\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
%\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\DecimalMathComma
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\19 Décembre 2008}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 4}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES\\Durée 1 heure}}}
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo \qquad (2 \textit{points})

 \medskip 
 
La courbe $(C)$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty\right[$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-4)(5,1.2)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](-.5,-4)(5,1)
\psaxes[linewidth=.8pt,labels=none,  ticks=none]{->}(0,0)(-.5,-4)(5,1.1)
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\pcline{-}(1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.25){\textsf 1}
\pcline{-}(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.25,1){\textsf 1}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.1}{5}{ln(x)/(2*x)-.5*x}
\end{pspicture*}
\end{center}

Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty\right[$ par $g(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ . Laquelle de ces trois courbes est la courbe représentative de la fonction $g$ ?

	\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture*}(-.5,-5)(5,1.2)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-4)(5,1)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.5,-4)(5,1)
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\pcline{-}(1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.25){\textsf 1}
\pcline{-}(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.25,1){\textsf 1}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0 .4 }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=violet]{0.361}{5}{ln(x)/(x)-x/2-1}
\rput(2.25,-4.5){\footnotesize{\textsf{Courbe $C_1$}}}
\end{pspicture*}\hfill
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-4)(5,2.2)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-3)(5,2)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.5,-3)(5,2)
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\pcline{-}(1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.25){\textsf 1}
\pcline{-}(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.25,1){\textsf 1}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0 .4 } 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=violet]{0.01}{5}{2*x/(ln(x)-x^2)}
\rput(2.25,-3.5){\footnotesize{\textsf{Courbe $C_2$}}}
\end{pspicture*}\hfill
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(5,4.5)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-.5)(5,4.5)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.5,-.5)(5,4.5)
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\pcline{-}(1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.25){\textsf 1}
\pcline{-}(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.25,1){\textsf 1}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0 .4 }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=violet]{0.1}{5}{-ln(x)/(2*x)+.5*x+1}
\rput(2.25,-1){\footnotesize{\textsf{Courbe $C_3$}}}
\end{pspicture*}
		
\bigskip

\exo \qquad (3 \textit{points})

 \medskip 

La courbe tracée ci-dessous, est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R$ . On sait d'autre part, que l'équation $f(x)=0$  admet deux solutions 0 et 4,5.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3.5)(6,3)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](-2,-3.5)(6,3)
\psaxes[linewidth=.8pt,labels=none,  ticks=none]{->}(0,0)(-2,-3.5)(6,3)
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\pcline{-}(1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.25){\textsf 1}
\pcline{-}(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.25,1){\textsf 1}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\newrgbcolor{violet}{.5 0 .5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2}{5.4}{x^2*(9-2*x)/12}
\psline[linecolor=violet,linewidth=.75pt]{<->}(2.25,2.25) (3.75,2.25)
\end{pspicture*}
\end{center}
À partir du graphique et des renseignements fournis : 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer le signe de $f(x)$  selon les valeurs du réel $x$.
	\item Établir le tableau des variations de la fonction ${\left( f \right)}^2$ composée de la fonction $f$ suivie de la fonction carrée.
\end{enumerate}


\pagebreak

\exo \qquad (4 \textit{points})

 \medskip 

$f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$  par  $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\ne0$ ) 

Dans chacun des cas suivants, préciser le signe de $a$ et indiquer si le discriminant $\Delta$ est négatif, positif ou nul.

\begin{enumerate}
	\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{5cm}{%
	\psset{xunit=1cm}
	\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(1.5,3) 
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-3.5,-1)(1.5,3)  
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3.5,-1)(1.5,3) 
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.5}{2}{(x+2)*(x+.5)}
\end{pspicture*}}

\hfill

\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{5cm}{%
	\psset{xunit=1cm}
	\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,1) 
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-1.5,-3)(3.5,1)  
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.5,-3)(3.5,1) 
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.5}{3}{-(x-1)^2}
\end{pspicture*}}

\hfill

\item Le tableau des variations de $f$ est \hfill
	\parbox{10cm}{%
	\begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(10,2.5)
\psline(0,1.75)(10,1.75) \psline(1.5,0)(1.5,2.5)
\psline{->}(2.5,1.2)(5.4,0.3)
\psline{->}(6.1,0.3)(9,1.2)
\uput[u](.75,1.75){$x$} \uput[u](2,1.75){$- \infty$} \uput[u](5.8,1.75){$3$} \uput[u](9.5,1.75){$+ \infty$}
\uput[u](.7,.4){$f(x)$} \uput[d](5.75,0.6){$-2$}
\end{pspicture}}

\hfill

\item Le tableau des variations de $f$ est \hfill
	\parbox{10cm}{%
	\begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(10,2.5)
\psline(0,1.75)(10,1.75) \psline(1.5,0)(1.5,2.5)
\psline{->}(2.5,0.3)(5.4,1.2)
\psline{->}(6.1,1.2)(9,0.3)
\uput[u](.75,1.75){$x$} \uput[u](2,1.75){$- \infty$} \uput[u](5.75,1.75){$-3$} \uput[u](9.5,1.75){$+ \infty$}
\uput[u](.7,.4){$f(x)$} \uput[u](5.75,1){$-1$}
\end{pspicture}}
\end{enumerate}
		
\bigskip

\exo \qquad (7 \textit{points})

 \medskip 

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\begin{enumerate}
	\item $3x^2=2-x$.
	\item $2x^2-3x+2=0$.
	\item $x^2-3x+1=0$.
\end{enumerate}
		
\bigskip
 
\exo \qquad (4 \textit{points})

 \medskip 

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $P$ d'équation $y=2x^2+x-1$  avec la droite $D$ d'équation $y=4x+1$. 

\end{document}
