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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Jeudi 1\textsuperscript{er} Avril 2010}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 5}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES Spécialité\\Durée 1 heure}}}
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}
\exo

\medskip
On considère les matrices  $P = {\begin{pmatrix} 1 & -1 \\
2 & -\dfrac{1}{2} \\ \end{pmatrix} }$  et  $D = {\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0  \\
0 & 2 \\ \end{pmatrix} }$ 

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer $D^2$ et $D^3$.
	\item On note $P^{-1}$  la matrice inverse de la matrice $P$. Vérifier que $P^{-1}={\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\
-\dfrac{4}{3} & \dfrac{2}{3}\\ \end{pmatrix} }$
\item Soit $A$ la matrice telle que $A=P \times D \times P^{-1}$. Calculer $A$.
\item Montrer que $A^2=P \times D^2 \times P^{-1}$ et $A^3=P \times D^3 \times P^{-1}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On considère la suite $\left( u_n \right)$  définie par $u_0= 2$ , $u_1= 1$  et pour tout entier $n$, $u_{n+2}= \dfrac{5}{2}u_{n+1}-u_n$.
\begin{enumerate}
	\item Pour tout entier $n$, on pose $V_n={\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \\ \end{pmatrix} }$.
	
\begin{enumerate}
	\item Donner $V_0$ et $V_1$.
	\item Montrer que $V_{n+1}=A \times V_n$ .
\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier $n$, $V_{n}=A^n \times V_0$ , $D^n={\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2^n} & 0  \\
0 & 2^n \\ \end{pmatrix} }$  et $A^n=P \times D^n \times P^{-1}$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $P \times D^6$.
	\item Exprimer $V_6$ en fonction de $V_0$ , $P$ et $D$.
	\item En déduire les valeurs de $u_6$ et $u_7$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \pagebreak	

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Traduire le système $(S) \left\{ {\begin{array}{rcr}
4x+3y+3z &=& 24 \\
y+z &=& 6 \\
x+2y &=& 8 \\
\end{array}} \right.$  par une égalité matricielle de la forme $AX = B$.
\item \`A l'aide la calculatrice déterminer la matrice $A^{- 1}$ et résoudre le système.
\end{enumerate}
\item Dans l'espace muni d'un repère  $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j,\vec k} \right)$ :
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système $(S)$ ?
\item Représenter ci-dessous, la résolution graphique du système $(S)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-5.5)(10.5,12)
\rput(2.5,11.5){\small{\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}}
\rput(2.5,11){\small{(\emph{\`A rendre avec la copie})}}
\psset{linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray,coorType=2,Alpha=90}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{xsubticks=20,ysubticks=20}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy,Dx=1,Dy=1](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=20,ysubticks=20}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(10,10)
\psset{xsubticks=20,ysubticks=20}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(10,10)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=10,zMax=10,linecolor=black,linewidth=1pt]
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=1,yMax=1,zMax=1,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1.5pt]
\pstThreeDPut(0,0.2,-.3){O}
\pstThreeDPut(.4,-.2,.4){\red $\vec i$}
\pstThreeDPut(-0.2,.5,.3){\red $\vec j$}
\pstThreeDPut(-.2,.2,1){\red $\vec k$}
\end{pspicture}
 \end{center} 
\end{document}
