contrôles en première ES

contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $] - 3; + \infty [$ par $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 3}$ .

Déterminer les réels a, b et c tels que $f (x) = a x + b + \frac{c}{x + 3}$

Pour tout réel $x \neq - 3$ , $\begin{array}{l} a x + b + \frac{c}{x + 3} & = & \frac{(a x + b) (x + 3) + c}{x + 3} \\ = & \frac{a x^{2} + 3 a x + b x + 3 b + c}{x + 3} \\ = & \frac{a x^{2} + (3 a + b) x + (3 b + c)}{x + 3} \end{array}$

Par idendification à $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 3}$ ; a, b et c sont solutions du système : $\begin{array}{l} {\begin{array}{rcl} a & = & 1 & termes en x^{2} \\ 3 a + b & = & 0 & termes en x \\ 3 b + c & = & 1 & termes constants \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcr} a & = & 1 \\ b & = & - 3 \\ c & = & 10 \end{array} \end{array}$

Ainsi sur $] - 3; + \infty [$ , $f (x) = x - 3 + \frac{10}{x + 3}$

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