contrôles en première ES spécialité

contrôle du 01 février 2007

Corrigé de l'exercice 3

L'espace est rapporté à un repère (O;ı,ȷ,k) . Soient P1 et P2 les plans d'équations respectives : 4x+3y+3z=24ety+z=6

  1. Sur la figure ci-dessous, représenter ces deux plans par leurs traces sur les plans de base.

    Les coordonnées des points d'intersection du plan P1 avec les axes sont : A1600, B1080etC1008

    Le plan P2 est parallèle à l'axe (Ox). Les coordonnées des points d'intersection du plan P2 avec les axes sont : B2060etC2006

    Plans P1 et P2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Construire la droite D intersection des plans P1 et P2.

    • La droite A1C1 est la droite d'intersection du plan P1 avec le plan (xOz) et la parallèle à l'axe (Ox) passant par C2 est la droite d'intersection du plan P2 avec le plan (xOz).

      Ces deux droites sont dans le même plan (xOz). Leur intersection M, est un point de l'intersection des plans P1 et P2.

    • La droite A1B1 est la droite d'intersection du plan P1 avec le plan (xOy) et la parallèle à l'axe (Ox) passant par B2 est la droite d'intersection du plan P2 avec le plan (xOy).

      Ces deux droites sont dans le même plan (xOy). Leur intersection N, est un point de l'intersection des plans P1 et P2.

    La droite D intersection des plans P1 et P2 est la droite (MN)


    Plans P1 et P2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Déterminer une équation du plan P3 parallèle à l'axe (Oz) et passant par les points A800 et B23-1. Représenter le plan P3 par ses traces sur les plans de base.

    Le plan P3 est parallèle à l'axe (Oz) son équation est de la forme : ax+by=d

    • A800 appartient au plan P3 alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où 8a=d

    • B23-1 appartient au plan P3 alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où 2a+3b=d

    On a donc :{8a=d2a+3b=d{a=d8b=d4

    Si on attribue par exemple à d la valeur 8, on trouve a=1 et b=2

    Ainsi, une équation du plan P3 est : x+2y=8.


    Le plan P3 est représenté ci-dessous par ses traces en rose.

    Traces des plans P1, P2 et P3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  4. Résoudre le système {4x+3y+3z=24y+z=6x+2y=8 et interpréter géométriquement le résultat.

    {4x+3y+3z=24y+z=6x+2y=8{4x+3y+3z=24y+z=65y-3z=8L34L3-L1{4x+3y+3z=24y+z=68y=26L3L3+3L2{x=32z=114y=134

    Le système admet pour solution le triplet 32134114.


    Les plans P1, P2 et P3 ont un point commun S de coordonnées S32134114.

    S est le point d'intersection des droites D (intersection des plans P1 et P2), D (intersection des plans P1 et P3) et D (intersection des plans P2 et P3).

    Intersection des trois plans : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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