contrôle du 26 mai 2008

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre le système $S:\{\begin{array}{lcr}2x-3y+4z+1& =& 0\\ 3x+2y-5z-3& =& 0\\ 5x-4y+2z+2& =& 0\end{array}$

$$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{lcr}2x-3y+4z+1& =& 0\\ 3x+2y-5z-3& =& 0\\ 5x-4y+2z+2& =& 0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{lcr}2x-3y+4z& =& -1\\ 3x+2y-5z& =& 3\\ 5x-4y+2z& =& -2\end{array}\end{array}$$

Posons $A=\left(\begin{array}{rrr}2& -3& 4\\ 3& 2& -5\\ 5& -4& 2\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{r}-1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$ . Le système S s'écrit sous forme matricielle : $$AX=B$$

Or la matrice A est inversible et l'inverse de la matrice A obtenue à la calculatrice est : $$A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}{\displaystyle \frac{16}{27}}& {\displaystyle \frac{10}{27}}& -{\displaystyle \frac{7}{27}}\\ {\displaystyle \frac{31}{27}}& {\displaystyle \frac{16}{27}}& -{\displaystyle \frac{22}{27}}\\ {\displaystyle \frac{22}{27}}& {\displaystyle \frac{7}{27}}& -{\displaystyle \frac{13}{27}}\end{array}\right)$$

Donc $$\begin{array}{ccccc}AX=B& \iff & A^{-1}AX=A^{-1}B& \iff & X=A^{-1}B\end{array}$$ Soit $$\begin{array}{lllll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{rrr}{\displaystyle \frac{16}{27}}& {\displaystyle \frac{10}{27}}& -{\displaystyle \frac{7}{27}}\\ {\displaystyle \frac{31}{27}}& {\displaystyle \frac{16}{27}}& -{\displaystyle \frac{22}{27}}\\ {\displaystyle \frac{22}{27}}& {\displaystyle \frac{7}{27}}& -{\displaystyle \frac{13}{27}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{r}-1\\ 3\\ -2\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{28}{27}}\\ {\displaystyle \frac{61}{27}}\\ {\displaystyle \frac{25}{27}}\end{array}\right)\end{array}$$

Les solutions du système S sont $x={\displaystyle \frac{28}{27}}$, $y={\displaystyle \frac{61}{27}}$ et $z={\displaystyle \frac{25}{27}}$.

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