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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\13 Décembre 2005}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 3}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES}}}
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%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur $\left] -\infty ; 2 \right[ \cup \left] 2 ; +\infty \right[$ par $f(x)=\dfrac{x^2-5}{4x-8}$.

On se propose de trouver trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\ne2$ : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{4x-8}$.

\begin{enumerate}
\item Écrire $ax+b+\dfrac{c}{x-2}$ sous la forme d'un seul quotient, de numérateur $4ax^2+\left( 4b - 8a \right)x-8b+c$.
\item En déduire que $a$, $b$ et $c$ sont solutions d'un système d'équations, le résoudre et conclure en indiquant la nouvelle écriture de $f(x)$ trouvée.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

La figure 2 est la représentation graphique d'une fonction $u$ définie sur $\R$.

Les deux autres courbes sont les représentations graphiques de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ telles que : $f(x)=u\left( x + a\right)$ et $g(x)=u(x)+b$ où $a$, et $b$ sont des réels.

Trouver les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ et donner la valeur des réels $a$ et $b$.
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(6,7)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{vert}{0.08 0.35 .05}
\def\f{5*(1-x)*(x+4)*(9*x-41)/164+10}
\rput(.5,6){\textsf{\textbf{\scriptsize{FIGURE 1}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-2)(6,5)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-10)(6,25)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=vert]{-4.963}{6}{\f}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(6,5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(.5,4){\textsf{\textbf{\scriptsize{FIGURE 2}}}}
\def\f{5*(1-x)*(x+4)*(9*x-41)/164}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-4)(6,3)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-20)(6,15)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.963}{6}{\f}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(7,5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\rput(1.5,4){\textsf{\textbf{\scriptsize{FIGURE 3}}}}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{5*(2-x)*(x+3)*(9*x-50)/164}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(7,3)
\psset{xunit=.5cm,yunit=.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-20)(7,15)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3.963}{7}{\f}
\end{pspicture}

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur  $\left] -\infty ; -1 \right[ \cup \left] -1 ; +\infty \right[$ dont le tableau de variation est le suivant :
\begin{center}
{\footnotesize{
	\psset{xunit=.8cm,yunit=.6cm} 
\begin{pspicture}(16.5,3.2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,3.2) \psline(0,2.4)(16.5,2.4) \psline(2.5,0)(2.5,3.2)\psline(9.4,0)(9.4,2.4)\psline(9.6,0)(9.6,2.4)
\rput(1.25,2.8){$x$} \rput(3,2.8){$- \infty$} \rput(6.25,2.8){$- 3$}\rput(9.5,2.8){$-1$} \rput(12.75,2.8){$1$} \rput(16,2.8){$+\infty$}
\rput(1.25,1.2){\scriptsize{Variations de $f$}} \rput(3,.4){\rnode{A}{}} \rput(6.25,2){\rnode{B}{$-6$}} \rput(9.4,.4){\rnode{C}{}}\rput(9.6,2){\rnode{D}{}} \rput(12.75,.4){\rnode{E}{$2$}}\rput(16,2){\rnode{F}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C} \ncline{D}{E} \ncline{E}{F} 
\end{pspicture}}}
\end{center}

Dresser le tableau de variation des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $f_1 \colon x \longmapsto f\left( x-3 \right)$.
\item $f_2 \colon x \longmapsto f(x)+3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u$ et $v$ sont deux fonctions définies sur $\R$ par $u(x)=2x-3$ et $v(x)=x^2$.

Donner l'expression de $f(x)$ où $f$ est la composée de la fonction $u$ suivie de $v$.
\item $u$ est la fonction définie sur $\left] 2 ; +\infty \right[$ par $u(x)=\dfrac{1}{x^2-4}$, $v$ est la fonction définie sur $\R$ par $v(x)=3x-2$ et $f$ est la composée de la fonction $u$ suivie de $v$, définie sur $\left] 2 ; +\infty \right[$.

Donner l'expression de $f(x)$.
\end{enumerate}


\bigskip

\exo

\medskip

Écrire la fonction $f$ comme composée d'une fonction $u$ suivie d'une fonction $v$.

\begin{enumerate}
\item $f$ est définie sur $\left] 2 ; +\infty \right[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$.
\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=2-3x^2$.
\end{enumerate}

\end{document}
