contrôles en première ES spécialité

contrôle du 04 juin 2009

Corrigé de l'exercice 2

Une usine fabrique deux articles A et B à partir de quatre composants différents $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ et $C_{4}$ . La fabrication de chacun des composants nécessite trois ressources X, Y et Z (par exemple travail, matières premières et énergie).
Les deux tableaux suivants présentent les quantités de composants utilisées pour produire un article A et un article B et les quantités de ressources, exprimées dans la même unité, nécessaires à la fabrication de chaque composant.

						X	Y	Z
	$C_{1}$	$C_{2}$	$C_{3}$	$C_{4}$	$C_{1}$	10	15	3
A	3	2	2	1	$C_{2}$	15	18	8
B	4	3	0	2	$C_{3}$	1	6	2
					$C_{4}$	4	11	2

À l'aide d'un produit de matrices, calculer les quantités de chaque ressource intervenant dans la fabrication de chaque article.
Soit $M = (\begin{array}{r} 3 & 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & 2 \end{array})$ la matrice associée au montage des deux articles, les lignes étant relatives aux articles et les colonnes aux composants.
Soit $R = (\begin{array}{r} 10 & 15 & 3 \\ 15 & 18 & 8 \\ 1 & 6 & 2 \\ 4 & 11 & 2 \end{array})$ la matrice associée à la fabrication des composants, les lignes étant relatives aux composants et les colonnes aux ressources.
Les quantirés de chaque ressource nécessaires à la fabrication de chaque article sont rassemblées dans une matrice dont les lignes se rapportent aux articles et les colonnes aux différentes ressources. Cette matrice est obtenue en effectuant le produit $M \times R$ : $\begin{matrix} (\begin{array}{r} 3 & 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & 2 \end{array}) \times (\begin{array}{r} 10 & 15 & 3 \\ 15 & 18 & 8 \\ 1 & 6 & 2 \\ 4 & 11 & 2 \end{array}) & = & (\begin{array}{r} 66 & 104 & 31 \\ 93 & 136 & 40 \end{array}) \end{matrix}$
La matrice $F = (\begin{array}{r} 66 & 104 & 31 \\ 93 & 136 & 40 \end{array})$ représente les quantités de chaque ressource intervenant dans la fabrication de chaque article.
À l'aide d'un produit de matrices, calculer les quantités de ressources nécessaires à la production de 30 articles A et 50 articles B.
$\begin{matrix} (\begin{matrix} 30 & 50 \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 66 & 104 & 31 \\ 93 & 136 & 40 \end{array}) & = & (\begin{matrix} 6630 & 9920 & 2930 \end{matrix}) \end{matrix}$
La production de 30 articles A et 50 articles B nécessite 6630 unités de la ressource X, 9920 unités de la ressource Y et 2930 unités de la ressource Z.

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