contrôle du 15 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 1

1. Par interpolation linéaire, calculer le niveau de vie moyen en 1995 arrondi à l'euro près.

   Pour déterminer une estimation du niveau de vie en 1995, on suppose que l'accroissement moyen du niveau de vie reste constant entre 1990 et 1996.

   Soit f la fonction affine qui représente l'évolution du niveau de vie moyen entre 1990 et 1996.

   L'accroissement moyen du niveau de vie moyen entre 1990 et 1996 est : $$a={\displaystyle \frac{f\left(1996\right)-f\left(1990\right)}{1996-1990}}={\displaystyle \frac{16240-16045}{6}}=\mathrm{32,5}$$

   L'accroissement moyen du niveau de vie moyen entre 1990 et 1995 est : $$a={\displaystyle \frac{f\left(1995\right)-f\left(1990\right)}{1995-1990}}={\displaystyle \frac{f\left(1995\right)-16045}{5}}$$

   L'accroissement moyen étant constant entre 1990 et 1996 on obtient : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{f\left(1995\right)-16045}{5}}=\mathrm{32,5}& \iff & f\left(1995\right)-16045=\mathrm{32,5}\times 5\\ & \iff & f\left(1995\right)=\mathrm{162,5}+16045\\ & \iff & f\left(1995\right)=\mathrm{16207,5}\end{array}$$

   Arrondi à l'euro près, le niveau de vie moyen en 1995 était de 16208 euros 2005.

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2. En supposant que la tendance observée entre 2000 et 2005 se maintienne, en quelle année le montant du niveau de vie médian dépassera 17000 euros ?

   Soit f la fonction affine qui représente l'évolution du niveau de vie médian entre 2000 et 2005.

   L'accroissement moyen du niveau de vie médian entre 2000 et 2005 est : $$a={\displaystyle \frac{f\left(2005\right)-f\left(2000\right)}{2005-2000}}={\displaystyle \frac{16348-15289}{5}}=\mathrm{211,8}$$

   f est une fonction affine d'où :$$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=\mathrm{211,8}\times \left(x-2000\right)+f\left(2000\right)& \iff & f\left(x\right)=\mathrm{211,8}x-423600+15289\\ & \iff & f\left(x\right)=\mathrm{211,8}x-408311\end{array}$$

   Le montant du niveau de vie médian dépassera 17000 euros à partir de l'année x telle que :$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩾17000& \iff & \mathrm{211,8}x-408311⩾17000\\ & \iff & \mathrm{211,8}x⩾17000+408311\\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{425311}{\mathrm{211,8}}}\\ \text{Or}& {\displaystyle \frac{425311}{\mathrm{211,8}}}& \approx \mathrm{2008,08}\end{array}$$

   C'est en 2009 que le montant du niveau de vie médian dépassera 17000 euros.

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