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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Lundi 26 mai 2008}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE SPÉCIALITÉ N° 6}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES\\Durée 2 heures}}}
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo

\medskip 

Résoudre le système $S:\left\{ {\begin{array}{lcl}   2x - 3y + 4z + 1& =& 0  \\   3x + 2y - 5z - 3 &= &0  \\   5x - 4y + 2z + 2 &=& 0  \\\end{array}} \right.$

\bigskip 

\exo

\medskip

Pour la fabrication de deux produits A et B, on distingue quatre facteurs techniques de production : des unités de matières premières, des unités de conditionnement, des unités de main d'{\oe}uvre et des unités d'énergie. 

Le tableau suivant indique les quantités d'unités de ces facteurs nécessaires à la production d'une unité de produit A et à celle d'une unité de produit B  ainsi que la valeur estimée du coût de revient d'une unité de chacun de ces facteurs.\\

\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\centering}X|>{\centering}X|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}|}\hline
Facteurs techniques & Produit A &	Produit B	& Coût de revient unitaire du facteur (en euros)\\ \hline
Nombre d'unités de matières premières	&5&	6	&3\\ %\hline
Nombre d'unités de conditionnement&	3&	4&	1\\ %\hline
Nombre d'unités de main d'{\oe}uvre	&4&	3	&4\\ %\hline
Nombre d'unités d'énergie	&1&	2	&2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

La marge bénéficiaire sur chaque produit A et B est un pourcentage du coût total de production. Elle est égale à 40 \% pour le produit A et à 35 \%  pour le produit B.

On considère les matrices suivantes :

\begin{itemize}
	\item $F=\left({\begin{array}{cccc} 5&3& 4&1  \\   6&4& 3&2  \\ \end{array}} \right)$ dont les éléments sont les quantités de facteurs de production nécessaires à la fabrication des deux produits A et B.
\item $U$ dont les éléments sont les coûts unitaires des facteurs de production.
\item $C$ dont les éléments sont les coûts de production des deux produits A et B.
\item $V$ dont les éléments sont les prix de vente des deux produits A et B.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les éléments de la matrice $U$ de façon à ce que le produit des matrices $F$ et $U$ soit égal à la matrice $C$ des coûts de production. Calculer la matrice $C$.
	\item Déterminer les éléments de la matrice carrée $M$ telle que la matrice $V$ des prix de vente soit égale au produit des deux matrices $M$ et $C$. Calculer $V$.
	\item Un client commande 15 unités de produit A et 20 unités de produit B, quelle opération matricielle doit-on effectuer pour obtenir le montant total (en euros) de la commande ? Quel est le montant de la commande ?
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

\medskip

On se place dans le cas d'une économie fermée à deux branches A et B. 

Une partie de la production de chaque branche ne sert pas directement à la consommation finale, chaque branche utilisant des consommations intermédiaires de production pour produire.

On suppose  que :
\begin{itemize}
	\item La production d'une unité de la branche A consomme 0,1 unité de production du secteur A et 0,4 unité de production du secteur B.
	\item La production d'une unité de la branche B consomme 0,3 unité de production du secteur A et 0,2 unité de production du secteur B.
\end{itemize}

La matrice $A=\left({\begin{array}{ll} 0,1&0,3  \\   0,4&0,2  \\ \end{array}} \right)$ est appelée la matrice des coefficients techniques. $X=\left({\begin{array}{l} p_A  \\   p_B  \\ \end{array}} \right)$ est la matrice production des productions totales exprimées en unité monétaire de chaque branche et $D=\left({\begin{array}{l} d_A  \\   d_B  \\ \end{array}} \right)$ est la matrice demande des consommations finales exprimées en unité monétaire de chaque branche. 

On considère dans tout l'exercice que $X$, $A$ et $D$ vérifient l'égalité matricielle :\[\underbrace X_{{\text{Production totale}}} = \underbrace {AX}_{{\text{Consommations intermédiaires}}} + \underbrace D_{{\text{Consommations finales}}}\]

\begin{enumerate}
	\item On suppose dans cette question que la production totale  $p_A$ de la branche A est de 400 unités monétaires et que la production totale  $p_B$ de la branche B est de 500 unités monétaires.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les consommations intermédiaires de chacune des deux branches.
	\item Quelles sont les consommations finales de chacune des deux branches ?
\end{enumerate}
	\item On note $I_2={\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1\\ \end{pmatrix}}$ la matrice identité d'ordre 2. La matrice $I_2 - A$ est inversible et $\left(I_2 - A\right)^{-1}={\begin{pmatrix} \dfrac{4}{3}&\dfrac{1}{2}  \\ \dfrac{2}{3}&\dfrac{3}{2}  \rule[0pt]{0pt}{18pt} \\ \end{pmatrix}}$. 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $X= \left( I_2 - A\right)^{-1}D$.
	\item Si la demande des consommations finales en unité monétaire est $D=\left({\begin{array}{l} 180  \\   270  \\ \end{array}} \right)$, quelle doit être la production de chaque branche pour satisfaire la demande des consommations finales ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip 

\exo

\medskip

Trois opérateurs de téléphonie mobile A, B et C se partagent un marché, tout individu souscrit un abonnement auprès de A de B ou de C. On a constaté que d'une année sur l'autre :
\begin{itemize}
	\item 10\% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B et 15\% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C.
	\item 12\% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 18\% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C.
	\item 8\% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 12\% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B.
\end{itemize}
	  
On considère que ces résultats sont valables pour les trois années suivantes et que le marché étant saturé, le nombre des abonnés est stable.
	  
\begin{enumerate}
	\item Soit $a_0$, $b_0$ et $c_0$ les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C à la date $t = 0$. Exprimer $a_1$, $b_1$ et $c_1$ les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C un an plus tard en fonction $a_0$, $b_0$ et $c_0$.
	\item On note  $X_0=\left({\begin{array}{l} a_0  \\   b_0  \\ c_0 \\ \end{array}} \right)$ la matrice dont les éléments représentent les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C à la date $t = 0$ et $X_n=\left({\begin{array}{l} a_n  \\   b_n  \\ c_n \\ \end{array}} \right)$ la matrice dont les éléments représentent les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C $n$ années plus tard.\\
Exprimer sous forme matricielle la relation liant $X_1$ et $X_0$. On notera $M$ la matrice telle que $X_1 = M \times X_0$.
	\item Actuellement, le fournisseur A détient 48\% des parts de marché et le fournisseur B 36\% des parts de marché. Soit  $X_0=\left({\begin{array}{l} 0,48  \\   0,36  \\ 0,16 \\ \end{array}} \right)$.
	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les parts de marché des fournisseurs A, B et C dans un an.
	\item Écrire la relation matricielle liant $X_3$, $M$ et $X_0$. En déduire une prévision des parts de marché, des trois fournisseurs  dans trois ans (\textit{Sous forme de pourcentages arrondis au centième}).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
