contrôles en première ES

contrôle du 19 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 2

L'offre et la demande désignent respectivement la quantité d'un bien ou d'un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.

Une étude concernant un article A a permis d'établir que :

la fonction d'offre f est donnée par $f (x) = 0,2 x^{2} - 0,4 x + 1,2$
la fonction demande g est donnée par $g (x) = 0,2 x^{2} - 5,2 x + 34,8$

où $f (x)$ et $g (x)$ sont les prix d'un article en euros, pour une quantité x comprise entre 1 et 12 millions d'unités.

On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 17,20 €.
1. Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché.
  Au prix de 17,20 €, la quantité x offerte sur le marché est solution de l'équation $f (x) = 17,2$ . Soit : $0,2 x^{2} - 0,4 x + 1,2 = 17,2 \Leftrightarrow 0,2 x^{2} - 0,4 x - 16 = 0$
  On cherche les solutions comprises dans l'intervalle $[0; 12]$ de l'équation du second degré $0,2 x^{2} - 0,4 x - 16 = 0$ avec $a = 0,2$ , $b = - 0,4$ et $c = - 16$ .
  Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ soit $\begin{matrix} Δ = {(- 0,4)}^{2} - 4 \times 0,2 \times (- 16) = 12,96 = {3,6}^{2} \end{matrix}$
  $Δ > 0$ donc l'équation admet deux solutions : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{1} = \frac{0,4 - 3,6}{2 \times 0,2} = - 8 \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{2} = \frac{0,4 + 3,6}{2 \times 0,2} = 10 \end{array}$
  Avec un prix de vente de 17,20 €, la quantité offerte sur le marché est de dix millions d'articles.
2. Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché.
  Au prix de 17,20 €, la quantité x demandée sur le marché est solution de l'équation $g (x) = 17,2$ . Soit : $0,2 x^{2} - 5,2 x + 34,8 = 17,2 \Leftrightarrow 0,2 x^{2} - 5,2 x + 17,6 = 0$
  On cherche les solutions comprises dans l'intervalle $[0; 12]$ de l'équation du second degré $0,2 x^{2} - 5,2 x + 17,6 = 0$ avec $a = 0,2$ , $b = - 5,2$ et $c = 17,6$ .
  Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ soit $\begin{matrix} Δ = {(- 5,2)}^{2} - 4 \times 0,2 \times 17,6 = 12,96 = {3,6}^{2} \end{matrix}$
  $Δ > 0$ donc l'équation admet deux solutions : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{1} = \frac{5,2 - 3,6}{2 \times 0,2} = 4 \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{2} = \frac{5,2 + 3,6}{2 \times 0,2} = 22 \end{array}$
  Avec un prix de vente de 17,20 €, la quantité demandée sur le marché est de 4 millions d'articles.
3. Quel problème cela pose-t-il ?
  Au prix de 17,20 €, l'offre est excédentaire par rapport à la demande. On peut s'attendre à une baisse du prix de vente.
On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.
Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.
Le prix d'équilibre est atteint pour une quantité $x_{0}$ telle que $f (x_{0}) = g (x_{0})$ . Soit $x_{0}$ solution de l'équation : $\begin{array}{rcl} 0,2 x^{2} - 0,4 x + 1,2 = 0,2 x^{2} - 5,2 x + 34,8 & \Leftrightarrow & 4,8 x - 33,6 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = \frac{33,6}{4,8} = 7 \end{array}$
D'autre part, $f (7) = 0,2 \times 49 - 0,4 \times 7 + 1,2 = 8,2$ .
L'équilibre est atteint pour un prix de 8,20 €, à ce prix la quantité d'équilibre est de 7 millions d'articles.

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