contrôle du 20 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$ on considère les points $A\left(-2;3;-1\right)$ et $B\left(1;3;2\right)$

1. Déterminer les coordonnées du point C intersection de la droite (AB) avec le plan (xOy).

   C est un point du plan (xOy) alors les coordonnées du point C sont $C\left(x;y;0\right)$.

   Dire que C est un point de la droite (AB) signifie que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. C'est à dire qu'il existe un réel k tel que $$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$$

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $$\begin{array}{llll}& \overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)& \text{et}& \overrightarrow{AC}\left(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A\right)\\ \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(3;0;3\right)& & \overrightarrow{AC}\left(x+2;y-3;1\right)\end{array}$$

   x et y sont solutions du système :$$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rrr}x+2& =& 3k\\ y-3& =& 0\\ 1& =& 3k\end{array}& \iff & \{\begin{array}{ccc}x& =& -1\\ y& =& 3\\ k& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\end{array}$$

   Le point C intersection de la droite (AB) avec le plan (xOy) a pour coordonnées $C\left(-1;3;0\right)$.

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2. Déterminer les coordonnées du point D intersection de la droite (AB) avec le plan (yOz).

   D est un point du plan (yOz) alors les coordonnées du point D sont $D\left(0;y;z\right)$.

   Dire que D est un point de la droite (AB) signifie que les vecteurs $\overrightarrow{AB}\left(3;0;3\right)$ et $\overrightarrow{AD}\left(2;y-3;z+1\right)$ sont colinéaires. C'est à dire qu'il existe un réel k tel que $$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$$

   Soit y et z solutions du système :$$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rrr}2& =& 3k\\ y-3& =& 0\\ z+1& =& 3k\end{array}& \iff & \{\begin{array}{ccc}k& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ y& =& 3\\ z& =& 1\end{array}\end{array}$$

   Le point D intersection de la droite (AB) avec le plan (yOz) a pour coordonnées $D\left(0;3;1\right)$.

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3. La droite (AB) est-elle sécante avec le plan (xOz) ?

   Les points $A\left(-2;3;-1\right)$ et $B\left(1;3;2\right)$ ont la même ordonnée 3. Par conséquent, la droite (AB) est dans le plan d'équation $y=3$ parallèle au plan (xOz).

   La droite (AB) n'est pas sécante au plan (xOz).

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