contrôles en première ES

contrôle du 20 octobre 2008

Corrigé de l'exercice 4

Dans une entreprise de 60 personnes, le salaire moyen mensuel des employés est de 1500 €, celui des techniciens est de 2600 € et celui des cadres de 4200 €.
La masse salariale mensuelle de cette entreprise est de 114 000 €.
Si on augmente de 6,4% le salaire des employés et de 4,5% celui des cadres et techniciens alors la masse salariale augmente de 5,6%
On note x le nombre d'employés, y le nombre de techniciens et z le nombre de cadres.

Traduire les données par trois équations et établir que le triplet $(x; y; z)$ est solution de l'un des deux systèmes suivants : $\begin{matrix} {\begin{array}{r} x + y + z & = & 60 \\ 15 x + 26 y + 42 z & = & 1140 \\ 96 x + 117 y + 189 z & = & 6384 \end{array} & ou & {\begin{array}{r} x + y + z & = & 60 \\ 15 x + 26 y + 42 z & = & 1140 \\ 1596 x + 2717 y + 4389 z & = & 120384 \end{array} \end{matrix}$
- Le nombre de salariés de l'entreprise est égal à 60 d'où $x + y + z = 60$
- Le salaire moyen mensuel des employés est de 1500 €, celui des techniciens est de 2600 € et celui des cadres de 4200 € et la masse salariale mensuelle de cette entreprise est de 114 000 € alors $\begin{matrix} 1500 x + 2600 y + 4200 z = 114000 & \Leftrightarrow & 15 x + 26 y + 42 z = 1140 \end{matrix}$
- Si on augmente de 6,4% le salaire des employés et de 4,5% celui des cadres et techniciens alors la masse salariale augmente de 5,6% alors $\begin{matrix} 0,064 \times 1500 x + 0,045 \times 2600 y + 0,045 \times 4200 z = 0,056 \times 114000 & \Leftrightarrow & 96 x + 117 y + 189 z = 6384 \end{matrix}$ ou en utilisant les coefficients multiplicateurs associés aux différentes augmentations : $\begin{matrix} 1,064 \times 1500 x + 1,045 \times 2600 y + 1,045 \times 4200 z = 1,056 \times 114000 & \Leftrightarrow & 1596 x + 2717 y + 4389 z = 120384 \end{matrix}$
x, y et z sont donc solutions de l'un des systèmes équivalents suivants : $\begin{matrix} {\begin{array}{r} x + y + z & = & 60 \\ 15 x + 26 y + 42 z & = & 1140 \\ 1596 x + 2717 y + 4389 z & = & 120384 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} x + y + z & = & 60 \\ 15 x + 26 y + 42 z & = & 1140 \\ 96 x + 117 y + 189 z & = & 6384 \end{array} & \begin{matrix} On remplace la ligne L_{3} par L_{3} - 100 \times L_{2} \end{matrix} \end{matrix}$
Ainsi, le triplet $(x; y; z)$ est solution du système : ${\begin{array}{r} x + y + z & = & 60 \\ 15 x + 26 y + 42 z & = & 1140 \\ 96 x + 117 y + 189 z & = & 6384 \end{array}$
Résoudre le système et déduire l'effectif de chaque catégorie de salariés
$\begin{array}{l} {\begin{array}{r} x + y + z & = & 60 \\ 15 x + 26 y + 42 z & = & 1140 \\ 96 x + 117 y + 189 z & = & 6384 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} x + y + z & = & 60 \\ 15 x + 26 y + 42 z & = & 1140 \\ 57 x & = & 2508 \end{array} & \begin{matrix} On remplace la ligne L_{3} par 2 \times L_{3} - 9 \times L_{2} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} x + y + z & = & 60 \\ 27 x + 16 y & = & 1380 \\ 57 x & = & 2508 \end{array} & \begin{matrix} On remplace la ligne L_{2} par 42 \times L_{1} - L_{2} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 60 \\ 16 y & = & 1380 - 27 \times 44 \\ x & = & 44 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} z & = & 4 \\ y & = & 12 \\ x & = & 44 \end{array} \end{array}$
Dans cette entreprise, il y a 4 cadres 12 techniciens et 44 employés.

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