contrôles en première ES

contrôle du 19 mars 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=ax+b+cxa, b et c sont trois réels. Sa courbe représentative notée Cf est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note f la dérivée de la fonction f.
La courbe Cf passe par les points A10 et B21. La tangente à la courbe Cf au point B est parallèle à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer f2.

    La tangente à la courbe Cf au point B21 est parallèle à l'axe des abscisses alors f2=0 .


  2. Exprimer fx à l'aide de a, b et c.

    fx est la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=a-cx2.


  3. Calculer a, b et c et donner l'écriture de fx.

    • La courbe Cf passe par les points A10 et B21 donc leurs coordonnées vérifient l'équation de la courbe. Soit f1=0a+b+c=0f2=12a+b+c2=1

    • D'autre part, f2=0 . Soit f2=0a-c22=0

    Par conséquent, a, b et c sont solutions du système {a+b+c=02a+b+c2=1a-c4=0{a+b+c=0a-c2=1a-c4=0{a+b+c=0a-c2=1-c4=1{b=5a=-1c=-4

    Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=-x+5-4x


  4. Vérifier que fx=4-x2x2. Étudier le signe de fx, en déduire le tableau des variations de la fonction f.

    D'après la deuxième question, fx=-1+4x2fx=4-x2x2=x+22-xx2

    Sur l'intervalle 0+, fx est du même signe que le polynôme du second degré 4-x2 . Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

    x02 +
    fx+0|| 
    fxfonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  5. Donner une équation de la tangente T à la courbe au point A. Tracer cette droite sur le graphique précédent.

    Une équation de la tangente T à la courbe au point A10 est y=f1x-1+f1

    Or f1=0etf1=4-1212=3

    La tangente T à la courbe au point A a pour équation y=3x-3. Cette droite passe par le point A10 et le point de coordonnées 0-3


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  6. Des trois courbes représentées ci-dessous, quelle est celle qui est la représentation graphique d'une fonction F définie sur l'intervalle 0+ et ayant pour dérivée la fonction f ?

    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe 1Courbe 2Courbe 3

    La fonction f est la dérivée de la fonction F alors les variations de F se déduisent du signe de f.

    Étudions le signe de f sur l'intervalle 0+ : fx=-x+5-4x=-x2+5x-4x

    Sur l'intervalle 0+, fx est du même signe que le polynôme du second degré -x2+5x-4 avec a=-1, b=5 et c=-4

    Δ=b2-4ac soit Δ=25-4×-1×-4=9 , le polynôme admet donc deux racines : x1=-b-Δ2aetx2=-b+Δ2aSoitx1=-5-3-2=4etx2=-5+3-2=1

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc établir le tableau donnant le signe de fx sur 0+ et en déduire les variations de F :

    x0 1 4 +
    fx0||+0|| 
    Fxfonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    La seule courbe qui puisse convenir est la courbe 2.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.