contrôle du 5 novembre 2010

Corrigé de l'exercice 3

Dans chacun des cas suivants, écrire $f\left(x\right)$ sous la forme $a{\left(x-\alpha \right)}^2+\beta$ puis en déduire le tableau des variations de la fonction f.

rappel

Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, peut s’écrire sous la forme canonique :$$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha \right)}^2+\beta & \text{avec}& \alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}& \text{et}& \beta =f\left(\alpha \right)\end{array}$$ La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré, permet de déduire ses variations à partir de la fonction carrée.

1. $f\left(x\right)=x^2-x+1$

   Pour tout réel x :$$\begin{array}{rcl}{x}^2-x+1& =& {\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}+1\\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$. La fonction f admet un minimum atteint pour $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. D'où son tableau de variation :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			${\displaystyle \frac{3}{4}}$

2. $f\left(x\right)=2x^2+4x-1$

   Pour tout réel x :$$\begin{array}{rcl}2x^2+4x-1& =& 2\left(x^2+2x\right)-1\\ & =& 2\times \left[{\left(x+1\right)}^2-1\right]-1\\ & =& 2{\left(x+1\right)}^2-3\end{array}$$

   Ainsi, $f\left(x\right)=2{\left(x+1\right)}^2-3$. La fonction f admet un minimum atteint pour $x=-1$. D'où son tableau de variation :

   x	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-3$

3. $f\left(x\right)=-x^2-2x+1$

   Pour tout réel x :$$\begin{array}{rcl}-x^2-2x+1& =& -\left(x^2+2x\right)+1\\ & =& -\left[{\left(x+1\right)}^2-1\right]+1\\ & =& -{\left(x+1\right)}^2+2\end{array}$$

   Ainsi, $f\left(x\right)=-{\left(x+1\right)}^2+2$. La fonction f admet un maximum atteint pour $x=-1$. D'où son tableau de variation :

   x	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			2

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Part en pourcentagePourcentage d'évolutionIndicesSystème à deux inconnuesSystème à trois inconnuesSystème d'inéquationsFonctions généralitésFonctions associéesComposée de deux fonctionsFonctions de référenceSecond degré : fonctionsSecond degré : équation, inéquationSecond degré : applicationsStatistiqueProbabilitéVariable aléatoireLoi binomialeDérivée : lecture graphiqueDérivée d'une fonctionDérivée et variationLimites et dérivées : lecture graphiqueÉtude de fonctions (limites)SuitesFonctions affines par morceauxGéométrie dans l'espace (I)Équations de plansMatrices : calculsMatrices : Système d'équationMatrices : application à l'économieMatrices de transition

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.