contrôle du 03 décembre 2011

Corrigé de l'exercice 1

Dans chacun des cas suivants, f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Calculer la dérivée $f\prime \left(x\right)$.

1. $f\left(x\right)=3x^4-5x^3+x-5$

   Pour tout réel x , $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)=3\times \left(4x^3\right)-5\times \left(3x^2\right)+1& \iff & f\prime \left(x\right)=12x^3-15x^2+1\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=12x^3-15x^2+1$.

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2. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=3x^2-{\displaystyle \frac{3}{x}}+1$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)=3\times \left(2x\right)-3\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)& \iff & f\prime \left(x\right)=6x+{\displaystyle \frac{3}{x^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=f\prime \left(x\right)=6x+{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$.

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3. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\sqrt{x}-x$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}-1$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}-1$.

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