contrôle du 19 mars 2009

Corrigé de l'exercice 3

Sur la figure ci-dessous, $C_f$ est la courbe représentative d'une fonction f dérivable sur $ℝ$. Les droites $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$ sont tangentes à la courbe $C_f$.

1. Déterminer graphiquement $f\left(-4\right)$, $f\left(-2\right)$ et $f\left(2\right)$.

   $f\left(-4\right)$, $f\left(-2\right)$ et $f\left(2\right)$ sont les ordonnées des points de la courbe $C_f$ d'abscisses respectives − 4, − 2 et 2.

   Donc $f\left(-4\right)={\displaystyle \frac{19}{3}}$, $f\left(-2\right)=4$ et $f\left(2\right)=-{\displaystyle \frac{8}{3}}$

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2. Déterminer graphiquement, les nombres dérivés $f\prime \left(-4\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(a\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse a.

   Or aux points d'abscisses − 4 et 2 les tangentes $d_1$ et $d_3$à la courbe $C_f$ sont parallèles à l'axe des abscisses donc :

   $f\prime \left(-4\right)=0$ et $f\prime \left(2\right)=0$

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3. La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse − 2 passe par l'origine du repère. Déterminer $f\prime \left(-2\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(-2\right)$ est égal au coefficient directeur de la droite $d_2$ qui passe par le point $A\left(-2;4\right)$ et l'origine du repère donc $$f\prime \left(-2\right)={\displaystyle \frac{4-0}{-2-0}}=-2$$

   Ainsi, $f\prime \left(-2\right)=-2$

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4. La tangente T à la courbe $C_f$ au point $B\left(-6;{\displaystyle \frac{8}{3}}\right)$ est parallèle à la droite $d_4$. Déterminer $f\prime \left(-6\right)$ puis, donner une équation de la tangente Tà la courbe au point B. Tracer cette droite sur le graphique précédent.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(-6\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse − 6. Or les droites T et $d_4$ étant paralléles elles ont le même coefficient directeur.
   La droite $d_4$ passe par les points de coordonnées $\left(4;1\right)$ et $\left(5;5\right)$ donc son coefficient directeur est $$m={\displaystyle \frac{5-1}{5-4}}=4$$

   Ainsi, $f\prime \left(-6\right)=4$

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   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point $B\left(-6;{\displaystyle \frac{8}{3}}\right)$ est :$$\begin{array}{lll}y=f\prime \left(-6\right)\times \left(x+6\right)+f\left(-6\right)& \iff & y=4\times \left(x+6\right)+{\displaystyle \frac{8}{3}}\\ & \iff & y=4x+{\displaystyle \frac{80}{3}}\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point B a pour équation $y=4x+{\displaystyle \frac{80}{3}}$. Cette droite passe par le point $B\left(-6;{\displaystyle \frac{8}{3}}\right)$ et le point de coordonnées $\left(-5;{\displaystyle \frac{20}{3}}\right)$

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