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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 05 avril 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 7}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES 2\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
\hypersetup{
pdftitle={contrôle \no 7.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Dérivée.}, 
pdfkeywords={Suites, Probabilités, variable aléatoire, loi binomiale, intervalle de fluctuation. Étude d'une fonction, dérivée et variations, tangente.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/premiere_controles/serveurtex/exostex.php}
}

\begin{document}

\exo

 \medskip 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2^n-3$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_0$, $u_1$, $u_3$ et $u_5$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n +3$. 	En déduire une définition de la suite $\left(u_n\right)$ à l'aide d'une relation de récurrence.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=2\sqrt{2}$ et l'algorithme suivant qui permet de calculer les termes  de $u_1$ à $u_N$ de la suite pour un entier $N$ saisi par l'utilisateur.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=.5em]{
\begin{minipage}{.25\linewidth}
\footnotesize{
$U \leftarrow 2\sqrt{2}$

Pour $I$ variant de 1 à $N$

\hspace{1em}$U \leftarrow \dfrac{U^2}{2}-4$

Fin Pour
}
\end{minipage}
}
\end{center}\begin{enumerate}
\item Exprimer  $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_6$.
\end{enumerate}	

\item $\left(v_n\right)$ est la suite définie par $v_0=\dfrac{7}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\dfrac{{\left(v_n\right)}^2}{2}-4$.

On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la parabole $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-4$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.
		
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x dup mul 2 div 4 sub }
\psgrid[gridwidth=0.5pt,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.5,-.5)(1.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0} 
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-4.2426}{4.2426}{\f}
\psline[linecolor=red,linewidth=.75pt](-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psset{linewidth=.5pt,arrowscale=1.5}

\psFixpoint[linecolor=prune,linewidth=.75pt,ArrowInside=-<]{3.5}{\f}{1}
\psline[linecolor=prune,linewidth=.75pt]{->}(2.125,2.125)(2.125,0 )
\uput[dl](5,5){\red{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[dr](-5,5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[d](3.5,0){\prune{\footnotesize{$v_0$}}}\uput[d](2.125,0){\prune{\footnotesize{$v_1$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item On a représenté sur l'axe des abscisses, les deux premiers termes de la suite $\left(v_n \right)$. 
	
	En utilisant la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\mathcal{D}$ placer sur l'axe des abscisses  les termes $v_2$ à $v_6$.
	\item La suite $\left(v_n \right)$ est-elle monotone ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 
 
 Étudier le sens de variation des suites suivantes en comparant $u_{n+1}$ et $u_n$
 
\begin{enumerate}
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= \dfrac{n}{n+1}$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 5\times 0,2^n+3$.
	\end{enumerate}
  
 \bigskip
 
 \exo

 \medskip 

Dans un casino, un jeu sur machine se déroule de manière suivante : 

Après une mise de 1 euro, un nombre $a$ compris entre 1 et 50 est tiré au hasard. 

Si $a$ est un nombre premier le joueur reçoit 1 euro, si $a$ est un multiple de 8 le joueur reçoit 2 euros, si $a$ est un multiple de 9 le joueur reçoit 3 euros. Pour les 24 autres valeurs de $a$, le joueur perd sa mise.


\begin{enumerate}
\item On définit la variable aléatoire $G$ qui est associée au gain algébrique du joueur.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $G$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\item Un joueur effectue 10 parties consécutives.

On note $X$ la variable aléatoire associée au nombre de parties où le joueur perd sa mise.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
\item Quelle est la probabilité, arrondie au millième près, pour le joueur de perdre cinq parties ?
\item Calculer la probabilité, arrondie au millième près, pour le joueur de perdre au moins sept parties.
\end{enumerate}
\item Après avoir observé 50 parties, une personne constate qu'il y a eu 29 parties pour lesquelles les joueurs ont perdu leur mise. Au seuil de risque 5\,\%, l'observateur peut-il considérer que la probabilité de perdre sa mise à ce jeu n'est pas égale à 0,48 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$  représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ ainsi que les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $-2$ et 2. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(6*x-x^2)/(x^2-x+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(7,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-3)(7,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{7}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-3.5,-2)(-.5,-2)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(.5,3.5)(3.5,.5)
\uput[d](-2,-2){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[ur](2,2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[dr](-6,-1.8){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\psdots[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-2,-2)(2,2)
\end{pspicture}
\end{center}

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.	
\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique donner les valeurs de $f'(-2)$ et $f'(2)$.
	\item La proposition $f'(0) \leqslant f'(4)$ est-elle vraie ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\displaystyle\frac{6x-x^2}{x^2-x+2}$. 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par $f'(x)=\displaystyle\frac{-5x^2-4x+12}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}$.
		\item \begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$. 
		\end{enumerate} 
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $T$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
