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\DecimalMathComma
%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 21 décembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 4}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES 2\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
%%%%%%%%%%%%%%%
\hypersetup{
pdftitle={contrôle \no 4.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Dérivée.}, 
pdfkeywords={nombre dérivé, tangente, dérivée et variations.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/premiere_controles/serveurtex/exostex.php}
}

\begin{document}
\exo

\medskip


Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\R$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$.
 
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$ passe par le point de coordonnées $\left( 3 ; -3 \right)$. 

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x+5)*(5*x-32)/(3*(x^2-x+36))}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=10](-7,-4)(8,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-4)(8,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{8}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.2,3.3)(3,-3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2.8,3)(-1.2,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.82,-2.3)(4.42,-2.3)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,3)(1,0)(5,-1.6667)(3.6225,-2.3)
\uput[ur](-7,-2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\footnotesize{\uput[u](-2,3){\bleu{$A$}}
\uput[ur](1,0){\bleu{$B$}}
\uput[d](3.62,-2.3){\bleu{$C$}}
\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$D$}}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des données de l'énoncé :
\begin{enumerate}
	\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f'(x)=0$.
	\item Déterminer $f'(1)$.

\end{enumerate}
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ d'abscisse 5 a pour équation $y=\dfrac{7}{8}x -\dfrac{145}{24}$. 

En déduire les valeurs de $f(5)$ et $f'(5)$.
\item La proposition  \og $f'(0)> 1$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ?
	\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.
	
	\medskip
	
	\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(51*x^2+79*x-1362)/2464}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{6.332}{\f}
\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(400*x-1449)/1049}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.477}{5.1}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(5*x^3-20*x^2+745*x-2674)/(3*(x^2-x+36)^2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{7}{\f}
\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Dans chaque cas, calculer l'expression de la dérivée de la fonction donnée.

\begin{enumerate}
\item $u$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $u(x)=  x^2 +4x +\dfrac{2}{x}$
\item $v$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $v(x)= 2 -\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x^2}$
\item $f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $f(x)=  u(x) \times v(x)$
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\displaystyle\frac{8x-3x^2}{x^2-x+1}$. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 


On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(9,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(8*x-3*x^2)/(x^2-x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-5)(9,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-5)(9,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{9}{\f}
\uput[dr](-7,-4){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,0)(9,-3)
%\psdot[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](5,-1.6667)
%\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Étudier le signe du polynôme $v(x)=x^2-x+1$.
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\displaystyle\frac{-5x^2-6x+8}{\left(x^2-x+1\right)^2}$.
	\end{enumerate} 
		\item \begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. 
		\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$ d'abscisse 5. 

Tracer sur le graphique donné, la tangente $T$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

On souhaite tracer une courbe $\mathcal{C}$ pouvant représenter une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3 ; 7]$ qui satisfait les conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item $f(-3) = -2$, $f(7) = 5$ et  $f'(7)=2$. 
\item  Le signe de la fonction dérivée $f'$ de $f$ est donné par le tableau suivant :
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(16,1.8)
\psset{linewidth=.75pt}
\psframe(16,1.8) \psline(0,1)(16,1)\psline(3,0)(3,1.8)
\rput(1.5,1.4){$x$} \rput(3.5,1.4){$-3$} \rput(7.5,1.4){$-1$} \rput(11.5,1.4){$3$} \rput(15.5,1.4){$7$} 
\rput(1.5,0.5){signe de $f'(x)$}	
\rput(5.5,0.5){$+$}  \pnode(7.5,0){m1}\pnode(7.5,1){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$-$} \pnode(11.5,0){a1}\pnode(11.5,1){a2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{a1}{a2}\ncput*{0}	\rput(13.5,0.5){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Sur l'intervalle $[-2 ; 5]$, la fonction $f$ admet un maximum égal à 4 et un minimum égal à 1.
\item La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y= -x +3$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 1. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Donner  le tableau de variations de la fonction $f$. On fera figurer dans le tableau les images par $f$ de $-3$, $-1$, 3 et 7.
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 7.
\item Dans le repère donné en annexe ci-dessous placer le point $A$ et tracer la droite $\mathcal{D}$ ainsi que  les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $-1$, 3 et 7. Tracer une courbe $\mathcal{C}$ pouvant représenter la fonction $f$. 
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(8,7.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x^3-x^2-5*x+13)/4}
\def\g{x^2/4-3*x/2+13/4}
\rput(2.5,7.5){\textsf{\textsc{\textbf{annexe}}}}
\rput(2.5,7){(\emph{à rendre avec la copie})}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-3)(8,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(8,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-3}{1}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt,linecolor=bleu]{1}{7}{\g}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.8,4)(-.2,4)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.2,1)(3.8,1)
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.5,3.5)(2.5,.5)
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](5,1)(7,5)
%\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-3,-2)(-1,4)(1,2)(3,1)(7,5)
%\uput[ur](1,2){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
