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\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture}(17,4.5)
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\DeclareFixedFont{\smallrm}{T1}{ptm}{m}{n}{3mm}
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\end{pspicture}


\vspace{\stretch{2}}

\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales d'exercices regroupés par thème}}}
 
\vspace{\stretch{1}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{obligatoire et spécialité}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
 \hrulefill


\large{
Ce document, rassemble l'ensemble des exercices, classés par thèmes, des sujets du baccalauréat de la série ES de la session 2020. De par la nature même de l'épreuve, les exercices peuvent recouvrir plusieurs thèmes.

\medskip

Les exercices sont regroupés sous trois rubriques :

\begin{itemize}
	\item Analyse
	\item Probabilités
	\item Spécialité
\end{itemize}
}
\medskip

\hrulefill

\vspace{\stretch{1}}
\begin{center}
\Large{\bf {\textsf {Les exercices proposés sont établis à partir des sujets mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}}
\end{center}
}
\end{titlepage}


\pagenumbering{roman}
\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\Large \textsf{\textsc{{sommaire des exercices de la session de remplacement 2020}}}}

 \vspace{\stretch{2}}
 
\hrulefill

\vspace{\stretch{1}}
}

\textsf{\tableofcontents}

\vspace{\stretch{1}}
 
\hrulefill

\vspace{\stretch{2}}

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}}
  
\newpage

\pagenumbering{arabic}

 \lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat es session 2020}}}}
 \rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{\leftmark}}} 
 \lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{\rightmark}}}  
 \cfoot{\scriptsize{\textsf{-~\thepage{}~-}}}                                                     
\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}
\section{ANALYSE} 
 
\subsection{SUITES} 

 \subsubsection[Antilles Guyane 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2020 (2 obligatoire)}} 

 \index{Antilles Guyane 2020}

On s'intéresse à la gestion des déchets ménagers au sein d'une grande agglomération.

Grâce au développement du recyclage, les experts estiment que la quantité de déchets de l'agglomération à incinérer devrait diminuer de 5\,\% par an. Par ailleurs, suite à la signature d'un contrat, cette agglomération s'engage à partir du 1\up{er} janvier 2020 à collecter et incinérer \np{12000}~tonnes de déchets supplémentaires par an provenant d'une commune voisine. 

Durant l'année 2019, l'agglomération a incinéré \np{300000} tonnes de déchets.

On admet que la situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ donne, pour tout entier naturel $n$, une estimation de la quantité (exprimée en millier de tonnes) de déchets incinérés durant l'année $2019 + n$. On a ainsi $u_0 = 300$.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $u_1$.
		\item Justifier, pour tout entier naturel $n$, que $u_{n+1} = 0,95u_n + 12$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 240$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme $v_0$.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, que $u_n = 60 \times 0,95^n + 240$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'agglomération s'est fixé l'objectif d'une diminution de la quantité de déchets incinérés de 15\,\% d'ici 2039 par rapport à 2019.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que cet objectif ne sera pas atteint si la diminution des déchets suit les prévisions des experts.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans l'algorithme ci-dessous $N$ est un nombre entier et $U$ un nombre réel. Recopier et compléter l'algorithme afin que la variable $N$ contienne, à la fin de l'exécution de l'algorithme, l'année à partir de laquelle la quantité de déchets incinérés aura diminué de 15\,\% par rapport à 2019.
		
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{4cm}
$N \gets 2019$

$U \gets 300$

Tant que $U \ldots$
\begin{itemize}
\item[] $N \gets N+1$
\item[] $U \gets \ldots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}


\end{center} 
		\item En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2020]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2020 (2)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2020}
En France, la pratique de l'escalade est en plein essor ces dernières années, notamment grâce aux nombreuses ouvertures de salles dans les villes. La Fédération Française de la Montagne et de l'Escalade (FFME) comptait \np{90000} adhérents au début de l'année 2017.

On estime qu'au début de chaque année :


\begin{itemize}
\item 21\,\% des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion ;
\item \np{29400} nouveaux pratiquants s'inscrivent.
\end{itemize}


À partir de ces données, on modélise le nombre d'adhérents $n$ années après le début de l'année 2017 par une suite $\left(u_n\right)$. Ainsi $u_0 = \np{90000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'adhérents au début de l'année 2018 puis au début de l'année 2019.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,79u_n + \np{29400}$.
\item On souhaite déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n > \np{135000}$. 

On considère l'algorithme suivant :

		
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{4cm}
$N \gets 0$

$U \gets \np{90000}$

Tant que $ \ldots$
\begin{itemize}
\item[] $N \gets N+1$
\item[] $U \gets \ldots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}

\end{center} 


	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il permette de répondre à la question posée.
		\item Quelle est la valeur de $N$ après l'exécution de l'algorithme ? 
		
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item On pose pour tout $n \in \N$ : \[v_n = u_n - \np{140000}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
		\item Exprimer, pour tout $n \in \N$,\: $v_n$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout $n \in \N$ : \[u_n = - \np{50000} \times  0,79^n + \np{140000}\]
		\item La FFME peut-elle espérer dépasser les \np{140000}~adhérents ?
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Pour automatiser l'estimation du nombre d'adhérents et du nombre de personnes ne renouvelant pas leur adhésion chaque année, on prépare la feuille de calcul suivante, dans laquelle les colonnes B et C sont au format nombre, arrondi à l'unité.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{.5cm}|>{\centering \arraybackslash}m{1cm}|>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
&A&B&C\\ \hline
1&$n$&$u_n$&nombre de non renouvellements\\ \hline
2&0& \np{90000}&\cellcolor{lightgray} \\ \hline
3&1&& \\ \hline
4&2&& \\ \hline
5&3&& \\ \hline
6&4&& \\ \hline
7&5&& \\ \hline
8&6&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ quelle formule peut-on saisir dans la cellule B3 avant de la recopier vers le bas ?
		\item Pour estimer le nombre de personnes ne renouvelant pas leur adhésion en début d'année, quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 avant de la recopier vers le bas ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2020 (2)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2020}
Une étude statistique sur le marché du jeu en ligne a été effectuée pour les années 2017 et 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&2017 &2018\\ \hline 
Chiffre d'affaires annuel mondial du marché du jeu en ligne en millions de  dollars&
45 &66\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\small \emph{Source : Statista}}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'évolution, arrondi à l'unité, du chiffre d'affaires entre 2017 et 2018.
\end{enumerate}

Durant l'année 2019, l'arrivée de nouveaux acteurs sur le marché laisse prévoir une extension accélérée du jeu en ligne.

On modélise alors le chiffre d'affaires du marché du jeu en ligne par la suite 
$\left(c_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[c_{n+1} = 1,28c_n + 250,6\]

où le terme $c_n$ représente une estimation du chiffre d'affaires en million de dollars pour l'année $2018 +n$.

Le chiffre d'affaires pour l'année 2018 est donné par $c_0 = 66$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Avec cette modélisation, calculer en million de dollars arrondi au dixième, le chiffre d'affaires prévu pour le marché du jeu en ligne pour l'année 2020.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant pour tout entier naturel $n$, \:$v_n = c_n + 895$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $c_n = 961 \times  1,28^n - 895$.
	\end{enumerate}

\item On considère l'algorithme ci-contre : \begin{tabular}{|l|}\hline
$c \gets 66$\\
$S \gets 66$\\
Pour $i$ allant de 1 à $n$\\
\qquad $c \gets  1,28c +250,6$\\
\qquad $S \gets S + c $\\
Fin Pour\\ \hline
\end{tabular}

On choisit $n = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier puis compléter le tableau ci-dessous. Les valeurs seront arrondies à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Valeur de $i$&&1&2&3 &4\\ \hline
Valeur de $c$& 66 &335&&&\\ \hline
Valeur de $S$& 66 &401&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Après exécution de l'algorithme, quelle est la valeur de $S$ obtenue, arrondie à l'unité, pour $n =  4$ ?
		\item Donner une interprétation dans le contexte de l'exercice de la valeur de $S$ obtenue à la question précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2020 (3 obligatoire)}} 

 \index{Polynésie 2020}

Au 31 décembre 2017, un magazine possède \np{450000} abonnés. On note que chaque année, seuls 80\,\% des abonnés de l'année précédente renouvellent leur abonnement auxquels viennent s'ajouter \np{180000} nouveaux abonnés.

\medskip

On note $\left(u_n\right)$ une suite modélisant le nombre d'abonnés, exprimé en millier, au $31$ décembre de l'année $(2017+n)$. On a donc $u_0 = 450$.

\begin{enumerate}
\item Calculer, selon ce modèle, le nombre d'abonnés au 31 décembre 2018.
\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 0,8u_n +180$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 900$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$. Préciser son premier terme.
		\item Soit $n$ un entier naturel. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,   $u_n = - 450 \times 0,8^n + 900$.
	\end{enumerate}
\item La direction du magazine affirme qu'à long terme, le nombre d'abonnés dépassera \np{900000}. Que penser de cette affirmation ? Justifier la réponse.
\item En s'appuyant sur ce modèle, au 31 décembre de quelle année le nombre d'abonnés dépassera-t-il \np{800000} pour la première fois ?
\item La direction du magazine s'engage à verser chaque année 1 euro par abonnement à une association caritative.

On dispose de l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U \gets 450$

$S \gets 450$

Pour $I$ allant de 1 à $N$

\begin{itemize}
\item[] $U \gets 0,8*U + 180$
\item[] $S \gets S + U$
\end{itemize}
Fin Pour
\end{minipage}
}
\end{center}


On affecte 3 à la variable $N$ et on exécute l'algorithme.
	\begin{enumerate}
		\item Après l'exécution, quelle valeur numérique contient la variable $S$ ?
		\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{FONCTION EXPONENTIELLE} 

 \subsubsection[Polynésie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2020 (4)}} 

 \index{Polynésie 2020}
On étudie l'évolution du taux de natalité d'une population entre 1750 et 1870.

On admet que le taux de natalité peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 120]$ par :\[f(x) = 0,1 + \dfrac{4,3}{1 + \e^{0,1x-6}}\]

où   $x$ représente le temps, exprimé en années, écoulé depuis 1750, 

$f(x)$ représente le taux de natalité, exprimé en pourcentage, de la population totale. 


On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; 120]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Sur le graphique ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}$ représente la fonction $f$, et la droite  $\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse 38.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.25,-.25)(12.6,6.4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.1+4.3/(1+EXP(0.1*x-6))}
\psset{unit=2mm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(63,32)
\psset{unit=1cm}
\multido{\n=1+1}{12}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,6.4)}
\multido{\n=1+1}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](0,\n)(12.6,\n)}
\psset{xunit=1mm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10]{->}(0,0)(-2,-.2)(126,6.4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{120}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,5.438)(126,.573) 
\psdots(38,3.971)
\uput[ur](90,.4){\bleu $\mathcal{C}$} \uput[ul](40,4){\bleu\footnotesize{$A$}}\uput[u](105,1.5){\prune\footnotesize{$\mathcal{T}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique :
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée de $f'(38)$.
		\item Recopier, parmi les propositions suivantes, celle qui est exacte :
\[7 \leqslant \displaystyle\int_{10}^{30} f(x) \dd x\leqslant 8 \quad ;\qquad 130 \leqslant \displaystyle\int_{30}^{120} f(x) \dd x \leqslant 190 \quad ; \qquad 700 \leqslant \displaystyle\int_{80}^{100} f(x) \dd x \leqslant 800.\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 120]$ : \[f'(x) = - \dfrac{ 0,43\e^{0,1x-6}}{\left(1 + \e^{0,1x-6} \right)^2}.\]
		
		\item Retrouver le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 120]$.
		\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que sur l'intervalle $[0 ; 120]$, l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution que l'on appelle $\alpha$.
		\item Encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que sur l'intervalle $[0 ; 120]$, la fonction $g$ d'expression $g(x) = \dfrac{4,3}{\left(1 + \e^{0,1x-6}\right)}$ a pour primitive la fonction $G$ d'expression $G(x) = -43 \ln\left(1 + \e^{-0,1x+6}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 120]$.
		\item En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_{30}^{120} f(x) \dd x$.
	\end{enumerate}
\item Calculer le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870. On en donnera une valeur approchée à $0,01 \,\%$ près.
\end{enumerate}
 

 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{FONCTION LOGARITHME} 

 \subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2020]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2020 (4)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2020}
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ deux fois dérivable sur l'intervalle $[1 ; 4]$, définie par : 

\[f(x) = - x^2 + 4x - 5 + 6 \ln (x).\]

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de cette fonction est donnée dans le repère ci-dessous.

\begin{center}

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.7,-2.2)(4.7,5.6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-x^2+4*x-5+6*ln(x)}
\psset{unit=1cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=5,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(-1.4,-2.2)(9.4,5.6)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\multido{\n=-.5+.5}{11}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](\n,-2.2)(\n,5.6)}
\multido{\n=-2+1}{8}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](-.7,\n)(4.7,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-0.7,-2.2)(4.7,5.6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
%\uput[dl](4.7,0){\footnotesize $x$} \uput[dl](0,5.6){\footnotesize $y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{1}{4}{\f}
\psdots[linecolor=bleu](4,3.318)(1,-2)
\uput[ur](3.25,4.5){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[1 ; 4]$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1 ; 4]$, on a :
		
\[f'(x) = \dfrac{- 2x^2 + 4x + 6}{x}.\]

		\item Dresser le tableau de signe de $f'$ sur l'intervalle $[1 ; 4]$.
		\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[1 ; 4]$. On arrondira les valeurs des images si nécessaire au millième.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1 ; 4]$.
		
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 4]$.
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants, qu'on admettra dans la suite :


\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
1 &\texttt{Dériver ((-2x\textasciicircum 2 + 4x + 6)/x)}\\
	& \multicolumn{1}{r|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}$-2 - \dfrac{6}{x^2}$}\\ \hline
2 & \texttt{Dériver (-x\textasciicircum 3/3 + 2x\textasciicircum 2 - 11x + 6x\,ln\,(x))}\\
	&\multicolumn{1}{r|}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}$-x^2 +4x - 5 + 6 \ln (x)$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le premier résultat fourni par le logiciel, justifier que la courbe $\mathcal{C}$ est située en-dessous de toutes ses tangentes.
		\item En utilisant le deuxième résultat fourni par le logiciel, calculer l'intégrale $I$ définie par :
		
\[I = \displaystyle\int_1^4 f(x) \dd x.\]

Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au millième de $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Chaque mois, un prothésiste dentaire produit entre $100$ et $400$ prothèses.

On admet que lorsque $x$ centaines de prothèses sont fabriquées (avec $1 \leqslant x \leqslant 4$), le bénéfice, en millier d'euros, est donné par $f(x)$, où $f$ est la fonction définie à la partie A.

\medskip

Utiliser des résultats de la partie A pour répondre aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de prothèses faut-il fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal ? Donner ce bénéfice maximal à l'euro près.
\item Combien de prothèses faut-il fabriquer au minimum pour obtenir un bénéfice positif ?
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 4]$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
 

 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2020 (4)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2020}
La courbe $\mathcal{C}_f$, donnée en annexe, est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[0,5 ; 9]$.

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2.

Le domaine grisé, noté $\mathcal{D}$, est délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites verticales d'équation $x = 1$ et $x = 2$.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a : }}Étude graphique}

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Avec la précision permise par le graphique, déterminer $f(1)$ et $f'(2)$.
		\item Le nombre dérivé de $f$ en 1 est 2. Tracer sur l'\textbf{annexe}, à rendre avec la copie, la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l'équation $f(x) = 0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ grisé à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.
		\item En utilisant les éléments du graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs, de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ grisé en unités d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b : }}Étude algébrique}

\medskip


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,5 ; 9]$ par 

\[f(x) = 4\ln(x) + 5 - 2x.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on a, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0,5 ; 9]$, $f'(x) = \dfrac{2(2 -x)}{x}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0,5 ; 9]$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0,5 ; 9]$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0,5 ; 9]$.
		\item Donner à l'aide la calculatrice un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie par :

\[F(x) =  - x^2 +4x\ln{} (x) + x\]

est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,5 ; 9]$.
		\item En déduire la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine grisé $\mathcal{A}$, en unité d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textsf{\textsc{\textbf{annexe} }}

\textsf{\emph{(\`A rendre avec la copie)}} 


\vspace{2cm}


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(9.6,5.6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4*ln(x)+5-2*x}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.1pt, linecolor=bleu]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.1pt, linecolor=bleu]{1}{2}{\f}
\psline(2,3.7726)(2,0)(1,0)(1,3)}
\psset{unit=.2cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(-5,-25)(48,28)
\psset{unit=1cm}
\multido{\n=-1+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,-5)(\n,5.6)}
\multido{\n=-5+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](-1,\n)(9.6,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-5)(9.6,5.6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[r](8,-2.6){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{.5}{9}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-1,3.773)(9.5,3.7726)\uput[l](9.5,3.5){\prune $T$}
\end{pspicture}
\end{center} 


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{FONCTION application à l'économie} 

 \subsubsection[Antilles Guyane 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2020 (4)}} 

 \index{Antilles Guyane 2020}
La courbe $(C)$ ci-dessous rend compte de la concentration des richesses des habitants d'un certain pays en 2017.

La courbe $(C)$ a pour équation $y = 2,1x^3 -1,8x^2 +0,7x$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$.

On admet que sur l'intervalle $[0 ; 1]$, la courbe $(C)$ est située au-dessous du segment [OA] d'équation $y =x$.

\begin{center}

\psset{unit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(1,1.1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2.1*x^3 -1.8*x^2 +.7*x}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.1pt, linecolor=bleu]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.1pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psline(1,1)(0,0)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(1,.99)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,0)(1,1)(0,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,Dy=.2]{->}(0,0)(-0.05,-0.05)(1.1,1.1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu O}}
\uput[dl](1.1,-.05){\footnotesize{Taux de la population}} \uput[dr](0,1.1){\footnotesize {Taux de richesses}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\uput[ur](1,1){\footnotesize\bleu{$A$}}\uput[ur](1,0){\footnotesize\bleu{$B$}}\uput[r](0.8,0.5){\bleu $(C)$}
\end{pspicture}

\emph{Exemple de lecture du graphique: $90$\,\% de la population détient $70$\,\% des richesses}.
\end{center}
On définit le coefficient de Gini $\gamma$ par le quotient  $\gamma = \dfrac{\text{aire de la partie grisée}}{\text{aire du triangle OBA}}$.

On admet que le coefficient de Gini $\gamma$ a les propriétés suivantes :

\begin{itemize}
\item $0\leqslant \gamma \leqslant 1$.
\item Plus $\gamma$ est grand, plus la répartition des richesses au sein de la population est inégalitaire.
\end{itemize}

Le coefficient de Gini en France en 2017 était de 0,289.

\textbf{En 2017, la répartition des richesses du pays étudié était-elle plus égalitaire qu'en France ?}   



 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{PROBABILITÉS} 

 \subsection{PROBABILITÉ DISCRÈTES, LOI BINOMIALE} 


\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2020 (3 obligatoire)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2020}
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis au millième si besoin.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Chaque jour avant de partir s'entraîner, un groupe de cyclistes s'intéresse à l'indice mesurant la qualité de l'air. Il peut prendre les trois valeurs suivantes : \emph{mauvais, correct} ou \emph{bon}.

\smallskip

Une étude statistique a permis d'obtenir les résultats suivants :

\begin{itemize}
\item dans 54\,\% des cas, l'indice mesurant la qualité de l'air est \emph{bon};  dans 41\,\% des cas, il est \emph{correct} ; le reste du temps, l'indice est \emph{mauvais}.
\item Si l'indice est \emph{bon}, dans 90\,\% des cas le groupe de cyclistes part s'entraîner. Si l'indice est \emph{correct}, il y a une chance sur deux pour que le groupe de cyclistes parte s'entraîner.
\item Si l'indice est \emph{mauvais}, dans 80\,\% des cas le groupe de cyclistes ne part pas s'entraîner. 
\end{itemize}

On choisit un jour au hasard. On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $B$ : \og L'indice mesurant la qualité de l'air est \emph{bon} \fg{} ;
\item $C$ : \og L'indice mesurant la qualité de l'air est \emph{correct} \fg{} ;
\item $M$ : \og L'indice mesurant la qualité de l'air est \emph{mauvais} \fg{} ;
\item $E$ : \og Le groupe de cyclistes s'entraîne \fg.
\end{itemize}

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $B$}\taput{\ldots}}
	  {\TR{\bleu $E$}\taput{\ldots}
		  \TR{\bleu $\overline{E}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $C$}\taput{\ldots}}
	  {\TR{\bleu $E$}\taput{\ldots}
		  \TR{\bleu $\overline{E}$}\tbput{\ldots}
	  }
	\pstree[nodesepA=1pt]{\TR{\bleu $M$}\tbput{\ldots}}
	  {\TR{\bleu $E$}\taput{\ldots}
		  \TR{\bleu $\overline{E}$}\tbput{\ldots}
	  }	
}
\end{center} 
\medskip

\item Définir par une phrase l'évènement $B \cap E$ et calculer sa probabilité.
\item Montrer que la probabilité que le groupe de cyclistes s'entraîne est égale à $0,701$.
\item Sachant que le groupe de cyclistes s'est entraîné, calculer la probabilité que l'indice mesurant la qualité de l'air soit \emph{bon}.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour se protéger les jours où l'indice mesurant la qualité de l'air est \emph{mauvais}, 30\,\% des cyclistes du groupe décident de s'équiper de masques de protection.

On choisit au hasard $5$ cyclistes dans ce groupe. On suppose que le nombre de cyclistes dans ce groupe est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage successif avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de cyclistes qui décident de s'équiper parmi les $5$ cyclistes interrogés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Déterminer la probabilité qu'exactement deux cyclistes parmi les cinq interrogés décident de s'équiper.
\item Déterminer la probabilité qu'au moins un des cinq cyclistes interrogés décide de s'équiper.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{LOI NORMALE, LOI UNIFORME} 

\subsubsection[Antilles Guyane 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2020 (3)}} 

 \index{Antilles Guyane 2020}

\begin{center}
\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}


\textbf{Les résultats seront arrondis au millième.}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

D'après le recensement de 2017 effectué dans une agglomération, on dénombre \np{385628} habitants dont \np{276110} qui résident dans la zone dite urbaine et le reste dans la zone dite rurale. 

Les nouvelles lignes de tramway desservent la zone urbaine et la zone rurale. Une enquête fait apparaître que 60\,\% des habitants de la zone urbaine utilisent régulièrement le tramway dans leurs déplacements.

Un habitant de l'agglomération, pris au hasard, est interrogé et on note :

\begin{itemize}
\item[ ] $U$ l'évènement \og l'habitant de l'agglomération réside dans la zone urbaine \fg{} ;
\item[ ] $R$ l'évènement \og l'habitant de l'agglomération réside dans la zone rurale \fg{} ;
\item[ ] $T$ l'évènement \og l'habitant de l'agglomération utilise régulièrement le tramway \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p(U) \approx 0,716$.
\item Recopier l'arbre ci-dessous et le compléter par les probabilités correspondantes au fur et à mesure de l'exercice.


\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$U$}~}\naput{\ldots}}
		{
\TR{\bleu{$T$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{\bleu{$\overline{T}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{L}$}~}\nbput{\bleu\ldots}}
		{
\TR{~\bleu{$R$}}\naput{\bleu{\ldots}}
\TR{~\bleu{$\overline{R}$}}\nbput{\bleu{\ldots}}
 		}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que l'habitant de l'agglomération interrogé réside dans la zone urbaine et utilise régulièrement le tramway.
\item On donne $p(T) =0,51$. Calculer $p_R(T)$ et compléter l'arbre.
\item À présent, on interroge au hasard un habitant qui utilise régulièrement le tramway.

Quelle est la probabilité qu'il habite dans la zone urbaine ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Les pouvoirs publics étudient le trajet le plus fréquenté, à savoir celui de la ligne A qui part à 7~h~30 du terminus T1 pour rejoindre le terminus T2. Pour cela, on mesure sur une année la durée, en minute, de ce trajet. 

On admet que cette durée peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu =65$ et d'écart type $\sigma =7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la durée d'un trajet sur la ligne A partant à 7~h~30 du terminus T1 soit inférieure à une heure ?
\item On suppose que les durées des trajets d'un jour à l'autre sont indépendantes.

Un utilisateur emprunte ce trajet $180$ fois dans l'année. 

Quelle est la probabilité qu'il ait au plus $40$ fois une durée de trajet inférieure à une heure dans l'année ?
\end{enumerate}

 \newpage 


 \subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2020]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2020 (3 obligatoire)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2020}
\emph{Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Une scierie produit des planches en chêne, en sapin ou en bois de hêtre pour fabriquer des parquets massifs. Il existe deux qualités de planche : les planches déclassées (de moins bonne qualité) et les planches de premier choix (de qualité supérieure). On sait que:


\begin{itemize}
\item 20\,\% des planches produites sont en chêne,
\item 66\,\% des planches sont en sapin,
\item les autres sont en bois de hêtre.
\end{itemize}

De plus, 46\,\% des planches en chêne sont déclassées et 25\,\% des planches en sapin sont déclassées.


On choisit une planche au hasard dans la production de la scierie, et on définit les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $C$: \og la planche est en chêne \fg;
\item $S$: \og la planche est en sapin\fg ;
\item $T$: \og la planche est en bois de hêtre\fg;
\item $D$: \og la planche est déclassée \fg.
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $p(C)$,\: $p_C(D)$ et $p_S(D)$.
		\item On représente la situation par l'arbre suivant. Recopier l'arbre et compléter les
pointillés.

\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $C$}\taput{\ldots}}
	  {\TR{\bleu $D$}\taput{\ldots}
		  \TR{\bleu $\overline{D}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=1.5pt]{\TR{\bleu $S$}\taput{\ldots}}
	  {\TR{\bleu $D$}\taput{\ldots}
		  \TR{\bleu $\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	  }
	\pstree[nodesepA=1pt]{\TR{\bleu $T$}\tbput{\ldots}}
	  {\TR{\bleu $D$}\taput{\ldots}
		  \TR{\bleu $\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	  }	
}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la planche soit en chêne et déclassée. 
\item On sait que la scierie produit 32\,\% de planches déclassées.

Montrer que $p(T \cap D) = 0,063$.
\item On choisit une planche de la production en bois de hêtre. Quelle est la probabilité qu'elle soit déclassée ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On choisit un lot de $10$ planches au hasard, et on suppose que le nombre de planches déclassées dans ce lot peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,32$.


\begin{enumerate}
\item Calculer $p(X = 4)$ et interpréter le résultat.
\item Calculer la probabilité qu'au moins une planche du lot soit déclassée.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

L'épaisseur en millimètre d'une planche de sapin est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_S = 27$ et d'écart type $\sigma_S = 0,4$.

L'épaisseur en millimètre d'une planche de chêne est modélisée par une variable aléatoire $Z$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_C = 25$ et d'écart type $\sigma_C$.

On sait de plus que $\sigma_C > \sigma_S$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(26,5 \leqslant  Y \leqslant 27,5)$.
\item Parmi les courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ci-dessous, l'une représente la densité de probabilité de $Y$, une autre celle de $Z$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-1)(12,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{.22 .33 .14}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(12,6)
\psset{xunit=2cm,yunit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=23,Dy=0.25](0,0)(0,0)(6,1.5)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu,mue=2,sigma=0.5]{0}{6}\uput[l](1.2,0.3){\bleu $\mathcal{C}_1$}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=prune,mue=2,sigma=0.3]{0}{6}\uput[l](2.6,1.1){\prune $\mathcal{C}_2$}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=vertf,mue=4,sigma=0.4]{2}{6}\uput[r](4.3,.8){\vertf $\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la courbe représentant la fonction de densité de $Y$ ? Justifier. 
		\item Quelle est la courbe représentant la fonction de densité de $Z$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On sait que la probabilité qu'une planche en chêne ait une épaisseur comprise entre 24~mm et 26~mm est égale à environ $0,95$. Donner une valeur approchée de l'écart type $\sigma_C$.
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2020 (2)}} 

 \index{Polynésie 2020}
\begin{center}
\emph{Les parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

Le syndrome d'apnée du sommeil se manifeste par des interruptions répétées de la respiration pendant le sommeil. Ce syndrome peut être dû à plusieurs facteurs.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\textbf{Sauf indication contraire, les résultats numériques seront approchés à \boldmath$10^{-4}$\unboldmath{} près}

\medskip

Dans cette partie, on cherche à étudier le lien entre le surpoids et le syndrome d'apnée du sommeil dans une population donnée.

Parmi les personnes participant à l'étude, 41\,\% sont en surpoids.

On observe que parmi les individus en surpoids, 12\,\% souffrent du syndrome d'apnée du sommeil, et que parmi les individus qui ne sont pas en surpoids, 4\,\% souffrent du syndrome d'apnée du sommeil.

\medskip

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité.


Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

\medskip

On choisit au hasard une personne ayant participé à l'étude, et on note :
\begin{itemize}
\item $S$ l'évènement : \og la personne est en surpoids \fg{} ;
\item $A$ l'évènement : \og la personne souffre d'apnée du sommeil \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d'apnée du sommeil.
\item Montrer que $p(A) = \np{0,0728}$. 

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On choisit au hasard une personne qui souffre du syndrome d'apnée du sommeil. Quelle est la probabilité que cette personne soit en surpoids ?
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse au cas particulier d'un patient souffrant d'apnée du sommeil.

Pendant plusieurs nuits, on observe son rythme respiratoire au cours de son sommeil. Ces examens permettent d'établir que la durée, en seconde, des apnées de ce patient peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 22$ et d'écart-type $\sigma = 4$.

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité $p(14 \leqslant D \leqslant 30)$.

 Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de la probabilité qu'une apnée de ce patient dure plus de $30$ secondes.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Une entreprise d'équipement médical commercialise un dispositif de ventilation en pression positive continue. Ce dernier permet de maintenir ouvertes les voies respiratoires du patient, prévenant ainsi les apnées du sommeil.

L'entreprise affirme que 91\,\% des patients qui utilisent le dispositif ressentent une amélioration de la qualité de leur sommeil.

Une étude est menée sur 348 patients auxquels on fait tester le dispositif. Après plusieurs nuits, 290 personnes déclarent avoir ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil.

Peut-on remettre en cause l'affirmation de l'entreprise d'équipement médical? Justifier la réponse.


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{Q.C.M} 

\subsection{Q.C.M Analyse} 

 \subsubsection[Antilles Guyane 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2020 (1)}} 

 \index{Antilles Guyane 2020}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte un point. Une réponse incorrecte, plusieurs réponses ou une question sans réponse n'apportent ni ne retirent aucun point.}

\begin{center}
\textbf{Les six questions sont indépendantes}
\end{center}

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}


\begin{minipage}{\linewidth-9.5cm}
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3 ; 5]$. 

La courbe ci-contre est la courbe représentative de la  fonction dérivée $f'$ de $f$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{9cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-3.3,-5.3)(5.4,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x^3/3-x^2-3*x+4}
\psset{unit=1mm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(-33,-28)(54,30)
\psset{unit=1cm}
\multido{\n=-3+.5}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,-2.8)(\n,3)}
\multido{\n=-2.5+.5}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](-3.3,\n)(5.4,\n)}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-3.3,-5.6)(5.4,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5.5,0){\footnotesize $x$} \uput[dl](0,6){\footnotesize $y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-3}{5}{\f}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle :
\begin{enumerate} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $[1,5 ; 4]$ & \item $[-2 ; 0]$ &\item $[0 ; 2]$ & \item $[3 ; 4]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est concave sur l'intervalle :
\begin{enumerate} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $[1,5 ; 4]$ & \item $[-2 ; 0]$ & \item $[0 ; 2]$ & \item $[3 ; 4]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La courbe ci-dessous représente une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-7 ; 2]$.

La tangente au point $A(1 ; -3)$ coupe l'axe des ordonnées au point $B(0 ; -5)$.

\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(4,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x^3+8*x^2+x-40)/10}
\def\g{2*x-5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(4,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-6)(4,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize $x$} \uput[dl](0,4){\footnotesize $y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-.5}{3.5}{\g}
\uput[dr](1,-3){\footnotesize \bleu $A$}\uput[r](0,-5){\footnotesize \prune $B$}
\psdots[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,-3)(0,-5)
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[resume]
\item L'une des quatre courbes suivantes représente la fonction $g'$ dérivée de la fonction $g$.

 Laquelle ?
 
 
\begin{enumerate} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{X@{\hspace{.5cm}}X}
\item  &\item \\[-12pt]
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(4,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(3-x)*(x+2)*(x+7)/21}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(4,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-6)(4,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
\uput[dl](4,0){\scriptsize  $x$} \uput[dl](0,4){\scriptsize $y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{2}{\f}
\end{pspicture}
& 
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(4,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(3*x^2+16*x+1)/10}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(4,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-6)(4,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
\uput[dl](4,0){\scriptsize  $x$} \uput[dl](0,4){\scriptsize $y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{1.818}{\f}
\end{pspicture}\\
\item &  \item \\[-12pt]
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(4,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.06*x^2*(x+5.2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(4,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-6)(4,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
\uput[dl](4,0){\scriptsize  $x$} \uput[dl](0,4){\scriptsize $y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{2}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(4,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-.06*x^2*(x+5.2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(4,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(4,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
\uput[dl](4,0){\scriptsize  $x$} \uput[dl](0,6){\scriptsize $y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{2}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\item  L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point $A$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $y = - 3x+ 1$ & \item $y = x-5$ & \item $y = 2x-5$ & \item $y = x - 4$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels par $f(x) = 5\e^{-\frac{x}{3}}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et, pour tout réel $x$,

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item $f'(x) = \dfrac{-5x}{3\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\e^{-\frac{x}{3}}$ &  \item $f'(x) = 5\e^{-\frac{x}{3}}$ & \item $f'(x) =\dfrac{-5}{3}\e^{-\frac{x}{3}}$ & \item $f'(x) = \e^{-\frac{x}{3}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  On considère la courbe ci-dessous représentative de la fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels par $f(x) = - 3x^2 + 2x + 4$.

Dans l'algorithme ci-dessous, $a$ et $b$ sont deux réels. Quelle est la valeur de $a$ en sortie de l'algorithme ?

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth-7cm}\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.7,-1.2)(2.2,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-3*x^2+2*x+4}
\psset{unit=2mm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(-17,-6)(22,25)
\psset{unit=1cm}
\multido{\n=-3+1}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,-1.2)(\n,5)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](-3.4,\n)(4.4,\n)}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5]{->}(0,0)(-1.7,-1.2)(2.2,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[ul](2.2,0){\footnotesize  $x$} \uput[dl](0,5){\footnotesize $y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-1.025}{1.691}{\f}
\end{pspicture}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{flushright}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{4cm}

$a \gets 0$

$b \gets 4$

Tant que $b > 0$

\begin{itemize}
\item[] $a \gets a+ 0,01$
\item[] $b \gets  - 3a^2 + 2a + 4$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{flushright}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\item 1,54 & \item 1,48 & \item $- 0,86$ & \item $- 0,87$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{Q.C.M Analyse et Probabilités} 

 \subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2020]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2020 (1)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2020}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) =\e^{-x^2+1}$.

La fonction $f$ admet pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\R$ par :



\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\item $f'(x) =\e^{-x^2+1}$ & \item $f'(x) = \left(-x^2 +1\right)\e^{-x^2+1}$ \\  \item   $f'(x) =  - 2x\e^{-x^2+1}$ & \item   $f'(x) =\e^{-2x}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  Soit $a$ un réel quelconque. On pose : $B = \dfrac{\e^{a}\times \e^{3-a}}{\e}$. 

Alors :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
 \item  $B = \e^2$ & \item  $B = 7,39$ & \item  $B = \e^{3a-a^2-1}$ & \item  $B = a \times \e^{3-a}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item Un institut réalise un sondage sur \og les Français et la musique \fg{} auprès d'un échantillon représentatif de \np{1408} personnes.

28\,\% des personnes interrogées déclarent qu'elles chantent régulièrement sous la douche (\emph{données: Institut BVA-Presse Régionale-Foncia, mars 2017}).

Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95 et dont les bornes sont arrondies au millième, de la proportion de Français qui chantent régulièrement sous la douche est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
 \item  $[0,253  ; 0,307]$ & \item  $[ 1013  ;  1803]$ & \item   $[0,201  ; 0,359]$ & \item   $[0,279  ; 0,281]$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 Pour les deux questions suivantes, on utilisera le repère ci-dessous, dans lequel on a tracé la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $[-10  ; 9]$. La tangente au point $A$ de coordonnées $(4  ; 5)$ passe par le point $B$ de coordonnées $(-8  ; 3)$.


\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-12,-2)(10,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+10)*(.75*x^4-24.92*x^3+156.56*x^2-376.32*x+3763.2)/9408}
\def\g{(x+10)*(15.13*x^4-929.87*x^3+6422.02*x^2-16087.68*x+160876.80)/402192}
\def\h{x/6+13/3}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.7cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-2)(5,9)
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.7cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2]{->}(0,0)(-12,-2)(10,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{-12}{10}{\h}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-10}{0}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{9}{\g}
\uput[u](4,5){\bleu $A$}\uput[dr](-8,3){\prune $B$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-8,3)(4,5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le nombre dérivé $g'(4)$ est égal à :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
 \item  $5$ & \item  $0$ & \item  $6$ & \item  $\dfrac{1}{6}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item  On pose $I =\displaystyle\int_{-2}^4 g(x)\dd x$.

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
 \item  $12 \leqslant I \leqslant 15$ & \item  $24\leqslant I \leqslant 30$ & \item  $I = 6$& \item  $I = g(4) - g(- 2)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2020 (1)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2020}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
\textbf{Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}\\
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point ; une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-3 ; +\infty[$. 

Parmi les tableaux suivants, un seul est correct. Déterminer lequel.

	\begin{enumerate}
		\item ~
			
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3) \psline(0,1.4)(10,1.4) \psline(0,2.2)(10,2.2)\psline(3,0)(3,3) 
\rput(1.5,2.6){$x$} \rput(3.25,2.6){$-3$} \rput(6.5,2.6){3}\rput(9.5,2.6){$+ \infty$} 
\rput(1.5,1.8){\small Signe de $f'(x)$}\rput(5,1.8){$-$} \rput(6.5,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(8,1.8){$+$}
\rput(1.5,0.7){\small Variations de $f$} \rput(3.5,.3){\rnode{A}{3}} \rput(6.5,1.1){\rnode{B}{5}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}
		\item ~

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3) \psline(0,1.4)(10,1.4) \psline(0,2.2)(10,2.2)\psline(3,0)(3,3) 
\rput(1.5,2.6){$x$} \rput(3.25,2.6){$-3$} \rput(6.5,2.6){3}\rput(9.5,2.6){$+ \infty$} 
\rput(1.5,1.8){\small Signe de $f'(x)$}\rput(5,1.8){$-$} \rput(6.5,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(8,1.8){$+$}
\rput(1.5,0.7){\small Variations de $f$} \rput(3.5,1.1){\rnode{A}{5}} \rput(6.5,.3){\rnode{B}{3}} \rput(9.5,1.1){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}		


		\item ~
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3) \psline(0,1.4)(10,1.4) \psline(0,2.2)(10,2.2)\psline(3,0)(3,3) 
\rput(1.5,2.6){$x$} \rput(3.25,2.6){$-3$} \rput(6.5,2.6){3}\rput(9.5,2.6){$+ \infty$} 
\rput(1.5,1.8){\small Signe de $f'(x)$}\rput(5,1.8){$-$} \rput(6.5,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(8,1.8){$+$}
\rput(1.5,0.7){\small Variations de $f$} \rput(3.5,1.1){\rnode{A}{3}} \rput(6.5,.3){\rnode{B}{5}} \rput(9.5,1.1){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}		

		\item ~

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3) \psline(0,1.4)(10,1.4) \psline(0,2.2)(10,2.2)\psline(3,0)(3,3) 
\rput(1.5,2.6){$x$} \rput(3.25,2.6){$-3$} \rput(6.5,2.6){3}\rput(9.5,2.6){$+ \infty$} 
\rput(1.5,1.8){\small Signe de $f'(x)$}\rput(5,1.8){$-$} \rput(6.5,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(8,1.8){$+$}
\rput(1.5,0.7){\small Variations de $f$} \rput(3.5,.3){\rnode{A}{5}} \rput(6.5,1.1){\rnode{B}{3}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_{f'}$ de la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle 
$[-4 ; 7]$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(7.5,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.9+1.5/(.5*x+3)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4.5,-1.5)(7.5,2.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-4}{7}{\f}
\uput[u](2.5,0){\bleu{$\mathcal{C}_{f'}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item $f$ est décroissante sur l'intervalle $[-4 ; 7]$.
		\item  $f'$ est négative sur l'intervalle $[-4 ; 7]$.
		\item $f''$ est décroissante sur l'intervalle $[-4 ; 7]$.
		\item $f''$ est négative sur l'intervalle $[-4 ; 7]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Dans la suite de l'exercice, pour tous évènements $E$ et $F$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $U$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[-10 ; 40]$.
	\begin{enumerate}
		\item La fonction de densité $f$ associée à $U$ est définie sur l'intervalle $[-10 ; 40]$ par $f(x) = \dfrac{1}{30}$.
		\item $p_{(U \geqslant 20)}(U \geqslant 30)= p(U \geqslant 10)$
		\item $p(-5 \leqslant  U \leqslant 20) = p(-3 \leqslant U \leqslant 22)$ 
		\item L'espérance de $U$ est égale à 25.
	\end{enumerate}
\item  Soit $Z$ la variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu = 15$ et d'écart type $\sigma = 2$.

On a :
	\begin{enumerate}
		\item $p(8 \leqslant Z \leqslant 12) \approx 0,092$
		\item $p(Z = 13) \approx 0,121$
		\item $p(Z < 12) \approx 0,067$
		\item La valeur arrondie au millième du réel $a$ tel que $p(Z \leqslant a) \approx 0,9$ est égale à $1,282$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$.

Soit $Y$ la variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart type $\sigma'$. 

Sur le graphique ci-dessous, $C$ est la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire $X$, et $C'$ est la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire $Y$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(6,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,](0,0)(0,0)(6,2)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu,mue=3,sigma=0.4]{1}{5}
\uput[l](2.5,0.5){\bleu $C$}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=prune,mue=4,sigma=0.2]{3}{5}\uput[r](4.15,1.25){\prune $C'$}
\end{pspicture}
\end{center}
D'après le graphique, on a : 
	\begin{enumerate}
		\item $\mu < \mu'$ et $\sigma < \sigma'$
		\item $\mu >\mu'$ et $\sigma < \sigma'$
		\item $\mu > \mu'$ et $\sigma > \sigma'$
		\item $\mu < \mu'$ et $\sigma > \sigma'$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{Vrai - Faux} 

 \subsubsection[Polynésie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2020 (1)}} 

 \index{Polynésie 2020}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. \\Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.\\ Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip
 
Seules les affirmations 1, 2 et 3 s'appuient sur la figure ci-dessous dans laquelle :

\medskip
\begin{minipage}{\linewidth-7.5cm}
\begin{itemize}
\item la courbe $\mathcal{C}$ représente une fonction $g$ définie et strictement croissante sur $\R$,
\item le point $A$ est le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 1 et le point $B$ celui d'abscisse 2,
\item la droite $(d)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$,
\item la tangente $(t)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $B$ est horizontale.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-2)(5.6,5.6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x^2-5*x+7)}
\psset{unit=.2cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(-6,-8)(28,28)
\psset{unit=1cm}
\multido{\n=-1+1}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,-1.6)(\n,5.6)}
\multido{\n=-1+1}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](-1.2,\n)(5.6,\n)}
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.2,-3.2)(5.6,11.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{.3865}{4.1687}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-.1,-3.3)(4.7,11.1) 
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-1.2,1)(5.6,1)
\psdots(1,0)(2,1)
\uput[u](4,4){\bleu $\mathcal{C}$} \uput[ul](1,0){\bleu\footnotesize{$A$}}\uput[ur](2,1){\bleu\footnotesize{$B$}}\uput[u](2.5,6){\prune $(d)$}\uput[u](5,1){\prune $(t)$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\textsf{\textbf{Affirmation 1}}

$g'(1) = 1$

\medskip

\textsf{\textbf{Affirmation 2}}

Toute primitive de la fonction $g$ est strictement croissante sur $[0 ; 3]$.

\medskip

\textsf{\textbf{Affirmation 3}}

Le point $B$ est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $g$.

\medskip

\textsf{\textbf{Affirmation 4}}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, d'expression $f(x) = x\e^{3x}$.

La fonction dérivée de $f$ notée $f'$ est définie sur $\R$ par $f'(x) = 3\e^{3x}$.



 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{SPÉCIALITÉ} 

\subsection{GRAPHES} 

 \subsubsection[Antilles Guyane 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2020 (2)}} 

 \index{Antilles Guyane 2020}

\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le graphe ci-dessous représente le tarif moyen, en euro, demandé sur un site de covoiturage pour effectuer le trajet entre des villes du sud de la France.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(13.5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{scriptsize}
\rput(0.7,.2){\dotnode{H}{ \uput[d](0,0){\bleu{HENDAYE}}}}
\rput(2,2.5){\dotnode{B} {\uput[u](0,0){\bleu{BORDEAUX}}}}
\rput(3.5,.5){\dotnode{T} {\uput[d](0,0){\bleu{TOULOUSE}}}}
\rput(5,3){\dotnode{C} {\uput[u](0,0){\bleu{CLERMONT-FERRAND}}}}
\rput(7,.5){\dotnode{M} {\uput[d](0,0){\bleu{MONTPELLIER}}}}
\rput(9,2.75){\dotnode{L}{ \uput[u](0,0){\bleu{LYON}}}}
\rput(9.5,1){\dotnode{A} {\uput[d](0,0){\bleu{AVIGNON}}}}
\rput(13,2.25){\dotnode{N}{ \uput[r](0,0){\bleu{NICE}}}}
\ncline{H}{B}\ncput*{\textsf{\prune 14}}  \ncline{H}{T}\ncput*{\textsf{\prune 27}}  \ncline{T}{B}\ncput*{\textsf{\prune 12}} \ncline{C}{B}\ncput*{\textsf{\prune 27}}  \ncline{T}{C}\ncput*{\textsf{\prune 15}}  \ncline{C}{M}\ncput*{\textsf{\prune 14}} \ncline{C}{L}\ncput*{\textsf{\prune 12}}  \ncline{M}{A}\ncput*{\textsf{\prune 7}}  \ncline{A}{L}\ncput*{\textsf{\prune 19}} \ncline{L}{N}\ncput*{\textsf{\prune 35}}  \ncline{A}{N}\ncput*{\textsf{\prune 19}}  \ncline{T}{M}\ncput*{\textsf{\prune 30}} 
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}

On désignera chaque ville par son initiale: A, B, C, H, L, M, N ou T.

\begin{enumerate}
\item En justifiant la réponse, dire si :
	\begin{enumerate}
		\item le graphe est complet ;
		\item le graphe est connexe ;
		\item il existe une chaîne eulérienne.
	\end{enumerate}
\item Une personne veut aller de Hendaye à Nice.

Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet qui serait le plus économique et préciser le coût de ce trajet.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Un commercial d'une société basée à Montpellier effectue toujours les mêmes trajets: Montpellier- Toulouse, Montpellier-Clermont Ferrand et Montpellier-Avignon.

Au total, il a effectué 40 trajets aller-retour au cours de cette année en ayant parcouru \np{19200}~km et roulé $236$~heures. On donne les renseignements suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Distance du trajet aller-retour (en km)&Durée totale du trajet aller-retour (en h)\\ \hline
Montpellier- Toulouse&480&5\\ \hline
Montpellier-Clermont Ferrand&680&9\\ \hline
Montpellier-Avignon&200&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On se propose de déterminer combien de trajets aller-retour de chaque sorte il a effectué. 

On note :

\begin{itemize}
\item[ ] $x$, le nombre de trajets aller-retour Montpellier- Toulouse ;
\item[ ] $y$, le nombre de trajets aller-retour Montpellier-Clermont Ferrand ;
\item[ ] $z$, le nombre de trajets aller-retour Montpellier-Avignon.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $x$,  $y$ et $z$ sont solutions du système: $\begin{cases}x+y+z=40\\12x+17y+5z=480\\5x+9y+3z=236\end{cases}$.
\item Déterminer les matrices $A$, $X$ et $B$ qui permettent d'écrire le système précédent sous la forme $AX =B$.
\item Résoudre le système et interpréter dans le contexte de l'exercice le résultat obtenu.
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2020]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2020 (3)}} 

 \index{France métropolitaine, La Réunion 2020}
L'organisatrice d'une course à pied dans la ville de Berlin voudrait faire passer les participants par les lieux suivants :


\begin{itemize}
\item Alexanderplatz (A)
\item Porte de Brandebourg (B)
\item Checkpoint Charlie (C)
\item Fleamarket (F)
\item Musée de Pergame (P)
\item Reichstag (R)
\end{itemize}


On peut résumer la situation par le graphe ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\rput(2.7,6.5){\dotnode{A}{\uput[u](0,0){\bleu{A}}}}
\rput(6.7,4.4){\dotnode{B}{\uput[r](0,0){\bleu{B}}}}
\rput(6.2,1.4){\dotnode{C}{\uput[r](0,0){\bleu{C}}}}
\rput(2.7,0){\dotnode{F}{\uput[d](0,0){\bleu{F}}}}
\rput(0.2,1.5){\dotnode{P}{\uput[l](0,0){\bleu{P}}}}
\rput(0,5){\dotnode{R}{\uput[l](0,0){\bleu{R}}}}
\end{footnotesize}
\ncline{B}{R}\ncline{R}{F} \ncline{F}{B}\ncline{B}{C}\ncline{C}{P}\ncline{P}{A} \ncline{A}{C}\ncline{C}{F}\ncline{F}{A} \ncline{A}{B} \ncline{B}{P}
\end{pspicture}
\end{center}

Les lieux sont représentés par les sommets, et les rues ouvertes à la course par les arêtes.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ordre de ce graphe ? 
		\item Est-il complet ? Justifier.
		\item Est-il connexe ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'organisatrice peut-elle envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues ? Justifier.
		\item Peut-elle envisager un parcours passant par tous ces lieux en empruntant une seule fois chacune des rues, et dont le départ et l'arrivée se font au même endroit ?
	\end{enumerate}
\item Donner la matrice d'adjacence $M$ de ce graphe, en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique.
\item On admet que :\[M^3 = \begin{pmatrix}
10&13&11&12&10& 5\\
13&12&13&12&11& 8\\
11&13&10&12&10& 5\\
12&12&12&8& 7& 7\\
10&11&10&7& 6& 5\\
5&8&5&7&5&2
\end{pmatrix}\]

Combien de parcours peut-on envisager d'Alexanderplatz au Reichstag passant par exactement 3 rues ?

Justifier la réponse.
\item L'organisatrice veut également prévoir un autre parcours pour les coureurs moins expérimentés. Ce parcours doit débuter à Alexanderplatz et se terminer au Reichstag. 

Les distances entre les différents lieux sont indiquées en kilomètres sur le graphe ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\rput(2.7,6.5){\dotnode{A}{\uput[u](0,0){\bleu{A}}}}
\rput(6.7,4.4){\dotnode{B}{\uput[r](0,0){\bleu{B}}}}
\rput(6.2,1.4){\dotnode{C}{\uput[r](0,0){\bleu{C}}}}
\rput(2.7,0){\dotnode{F}{\uput[d](0,0){\bleu{F}}}}
\rput(0.2,1.5){\dotnode{P}{\uput[l](0,0){\bleu{P}}}}
\rput(0,5){\dotnode{R}{\uput[l](0,0){\bleu{R}}}}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{B}{R}\ncput*{\textsf{\prune 0,5}}\ncline{R}{F}\ncput*{\textsf{\prune 5}} \ncline{F}{B}\ncput*{\textsf{\prune 4}}
\ncline{B}{C}\ncput*{\textsf{\prune 1,5}}\ncline{C}{P}\ncput*{\textsf{\prune 2}}\ncline{P}{A}\ncput*{\textsf{\prune 2}}
\ncline{A}{C}\ncput*{\textsf{\prune 5}}\ncline{C}{F}\ncput*{\textsf{\prune 6}}\ncline{F}{A}\ncput*{\textsf{\prune 3,5}}
\ncline{A}{B}\ncput*{\textsf{\prune 6}} \ncline{B}{P}\ncput*{\textsf{\prune 4,5}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer le parcours le plus court possible d'Alexanderplatz au Reichstag. Donner sa longueur.
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2020 (3)}} 

 \index{Nouvelle Calédonie 2020}
Un club cycliste se prépare pour une compétition.
Le graphe ci-dessous représente l'ensemble des routes empruntables le jour de la compétition : les arêtes représentent les routes et les sommets représentent des points de passage.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.3,linewidth=1pt,linecolor=bleu}
\begin{footnotesize}
\rput(0.5,3.2){\dotnode{D}{\uput[l](0,0){\bleu{D}}}}
\rput(2.2,4.6){\dotnode{E}{\uput[u](0,0){\bleu{E}}}}
\rput(9.1,5.5){\dotnode{F}{\uput[u](0,0){\bleu{F}}}}
\rput(6.3,4.2){\dotnode{G}{\uput[u](0,0){\bleu{G}}}}
\rput(3,2){\dotnode{H}{\uput[d](0,0){\bleu{H}}}}
\rput(6.8,2.5){\dotnode{I}{\uput[d](0,0){\bleu{I}}}}
\rput(9.1,0.5){\dotnode{J}{\uput[d](0,0){\bleu{J}}}}
\rput(11.6,3.5){\dotnode{S}{\uput[d](0,0){\bleu{S}}}}
\ncline{G}{E}
\ncline{E}{H}
\ncline{H}{J}
\ncline{J}{I}
\ncline{I}{F}
\ncline{F}{J}
\ncline{J}{S}
\ncline{S}{F}
\ncline{F}{G}
\ncline{G}{I}
\ncline{I}{H}
\ncline{H}{D}
\ncline{D}{E}
\ncline{E}{F}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}

\end{scriptsize}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que ce graphe est connexe.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Existe-t-il un trajet permettant de parcourir toutes les routes une fois et une seule ? Justifier.
		\item Si un tel trajet existe, en citer un.
	\end{enumerate}	
\item Soit $M$ la matrice d'adjacence de ce graphe pour laquelle les sommets sont cités
dans l'ordre alphabétique: D, E, F,  G, H, I, J, S.
	\begin{enumerate}
		\item On donne

\[M = \begin{pmatrix}
\ldots	&\ldots	&\ldots	&0 	&1 	&0	&0	&0\\
\ldots	&\ldots	&\ldots	&1 	&1 	&0 	&0	&0\\ 
\ldots	&\ldots	&\ldots	&1 	&0 	&1 	&1	&1\\
0		&1		&1		&0 	&0	&1	&0	&0\\
1		&1		&0 		&0	&0	&1	&1	&0\\
0		&0		&1		&0	&1	&1	&0 	&1\\
0		&0		&1		&0	&0	&0	&1	&0\\
\end{pmatrix}\]

Il manque certains coefficients de la matrice $M$. Recopier et compléter uniquement la partie manquante de $M$.
		\item On donne :

\[M^3~= \begin{pmatrix}
2 	&5 	&4 	&3	&5	&4	&3 	&2\\
5	&4	&11	&8	&10	&5	&6	& 3\\
4	&11	&8	&8	&6 	&12	&11	&7\\
3	&8	&8	&4	&5	&9	&6	&4\\
5	&10	&6	&5	&4	&10	&9	&4\\
4	&5	&12	&9	&10	&6	&9	&4\\
3	&6	&11	&6	&9	&9	&6	&6\\
2	&3	&7	&4	&4	&4	&6	&2
\end{pmatrix}\]

Un cycliste souhaite aller du point D au point F en empruntant trois routes. 

Combien d'itinéraires différents sont possibles ?

Donner la liste complète.
	\end{enumerate}
\item Dans le graphe ci-dessous, on a indiqué le temps, en minute, mis par un des cyclistes pour parcourir chacune des routes.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\cnodeput(0.5,3.2){D}{D}
\cnodeput(2.2,4.6){E}{E}
\cnodeput(9.1,5.5){F}{F}
\cnodeput(6.3,4.2){G}{G}
\cnodeput(3,2){H}{H}
\cnodeput(6.8,2.5){I}{I}
\cnodeput(9.1,0.5){J}{J}
\cnodeput(11.6,3.5){S}{S}}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
\ncline{G}{E}\ncput*{93}
\ncline{E}{H}\ncput*{97}
\ncline{H}{J}\ncput*{124}
\ncline{J}{I}\ncput*{98}
\ncline{I}{F}\ncput*{167}
\ncline{F}{J}\ncput*{152}
\ncline{J}{S}\ncput*{117}
\ncline{S}{F}\ncput*{59}
\ncline{F}{G}\ncput*{80}
\ncline{G}{I}\ncput*{5}
\ncline{I}{H}\ncput*{86}
\ncline{H}{D}\ncput*{10}
\ncline{D}{E}\ncput*{75}
\ncline{E}{F}\ncput*{110}
}}} 
\end{pspicture}
\end{center}

Afin de gagner la compétition, il doit choisir le trajet le plus rapide reliant le point D au point S.

Déterminer, en utilisant un algorithme, ce trajet minimal et préciser la durée, en minute, puis en heure de ce trajet.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2020]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2020 (3)}} 

 \index{Polynésie 2020}

\begin{center}
\emph{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Deux plateformes proposant des films en streaming se font concurrence sur le marché: Webflix et Yellow Cinéma. 

Au 1\up{er} janvier 2019, 63\,\% des utilisateurs de ces plateformes sont abonnés à Webflix et les 37\,\% restants à Yellow Cinéma. On souhaite étudier l'évolution du marché au fil du temps.


On estime que chaque mois:


\begin{itemize}
\item parmi les clients de Webflix, 89\,\% renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Yellow Cinéma.
\item parmi les clients de Yellow Cinéma, 91\,\% renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Webflix.
\end{itemize}

On suppose également que le nombre total de clients reste constant. 

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item $w_n$ la proportion de clients abonnés à Webflix $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2019.
\item $y_n$ la proportion de clients abonnés à Yellow Cinéma $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2019.
\end{itemize}


L'état probabiliste $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2019 est noté $P_n= \begin{pmatrix} w_n& y_n\end{pmatrix}$. 

On a ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,63&0,37\end{pmatrix}$. 

On rappelle que pour tout entier naturel $n$,  $w_n + y_n = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste dans lequel on notera respectivement W et Y les sommets correspondants aux plate-formes Webflix et Yellow Cinéma.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans leur ordre alphabétique.
		\item Calculer l'état probabiliste $P_2$.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+ 1} = 0,8w_n + 0,09$.
\item  On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $a_n = w_n - 0,45$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Étant donné un entier naturel $n$, exprimer $a_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $w_n = 0,18 \times 0,8^n + 0,45$.
	\end{enumerate}
\item  Les dirigeants de Webflix peuvent-ils espérer rester les leaders du marché à long terme ?
Expliquer.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le réseau de serveurs permettant à Webflix de diffuser les films que la plateforme propose à ses abonnés est modélisé par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent les serveurs et sur les arêtes on a indiqué les temps de réponse, exprimés en milliseconde, entre deux serveurs.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\sf{\bleu{\footnotesize{
\cnodeput(0,2.5){A}{A}
\cnodeput(2,.5){B}{B}
\cnodeput(2.5,5){C}{C}
\cnodeput(3,3){D}{D}
\cnodeput(5.5,2){E}{E}
\cnodeput(6.5,4.5){F}{F}
\cnodeput(8,0){G}{G}
\cnodeput(9,2.5){H}{H}}}}
\sf{\prune{\footnotesize{
\ncline{A}{B}\ncput*{31}\ncline{A}{C}\ncput*{26}
\ncline{A}{D}\ncput*{43}\ncline{B}{D}\ncput*{24}
\ncline{B}{E}\ncput*{21}\ncline{C}{D}\ncput*{22}
\ncline{C}{F}\ncput*{29}\ncline{D}{E}\ncput*{33}
\ncline{E}{F}\ncput*{25}\ncline{E}{G}\ncput*{16}
\ncline{E}{H}\ncput*{29}\ncline{F}{H}\ncput*{22}
\ncline{G}{H}\ncput*{11}
}}} 
\end{pspicture}
\end{center}

Des données doivent transiter du serveur A vers le serveur H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide d'un algorithme, un chemin que doivent suivre ces informations pour que la transmission soit la plus rapide possible.
\item Préciser le temps de réponse pour le chemin trouvé précédemment.
\end{enumerate}


 \newpage 


\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\setdefaultenum {I - }{}{}{}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT 2020}}

\bigskip

{\Large \textsc{série es obligatoire et spécialité}}

\vspace{1cm}

{\Large \textsc{index des différents sujets}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2.5cm}{2.5cm}
\vspace{\stretch{1}}
\hrulefill

\begin{itemize} 
	\item[] Antilles Guyane 2020 \dotfill  \hyperpage{1}, \hyperpage{15}, \hyperpage{20}, \hyperpage{25}, \hyperpage{35}
	\item[] France métropolitaine, La Réunion 2020 \dotfill \hyperpage{2}, \hyperpage{10}, \hyperpage{21}, \hyperpage{28}, \hyperpage{36}
	\item[] Nouvelle Calédonie 2020 \dotfill  \hyperpage{4}, \hyperpage{12}, \hyperpage{17}, \hyperpage{30}, \hyperpage{38}
	\item[] Polynésie 2020 \dotfill  \hyperpage{5}, \hyperpage{7}, \hyperpage{23}, \hyperpage{33}, \hyperpage{40}
\end{itemize}

\hrulefill
\vspace{\stretch{2}}
\end{ModifMarges}

	\end{sffamily}



 \end{document}
