contrôle du 21 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

Dans chaque cas, calculer l'expression de la dérivée de la fonction donnée.

1. u est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)=x^2+4x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$.

   $u\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $u\prime \left(x\right)=2x+4-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}$.

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2. v est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $v\left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

   $v\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}$.

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3. f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=u\left(x\right)\times v\left(x\right)$.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ :$$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& \left(2x+4-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}\right)\times \left(2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)+\left(x^2+4x+{\displaystyle \frac{2}{x}}\right)\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}\right)\\ & =& 4x-x^2-{\displaystyle \frac{2}{x}}+8-2x-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^4}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}-2x+{\displaystyle \frac{8}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^4}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{6}{x^4}}+8\end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{6}{x^4}}+8$.

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