (x) - x$. Le nombre $f'(2)$ est égal à :
	\begin{enumerate}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
		\item $-1$ & \item $0$ & \item $2\ln 2 - 2$ & \item $2\ln 2 - 1$
		\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
\item  Le plus petit entier naturel $n$ solution de l'inéquation $2^n > 175$ est :
	\begin{enumerate}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
		\item $n = \ln \left(\dfrac{175}{2}\right)$ & \item $n = 7$ & \item $n = 8$ & \item $n = \ln 175 - \ln 2$
		\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
\item  Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3 ; - 1]$. On note $f'$ sa dérivée et $F$ une de ses primitives.
	
On sait que pour tout $x$ de l'intervalle $[-3 ; - 1]$, $f'(x) > 0$.
	
On peut affirmer que, sur l'intervalle $[-3 ; - 1]$, la fonction $F$ est :
	\begin{enumerate}

	\item décroissante ;  \item strictement croissante ;  \item convexe ;  \item négative.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{Q.C.M Analyse et Probabilités} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2019 (3)}} 

 \index{Amérique du Nord 2019}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,3$.\\
On peut affirmer que $P(X\geqslant 1)$ est égale à :


\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textbf{~A.} environ $0,972$     & \textbf{~B.} environ $0,999$ & \textbf{~C.} environ $0,121$     & \textbf{~D.} $\dfrac{3}{10}$\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item La variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[ 10 ; 40\right]$.

On peut affirmer que $P\left(15\leqslant T \leqslant 25\right)$ est égale à :


\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} \textbf{~A.} $\dfrac{2}{3}$     & \textbf{~B.} $\dfrac{1}{3}$ & \textbf{~C.} $\dfrac{3}{8}$     & \textbf{~D.} $\dfrac{5}{8}$\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item L'arrondi au centième de la somme $1+1,2+1,2^2 + 1,2^3 + \cdots + 1,2^{10}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textbf{~A.} $3,27$     & \textbf{~B.} $25,96$ & \textbf{~C.} $26,96$     & \textbf{~D.} $32,15$\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère la fonction $g$ deux fois dérivable sur $\left[ 0,1 ;  10 \right]$ par :\[g(x)=x^2\left ( 2 \ln(x) - 5\right )+2.\]

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textbf{~A.} $g$ est concave sur $\left[ 0,1 ; 10 \right]$     & \textbf{~B.} $g$ est concave sur $\left[ \e ; 10 \right]$\\\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textbf{~C.} $g$ est convexe sur $\left[ 0,1 ; 7 \right]$     & \textbf{~D.} $g$ est convexe sur $\left[ \e ; 10 \right]$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Amérique du Sud 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2019 (1)}} 

 \index{Amérique du Sud 2019}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.}

\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}

\emph{Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}



Pour les questions 1 et 2, on considère une entreprise qui produit des plaquettes de beurre de 250 grammes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La masse des plaquettes est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart type $\sigma = 1$.

Alors, à $10^{-3}$ près, on a :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
A. $P(X < 250) \approx 0,459$ & B. $P(X > 249) \approx 0,659$ & C. $P(X < 249) \approx 0,159$ &  D.  $P(X < 252) \approx 0,997$\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Pour être conformes, ces plaquettes de beurre doivent avoir une masse nette comprise entre $248$ et $252$ grammes.

Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de $900$ plaquettes et constate que $864$ sont conformes.

L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de $95\,\%$, de la proportion de plaquettes de beurre conformes est, avec les bornes données à $10^{-3}$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
A. $[0,91 ; 1,01]$ &     B.   $[0,926 ; 0,994]$ &   C.   $[0,245 ; 0,255]$ &    D.   $[0,958 ; 0,962]$\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Lors d'une tombola, les organisateurs affirment que $20\,\%$ des tickets sont gagnants. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la fréquence observée des tickets gagnants pour un échantillon de $200$ tickets tirés au hasard est, avec des valeurs approchées des bornes données à $10^{-3}$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}
\hline
  A.   $[0,150 ; 0,250]$ &     B.   $[0,195 ; 0,205]$ &  C.   $[0,182 ; 0,218]$ &    D.   $[0,144 ; 0,256]$\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 30]$ par : $f(x) = x^3 - 39x^2 + 315x + 45$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. On a alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
\hline
  A.   $f$ est convexe sur l'intervalle $[0 ; 30]$ & B.   $f$ est concave sur l'intervalle $[5 ; 21]$\\ \hline
  C.   $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 13 & D. Si $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$, alors $f'$ est croissante sur l'intervalle $[0 ; 5]$ et sur l'intervalle $[21 ; 30]$\\
\hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Asie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2019 (1)}} 

 \index{Asie 2019}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, un seule des quatre réponses proposées est exacte.}

Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\emph{Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\emph{Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.}

\begin{enumerate}

\item Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(20 ; 0,4)$.


\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\item $p(X=7) = 20\times 0,4^7$ & \item $p(X>4) = 0,98$ arrondie au centième \\
\item $p(X\leqslant 4) = 0,05$ arrondie au centième & \item $p(X\leqslant 7) = 0,25$ arrondie au centième
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item L'équation $\left ( \e^{x}\right )^2 = 3\e^{x}$ possède:

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\item une unique solution 3 & \item une unique solution $\ln(3)$ \\
\item deux solutions 0 et $\ln(3)$ & \item deux solutions 0 et 3
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}$.

Une autre expression de $f(x)$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{-x}$ & \item $f(x)= -x\e^{-x}$ & \item $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{x}$ & \item $f(x)= x \e^{-x}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale dont la densité de probabilité est représentée ci-contre. 

Sur le graphique, la surface grisée correspond à une probabilité de $0,95$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=0.6mm, yunit=60cm, arrowsize=2pt 3, algebraic=true}
\begin{pspicture}(155,-.01)(250,.035)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{1/(15*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-200)/15)^2)/2)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.25pt, linecolor=grisb]{170}{230}{\f} \gsave
\psline(230,0)(170,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](230,0)(230,.0036)\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](170,0)(170,.0036)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.01,Dx=10,Ox=200,comma]{->}(200,0)(155,0)(250,.035)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{155}{250}{\f}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

Une valeur approchée à $0,1$ près du nombre $\alpha$ tel que $p(X\geqslant \alpha)=0,1$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
\item $\alpha \approx 180,8$ & \item $\alpha \approx 212,6$ & \item $\alpha \approx 219,2$ & \item $\alpha \approx 238,4$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2019 (2)}} 

 \index{Centres étrangers 2019}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.}
 
\emph{Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.} 

\medskip

Un constructeur automobile commercialise un nouveau véhicule. Afin de le faire connaître, une campagne publicitaire est organisée. On étudie l'impact de cette campagne publicitaire dans une certaine région. 

\begin{enumerate}
\item On montre la publicité à \np{3000} habitants de cette région. Parmi eux, 817 la trouvent attractive. Un intervalle de confiance au seuil de 0,95 de la proportion d'habitants de la région trouvant que la publicité est attractive est (les bornes ont été arrondies à $10^{-3}$) : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}\hline
\textbf{A.~~} $[0,271 ; 0,273]$ & \textbf{B.~~} $[0,211 ; 0,333]$ & \textbf{C.~~} $[0,254 ; 0,333]$ & \textbf{D.~~} $[0,254 ; 0,291]$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans une ville de la région, sur une population de \np{4200} habitants, 36\,\% ont pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne. Le nombre d'habitants de cette ville ayant pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}\hline
\textbf{A.~~}\np{2688} &\textbf{B.~~} \np{1512} & \textbf{C.~~}\np{1167}&\textbf{D.~~} \np{4164}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Le premier jour de la campagne publicitaire, 150 habitants de la région ont pris connaissance de la publicité. Chaque jour, le nombre d'habitants de la région ayant pris connaissance de la publicité est multiplié par 2. 

On souhaite écrire un algorithme qui détermine le nombre de jours au bout desquels au moins \np{30000} habitants de la région auront pris connaissance de la publicité. 

Parmi ces algorithmes, quel est celui dont le contenu de la variable $N$, après exécution de l'algorithme, répond au problème ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}\hline
  \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{A.}}&  \multicolumn{1}{c|}{\textbf{B.}} &  \multicolumn{1}{c|}{\textbf{C.}}	& \multicolumn{1}{c|}{\textbf{D.}} \\  
$A \gets 150$ & $A \gets 150$ & $A \gets 150$ & $A \gets 150$ \\    
$N\gets 1 $ &   $N\gets 1$ & $N\gets 1 $ &   $N\gets 1$\\   
Tant que $A < \np{30000}$ & Tant que $A < \np{30000}$ & Tant que $A < \np{30000}$&   Tant que $A > \np{30000}$\\   
\hspace{1em}$A \gets 2A$ & \hspace{1em} $A \gets 2A$ & \hspace{1em}$A \gets 2A$ & \hspace{1em} $A \gets 2A$\\     
Fin Tant que & \hspace{1em}$N \gets N+1$  & Fin Tant que &\hspace{1em} $N \gets N+1$\\  
$N \gets N+1$ &Fin Tant que & & Fin Tant que\\ \hline   
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Dans une concession automobile de la région, le temps d'attente, exprimé en minutes, avant d'être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1 ; 10]$. 

Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu'il attende au moins 5 minutes avant d'être reçu par un conseiller commercial ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} \textbf{A.~~}0,4 &  \textbf{B.~~}0,5  & \textbf{C.~~}  $\dfrac{4}{9}$ & \textbf{D.~~} $\dfrac{5}{9}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}   
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2019 (1)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2019}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.}

Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\emph{Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-0,9x^3 + 1,5 x^2 + 1,5$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. Le nombre de points d'intersection entre la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $y=2$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item 0 & \item  1 & \item  2 & \item  3
\end{tabularx}
\end{enumerate}

 \medskip

\item Une des solutions de l'inéquation $1-0,85^n > 0,99$ d'inconnue $n$ entier naturel est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item 28 & \item  28 & \item  $\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}$ & \item  28,336
\end{tabularx}
\end{enumerate}

 \medskip

\item Esteban va à l'école chaque matin avec une trousse. À la fin de la journée, il oublie sa trousse avec une probabilité de $0,2$. Dans l'année le nombre de jours d'école est de 162.

On considère que les oublis journaliers sont indépendants les uns des autres.

La probabilité qu'il oublie sa trousse 30 fois exactement dans l'année est environ :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item 0,19 & \item  0,07 & \item  0,60 & \item  0,36
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Une enquête a pour objectif d'estimer la proportion de personnes partant en vacances à l'étranger durant la semaine de Noël. Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,001$ au niveau de confiance $0,95$ de cette proportion, la taille de l'échantillon doit être égale à :


\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item \np{4000000} & \item \np{1000} & \item \np{2000} & \item \np{1000000}
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2019 (1)}} 

 \index{Polynésie 2019}
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}

Pour répondre, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ d'expression $f(x) = - 1,5x^2 + x^2\ln (x)$.

La fonction dérivée de $f$ est donnée pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$ par :


\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\item $f'(x) = - x + \dfrac{1}{x}$ & \item $f'(x) = 2x\ln (x) - 2x$ \\ \item $f'(x) = - 3 x + 2$ & \item $f'(x) = - x \ln (x) - 0,5 x$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  Entre 2006 et 2018, dans un restaurant universitaire, le prix d'un repas est passé de 2 euros à 3,50~euros en augmentant chaque année de $x\,\%$. Parmi ces valeurs, la valeur la plus proche de $x$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item 6,25 &\item 4,77 & \item 14,58 & \item 0,85
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  Un adolescent joue à un jeu dont les parties successives sont indépendantes.

À chaque partie, il a une chance sur 25 de sortir vainqueur. Après 13 parties, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait gagné au moins une fois est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item 0,588 & \item 0,412 & \item 0,025 & \item 0,975
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item On considère une fonction $g$ définie sur $\R$, dont la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ est donnée ci-contre.

 La fonction $g$ admet une primitive sur $\R$ notée $G$.

La fonction $G$ est :
\begin{enumerate}
\item convexe sur l'intervalle $[-1 ; 5]$.

\item concave sur l'intervalle $[-1 ; 5]$.

\item croissante sur l'intervalle $[2 ; 5]$.

\item décroissante sur l'intervalle $[2 ; 5]$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=0.15cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-8,-13)(32,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-4*(x-5)*(x+1)/9}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=3](0,0)(-8,-13)(32,22)
\psset{unit=0.75cm}
\multido{\n=-1+1}{8}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](\n,-2.6)(\n,4.4)}
\multido{\n=-2+1}{7}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](-1.6,\n)(6.4,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.6,-2.6)(6.4,4.4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-1.6}{5.85}{\f}
\uput[ur](4,2.1){\bleu $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{Vrai - Faux} 

 \subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2019 (1)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2019}
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

\begin{enumerate}
\item \emph{Pour tout événement $E$, on note $\overline{E}$ l'événement contraire de $E$.}

On considère l'arbre pondéré suivant:

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$R$}~}\naput{0,7}}
		{
\TR{\bleu{$S$}}\naput{\bleu{0,4}}
\TR{\bleu{$\overline{S}$}}\nbput{\bleu{0,6}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{R}$}~}\nbput{\bleu{0,3}}}
		{
\TR{~\bleu{$S$}}\naput{\bleu{0,2}}
\TR{~\bleu{$\overline{S}$}}\nbput{\bleu{0,8}}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 1 :}} La probabilité de $\overline{R}$ sachant $S$ est $0,06$.

\medskip

\item Soit $k$ un réel tel que $0 \leqslant k < 18$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[k ; 18 \right]$. On suppose que l'espérance de $X$ est égale à 12.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 2 :}} La valeur de $k$ est 9.

\medskip

\item On considère l'équation suivante :\[\ln\left(x^2\right) - \ln \left( \dfrac{x^5}{\e}\right) + \ln(2) = \ln(2x) +5.\]


\textsf{\textsc{affirmation 3 :}} $\dfrac{1}{\e}$ est l'unique solution de cette équation.

\medskip

\item Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $\left[0 ; 15 \right]$. On suppose que sa fonction dérivée, notée $f'$, est continue sur $\left[0 ; 15 \right]$. Les variations de $f'$ sont représentées dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){0} \rput(6,2.6){5} \rput(10,2.6){15}
\rput(0.75,1.1){$f'(x)$} \rput(2,1.8){\rnode{A}{30}} \rput(6,.4){\rnode{B}{$-5$}} \rput(10,1.8){\rnode{C}{20}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 4 :}} La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 5 :}} La fonction $f$ est convexe sur $\left[5 ; 15 \right]$.

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019 (2)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019}
\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un laboratoire reçoit un lot de prélèvements sanguins et réalise des analyses sur ce lot. On choisit un prélèvement au hasard et on note $X$ la variable aléatoire égale au taux d'hémoglobine dans ce prélèvement. On admet que $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 12$.

\emph{Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité.}

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation A :}} $P(X > 14) = P(X < 11)$

\medskip

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 5\e^{-0,3x} + 1$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation B :}}  La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0 ; 5]$ est égale à $3,6$, arrondie au dixième.

\medskip

\item  Un comité d'entreprise souhaite mettre à disposition des salariés une salle de sport. Son directeur affirme qu'un tiers des employés serait intéressé par une telle salle. On réalise un sondage dans lequel on interroge $180$ employés au hasard, parmi lesquels $72$ se déclarent intéressés.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation C :}} Ce sondage remet en question l'affirmation du directeur.

\medskip


\item  

\begin{minipage}{0.5\linewidth}Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$, dont la courbe représentative est donnée ci-contre.

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation D :}} La fonction $F$ est convexe sur $[1 ; 3]$.

 \end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}\psset{unit=0.5cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-3,-6)(8,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{7*x^3/30-2*x^2+1.875*x+7}%
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-6)(8,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-6)(8,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-1.9507}{7.5867}{\f}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 1]$ par $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation E :}} $f$ est une fonction de densité sur $[0 ; 1]$.

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Liban 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2019 (1)}} 

 \index{Liban 2019}
\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}


\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $\left] 0 ; +\infty \right[$ par : $u(x)=3 \ln(x) -2x+1$.

Soit $\mathcal{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ dans un repère.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 1 :}} $y=x-2$ est l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_u$ au point d'abscisse 1.


\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ \e ; \e^2 \right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{\e^{2}} \ln(x)$.

On admet que la fonction $x \longmapsto x \ln(x) - x$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto \ln(x)$ sur l'intervalle $\left[ \e ; \e^2 \right]$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 2 :}} $f$ est une fonction de densité sur $\left[ \e ; \e^2 \right]$.

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=3\e^{-2x+1}$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 3 :}} La fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=-6\e^{-2x+1}+6$ est la primitive de $g$ qui s'annule en $\dfrac{1}{2}$.

\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ -8 ; -0,5 \right]$ par : $h(x)=\dfrac{4x+1}{x^2}$.

\medskip

\textsf{\textsc{affirmation 4 :}} La fonction $h$ est concave sur l'intervalle $\left[ -8 ; -0,75 \right]$.

\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{SPÉCIALITÉ} 

\subsection{GRAPHES} 

 \subsubsection[Amérique du Nord 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Nord 2019 (2)}} 

 \index{Amérique du Nord 2019}
\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Pour accéder à un local d'une petite entreprise, les employés doivent choisir un code reconnu par l'automate suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,radius=5pt,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(-.5,0)(12,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}

\cnodeput(8,1){3}{\bleu{3}} \cnodeput[doubleline=true](10,4){4}{\bleu{4}}
\cnodeput(1,4){1}{\bleu{1}} \cnodeput(6,5){2}{\bleu{2}}
\ncarc[arcangleA=-40,arcangleB=-40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{4}{2}\ncput*{\prune{$~c~$}}
\ncarc[arcangleA=-40,arcangleB=-40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{3}{4}\ncput*{\prune{$~b~$}}
\ncarc[arcangleA=30,arcangleB=30,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{2}{3}\ncput*{\prune{$~b~$}}
\ncarc[arcangleA=-30,arcangleB=-30,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{1}{3}\ncput*{\prune{$~b~$}}
\nccircle[angleA=180,ArrowInside=->,ArrowInsidePos=0.3]{->}{3}{4mm}\ncput*{\prune{$a$}}   
\ncline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{1}{2}\ncput*{\prune{$~b~$}}
\ncarc[arcangleA=30,arcangleB=30,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{1}{2}\ncput*{\prune{$~a~$}}
\ncarc[arcangleA=30,arcangleB=30,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{2}{1}\ncput*{\prune{$~c~$}}

\psline[linewidth=1mm,arrowsize=2pt 2,arrowinset=0]{->}(-.5,4)(0.7,4)
\end{pspicture}
\end{center}

Une succession de lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet $\pscirclebox{1}$ et en sortant au sommet $\pscirclebox{4}$.

Par exemple :
\begin{itemize}
\item le mot $bcbab$ est un mot reconnu par cet automate, et correspond au chemin 121334 ;
\item le mot $abac$ n'est pas reconnu par cet automate.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par cet automate ?\[ {abab},\,{abc},\, {abbcbb}\]

\item Recopier et compléter la matrice d'adjacence $M=
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}$
associée au graphe orienté dans laquelle les sommets sont rangés dans l'ordre croissant.

\item Un logiciel de calcul formel donne 
\[M^4=
\begin{pmatrix}
5 & 3 & 10 & 5\\
1 & 6 & 7 & 4 \\
1 & 3 & 4 & 2 \\
2 & 1 & 4 & 2
\end{pmatrix}
\qquad\text{et}\qquad
M^5=
\begin{pmatrix}
3 & 15 & 18 & 10\\
6 & 6 & 14 & 7\\
3 & 4 & 8 & 4\\
1 & 6 & 7 & 4
\end{pmatrix}
\]
Combien de mots de 4 lettres sont-ils reconnus par l'automate ? Justifier. Quels sont-ils ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans le graphe ci-après, on a fait figurer les distances routières, exprimées en kilomètre, entre certaines grandes villes de la région Auvergne-Rhône-Alpes.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}}
A: Aurillac & G: Grenoble\\
B: Bourg-en-Bresse & L: Lyon\\
C: Clermont-Ferrand & P: Le Puy-en-Velay\\
E: Saint-Étienne & V: Valence 
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.8cm,radius=5pt}
\begin{pspicture}(0.5,0.5)(9.5,7.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\textsf{
\cnodeput(1,3){A}{\bleu{A}} \cnodeput(8,7){B}{\bleu{B}} \cnodeput(4,5){C}{\bleu{C}}
\cnodeput(3,1){P}{\bleu{P}} \cnodeput(5,3){E}{\bleu{E}} \cnodeput(7,1){V}{\bleu{V}}
\cnodeput(7,4){L}{\bleu{L}} \cnodeput(9,5){G}{\bleu{G}}
\begin{footnotesize}
\ncline{P}{A}\ncput*{\prune{180}} \ncline{C}{A}\ncput*{\prune{160}} \ncline{C}{P}\ncput*{\prune{130}}
\ncline{C}{E}\ncput*{\prune{140}} \ncline{L}{C}\ncput*{\prune{180}} \ncline{L}{E}\ncput*{\prune{70}}
\ncline{E}{V}\ncput*{\prune{100}} \ncline{P}{V}\ncput*{\prune{100}} \ncline{L}{V}\ncput*{\prune{100}}
\ncline{V}{G}\ncput*{\prune{90}} \ncline{G}{L}\ncput*{\prune{110}} \ncline{B}{L}\ncput*{\prune{80}}
\ncline{G}{B}\ncput*{\prune{180}} \ncline{P}{E}\ncput*{\prune{80}}
\end{footnotesize}
}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Un technicien doit vérifier l'état des routes du réseau représenté par le graphe ci-dessus.
\begin{enumerate}
\item Peut-il parcourir l'ensemble du réseau en empruntant chaque route une et une seule fois ? Justifier la réponse.
\item Si un tel parcours est possible, préciser par quelle(s) ville(s) de ce réseau routier le technicien doit commencer sa vérification.
\end{enumerate}

\item Ayant terminé sa semaine de travail à Bourg-en-Bresse, le technicien souhaite retourner chez lui à Aurillac en faisant le moins de kilomètres possibles.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le plus court chemin entre les villes de Bourg-en-Bresse et Aurillac en empruntant le réseau routier.
\item La route entre Le Puy-en-Velay et Aurillac est fermée à la circulation. Quel chemin doit-il alors emprunter ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane septembre 2019 (2)}} 

 \index{Antilles Guyane septembre 2019}
Suite à des intempéries, un chasse-neige doit déblayer toutes les routes reliant les stations de son secteur. On modélise ce secteur par le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les différentes stations désignées par des lettres. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, du chasse-neige entre deux stations.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9.5,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\rput(2,2){\dotnode{A}{\uput[d](0,0){\bleu{A}}}}
\rput(3,6){\dotnode{B}{\uput[u](0,0){\bleu{B}}}}
\rput(7,6){\dotnode{C}{\uput[u](0,0){\bleu{C}}}}
\rput(9,5){\dotnode{D}{\uput[u](0,0){\bleu{D}}}}
\rput(6,.5){\dotnode{E}{\uput[d](0,0){\bleu{E}}}}
\rput(9,2){\dotnode{F}{\uput[r](0,0){\bleu{F}}}}
\rput(.5,4){\dotnode{G}{\uput[l](0,0){\bleu{G}}}}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{A}{G}\ncput*{\textsf{\prune 14}} \ncline{G}{B}\ncput*{\textsf{\prune 38}}\ncline{B}{A}\ncput*{\textsf{\prune 43}}\ncline{A}{F}\ncput*{\textsf{\prune 92}}\ncline{F}{E}\ncput*{\textsf{\prune 23}}\ncline{E}{C}\ncput*[npos=.4]{\textsf{\prune 77}}\ncline{C}{F}\ncput*[npos=.4]{\textsf{\prune 37}}\ncline{F}{D}\ncput*{\textsf{\prune 17}}\ncline{D}{E}\ncput*[npos=.6]{\textsf{\prune 62}} \ncline{E}{A}\ncput*{\textsf{\prune 35}}\ncline{A}{C}\ncput*{\textsf{\prune 64}}\ncline{C}{B}\ncput*{\textsf{\prune 46}}\ncline{B}{F}\ncput*{\textsf{\prune 74}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le chasse-neige part de la station G. Peut-il partir de cette station et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes, matérialisées par les arêtes de ce graphe ?
\item  Une saleuse doit de même parcourir l'ensemble des routes du secteur après déblaiement de la neige. Elle est garée à la station A et, après son travail, peut se garer dans n'importe quelle station. 

Peut-elle parcourir une et une seule fois chacune des routes pour traiter l'ensemble du secteur ?
\item  On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique et on donne : $M^4 = \begin{pmatrix}
61 &48 &52 &28 &45 &55 &24\\
48 &44 &41 &21 &42 &45 &20\\
52 &41 &50 &25 &41 &52 &25\\
28 &21 &25 &15 &20 &24 &10\\
45 &42 &41 &20 &44 &48 &21\\
55 &45 &52 &24 &48 &61 &28\\
24 &20 &25 &\text{\textbf{10}} & 21 &28 &15
\end{pmatrix}$.

Interpréter dans le contexte de l'exercice le nombre $10$ figurant en caractère gras  dans la matrice.
\item  Déterminer, pour le chasse-neige, le chemin le plus rapide pour aller de la station G à la station D. On donnera le parcours trouvé ainsi que sa durée totale.
\item  Le conducteur du chasse-neige part de la station G et va directement à la station A.

Il apprend alors que la route allant de la station E à la station F est barrée. 

Comment peut-il terminer son parcours au plus vite jusqu'à la station D ? Préciser le temps qu'il mettrait alors pour finir son parcours.

Aucune justification n'est attendue ici.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Asie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Asie 2019 (3)}} 

 \index{Asie 2019}
\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip


Une compagnie aérienne a représenté à l'aide d'un graphe les différentes liaisons assurées par ses avions.
Les sommets du graphe sont les initiales des aéroports desservis et les arêtes correspondent aux vols effectués par un avion de cette compagnie entre deux aéroports.

Par exemple, l'arête entre A et G signifie qu'un avion effectue le vol entre les aéroports A et G, en partant de A vers G ou en partant de G vers A.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,8.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\rput(2,7.5){\dotnode{A}{\uput[u](0,0){\bleu{A}}}}
\rput(4.5,8){\dotnode{B}{\uput[u](0,0){\bleu{B}}}}
\rput(7.5,7){\dotnode{C}{\uput[u](0,0){\bleu{C}}}}
\rput(8.5,5){\dotnode{F}{\uput[r](0,0){\bleu{F}}}}
\rput(8,2.5){\dotnode{G}{\uput[r](0,0){\bleu{G}}}}
\rput(6,1){\dotnode{L}{\uput[d](0,0){\bleu{L}}}}
\rput(3,0){\dotnode{M}{\uput[d](0,0){\bleu{M}}}}
\rput(.5,1.5){\dotnode{P}{\uput[d](0,0){\bleu{P}}}}
\rput(0,5){\dotnode{V}{\uput[l](0,0){\bleu{V}}}}
\end{footnotesize}
\ncline{V}{B} \ncline{B}{P}\ncline{P}{G}\ncline{G}{F}\ncline{F}{P}\ncline{P}{V}\ncline{V}{A}\ncline{A}{M} \ncline{M}{L} \ncline{L}{F}
\ncline{F}{C}\ncline{C}{M}\ncline{M}{B}\ncline{B}{A}\ncline{A}{G}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le graphe est-il complet ?

Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

\item On note $M$ la matrice d'adjacence du graphe ci-dessus en classant les sommets par ordre alphabétique. Compléter les deux lignes manquantes de la matrice $M$ donnée en  annexe 2.
\item La compagnie souhaite qu'un avion partant de l'aéroport F effectue 3 vols avant d'arriver à l'aéroport B. À l'aide de la matrice $M^3$ donnée ci-après, déterminer le nombre de trajets possibles.\[M^3=
\begin{pmatrix}
4 & 9 & 2 & 5 & 8 & 2 & 8 & 4 & 9\\
9 & 6 & 2 & 5 & 4 & 2 & 8 & 9 & 7\\
2 & 2 & 0 & 6 & 2 & 0 & 6 & 2 & 3\\
5 & 5 & 6 & 2 & 6 & 6 & 2 & 7 & 3\\
8 & 4 & 2 & 6 & 2 & 2 & 4 & 8 & 3\\
2 & 2 & 0 & 6 & 2 & 0 & 6 & 2 & 3\\
8 & 8 & 6 & 2 & 4 & 6 & 2 & 6 & 3\\
4 & 9 & 2 & 7 & 8 & 2 & 6 & 4 & 8\\
9 & 7 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 8 & 4
\end{pmatrix}\]

\item L'entreprise souhaite qu'un même avion puisse parcourir successivement une fois et une seule chaque liaison.

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'un avion peut le faire et préciser les aéroports de départ et d'arrivée possibles.
\item Lors de ce trajet, combien de fois cet avion doit-il se poser à l'aéroport P ?

Expliquer la réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Sur le graphe ci-dessous sont indiqués les différents temps de vol en heure entre deux aéroports.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,8.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\rput(2,7.5){\dotnode{A}{\uput[u](0,0){\bleu{A}}}}
\rput(4.5,8){\dotnode{B}{\uput[u](0,0){\bleu{B}}}}
\rput(7.5,7){\dotnode{C}{\uput[u](0,0){\bleu{C}}}}
\rput(8.5,5){\dotnode{F}{\uput[r](0,0){\bleu{F}}}}
\rput(8,2.5){\dotnode{G}{\uput[r](0,0){\bleu{G}}}}
\rput(6,1){\dotnode{L}{\uput[d](0,0){\bleu{L}}}}
\rput(3,0){\dotnode{M}{\uput[d](0,0){\bleu{M}}}}
\rput(.5,1.5){\dotnode{P}{\uput[d](0,0){\bleu{P}}}}
\rput(0,5){\dotnode{V}{\uput[l](0,0){\bleu{V}}}}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{V}{B}\ncput*[npos=.54]{\textsf{\prune 2}} \ncline{B}{P}\ncput*[npos=.65]{\textsf{\prune 4}}\ncline{P}{G}\ncput*[npos=.6]{\textsf{\prune 2}}\ncline{G}{F}\ncput*{\textsf{\prune 6}}\ncline{F}{P}\ncput*{\textsf{\prune 6}}\ncline{P}{V}\ncput*{\textsf{\prune 4}}\ncline{V}{A}\ncput*{\textsf{\prune 1}}\ncline{A}{M}\ncput*{\textsf{\prune 5}}\ncline{M}{L}\ncput*{\textsf{\prune 1}} \ncline{L}{F}\ncput*[npos=.43]{\textsf{\prune 4}}\ncline{F}{C}\ncput*{\textsf{\prune 3}}\ncline{C}{M}\ncput*[npos=.25]{\textsf{\prune 4}}\ncline{M}{B}\ncput*{\textsf{\prune 2}}\ncline{B}{A}\ncput*{\textsf{\prune 2}}\ncline{A}{G}\ncput*{\textsf{\prune 4}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}

Un client souhaite utiliser une offre promotionnelle de cette compagnie pour voyager de l'aéroport V jusqu'à l'aéroport F. Combien d'heures de vol doit-il envisager au minimum ?

Préciser le trajet.

\bigskip

\begin{center}

 \textsf{\textbf{\textsc{annexe 2}}}

\[M=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\]

\end{center}


 \newpage 

\subsubsection[Centres étrangers 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Centres étrangers 2019 (3)}} 

 \index{Centres étrangers 2019}
Un restaurateur se fournit auprès de 5 producteurs locaux. Le graphe ci-dessous représente la situation géographique du restaurateur et de ses fournisseurs, les arêtes correspondant au réseau routier et les sommets aux producteurs: 

\medskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.75cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(6.5,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\rput(2,4){\dotnode{E}{\uput[u](0,0){\bleu{E}}}}
\rput(2,0){\dotnode{F}{\uput[d](0,0){\bleu{F}}}}
\rput(0,1.5){\dotnode{M}{\uput[l](0,0){\bleu{M}}}}
\rput(4,2.5){\dotnode{P}{\uput[u](0,0){\bleu{P}}}}
\rput(6,4){\dotnode{R}{\uput[u](0,0){\bleu{R}}}}
\rput(5.5,0.5){\dotnode{V}{\uput[d](0,0){\bleu{V}}}}
\end{footnotesize}
\ncline{R}{P} \ncline{P}{E}\ncline{E}{M}\ncline{M}{F}\ncline{F}{E}\ncline{E}{R}\ncline{R}{V}\ncline{V}{P} \ncline{P}{F} \ncline{F}{V}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10cm}

Légende :
   
 E : éleveur   
 
 F : fromager   

M : maraîcher
   
P : pisciculteur   

R : \textbf{restaurateur} 
  
 V: vigneron 

\end{minipage}



\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe est-il complet? Justifier la réponse. 
		\item Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse. 
	\end{enumerate}
\item Est-il possible pour le restaurateur d'organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant et en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse. 

Si oui, préciser le point d'arrivée et proposer un tel parcours. 
\item On appelle $N$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe, les sommets étant  pris dans l'ordre alphabétique.             
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $N$.             
 
		\item On donne la matrice $N^3 = \begin{pmatrix}  6   &10   &6   &10   &9   & 5\\   
10   &6   &6  & 10   &5  & 9 \\
6&  6&2   &4   &4  & 4\\   
10   &10&4   &8  & 8  & 8\\   
9  & 5   &4   &8   &4   &8\\   
5  & 9   &4   &8   &8   &4
\end{pmatrix}$

Déterminer, en justifiant la réponse, le nombre de chemins de longueur 3 reliant l'éleveur au vigneron. 
	\end{enumerate}
\item Les arêtes du graphe sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètre, entre les différents lieux: 

\begin{center}
\psset{xunit=.75cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(6.5,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\rput(2,4){\dotnode{E}{\uput[u](0,0){\bleu{E}}}}
\rput(2,0){\dotnode{F}{\uput[d](0,0){\bleu{F}}}}
\rput(0,1.5){\dotnode{M}{\uput[l](0,0){\bleu{M}}}}
\rput(4,2.5){\dotnode{P}{\uput[u](0,0){\bleu{P}}}}
\rput(6,4){\dotnode{R}{\uput[u](0,0){\bleu{R}}}}
\rput(5.5,0.5){\dotnode{V}{\uput[d](0,0){\bleu{V}}}}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{R}{P}\ncput*{\textsf{\prune 4}} \ncline{P}{E}\ncput*{\textsf{\prune 3}}\ncline{E}{M} \ncput*{\textsf{\prune 8}}\ncline{M}{F}\ncput*{\textsf{\prune 2}}\ncline{F}{E}\ncput*{\textsf{\prune 6}} \ncline{E}{R}\ncput*{\textsf{\prune 5}}\ncline{R}{V}\ncput*{\textsf{\prune 10}} \ncline{V}{P}\ncput*{\textsf{\prune 5}} \ncline{P}{F}\ncput*{\textsf{\prune 7}} \ncline{F}{V}\ncput*{\textsf{\prune 1}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}


Le restaurateur doit se rendre chez le maraîcher en partant de chez lui. Quel est le plus court chemin pour effectuer ce trajet? Justifier la réponse à l'aide d'un algorithme. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion septembre 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019 (4)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion septembre 2019}
Deux amis, Louisa et Antoine, passent la journée dans un parc d'attraction.

\medskip

Le plan du parc est donné par le graphe $\Gamma$ ci-dessous. Les arêtes de ce graphe représentent les allées du parc et les sommets correspondent aux intersections de ces allées. On a pondéré les arêtes de ce graphe par les temps de parcours en minutes.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\cnodeput(0.5,5){F}{\bleu F} \cnodeput(0.5,0.5){E}{\bleu E}
 \cnodeput(1.75,3){G}{\bleu G} 
\cnodeput(5.4,5.7){J}{\bleu J} \cnodeput(4.5,0.3){H}{\bleu H} \cnodeput(8,3.5){M}{\bleu M} 
\cnodeput(6,1.7){L}{\bleu L} \cnodeput(11,6.5){N}{\bleu N} \cnodeput(11.5,3){K}{\bleu K} 
\cnodeput(8.5,0.2){I}{\bleu I}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{E}{F}\ncput*{\textsf{\prune 5}} 
\ncline{F}{J}\ncput*{\textsf{\prune 7}}\ncline{F}{G}\ncput*{\textsf{\prune 4}}
\ncline{E}{G}\ncput*{\textsf{\prune 3}}\ncline{G}{J}\ncput*{\textsf{\prune 6}}\ncline{G}{H}\ncput*{\textsf{\prune 2}}
\ncline{G}{M}\ncput*{\textsf{\prune 8}}\ncline{J}{M}\ncput*{\textsf{\prune 3}}\ncline{N}{J}\ncput*{\textsf{\prune 8}}
\ncline{E}{H}\ncput*{\textsf{\prune 6}}\ncline{H}{L}\ncput*{\textsf{\prune 4}}\ncline{H}{I}\ncput*{\textsf{\prune 7}}
\ncline{J}{M}\ncput*{\textsf{\prune 3}}\ncline{L}{M}\ncput*{\textsf{\prune 1}}\ncline{M}{N}\ncput*{\textsf{\prune 5}}
\ncline{J}{N}\ncput*{\textsf{\prune 8}}\ncline{K}{N}\ncput*{\textsf{\prune 4}}
\ncline{L}{K}\ncput*{\textsf{\prune 6}}\ncline{I}{K}\ncput*{\textsf{\prune 5}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le graphe est-il connexe ? Justifier.
\item  Antoine prétend avoir trouvé un itinéraire permettant d'emprunter chaque allée
une et une seule fois mais Louisa lui répond que c'est impossible.

Lequel des deux a raison ? Justifier la réponse.
\item  On considère la matrice $M$ ci-dessous ($a$, $b$ et $c$ sont des entiers). \[M = \begin{pmatrix} 
0 &1 &1 &1 &a &0 &0 &0 &0 	&0\\
1 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &0 	&0 	&0\\
1 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &0 	&1 	&0\\
1 &0 &1& 0 &1 &0 &0 &1 	&0 	&0\\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &c &0 	&0	&0\\
0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 	&1 	&1\\
0 &0 &0 &0 &b &0 &0 &1 	&0 	&1\\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 	&1 	&0\\
0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &1 	&0 	&1\\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 	&1 	&0\\
\end{pmatrix}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les entiers $a$, $b$ et $c$ pour que la matrice $M$ représente la matrice d'adjacence associée au graphe $\Gamma$, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.
\end{enumerate}
Soit $S$ la matrice définie par : $S = M + M^2 + M^3$.

On admet que : \[M^3 = \begin{pmatrix}
4	&7	&8	&7	&1	&4&2	&2	&5	&3\\
7	&4	&9	&3	&2	&8	&1	&4	&4	&3\\
8 	&9 	&8 	&10 &1 	&10	& 5 &2 	&11 &3\\
7 	&3 	&10 &2 	&6 	&5 	&0 	&8 	&2 	&5\\
1 & 2 &1	&6	&0	&2	&5	&0	&4	&0\\
4 	&8 	&10 &5 	&2 	&6 	&2 	&4 	&8 	&7\\
2	&1	&5	&0	&5	&2	&0	&7	&1	&6\\
2	&4	&2	&8	&0	&4	&7	&0	&8	&1\\
5 	&4 	&11 &2 	&4 	&8 	&1 	&8 	&4 	&8\\
3	&3	&3	&5	&0	&7	&6	&1	&8	&2\\
\end{pmatrix}\:\text{ et }\:S = \begin{pmatrix} 
7	&9	&11	&9	&2	&6	&2	&3	&6	&3\\
9 	&7 	&12 &5 	&2	&10 &1 	&4 	&6	&4\\
11 	&12 &13 &12 &2	&13 &5 	&4 	&13	&5\\
9	&5	&12	&6	&7	&6	&2	&9	&4	&5\\
2	&2	&2	&7	&2	&2	&6	&2	&4	&1\\
6 	&10 &13	&6	&2	&10	&3	&5	&11	&9\\
2 	&1 	&5	&2	&6	&3	&3	&8	&3	&7\\
3	&4	&4	&9 	&2 	&5 	&8 	&3 	&9	&3\\
6 	&6 	&13	&4 	&4 	&11 &3 	&9 	&8	&10\\
3	&4	&5	&5 	&1 	&9 	&7 	&3 	&10	&5\\
\end{pmatrix}\]

\begin{enumerate}
\setcounter{enumii}{1}
		\item Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant F à L.
		
Préciser ces chemins.
		\item Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 partant de
E.
		\item Que signifie le coefficient à l'intersection de la première ligne et de la
troisième colonne de $S$ ?
	\end{enumerate}
\item  Un défilé part tous les jours à $14$ h du sommet N. Louisa et Antoine choisissent
de déjeuner dans un restaurant situé au sommet E avant d'aller admirer le
défilé.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'un algorithme, déterminer le chemin que doivent emprunter
Louisa et Antoine pour se rendre du restaurant au départ du défilé le plus
rapidement.
		\item À quelle heure au plus tard doivent-ils quitter le restaurant pour assister au
début du défilé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{GRAPHES PROBABILISTES} 

 \subsubsection[Amérique du Sud 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Amérique du Sud 2019 (3)}} 

 \index{Amérique du Sud 2019}
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une course cyclosportive propose deux parcours: un grand de 130 kilomètres et un petit de 70 kilomètres.

L'étude ci-après porte sur les cyclistes fidèles qui participent tous les ans à cette épreuve.


En 2018, $42\,\%$ des cyclistes ont fait le grand parcours, les autres le petit.

Ces dernières années, les organisateurs ont constaté que :

\begin {itemize}
\item $90\,\%$ des cyclistes ayant fait le grand parcours une année se réinscrivent pour ce même parcours l'année suivante; les autres s'inscrivent pour faire le petit parcours.
\item $15\,\%$ des cyclistes ayant fait le petit parcours une année s'inscrivent sur le grand parcours l'année suivante; les autres restent fidèles au petit parcours.
\end {itemize}

On note G l'état: \og le cycliste fait le grand parcours\fg{}, S l'état: \og le cycliste fait le petit parcours\fg{} et $P_n = \begin{pmatrix} g_n & s_n\end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne donnant la probabilité, pour un cycliste, de participer respectivement au grand et au petit parcours lors de la course de l'année $(2018 + n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets G et S.
\item Recopier et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre des sommets G puis S : $M= \begin{pmatrix} 0,9 & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{pmatrix}$.
\item  Déterminer l'état initial $P_0$ et l'état $P_1$.

En déduire le pourcentage de cyclistes qui, selon ce modèle, participeront au grand parcours en 2019.

\item  On note $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ la matrice associée à l'état stable de ce graphe.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $x$ et $y$ en résolvant un système.
		\item Selon ce modèle, peut-on dire qu'à long terme le grand parcours aura plus de succès que le petit ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Au village départ de cette course cyclosportive, les différents stands présents sont :

\begin {itemize}
\item le stand des vélos de routes (R),
\item le stand des VTT (T),
\item le stand des BMX (B),
\item le stand de l'habillement (H),
\item le stand des compteurs et GPS (C),
\item le stand des accessoires et pièces détachées (A).
\end {itemize}

Le graphe ci-dessous représente le plan du village départ : les sommets correspondent aux stands et les arêtes aux allées qui les relient.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.8cm,radius=5pt}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\textsf{
\cnodeput(1,2){H}{\bleu{H}}
\cnodeput(1,6){B}{\bleu{B}}
\cnodeput(4,6){R}{\bleu{R}}
\cnodeput(3,0){C}{\bleu{C}}
\cnodeput(5.5,0.5){A}{\bleu{A}}
\cnodeput(5.5,4.5){T}{\bleu{T}}}
\ncline{T}{A} \ncline{A}{R} \ncline{R}{T} \ncline{T}{H} \ncline{H}{A}
\ncline{A}{C} \ncline{C}{R} \ncline{R}{B} \ncline{B}{H} \ncline{H}{C}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Ce graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier les réponses.
\item  Un cycliste peut-il visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune des allées ? Justifier la réponse. Si oui, donner un trajet possible en précisant le stand de départ et celui d'arrivée.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Antilles Guyane 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2019 (2)}} 

 \index{Antilles Guyane 2019}
La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l'avenir, au moins 70\,\% de la population des 12-18~ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10\,\% des possesseurs de  la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30\,\% de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même
pour les prochaines années.

En 2018, 80\,\% des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

On note, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année $2018+ n$, et $b_n$ la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l'état \og posséder une carte jeune \fg{} et B l'état \og ne pas posséder une carte jeune \fg.
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $a_2 = 0,552$ et $b_2 = 0,448$.
		\item Interpréter le coefficient $0,552$ dans le contexte de l'énoncé.
 	\end{enumerate}
\item  On note $a$ et $b$ les coefficients de la matrice $P$ correspondant à l'état stable de ce graphe.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\begin{cases}
- 0,1a + 0,3b=0 \\
a+b=1
\end{cases}$.
		\item Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On admet que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,6 a_n + 0,3$ et que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.


\begin{enumerate}
\item On donne l'algorithme suivant dans lequel $A$ est un nombre réel et $N$ est un entier naturel.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$A \gets 0,2$

$N \gets 0$

Tant que \ldots faire

\begin{itemize}
\item[] $A$ prend la valeur \ldots
\item[] $N$ prend la valeur \ldots
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}


Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu'au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
\item  En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2019]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2019 (2)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2019}
Pour se rendre à l'université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l'un passant par les routes départementales, l'autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires.

Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu'elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de 0,6.

Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu'elle emprunte la voie rapide le lendemain est de 0,2.

Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.

On note :

\begin{itemize}
\item $D$ l'événement \og Julie emprunte les routes départementales \fg{};
\item $R$ l'événement \og Julie emprunte la voie rapide \fg .  
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Traduire ces informations à l'aide d'un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $D$ et $R$.
\item Donner la matrice de transition $M$ correspondant au graphe probabiliste. Les sommets du graphe seront rangés dans l'ordre alphabétique.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, l'état probabiliste le $n$-ième jour est défini par la matrice $P_n = \begin{pmatrix} d_n & r_n \end{pmatrix}$
où $d_n$ désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $n$-ième jour et $r_n$ la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le $n$-ième jour.

\begin{enumerate}
\item Donner $P_1$.
\item Calculer $M^2$ et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $3\ieme$ jour.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et en déduire les expressions de $d_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de $d_n$ et $r_n$.
\item Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes $d_3$ et $r_3$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|}\hline
\centering{\textsf{Algorithme 1}} & \centering{\textsf{Algorithme 2}} & \multicolumn{1}{c|}{\textsf{Algorithme 3}} \\ \hline
$D \leftarrow 0$ & $D \leftarrow 0$ & $D \leftarrow 0$\\
$R \leftarrow 1$ & $R \leftarrow 1$ & $R \leftarrow 1$\\
Pour $N$ allant de 1 à 3 & Pour $N$ allant de 1 à 3 & Pour $N$ allant de 2 à 3\\
\hspace*{0.5cm} $D\leftarrow 0,8 D + 0,4 R$ & \hspace*{0.5cm} $D\leftarrow 0,8 D + 0,4 R$ & \hspace*{0.5cm} $D\leftarrow 0,8 D + 0,4 R$\\
\hspace*{0.5cm} $R\leftarrow 0,2 D + 0,6 R$ & \hspace*{0.5cm} $R\leftarrow 1-D$ & \hspace*{0.5cm} $R\leftarrow 1-D$ \\
Fin Pour & Fin Pour  & Fin Pour \\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1}=0,4 r_n + 0,2$.

\item On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=r_n-\dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_1$.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul :\[r_n=\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{3}\times 0,4^{n}.\]

\item Que peut-on prévoir à long terme ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Liban 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Liban 2019 (2)}} 

 \index{Liban 2019}
\textsf {\textbf{\textsc{partie 1}}} 

\medskip

Les clients d'un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours.
En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats: plat A, plat B et plat C.

\medskip

D'un jour à l'autre, il constate que :

\begin{itemize}
\item Parmi les clients ayant choisi le plat A : $30\,\%$ reprennent le plat A le lendemain, $50\,\%$ prennent le plat B le lendemain.
\item Parmi les clients ayant choisi le plat B : $30\,\%$ reprennent le plat B le lendemain, $60\,\%$ prennent le plat A le lendemain.
\item Parmi les clients ayant choisi le plat C : $35\,\%$ reprennent le plat A le lendemain, $45\,\%$ prennent le plat B le lendemain.
\end{itemize}

On note pour tout entier $n$ non nul :

\begin{itemize}
\item $a_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat A le $n$-ième jour ;
\item $b_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat B le $n$-ième jour ;
\item $c_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat C le $n$-ième jour.
\end{itemize}

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $P_n=\begin{pmatrix} a_n &  b_n & c_n \end{pmatrix}$ l'état probabiliste le $n$-ième jour.

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
\item Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
\item Le restaurateur a noté que le premier jour $35,5\,\%$ des clients ont pris le plat A, $40,5\,\%$ ont pris le plat B et $24\,\%$ ont pris le plat C.

Calculer $P_2$.
\item Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ $15,9\,\%$.

A-t-il raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie 2}}} 

\medskip

Pour le dîner, le restaurateur décide de proposer des livraisons à domicile. Il fait un essai avec huit clients.

Sur le graphe ci-dessous, les sommets représentent les différents lieux d'habitation de ces huit clients. Les arêtes représentent les rues et les valeurs indiquent les durées moyennes des trajets exprimées en minutes.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0.5)(10.5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{unit=1.2cm,radius=0.1cm,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\Cnode*(1,4){H1} \uput[l](H1){\bleu{$\mathrm{H}_1$}} \Cnode*(3,5){H2} \uput[u](H2){\bleu{$\mathrm{H}_2$}}
\Cnode*(5,3){H3} \uput[dl](H3){\bleu{$\mathrm{H}_3$}} \Cnode*(3,2){H4} \uput[d](H4){\bleu{$\mathrm{H}_4$}}
\Cnode*(7,1){H5} \uput[dr](H5){\bleu{$\mathrm{H}_5$}} \Cnode*(7.5,5){H6} \uput[u](H6){\bleu{$\mathrm{H}_6$}}
\Cnode*(9,4){H7} \uput[ur](H7){\bleu{$\mathrm{H}_7$}} \Cnode*(10,2){H8} \uput[r](H8){\bleu{$\mathrm{H}_8$}}
\ncline{H1}{H2}\ncput*{\textsf{\prune 9}} \ncline{H1}{H3}\ncput*{\textsf{\prune 16}} \ncline{H1}{H4}\ncput*{\textsf{\prune 8}}
\ncline{H2}{H6}\ncput*{\textsf{\prune 17}} \ncline{H2}{H7}\ncput*{\textsf{\prune 11}} \ncline{H2}{H3}\ncput*{\textsf{\prune 23}}
\ncline{H6}{H3}\ncput*{\textsf{\prune 5}} \ncline{H6}{H7}\ncput*{\textsf{\prune 7}} \ncline{H3}{H7}\ncput*{\textsf{\prune 4}}
\ncline{H4}{H5}\ncput*{\textsf{\prune 15}} \ncline{H5}{H3}\ncput*{\textsf{\prune 7}}
\ncline{H3}{H8}\ncput*{\textsf{\prune 28}}  \ncline{H7}{H8}\ncput*{\textsf{\prune 9}} 
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes en justifiant.
\begin{enumerate}
\item Existe-t-il un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois ?
\item Un tel parcours peut-il partir de $\mathrm{H}_1$ et y revenir ?
\end{enumerate}
\item En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le temps minimal pour aller de $\mathrm{H}_4$ vers $\mathrm{H}_8$.
Préciser le trajet correspondant.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2019 (2)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2019}
\begin{center}
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Sur son lieu de vacances d'été, Inaé décide de pratiquer son activité favorite: le vélo tout terrain (VTT). Le plan des sentiers VTT de la région est représenté par le graphe ci-dessous

Les arêtes représentent les sentiers, les sommets représentent les intersections de ces sentiers et le poids des arêtes désigne la distance en km entre chaque intersection.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\dotnode(0.5,4){A}      \uput[l](A){\bleu A}
\dotnode(3,6.5){B}     \uput[u](B){\bleu B}
\dotnode(6.5,6){C}  \uput[70](C){\bleu C}
\dotnode(9,4.5){D}    \uput[ur](D){\bleu D}
\dotnode(4.5,3.5){E}     \uput[ul](E){\bleu E}
\dotnode(6,2.5){F}  \uput[ul](F){\bleu F}
\dotnode(3.5,1.5){G}  \uput[dl](G){\bleu G}
\dotnode(7,0.5){H}  \uput[d](H){\bleu H}
\dotnode(10,2){I}  \uput[r](I){\bleu I}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{A}{B}\ncput*{\textsf{\prune 5}}
\ncline{A}{C}\ncput*{\textsf{\prune 8}}
\ncline{A}{D}\ncput*{\textsf{\prune 12}}
\ncline{A}{G}\ncput*{\textsf{\prune 8}}
\ncline{B}{C}\ncput*{\textsf{\prune 2}}
\ncline{C}{D}\ncput*{\textsf{\prune 5}}
\ncline{C}{F}\ncput*[npos=0.2]{\textsf{\prune 2}}
\ncline{D}{E}\ncput*[npos=0.8]{\textsf{\prune 6}}
\ncline{D}{F}\ncput*{\textsf{\prune 2}}
\ncline{D}{H}\ncput*{\textsf{\prune 1}}
\ncline{D}{I}\ncput*{\textsf{\prune 7}}
\ncline{E}{G}\ncput*{\textsf{\prune 2}}
\ncline{F}{G}\ncput*{\textsf{\prune 2}}
\ncline{F}{H}\ncput*{\textsf{\prune 5}}
\ncline{G}{H}\ncput*{\textsf{\prune 6}}
\ncline{H}{I}\ncput*{\textsf{\prune 7}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pourra-t-elle explorer tous les sentiers en ne passant qu'une fois sur chacun d'entre eux ? Justifier.
\item Inaé se trouve en A et a rendez-vous au point I. Elle veut s'y rendre en empruntant l'itinéraire le plus court. Déterminer à l'aide d'un algorithme cet itinéraire en en préciser la longueur.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

En 2018, des vélos électriques ont été mis en location. Les clients ont donc eu le choix entre des vélos classiques et des vélos électriques. En 2018, seulement $10\,\%$ des clients ont loué des vélos électriques.

On admet que tous les clients louent un vélo et que :

\begin{itemize} 
\item $85\,\%$ des clients ayant loué un vélo électrique une année en relouent un l'année suivante ;
\item $70\,\%$ des clients ayant loué un vélo classique une année en relouent un l'année suivante.
\end{itemize}

On suppose que le nombre de clients chaque été reste constant. On s'intéresse à la répartition des clients dans les années à venir.

On note pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}
\item $c_n$ la probabilité qu'un client pris au hasard choisisse un vélo classique l'année $2018+n$ ;
\item $e_n$ la probabilité qu'un client pris au hasard choisisse un vélo électrique l'année $2018+n$ ; 
\item $P_n=\begin{pmatrix} c_n & e_n \end{pmatrix}$ la matrice correspondant à l'état probabiliste l'année $2018+n$.
\end{itemize} 

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste.

On notera $C$ l'évènement \og le client loue un vélo classique \fg{} et $E$ l'évènement \og le client loue un vélo électrique \fg.
\item Donner la matrice $P_0$ traduisant l'état probabiliste initial ainsi que la matrice de transition $M$ en respectant l'ordre $C$ puis $E$ des sommets.
\item Calculer $P_1$.
\item Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2019]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2019 (3)}} 

 \index{Polynésie 2019}
Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d'un liquide industriel.

On suppose que le nombre total de clients reste fixe d'une année sur l'autre.

En 2017, 45\,\% des clients se fournissaient chez le grossiste A et 55\,\% chez le grossiste B.

D'une année sur l'autre, 6\,\% des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve 86\,\% de ses clients.

Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide.

Pour tout entier naturel $n$ on note :


\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilité qu'il soit client du grossiste A en $(2017+n)$,
\item $b_n$ la probabilité qu'il soit client du grossiste B en $(2017+n)$.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne représentant l'état probabiliste de l'année $(2017+n)$.  On rappelle que $a_n + b_n= 1$.

On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.


\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste dans lequel les sommets A et B correspondent aux noms des grossistes.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $T$ associée à ce graphe (les sommets seront rangés par ordre alphabétique).
		\item Quelle sera, exprimée en pourcentage, la répartition prévisible des ventes entre ces deux grossistes en 2020 ? Justifier la réponse. On arrondira les résultats à 0,1\,\% près.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,8a_n + 0,14$.
	\begin{enumerate}
		\item On pose pour tout naturel $n$ : $u_n = a_n - 0,7$.
		
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n = - 0,25\times 0,8^n + 0,7$.
		\item  Quelle part du marché, exprimée en pourcentage, le grossiste A peut-il espérer à long terme ? Justifier la réponse.
		\item  À partir de quelle année le grossiste A détiendra t-il plus de 65\,\% du marché?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \newpage 

\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\setdefaultenum {I - }{}{}{}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT 2019}}

\bigskip

{\Large \textsc{série es obligatoire et spécialité}}

\vspace{1cm}

{\Large \textsc{index des différents sujets}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2.5cm}{2.5cm}
\vspace{\stretch{1}}
\hrulefill

\begin{itemize} 
\item[] Amérique du Nord 2019 \dotfill  \hyperpage{1}, \hyperpage{15},\hyperpage{38}, \hyperpage{53}, \hyperpage{64}
  \item[] Amérique du Sud 2019 \dotfill  \hyperpage{2}, \hyperpage{17},\hyperpage{35}, \hyperpage{54}, \hyperpage{73}
  \item[] Antilles Guyane 2019 \dotfill  \hyperpage{3, 4}, \hyperpage{19},\hyperpage{40}, \hyperpage{75}
  \item[] Antilles Guyane septembre 2019 \dotfill  \hyperpage{5}, \hyperpage{21},\hyperpage{41}, \hyperpage{51}, \hyperpage{66}
  \item[] Asie 2019 \dotfill  \hyperpage{6}, \hyperpage{30}, \hyperpage{42},\hyperpage{55}, \hyperpage{67}
  \item[] Centres étrangers 2019 \dotfill  \hyperpage{8}, \hyperpage{22},\hyperpage{44}, \hyperpage{56}, \hyperpage{69}
  \item[] France métropolitaine, La Réunion 2019 \dotfill \hyperpage{9}, \hyperpage{24}, \hyperpage{45},\hyperpage{60}, \hyperpage{76}
  \item[] France métropolitaine, La Réunion septembre 2019 \dotfill \hyperpage{10}, \hyperpage{31}, \hyperpage{36},\hyperpage{61}, \hyperpage{70}
  \item[] Liban 2019 \dotfill  \hyperpage{11}, \hyperpage{26}, \hyperpage{46},\hyperpage{62}, \hyperpage{77}
  \item[] Nouvelle Calédonie 2019 \dotfill  \hyperpage{12},\hyperpage{27}, \hyperpage{47}, \hyperpage{57},\hyperpage{78}
  \item[] Polynésie 2019 \dotfill  \hyperpage{13}, \hyperpage{33},\hyperpage{49}, \hyperpage{58}, \hyperpage{79}
\end{itemize}
\hrulefill
\vspace{\stretch{2}}
\end{ModifMarges}

	\end{sffamily}



 \end{document}
