contrôle du 9 mars 2010

exercice 1

La courbe $C_f$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$ dans un repère du plan.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.

La courbe $C_f$ vérifie les propriétés suivantes :

• La tangente à la courbe $C_f$ aux point A d'abscisse $-3$ est parallèle à l'axe des abscisses ;
• la tangente à la courbe $C_f$ au point de coordonnées $\left(0;\mathrm{1,5}\right)$ passe par le point de coordonnées $\left(\mathrm{1,5};0\right)$.

1. Donner les valeurs de $f\prime \left(-2\right)$, $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

2. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une seule représente la fonction dérivée $f\prime$ de f sur $ℝ$. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$. Vous expliquerez les raisons de votre choix.

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3

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exercice 2

Dans chaque cas, f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2x^3-5x^2+x-5$

2. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{2}}+3x^2-{\displaystyle \frac{5}{x}}$

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exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+1}{2x^2+x+2}}$.
Sa courbe représentative $C_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Calculer la dérivée de la fonction f. Vérifier que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2-4x+3}{{\left(2x^2+x+2\right)}^2}}$.

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extrema).

3. 1. Déterminer une équation de la tangente d à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $-1$.

   3. Tracer les tangentes T et d dans le repère ci-dessous.

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