contrôles en première ES

contrôle du 19 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 2

L'offre et la demande désignent respectivement la quantité d'un bien ou d'un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.

Une étude concernant un article A a permis d'établir que :

  • la fonction d'offre f est donnée par f(x)=0,2x2-0,4x+1,2
  • la fonction demande g est donnée par g(x)=0,2x2-5,2x+37,2

f(x) et g(x) sont les prix d'un article en euros, pour une quantité x comprise entre 1 et 12 millions d'unités.

Courbes représentatives des fonctions d'offre et de demande : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,20 €.

    1. Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché.

      Au prix de 4,20 €, la quantité x offerte sur le marché est solution de l'équation f(x)=4,2. Soit : 0,2x2-0,4x+1,2=4,20,2x2-0,4x-3=0

      On cherche les solutions comprises dans l'intervalle [0;12] de l'équation du second degré 0,2x2-0,4x-3=0 avec a=0,2, b=-0,4 et c=-3.

      Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=(-0,4)2-4×0,2×(-3)=2,56=1,62

      Δ>0 donc l'équation admet deux solutions : x1=-b-Δ2aSoitx1=0,4-1,62×0,2=-3etx2=-b+Δ2aSoitx2=0,4+1,62×0,2=5

      Avec un prix de vente de 4,20 €, la quantité offerte sur le marché est de cinq millions d'articles.


    2. Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché.

      Au prix de 4,20 €, la quantité x demandée sur le marché est solution de l'équation g(x)=4,2. Soit : 0,2x2-5,2x+37,2=4,20,2x2-5,2x+33=0

      On cherche les solutions comprises dans l'intervalle [0;12] de l'équation du second degré 0,2x2-5,2x+33=0 avec a=0,2, b=-5,2 et c=33.

      Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=(-5,2)2-4×0,2×33=0,64=0,82

      Δ>0 donc l'équation admet deux solutions : x1=-b-Δ2aSoitx1=5,2-0,82×0,2=11etx2=-b+Δ2aSoitx2=5,2+0,82×0,2=15

      Avec un prix de vente de 4,20 €, la quantité demandée sur le marché est de 11 millions d'articles.


    3. Quel problème cela pose-t-il ?

      Au prix de 4,20 €, la demande est excédentaire par rapport à l'offre. On peut s'attendre à une hausse du prix de vente.


  2. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.
    Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.

    Le prix d'équilibre est atteint pour une quantité x0 telle que f(x0)=g(x0). Soit x0 solution de l'équation : 0,2x2-0,4x+1,2=0,2x2-5,2x+37,24,8x-36=0x=364,8=7,5

    D'autre part, f(7,5)=0,2×7,52-0,4×7,5+1,2=9,45.

    L'équilibre est atteint pour un prix de 9,45 €, à ce prix la quantité d'équilibre est de 7,5 millions d'articles.




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