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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
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\DecimalMathComma
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
    \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\Vendredi 05 novembre 2010}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 2}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES 1\\Durée 1 heure}}}
%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo 

\medskip

Soit $u$ une fonction définie sur  $\R$ dont le tableau des variations est le suivant :

\medskip
 
\begin{center}
	\psset{unit=.8cm} 
\begin{pspicture}(14.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(14.5,3) \psline(0,2.2)(14.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$- \infty$}\rput(6,2.6){1} \rput(10,2.6){3} \rput(14,2.6){$+\infty$}
\rput(0.75,1.1){$u(x)$} \rput(2,.4){\rnode{A}{2}} \rput(6,1.8){\rnode{B}{$4$}} \rput(10,.4){\rnode{C}{$0$}} \rput(14,1.8){\rnode{D}{2}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}  \ncline{C}{D} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
Parmi les trois courbes suivantes :
\begin{enumerate}
	\item Quelle est celle qui représente la fonction  $f : x \longmapsto u(x)-2$ ?
		\item Quelle est celle qui représente la fonction  $g : x \longmapsto u(x-2)$ ?
\end{enumerate}
 

\medskip

\psset{unit=0.5cm} 	
\begin{pspicture}(-6,-2)(5,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\rput(-.5,-2){\footnotesize{Courbe $C_1$}}
\def\f{2-32*x/(x^2+3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-6,-1)(5,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](5,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,5){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-6}{5}{\f}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.5cm} 	
\begin{pspicture}(-2,-2)(9,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\rput(3.5,-2){\footnotesize{Courbe $C_2$}}
\def\f{2-32*(x-4)/(x^2-8*x+19)^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(9,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-1)(9,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](9,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,5){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2}{9}{\f}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.5cm} 	
\begin{pspicture}(-3,-4)(8,3)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\rput(2.5,-4){\footnotesize{Courbe $C_3$}}
\def\f{32*(2-x)/(x^2-4*x+7)^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(8,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(8,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](8,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,3){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{8}{\f}
\end{pspicture}

\bigskip

\exo

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_u$, ci-dessous, est la représentation graphique d'une fonction $u$  définie sur $\R$.

Les points $A(-2;2)$, $B(-1;4)$ et $C(0;2)$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_u$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-1)(10,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-1)(10,9)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-0.5)(5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,4.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6}{5}{(4)/(x^2+2*x+2)}
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,2)(-1,4)(0,2)
\uput[ur](-6,.2){\bleu{$\mathcal{C}_u$}}
\footnotesize{\uput[ul](-2,2){\bleu{$A$}}
\uput[ur](-1,4){\bleu{$B$}}
\uput[ur](0,2){\bleu{$C$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

 On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$.
	\begin{enumerate}
	\item \'Etablir le tableau des variations de la fonction $f$. Préciser l'extremum de la fonction $f$.
	\item Quelles sont les solutions de l'équation  $f(x)=\dfrac{1}{2}$ ?	
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, écrire $f(x)$ sous la forme $a(x-\alpha)^2 +\beta$ puis en déduire le tableau des variations de la fonction $f$
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
 1.\quad $f(x)= x^2 -x+1$ &  2.\quad $f(x)= 2x^2 +4x-1$ & 3.\quad $f(x)= -x^2 -2x+1$\\ 
 \end{tabularx} 
 
\bigskip

\exo

\medskip

Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=x^2$ et $v$ la fonction affine définie sur $\R$ par $v(x)=-2x+3$.

On considère la fonction $f$ composée de la fonction $u$ suivie de la fonction $v$.
\begin{enumerate}
	\item Donner l'expression de $f(x)$.
		\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

 

\end{document}
