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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Camille SEE\\ {03 octobre 2011}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 1}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES 2\\Durée 2 heures}}} %droit

%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
\begin{document}
\exo  \qquad (3 \emph{points})

 \medskip 
Rappel : Une fonction polynôme du second degré $P$ est une fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : \[P(x)= ax^2 +bx +c \text{ avec } a \ne 0.\]

\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction $f$ soit égal à 0.
	
Parmi les propositions suivantes  quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{enumerate}
	\item $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$.
	\item $a < 0$ et $\mathrm{\Delta}=0$.
	\item $a < 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ coupe l'axe des abscisses en deux points.
	\item L'équation $f(x)= 0$ admet une seule solution.
\end{enumerate}
\item Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polynôme du second degré $f_1$, $f_2$, $f_3$ et $f_4$ .

\medskip

\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-6,-4)(3,4) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(3,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-2)(1.5,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.64}{1.14}{(x+2)*(.5-x)}
\uput[l](-2.3,-.7){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_1$}}}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-6,-1)(3,7) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(3,7)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-.5)(1.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.73}{0.73}{.5+(x+1)^2}
\uput[l](-2.3,2.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_2$}}}
\end{pspicture}  \hfill
\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-3,-4)(6,4) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(6,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-2)(3,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.14}{2.64}{(x+.5)*(x-2)}
\uput[r](2.3,.7){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_3$}}}
\end{pspicture}   \hfill
\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-6,-6)(3,2) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(3,2)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(1.5,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.8}{1.2}{-.75*(x+.8)^2}
\uput[l](1.6,-1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_4$}}}
\end{pspicture} 

\`A partir des informations données sur le signe de $a$ et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative :

$f_1$ : $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$ ; \hfill $f_2$ : $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} > 0$ ; \hfill $f_3$ : $a < 0$ et $\mathrm{\Delta}  = 0$ ; \hfill $f_4$ : $a < 0$ et $\mathrm{\Delta} > 0$.

\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo  \qquad (3 \emph{points})

 \medskip 

Donner le tableau des variations de chacune des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)= -2x^2+8x -7$
		\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)= x^2-\dfrac{x}{2} -3$
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo  \qquad (6 \emph{points})

 \medskip 


\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :	
\begin{enumerate}
	\item $2x^2+3x-2=0$
		\item $5x^2-9x+3=-4x^2+3x-1$
\end{enumerate}
			\item Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :	
\begin{enumerate}
	\item $-6x^2-x+2 \leqslant 0$
		\item $4x^2 < 8x-3$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

  \bigskip
  
 \exo  \qquad (8 \emph{points})

 \medskip 

Une entreprise fabrique un produit \og Bêta \fg{}. La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.

Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de $x$ milliers d'articles est modélisé par la fonction $C$ définie sur $\left]0 ;15 \right]$ par : \[C(x)=0,5x^2+0,6x+8,16\]

La représentation graphique $\Gamma$ de la  fonction  coût total est donnée dans l'annexe ci-dessous à rendre avec la copie.

On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8~\euro. 

\begin{enumerate}
	\item Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 4~000 articles ou  fabriquer et vendre 12~000 articles ?
	\item On désigne par $R(x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de $x$ milliers d'articles du produit \og Bêta \fg{}. On a donc $R(x)=8x$.
\begin{enumerate}
	\item Tracer dans le repère donné en annexe la courbe $\mathcal{D}$ représentative de la fonction recette.	
	\item Par lecture graphique déterminer :	
\begin{itemize}
	\item l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
	\item la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{itemize}
\end{enumerate}
	\item On désigne par $B(x)$ le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles.	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles, est donné par $B(x)=-0,5x^2+7,4x-8,16$  avec $x\in \left]0 ;15 \right]$.
	
	\item \'Etudier le signe de $B(x)$. En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
	\item \'Etudier les variations de la fonction $B$ sur $\left]0 ;15 \right]$. 
	
	En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(32,30)
	\rput(15.5,29){\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,27) 
\psset{xunit=1cm, yunit=0.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(16,135) 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{15}{.5*x^2+.6*x+8.16}
\uput[ur](15,130){\bleu $\Gamma$}
%\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(15,120)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
