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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Vendredi 20 Novembre 2009}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{CONTRÔLE N° 3}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES\\Durée 1 heure}}}
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\begin{document}

\exo \qquad  (3 \textit{points})

\medskip

La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $u$  définie sur $\R$

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6,-2.5)(6,2)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-3)*(3*x+3)/(2*x^2+7)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-6,-2.5)(6,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-6,-2.5)(6,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](-0.05,1.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6}{6}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotstyle=*,dotscale=.8](-1,0)(3,0)
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie  par $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$
\begin{enumerate}
	\item Pour quelles valeurs du réel $x$ la fonction $f$ n'est pas définie ?
	\item Établir le tableau des variations de la fonction $f$. Préciser l'extremum de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo \qquad   (2 \textit{points})

\medskip
 
Soit $u$ une fonction définie sur  $\R$ dont le tableau des variations est le suivant :

\medskip
 
\begin{center}
	\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture*}(14.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(14.5,3) \psline(0,2.2)(14.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$- \infty$}\rput(6,2.6){1} \rput(10,2.6){3} \rput(14,2.6){$+\infty$}
\rput(0.75,1.1){$u(x)$} \rput(2,1.8){\rnode{A}{0}} \rput(6,.4){\rnode{B}{$-2$}} \rput(10,1.8){\rnode{C}{2}} \rput(14,.4){\rnode{D}{0}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}  \ncline{C}{D} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip
 
Parmi les trois courbes suivantes, quelle est celle qui représente la fonction  $f : x \longmapsto u(x+2)$ ?

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{5cm} >{\centering \arraybackslash}X m{5cm}@{}}
	\psset{unit=0.5cm} 	
\begin{pspicture*}(-1,-3)(9,3)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{32*(x-4)/(x^2-8*x+19)^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=1,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(9,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.6pt,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.1 0.1,labels=none]{->}(0,0)(-1,-3)(9,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](-0.05,1){\footnotesize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-1}{9}{\f}
\end{pspicture*}
& 
\psset{unit=0.5cm} 	
\begin{pspicture*}(-3,-1)(8,5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{32*(x-2)/(x^2-4*x+7)^2+2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=1,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-3,-1)(8,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.6pt,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.1 0.1,labels=none]{->}(0,0)(-3,-1)(8,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](-0.05,1){\footnotesize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{8}{\f}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=0.5cm} 	
\begin{pspicture*}(-5,-3)(5,3)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{32*x/(x^2+3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=1,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-5,-3)(5,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.6pt,xticksize=-0.1 0.1,yticksize=-0.1 0.1,labels=none]{->}(0,0)(-5,-3)(5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](-0.05,1){\footnotesize{1}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-5}{5}{\f}
\end{pspicture*}\\
\multicolumn{1}{c}{Courbe $C_1$} & Courbe $C_2$ & \multicolumn{1}{c}{Courbe $C_3$}
 \\
\end{tabularx}

\bigskip
 
\exo \qquad  (5 \textit{points})

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]1 ; + \infty[$ par $f(x)=\dfrac{-2x^2+3x+2}{x-1}$. 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.
	\item On admet que la fonction $u$ définie sur $]1 ; + \infty[$ par $u(x)=\dfrac{3}{x-1}$ est décroissante, en déduire les variations de la fonction $f$
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad  (10 \textit{points})

\medskip
 
Une entreprise fabrique une quantité $x$, comprise entre 0 et 1400, d'un certain article.

Le coût total de production $f$, exprimé en euros, est représenté par la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère d'origine O du graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-.5)(14.5,10.5)
\newgray{gray}{.75}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2+2.5*x+25}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(15,11)
\psset{xunit=0.01cm,yunit=0.04cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-1 1,yticksize=-5 5,Dx=100,Dy=25,ylabelFactor={00}]{->}(0,0)(-.1,0)(1450,262.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.04cm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{14}{\f}
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip
 
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Quel est le coût total de production de 500 articles ?
	\item Quelle quantité maximale d'articles est-il possible de produire pour un coût total inférieur à 20~000~\euro ?
\end{enumerate}
\item Chaque article est vendu au prix de 17~\euro.  La recette occasionnée par la vente de $x$ articles est notée $R(x)$.
\begin{enumerate}
		\item Exprimer $R(x)$ en fonction $x$ et représenter la fonction $R$ sur le graphique précédent.
	\item Déterminer graphiquement les quantités d'articles que l'on peut produire pour que le profit soit positif ou nul.
\end{enumerate}
\item Le coût moyen $g$ est donné sur l'intervalle $]0 ; 1400]$  par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$.
\begin{enumerate}
	\item Sur le graphique, placer le point $M$ d'abscisse 1000 situé sur la courbe $\mathcal{C}$, puis tracer la droite $(OM)$.
	
	Que représente le coefficient directeur de la droite $(OM)$ ?
	\item Estimer $g(1000)$.
	\item Pour quelle quantité, le coût moyen est-il minimal ?
\end{enumerate}
\item Du fait de la concurrence, l'entreprise doit baisser  son prix de vente.
\begin{enumerate}
	\item Quel est le prix de vente minimal de chaque article, si cette entreprise ne veut pas travailler à perte ?
	\item À quel taux de remise par rapport au prix de vente initial correspondrait ce nouveau prix de vente ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
