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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 31 mai 2018}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 9}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES 2\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

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\newcommand{\exo}{
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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
\hypersetup{
pdftitle={contrôle \no 9.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Dérivée. Suites}, 
pdfkeywords={Étude d'une fonction, dérivée et variations, tangente, bénéfice, coût moyen. Suite géométrique.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/premiere_controles/serveurtex/exostex.php}
}

\begin{document}
\exo 

 \medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

On a tracé en annexe ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0;10]$.


La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A( 3 ; 90)$ passe par le point  $B( 5 ; 102)$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer $f'(3)$.
	\item Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente la fonction dérivée $f'$  ?
	
\begin{center}
 \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\f{-2*x^2+22*x+42}
\def\f{(45*x+10)*EXP(-.16*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,11)
\psset{xunit=.4cm, yunit=0.04cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=20,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(11,110)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](11,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,110){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[ur](10,90){\footnotesize{\bleu $C_1$}}
\end{pspicture} \hfill  \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{3*x^2-10*x+9}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,11)
\psset{xunit=.4cm, yunit=0.02cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=40,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-10)(11,220)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](11,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,220){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[dr](10,220){\footnotesize{\bleu $C_2$}}
\end{pspicture} \hfill   \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\f{6*x^3/7-72*x^2/7+216*x/7+468/7}
\def\f{(2.8*x+1)*EXP(-.15*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,11)
\psset{xunit=.4cm, yunit=.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=2,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(11,11)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](11,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,220){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[ur](10,6){\footnotesize{\bleu $C_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production est limitée à 10 milliers d'articles par mois.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût total de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;10]$ par : \[f(x)=x^3-5x^2+9x+81\]
Le coût marginal est assimilé sur l'intervalle $[0;10]$ à la dérivée $f'$ du coût total de production.

La courbe $\mathcal{C}_f$, donnée en annexe, est la courbe représentative de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;10]$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\dfrac{9}{2}$.

Tracer la droite $T$ sur le graphique donné en annexe.
\end{enumerate}


\medskip

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie c}}}}

\medskip

Chaque article est vendu 57 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par \[R(x)=57x\]
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe  $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $R$.
	\item Par lecture graphique, déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d'articles près, dégageant un bénéfice positif.
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0;10]$ par $B(x)=R(x)-f(x)$ où $f$ est la fonction coût total définie dans la partie B.

\begin{enumerate}
	\item On note $B'$ la dérivée de la fonction $B$. 
	
	Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;10]$ on a $B'(x)=-3x^2+10x+48$.
	\item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;10]$. 
	\item En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.	
	Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie d}}}}

\medskip
 	
On note $C(x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. 

La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $]0 ; 10]$ par $C(x) = \dfrac{x^3-5x^2+9x+81}{x}$. 

On admet que la fonction $C$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; 10]$ et on appelle $C'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item  Calculer $C'(x)$, et vérifier que $C'(x)= \dfrac{(2x-9)(x^2+2x+9)}{x^2}$  pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; 10]$. 
	\item Étudier les variations de la fonction $C$ sur $]0 ; 10]$.
	\item En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?
\end{enumerate}

\bigskip


\exo

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 250$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1} = 0,72u_{n} +420$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$.

\item Soit $\left(v_{n}\right)$  la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 1500$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n} = 1500 -1250\times  0,72^n$.
	\end{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une municipalité a décidé de proposer un abonnement mensuel à un service de location de vélos.

Au mois de janvier 2018, 250 personnes se sont abonnées à ce service.

Une étude statistique a permis de modéliser l'évolution du nombre d'abonnements pour les prochains mois à l'aide de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie dans la partie A.

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U \gets \np{250}$

$N \leftarrow  0$

Tant que  $U \leqslant \np{1435}$

\begin{itemize}
\item[] $U \leftarrow 0,72 \times U + 420$
\item[] $N \leftarrow N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

Donner une interprétation de la valeur $N=9$ obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme.
\item Selon ce modèle, donner une estimation du nombre d'abonnés au bout de 12 mois.
\item Est-il possible d'envisager nombre d'abonnés supérieur à \np{2000} ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(22,34)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^3-5*x^2+9*x+81}
\def\g{57*x}
\def\h{6*x+72}
\rput(10,34){\textsf{\small{\textsc{\textbf{annexe de l'exercice 1}}}}}
\rput(10,33){\textsf{\small{(\emph{À rendre avec la copie})}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,30)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.02cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dx=1,Dy=50,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(11,750)
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,750){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{6}{\h}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\g}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](3,90)(5,102)
\uput[u](3,61){\bleu{$A$}} \uput[u](5,75){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[dr](10,650){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
