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\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Jeudi 07 Mai 2009}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 6}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES Spécialité\\Durée 1 heure}}}
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%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}


\exo 

\medskip

Soit $I_2 = {\begin{pmatrix} 1 & 0  \\
0 & 1 \\ \end{pmatrix} }$  et  $M = {\begin{pmatrix} a & b  \\
-b & a \\ \end{pmatrix} }$ où $a$ et $b$ sont deux réels non nuls. 

Déterminer les éléments de la matrice $J$ telle que $M=aI_2+bJ$.


\bigskip

\exo 

\medskip 

Soit $A = {\begin{pmatrix} -3 & -5  \\
2 & 3 \\ \end{pmatrix} }$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $A^2$, en déduire l'inverse de la matrice $A$.
	\item Calculer $A^3$ et $A^4$. Quel est l'inverse de la matrice $A^2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip 

Soit $T = {\begin{pmatrix} a & b  \\
-1 & -2 \\ \end{pmatrix} }$ où $a$ et $b$ sont deux réels. Calculer $a$ et $b$ pour que $T = T^{-1}$.

\bigskip

\exo 

\medskip 

Une entreprise fabrique deux types de produits notés $A$ et $B$ : 
\begin{itemize}
	\item la fabrication d'un article  $A$ nécessite 6 unités de matières premières, 4 unités de main d'{\oe}uvre et 1 unité d'énergie ;
	\item la fabrication d'un article  $B$ nécessite 9 unités de matières premières, 3 unités de main d'{\oe}uvre et 2 unités d'énergie.	
\end{itemize}
\begin{enumerate}
	\item On note  $C= {\begin{pmatrix} 40 & 20 & 80  \\ \end{pmatrix} }$ la matrice ligne des coûts unitaires, en euros, des trois facteurs de production (\textit{matières premières, main d'{\oe}uvre et énergie}).
	
	Calculer sous forme d'un produit de matrices, la matrice ligne $P= {\begin{pmatrix} p_A & p_B   \\ \end{pmatrix} }$ des prix de revient des produits $A$ et $B$.
	
	\item Le bénéfice est égal à 20\% du prix de revient sur le produit $A$ et à 25\% du prix de revient sur le produit $B$.	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les éléments de la matrice carrée $M$  telle que la matrice ligne $V= {\begin{pmatrix} v_A & v_B   \\ \end{pmatrix} }$ des prix de vente de chaque article soit égale au produit des deux matrices $P$ et $M$.
	\item Calculer $V$.
\end{enumerate} 
	
	\item L'entreprise reçoit une commande de 100 produits $A$ et 80 produits $B$. 
	
	Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant total en euros de la commande.
\end{enumerate}
\end{document}