contrôle du 19 mars 2009

exercice 1

Au 1^er janvier 2005, une petite ville avait une population de 15 000 habitants. Une étude a permis de constater qu'à partir du 1^er janvier 2005, du fait des flux migratoires :
8% des habitants quittent la ville chaque année et 1 000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville.

Pour tout entier naturel n, on appelle $u_n$ le nombre d'habitants de cette ville le 1^er janvier de l'année (2005 + n). Ainsi, $u_0=15000$.

1. 1. Calculer $u_1$, et $u_2$. La suite $\left(u_n\right)$ de terme général $u_n$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier les réponses.

   2. Expliquer ensuite pourquoi on a, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,92}{u}_n+1000$.

2. Pour tout entier naturel n, on pose : $v_n=u_n-12500$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ de terme général $v_n$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.

   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_n=2500\times {\mathrm{0,92}}^n+12500$.

3. En se basant sur ce modèle théorique, quel serait le pourcentage d'évolution du nombre d'habitants de la ville entre le 1^er janvier 2005 et le 1^er janvier 2015 ? (Arrondir le résultat à 0,1 % près)

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exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x}}$ où a, b et c sont trois réels. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.
La courbe $C_f$ passe par les points $A\left(1;0\right)$ et $B\left(2;1\right)$. La tangente à la courbe $C_f$ au point B est parallèle à l'axe des abscisses.

1. Déterminer $f\prime \left(2\right)$.

2. Exprimer $f\prime \left(x\right)$ à l'aide de a, b et c.

3. Calculer a, b et c et donner l'écriture de $f\left(x\right)$.

4. Vérifier que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4-x^2}{x^2}}$. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$, en déduire le tableau des variations de la fonction f.

5. Donner une équation de la tangente T à la courbe au point A. Tracer cette droite sur le graphique précédent.

6. Des trois courbes représentées ci-dessous, quelle est celle qui est la représentation graphique d'une fonction F définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ et ayant pour dérivée la fonction f ?

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3

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