contrôle du 1^er avril 2010

Corrigé de l'exercice 2

1. 1. Traduire le système $\left(S\right)\{\begin{array}{rrr}4x+3y+3z& =& 24\\ y+z& =& 6\\ x+2y& =& 8\end{array}$ par une égalité matricielle de la forme $AX=B$.

      Posons $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 3\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c}24\\ 6\\ 8\end{array}\right)$.

      Le systèmes'écrit sous forme matricielle : $AX=B$

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   2. À l'aide la calculatrice déterminer la matrice $A^{-1}$ et résoudre le système.

      La matrice A est inversible et l'inverse de la matrice A obtenue à la calculatrice est : $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{3}{4}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{5}{8}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$

      Or $$\begin{array}{ccccc}AX=B& \iff & A^{-1}AX=A^{-1}B& \iff & X=A^{-1}B\end{array}$$ Soit $$\begin{array}{lllll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{3}{4}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{8}}& {\displaystyle \frac{5}{8}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}24\\ 6\\ 8\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ {\displaystyle \frac{13}{4}}\\ {\displaystyle \frac{11}{4}}\end{array}\right)\end{array}$$

      Le système $\left(S\right)$ admet pour solution le triplet $\left({\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{13}{4}};{\displaystyle \frac{11}{4}}\right)$.

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2. Dans l'espace muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

   1. Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système $\left(S\right)$

      Dans l'espace muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ :

      • L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $4x+3y+3z=24$ est un plan (P).
      • L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $y+z=6$ est un plan (Q).
      • L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $x+2y=8$ est un plan (R).

      Les trois plans (P), (Q) et (R) se coupent en un point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{13}{4}};{\displaystyle \frac{11}{4}}\right)$.

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   2. Représenter, la résolution graphique du système $\left(S\right)$

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