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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DeclareMathOperator{\e}{\mathrm{e}}
% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 14 mai 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 8}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES 2\\Durée 1 heure}}}%droit
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%
\hypersetup{
pdftitle={contrôle \no 8.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Suites numériques}, 
pdfkeywords={Suite arithmétique, suite géométrique.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/premiere_controles/serveurtex/exostex.php}
}

\begin{document}

\exo 

 \medskip 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{2n}{3}+1$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer  $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle une suite arithmétique ?
\item Déterminer le premier terme de la suite $(u_n)$ supérieur à 20.
\item Calculer la somme de termes consécutifs de la suite $\left(u_n\right)$ : $S=1+\dfrac{5}{3}+\dfrac{7}{3}+3+ \cdots +\dfrac{61}{3}+21$.
\end{enumerate}	

 \bigskip 

\exo

\medskip

 $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique à termes positifs telle que $u_5=5$ et $u_{7}=\dfrac{125}{9}$. 
 
 Exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n$.

\bigskip

\exo

\medskip

$\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique à termes non nuls, de raison $q \ne 1$ telle que $5u_{2}=7u_1-2u_0$.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer la raison $q$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.
 \item On donne $u_0=6,25$. Calculer $u_{4}$.
 \end{enumerate} 

\bigskip

\exo

 \medskip 

Pour  respecter une nouvelle norme antipollution, un groupe industriel s'engage à réduire chaque année sa quantité de rejets polluants de 6\,\%.

En 2015, la quantité de rejets polluants était de \np{50000} tonnes.

\begin{enumerate}
	\item Quel a été la quantité de rejets polluants en 2017 ?
	\item Pour tout entier naturel $n$, on note $r_n$ la quantité, en tonnes, de rejets polluants pour l'année $(2015+n)$.

	On a donc $r_0= \np{50000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$. En déduire la nature de la suite $\left(r_{n}\right)$.
		\item Donner l'expression de $r_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
	\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(r_{n}\right)$.
	\item La direction du groupe industriel souhaite connaître l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin de déterminer au bout de combien d'années la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60\,\%.
		
\begin{center}
{\small{\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=.8em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$R \gets \np{50000}$

$N \gets  0$

Tant que $R  \ldots$

\begin{itemize}
\item[] $R \gets \ldots$
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}}}
\end{center}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de la variable $N$ calculée par cet algorithme.
		
		En déduire l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
