contrôles en première ES

contrôle du 19 mars 2009

thème

  • Suites géométriques.
  • Dérivation : nombre dérivé, fonction dérivée, dérivée et sens de variation.

exercice 1

Au 1er janvier 2005, une petite ville avait une population de 15 000 habitants. Une étude a permis de constater qu'à partir du 1er janvier 2005, du fait des flux migratoires :
8% des habitants quittent la ville chaque année et 1 000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville.

Pour tout entier naturel n, on appelle un le nombre d'habitants de cette ville le 1er janvier de l'année (2005 + n). Ainsi, u0=15000.

    1. Calculer u1, et u2. La suite un de terme général un est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier les réponses.

    2. Expliquer ensuite pourquoi on a, pour tout entier naturel n, un+1=0,92un+1000.

  1. Pour tout entier naturel n, on pose : vn=un-12500.

    1. Démontrer que la suite vn de terme général vn est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v0.

    2. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, un=2500×0,92n+12500.

  2. En se basant sur ce modèle théorique, quel serait le pourcentage d'évolution du nombre d'habitants de la ville entre le 1er janvier 2005 et le 1er janvier 2015 ? (Arrondir le résultat à 0,1 % près)


exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=ax+b+cxa, b et c sont trois réels. Sa courbe représentative notée Cf est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note f la dérivée de la fonction f.
La courbe Cf passe par les points A10 et B21. La tangente à la courbe Cf au point B est parallèle à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer f2.

  2. Exprimer fx à l'aide de a, b et c.

  3. Calculer a, b et c et donner l'écriture de fx.

  4. Vérifier que fx=4-x2x2. Étudier le signe de fx, en déduire le tableau des variations de la fonction f.

  5. Donner une équation de la tangente T à la courbe au point A. Tracer cette droite sur le graphique précédent.

  6. Des trois courbes représentées ci-dessous, quelle est celle qui est la représentation graphique d'une fonction F définie sur l'intervalle 0+ et ayant pour dérivée la fonction f ?

    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe 1Courbe 2Courbe 3


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