contrôle du 20 décembre 2007

Corrigé de l'exercice 4

Étudier les variations de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x^2-2x+2}}$

Pour tout réel x, posons $u\left(x\right)=x^2-2x+2$.

u est une fonction polynôme du second degré avec $a=1\text{, }b=-2\text{ et }c=2$.

• Les variations de la fonction u se déduisent du signe de a d'où le tableau des variations de la fonction u

  x	$-\infty$		1		$+\infty$
  Variations de u			1

  Le minimum de la fonction u est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit pour $x=1$ et $u\left(1\right)=1$.

• D'autre part, le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times 1\times 2=-4\end{array}$$

  $\mathrm{\Delta }<0$ donc pour tout réel x, $u\left(x\right)\ne 0$. Ainsi, pour tout réel x, les fonctions u et ${\displaystyle \frac{1}{u}}$ ont des variations contraires.

Par conséquent, les fonctions u et $f={\displaystyle \frac{2}{u}}$ ont des variations contraires. D'où le tableau des variations de la fonction f :

x	$-\infty$		1		$+\infty$
Variations de $f={\displaystyle \frac{2}{u}}$			2

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