contrôle du 16 avril 2008

Corrigé de l'exercice 2

Dans chacun des cas suivants, f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Calculer la dérivée $f\prime \left(x\right)$.

1. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{2}}-3x^2-{\displaystyle \frac{5}{x}}$.

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-3\times \left(2x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{5}{x^2}}\right)={\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-6x+{\displaystyle \frac{5}{x^2}}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-6x+{\displaystyle \frac{5}{x^2}}$.

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2. f est définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-x-1}{x^2-1}}$.

   Sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, $x^2-1>0$, alors la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables : $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$

   Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=x^2-x-1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2x-1\\ \text{et}& v\left(x\right)=x^2-1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$$

   donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(2x-1\right)\left(x^2-1\right)-2x\times \left(x^2-x-1\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^3-2x-x^2+1-2x^3+2x^2+2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2+1}{{\left(x^2-1\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+1}{{\left(x^2-1\right)}^2}}$.

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3. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(1-2x\right)\left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}+1\right)$.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$.

   Avec u et v fonctions définies pour tout réel x par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=1-2x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-2\\ \text{et}& v\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=x\end{array}$$

   Donc pour tout réel x :$$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -2\times \left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}+1\right)+\left(1-2x\right)\times x\\ & =& -x^2-2+x-2x^2\\ & =& -3x^2+x-2\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=-3x^2+x-2$.

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