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 \medskip
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\begin{document}
\frontmatter
\begin{titlepage}
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\pagecolor{Fondpage}

\begin{flushright}

{\Huge{\white{\textsf{\textbf{\scalefont{3}\selectfont 1\up{re} ES}}}}}
\end{flushright}

\vspace{\stretch{2}}
\begin{center}

{\Huge{\white{\textsf{\textbf{\scalefont{2.5}\selectfont MATHÉMATIQUES}}}}}

\vspace{\stretch{3}}


\hrulefill

\vspace{1em}

Le polycopié  regroupe les documents distribués aux élèves de 1\up{re} ES 2 en cours d'année.

\bigskip

Janson de Sailly (année 2017-2018)
\end{center}

\hrulefill

\vspace{1em}

\begin{flushright}
\textsc{\textsf{A. YALLOUZ}}
\end{flushright}

\end{titlepage}

\pagecolor{white}

\dominitoc[n]

\textsf{\tableofcontents}

\clearemptydoublepage

\mainmatter

\chapter{Pourcentages}

\minitoc

\newpage

\section{Part en pourcentage}



\cadreR{
L'expression \og une grandeur $A$ représente $t\,\%$ de $E$ \fg{} se traduit par l'égalité $A=E\times \dfrac{t}{100}$
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

La production totale d'électricité en France atteint 531,3 TWh (milliard de KWh) en 2016. La production d'électricité assurée par les centrales nucléaires est de 384 TWh.  

La part en pourcentage de la production d'électricité d'origine nucléaire est :\[\dfrac{384}{531,3} \approx 0,723\]
En 2016, la production d'origine nucléaire représente 72,3\% de la production d'électricité totale.



\section{Évolution en pourcentage}

\subsection {coefficient multiplicateur}
\cadreR{
\begin{itemize}
\item Augmenter une grandeur de $t\,\%$ équivaut à multiplier sa valeur initiale par $1 + \dfrac{t}{100}$.
\item Diminuer une grandeur de $t\,\%$ équivaut à multiplier sa valeur initiale par $1 - \dfrac{t}{100}$.
\end{itemize}

$\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$ et $\left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$ sont appelés coefficients multiplicateurs.
}



\dem

\begin{itemize}
\item Soit $V_0$ la valeur initiale d'une grandeur et $V_1$ sa valeur finale suite à une augmentation de $t\,\%$.\[V_1=V_0+V_0\times \dfrac{t}{100}=V_0\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)\]
\item Soit $V_0$ la valeur initiale d'une grandeur et $V_1$ sa valeur finale suite à une diminution de $t\,\%$.\[V_1=V_0-V_0\times \dfrac{t}{100}=V_0\times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)\]
\end{itemize}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}

\medskip
\begin{itemize}
\item En 2016 avec près de 8,3 TWh produits, l'électricité produite par la filière solaire a augmenté de 11,5\% par rapport à l'année précédente.

Soit $S_0$ la production d'électricité par la filière solaire en 2015 : \[S_0\times \left(1 + \dfrac{11,5}{100}\right)=8,3 \iff S_0 =\dfrac{8,3}{1,115}\approx 7,4\]

En 2015, la production solaire s'élevait à environ 7,4 TWh.
\item La filière éolienne a produit 20,7 TWh d'électricité au cours de l'année 2016, en recul de 1,8 \% par rapport à l'année précédente.

Soit $E_0$ la production d'électricité par la filière éolienne en 2015 : \[E_0\times \left(1 - \dfrac{1,8}{100}\right)=20,7 \iff E_0 =\dfrac{20,7}{0,982}\approx 21,1\]

La production éolienne en 2015 s'élevait à environ  21,1 TWh.
\end{itemize}
 
 \subsubsection {remarques}

\begin{itemize}
\item Un coefficient multiplicateur n'a pas d'unité.
\item Si le coefficient multiplicateur est supérieur à 1, alors l'évolution est une augmentation.
\item Si le coefficient multiplicateur est inférieur à 1, alors l'évolution est une diminution.
\item Un pourcentage d'augmentation supérieur ou égal à 100\% peut s'exprimer à l'aide d'un coefficient multiplicateur. 

Par exemple si une population augmente de 150 \%, le coefficient multiplicateur correspondant est : ${1 + \dfrac{150}{100}=2,5}$. 
\end{itemize}

\subsection{Taux d'évolution}


\cadreR{
Soit $V_0$ $\left(V_0\ne 0\right)$ la valeur initiale d'une grandeur et $V_1$ sa valeur finale suite à une évolution.

Le taux d'évolution de cette grandeur est égal à : $\dfrac{V_1-V_0}{V_0}$.

En pourcentage, le taux d'évolution se note $t\,\%$ avec $t=\dfrac{V_1-V_0}{V_0}\times 100$.
}

\dem

Soit $t\,\%$ le taux d'évolution positif ou négatif de $V_0$ à $V_1$. Alors \[\begin{split} V_1=V_0\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)& \iff 1 + \dfrac{t}{100}=\dfrac{V_1}{V_0}\\&\iff \dfrac{t}{100}=\dfrac{V_1}{V_0}-1=\dfrac{V_1-V_0}{V_0} \end{split}\]
 \subsubsection {remarques}

\begin{itemize}
\item Si $t>0$, il s'agit d'une augmentation.
\item Si $t<0$, il s'agit d'une diminution.
\item Le quotient $\dfrac{V_1}{V_0}$ est le coefficient multiplicateur correspondant au pourcentage d'évolution de $t\,\%$. 
\end{itemize}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

La production totale d'électricité en France était de 546,8 TWh en 2015 et de 531,3 TWh en 2016.

\medskip

Le taux d'évolution de la production d'électricité est : \[\dfrac{531,3-546,8}{546,8}\approx -0,028\]
En 2016, la production d'électricité en France a diminué de près de 2,8\% par rapport à 2015.

\section{Évolutions successives, évolution réciproque}

\subsection{Taux d'évolution global}

\cadreR{
Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d'évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution. 
}

\dem

Soient $V_0$ la valeur initiale d'une grandeur, $V_1$ la valeur de cette grandeur après une évolution relative de $t_1\,\%$ et $V_2$ la valeur obtenue à partir de $V_1$ après une évolution relative de $t_2\,\%$. Ces évolutions se traduisent par :


\begin{center}
\[\setlength{\arraycolsep}{1.2cm}\begin{array}{ccc}\rnode{A}{V_0}&\rnode{B}{V_1}&\rnode{C}{V_2}\end{array}\psset{nodesep=5pt,arrows=->}\everypsbox{\scriptstyle}\ncline{->}{A}{B}\naput{\times \left(1 + \dfrac{t_1}{100}\right)}\ncline{->}{B}{C}\naput{\times \left(1 + \dfrac{t_2}{100}\right)}\ncbar[nodesep=3pt,angle=-90]{A}{C}\nbput{\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)}\]
\end{center}

\vspace{1.5cm}

Soit $V_1=V_0\times \left(1 + \dfrac{t_1}{100}\right)$ et $V_2=V_1\times \left(1 + \dfrac{t_2}{100}\right)$ d'où $V_2=V_0\times \left(1 + \dfrac{t_1}{100}\right)\times \left(1 + \dfrac{t_2}{100}\right)$

On obtient $1 + \dfrac{t}{100}=\left(1 + \dfrac{t_1}{100}\right)\times \left(1 + \dfrac{t_2}{100}\right)$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

En 2014, la production d'électricité de la filière thermique gaz était de 14,3 TWh. 

Entre 2014 et 2015, cette production a augmenté de 53,1\% ; entre 2015 et 2016 elle a augmenté de 61,2\%.

\medskip

Le taux global d'évolution de la production d'électricité de la filière thermique gaz entre 2014 et 2016 vérifie : \[1 + \dfrac{t}{100}=\left(1 + \dfrac{53,1}{100}\right)\times \left(1 + \dfrac{61,2}{100}\right)\text{, soit }\,1 + \dfrac{t}{100}\approx 2,468\]

Soit un taux d'évolution global d'environ  146,8\%.

On en déduit la production en 2016 :\[14,3\times 2,468 \approx 35,3\]
En 2016, la production d'électricité de la filière thermique gaz était de 35,3 TWh.

\subsection{Évolution réciproque}

\cadreR{
L'évolution réciproque de la valeur $V_0$ à la valeur $V_1$ est l'évolution de la valeur $V_1$ à la valeur $V_0$.

L'évolution réciproque d'une évolution de coefficient multiplicateur $1+\dfrac{t}{100}$ est une évolution de coefficient multiplicateur inverse $\dfrac{1}{1+\dfrac{t}{100}}$
}

\dem

Soient $V_0$ la valeur initiale d'une grandeur, $V_1$ la valeur de cette grandeur après une évolution relative de $t\,\%$.

On a $V_1=V_0\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$, donc $V_0=\dfrac{V_1}{1 + \dfrac{t}{100}}$. 

Par conséquent, le pourcentage d'évolution $t'\,\%$ de $V_1$ à $V_0$ est tel que $1+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1+\dfrac{t}{100}}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Entre 2014 et 2015, la production d'électricité de la filière thermique fioul a augmenté de 15,2\%. 

Fin 2016 cette production est revenue à son niveau initial de 2014.

\medskip

Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 15,2\% est : $1 + \dfrac{15,2}{100}=1,152$.

Le coefficient multiplicateur correspondant à l'évolution réciproque est l'inverse de 1,152. 

Le taux d'évolution réciproque vérifie :\[1+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1,152}\:\text{ soit }\:\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1,152}-1\approx -0,132\]

Entre 2015 et 2016, la production d'électricité de la filière thermique fioul a baissé d'environ 13,2\%.

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip

Dans une classe il y a 14 filles qui représentent 40 \% de l'effectif total. 

Quel est le nombre de garçons de la classe ?

\bigskip

\exo

\medskip

On a mélangé 5 litres de jus de fruit contenant 30\% de sucre avec 3 litres de jus de fruits contenant 20\% de sucre.

Quel est le pourcentage en sucre du mélange obtenu ?

\bigskip

\exo

\medskip

Pour engager des stagiaires, une entreprise organise des tests de sélection. Parmi les candidats qui se présentent aux épreuves il y a 60\% d'hommes.

Après avoir pris connaissance des résultats aux tests l'entreprise engage 70\% des candidats masculins et 80\% des femmes candidates.
\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage d'hommes parmi les stagiaires embauchés ?
\item Quel est le pourcentage de femmes parmi les candidatures rejetées ?
\end{enumerate}
 
 \bigskip

\exo

\medskip

Dans une entreprise, 70\% des salariés sont des hommes, 6\% des femmes sont cadres et 5\% des hommes sont cadres. 

Quel est le pourcentage des cadres dans cette entreprise ?

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par quel nombre est multiplié une quantité 
\begin{enumerate}
\item qui augmente de 0,1\% ? 1\% ? 5\% ? 10\% ? 50\% ? 100\% ? 200\% ?
\item qui diminue de 0,2\% ? 2\% ? 15\% ? 25\% ? 50\% ? 
\end{enumerate}
\item Indiquer la variation en pourcentage d'une quantité
\begin{enumerate}
\item qui a été multipliée par  1,02 ; 1,12 ; 1,75 ; 2,5.
\item qui a été multipliée par  0,05 ; 0,15 ; 0,5 ; 0,987. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip

Une entreprise a vu son chiffre d'affaires augmenter de \np{160000} \euro{} régulièrement tous les ans.
  
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des valeurs suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 & 2016\\ \hline
Chiffre d'affaires
(\emph{en millions d'euros}) & 10 & 10,16 & 10,32 & 10,48 & 10,64 & 10,8 & 10,96\\ \hline
Pourcentage d'évolution annuel	 &  &  &  &  &  &  & \\ \hline
\end{tabularx}


\item Le pourcentage d'évolution de 2016 par rapport à 2010 est-il égal à la somme des pourcentages d'évolution successifs ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Avant promotion, un article était vendu en paquet d'un kilogramme à 4,60 \euro{}.

Dans un magasin, une publicité annonce :  \og 15\% de produit en plus pour un même prix de 4,60 \euro{} \fg{}. 

Chez un concurrent, pour le même produit, on annonce : \og 15\% de remise à la caisse sur le paquet d'un kilogramme à 4,60 \euro{} \fg{}.

Ces deux offres sont-elles équivalentes ?

\pagebreak

\exo 

 \medskip

\begin{enumerate}
\item Un commerçant achète ses articles chez un grossiste qu'il revend augmenté d'une marge bénéficiaire de 60\% du prix d'achat.
\begin{enumerate}
\item Quel est le prix de vente d'un article que le commerçant a acheté 150 \euro{} ?
\item Un article est vendu à 696 \euro{}, à quel prix le commerçant l'a-t-il acheté ?
\item Quelle part en pourcentage du prix de vente, le prix d'achat représente-t-il ?
\end{enumerate}
\item Sur certains articles, le commerçant souhaite augmenter sa marge bénéficiaire pour que le prix d'achat ne représente plus que 40\% du prix de vente. 

Quel pourcentage d'augmentation doit-il appliquer sur les prix d'achat ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le cours d'une action a baissé de 20\%. Quel doit être le taux d'augmentation pour que cette action retrouve son cours initial ?
\item Le prix d'un article a subit une hausse de 20\%. Quel doit être le taux de remise pour que cet article retrouve son prix initial ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Après deux augmentations successives de 5\% le prix d'un objet est de 48,51 \euro{}. 

Quel était le prix initial de cet objet ? 

\bigskip

\exo

\medskip

Le gouvernement d'un pays envisage de baisser un impôt de 19\% en deux ans.

Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux années ?

\bigskip

\exo

\medskip

Lors d'une année exceptionnelle la production de fruits d'un agriculteur a augmenté de $t_1$\%. Mais l'abondance de fruits sur le marché provoque une chute des prix de $t_2$\%.

On note $p$ le prix et $q$ la quantité produite lors d'une année normale.

\begin{enumerate}
\item Dans le cas où $t_1 = 17$ et $t_2 = 15$ la recette de l'agriculteur a-t-elle augmenté ou diminué ?
\item Dans le cas où $t_1 = 20$ et $t_2 = 16$ la recette de l'agriculteur a-t-elle augmenté ou diminué ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

le prix initial d'un article, successivement augmenté puis diminué d'un même pourcentage, a finalement baissé de 6,25\%.

Calculer le pourcentage de l'augmentation (puis de la diminution).

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après deux augmentations successives de $t$\% le prix d'un article a augmenté de 16,64\%. 

Calculer le taux $t$ de l'augmentation. 
\item Après deux baisses successives de $t$\% le prix d'un article a diminué de 17,19\%. 

Calculer le taux $t$ de la baisse. 
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Second degré}

\minitoc

\newpage

\section{Polynômes du second degré}

\subsection{Définition}

\cadreR{
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels et   $a\ne 0$.
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}


\begin{itemize}
\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) =-0,5x^2+\sqrt{2}$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-0,5$ , $b=0$ et $c=\sqrt{2}$.
\item La fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) ={\left( 2x+1\right)}^2-3x$ est une fonction polynôme du second degré car, pour tout réel $x$, $g(x) =4x^2+x+1$ ($a=4$, $b=1$ et $c=1$)
\item La fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x) =\dfrac{3}{x^2+1}$ n'est pas une fonction polynôme.
\end{itemize}

\subsection{Forme canonique}

\cadreR{
Toute fonction polynôme $f$ de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$, peut s'écrire sous la forme : \[f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta \qquad \text{avec }\;\alpha=-\dfrac{b}{2a}\; \text{ et }\;\beta=f(\alpha).\]
}

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$.

Comme $a\ne0$, pour tout réel $x$, $f(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$.


Or pour tout réel $x$,  ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+{\left(\dfrac{b}{2a}\right)}^2 $. On en déduit que pour tout réel $x$, \[\begin{split}
f(x)&=a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]\\
&=a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]\\
&=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}
\end{split}\]

Soit en posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta= f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$, on obtient pour tout réel $x$, $f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta$

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Cherchons la forme canonique de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2-3x+2$.

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
f(x)&=-2 \times \left[x^2+\dfrac{3}{2}x-1\right]\\
&=-2 \times \left[{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{9}{16}-1\right]\\
&=-2 \times \left[{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{25}{16}\right]
\end{split}\]

Ainsi, pour tout réel $x$, $f(x)=-2 {\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2+\dfrac{25}{8}$

\section{Variations}


Quand on connaît la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré, on peut en déduire son maximum ou son minimum.

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, alors pour tout réel $x$, $f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta$ avec   $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
\begin{enumerate}
\item Étudions le cas où $a<0$
\begin{itemize}
\item[] Si  $x_1 < x_2 \leqslant \alpha$ alors $x_1 -\alpha < x_2 -\alpha \leqslant 0$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 > \left(x_2  -\alpha\right)^2$. (la fonction carré est décroissante sur $]-\infty ; 0]$)

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta < a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) < f\left(x_2 \right)$.
\item[] Si  $\alpha  \leqslant x_1 < x_2 $ alors $0 \leqslant x_1 -\alpha < x_2 -\alpha$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 < \left(x_2  -\alpha\right)^2$. (la fonction carré est croissante sur $[0 ; +\infty [$)

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta > a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) > f\left(x_2 \right)$.
\end{itemize}

Ainsi, si $a<0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left] - \infty ; -\dfrac{b}{2a}\right]$ et  strictement décroissante sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{b}{2a} ; + \infty \right[$
\item Étudions le cas où $a>0$
\begin{itemize}
\item[] Si  $x_1 < x_2 \leqslant \alpha$ alors $x_1 -\alpha < x_2 -\alpha \leqslant 0$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 > \left(x_2  -\alpha\right)^2$.

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta > a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) > f\left(x_2 \right)$.
\item[] Si  $\alpha  \leqslant x_1 < x_2 $ alors $0 \leqslant x_1 -\alpha < x_2 -\alpha$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 < \left(x_2  -\alpha\right)^2$.

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta < a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) < f\left(x_2 \right)$.
\end{itemize}

Ainsi, si $a>0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left] - \infty ; -\dfrac{b}{2a}\right]$ et  strictement croissante sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{b}{2a} ; + \infty \right[$
\end{enumerate}

On retient :

\medskip

\cadreR{
Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$. 

Les variations de $f$ sont données par les tableaux suivants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X}
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}
\fbox{$a<0$}&\fbox{$a>0$}\\ 
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,2){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,2.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.5){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,2.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{tabularx}
}


\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par par $f(x)=-3x^2-2x+1$. Ici $a=-3$, $b=-2$ et $c=1$. Ainsi, $-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{1}{3}$ et $f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}$. Comme $a<0$, on en déduit le tableau des variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm, yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{1}{3}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1.8){\rnode{B}{$\dfrac{4}{3}$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\section{Courbe représentative}


Dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ du plan, la courbe représentative d'une fonction polynôme  $f$ de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ est une parabole.

On dit que la parabole a pour équation $y=ax^2+bx+c$.

Le sommet $S$ de la parabole a pour abscisse $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$. Il correspond au maximum ou au minimum sur $\R$ de la fonction $f$.

La parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$. 

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X}
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}
\fbox{$a<0$}&\fbox{$a>0$}\\ 
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(8,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-5)(7,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.6,0){\prune{\footnotesize{$\vec{i}$}}}\uput[l](0,0.6){\prune{\footnotesize{$\vec{j}$}}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,-5)(2,6)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](0,4)(2,4)
\uput[ur](2,4){\prune{\footnotesize{$S$}}}
\uput[l](0,4){\prune{\footnotesize{$f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$}}}
\uput[dr](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(4,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x-3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-5)(4,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.6,0){\prune{\footnotesize{$\vec{i}$}}}\uput[l](0,0.6){\prune{\footnotesize{$\vec{j}$}}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{4}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,-5)(-2,6)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](0,-4)(-2,-4)
\uput[dl](-2,-4){\prune{\footnotesize{$S$}}}
\uput[r](0,-4){\prune{\footnotesize{$f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$}}}
\uput[dl](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}\\

La parabole est tournée vers le bas & La parabole est tournée vers le haut 
\end{tabularx}

\subsubsection{Symétrie de la parabole}

Pour des raisons de symétrie, l'abscisse $\alpha$ du sommet de la parabole est la moyenne des abscisses $x_1$ et $x_2$ de deux points de la parabole ayant même ordonnée : $\alpha= \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

$f$ est une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ telle que $f(-1)=0$, $f(1)=-10$ et $f(4)=-10$. On note $\mathcal{P}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'abscisse du sommet $S$ de la parabole $\mathcal{P}$ ?

$f(1)=f(4)=-10$ donc l'abscisse du sommet $S$ est $\alpha=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}$.
\item Quelles les coordonnées des points d'intersection de la parabole $\mathcal{P}$ avec l'axe des abscisses ?

$f(-1)=0$ donc la parabole $\mathcal{P}$ coupe l'axe des abscisses au point $A$ de coordonnées $(-1 ; 0)$. 

L'abscisse $x_B$ du deuxième point d'intersection est solution de l'équation :\[\dfrac{1+x_B}{2}=\dfrac{5}{2} \iff x_B = 6 \]
    Ainsi, la parabole $\mathcal{P}$ coupe l'axe des abscisses en deux points $A(-1 ; 0)$ et $B(6 ; 0)$.
\end{enumerate}
    

\section{Équation du second degré}

Une équation du second degré à une inconnue $x$, est une équation qui peut s'écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels et   $a\ne 0$.


L'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne 0$ peut s'écrire sous la forme $a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=0$


On pose $\Delta= b^2 - 4ac$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne 0$ équivaut à l'équation  $a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]=0$, soit encore ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0$.

\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors $\dfrac{\Delta}{4a^2}<0$ et ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$. Donc l'équation du second degré n'a pas de solution.
\item Si $\Delta=0$ alors  l'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne 0$ équivaut à l'équation  ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=0$. Donc l'équation du second degré a pour unique solution $x=-\dfrac{b}{2a}$.

\item Si $\Delta>0$ alors : \[\begin{split}
{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0 &\iff {\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)}^2=0\\
&\iff \left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)=0\\
&\iff  \left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)=0
\end{split}\]
Donc l'équation du second degré a deux solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
\end{itemize}

\subsection{Propriété}

\cadreR{%
Soit $S$ l'ensemble des solutions dans $\R$ de l'équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés avec $a \ne 0$ et $\Delta= b^2 - 4ac$ le discriminant du trinôme.
\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors l'équation n'a pas de solution ; $S=\emptyset$.
\item Si $\Delta=0$ alors  l'équation a une seule solution ; $S=\left\{ -\dfrac{b}{2a} \right\}$.
\item Si $\Delta>0$ alors l'équation a deux solutions ; $S=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ; \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}$
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'équation $6x^2-3=7x$


Pour tout réel $x$, $6x^2-3=7x \iff 6x^2-7x-3=0$. Il s'agit de résoudre une équation  du second degré avec $a=6$, $b=-7$ et $c=-3$
	
	
	Le discriminant du trinôme est $\Delta=b^2-4ac$ soit $\Delta = {\left(-7\right)}^2-4 \times 6 \times \left(-3\right)= 49+72=121$. 
	
	Comme $\Delta >0$, l'équation admet deux solutions : 
	\[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{Soit} \qquad x_1=\frac{7-11}{12}=-\frac{1}{3}\]
		\[x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{Soit} \qquad x_2=\frac{7+11}{12}=\frac{3}{2}\]
		
L'ensemble des solutions de l'équation $6x^2-3=7x$  est $S=\left\{ -\dfrac{1}{3}; \dfrac{3}{2} \right\}$


\subsection{Interprétation graphique}

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{2cm}|>{\centering \arraybackslash}X>{\centering \arraybackslash}X|}
\multicolumn {1}{c}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}} &\multicolumn {1}{c}{\fbox{cas $a<0$}}&\multicolumn {1}{c}{\fbox{cas $a>0$}}\\ \cline{2-3}
 \LARGE{$\Delta < 0$} &
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-9)(8,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x-2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-9)(8,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.65}{7.65}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,0)(2,-1)
\uput[u](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(4,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x+2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-2)(4,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.65}{3.65}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,1)
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}\\

& \multicolumn {2}{c|}{\textsf{\textbf{La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses}}}  \\ \hhline{~=:=}
 \LARGE{$\Delta = 0$} &
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-9)(8,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-9)(8,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.65}{7.65}{\f}
\uput[u](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(4,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x+1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-2)(4,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.65}{3.65}{\f}
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}\\

& \multicolumn {2}{c|}{\textsf{\textbf{La parabole est tangente à l'axe des abscisses}}}  \\ \hhline{~=:=}
\LARGE{$\Delta > 0$} &
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(8,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-5)(8,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,0)(2,4)
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\uput[d](-1.8,0){\prune{\footnotesize{$x_1$}}}
\uput[d](5.8,0){\prune{\footnotesize{$x_2$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(4,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x-3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-5)(4,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{4}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,-4)
\uput[u](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\uput[dl](-6,0){\prune{\footnotesize{$x_1$}}}
\uput[dr](2,0){\prune{\footnotesize{$x_2$}}}
\end{pspicture}\\
& \multicolumn {2}{c|}{\textsf{\textbf{La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points}}}  \\ \cline{2-3}
\end{tabularx}

\bigskip

\textsf {\textsc{\textbf{remarque}}}

\medskip

\cadreB{
Les solutions éventuelles de l'équation $ax^2+bx+c=0$ sont aussi appelées les racines du trinôme \[ax^2+bx+c\]
}

\pagebreak


\section{Signe du trinôme}


\subsection{Factorisation}

\cadreR{
Factorisation du trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$ :

\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors  le trinôme ne se factorise pas.
\item Si $\Delta=0$ en notant $x_0$ l'unique racine : $f(x)= a{\left(x- x_0\right)}^2$.
\item Si $\Delta>0$ en notant  $x_1$ et  $x_2$ les deux racines : $f(x)= a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)$.
\end{itemize}
}

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ et $\Delta= b^2 - 4ac$ le discriminant du trinôme.

\[f(x) =a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right].\]
\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors $f(x)$ est le produit par $a$ d'une somme de deux nombres positifs ; le trinôme ne se factorise pas.
\item Si $\Delta=0$ alors  $f(x)=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2$. Soit en notant $x_0 =-\dfrac{b}{2a} $ l'unique racine on a :\[f(x)= a{\left(x- x_0\right)}^2\]
\item Si $\Delta>0$ alors $f(x)= a\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)$. Soit en notant  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ les deux racines on a :
\[f(x)= a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)\]
\end{itemize}

\subsubsection{Propriété}

\cadreR{
Soit $f$ un polynôme du second degré défini sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ et $\Delta= b^2 - 4ac$ le discriminant du trinôme.

\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors pour tout réel $x$, $f(x)$ est du signe de $a$.
\item Si $\Delta=0$ alors $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x \ne -\dfrac{b}{2a}$.
\item Si $\Delta>0$,  $x_1$ et  $x_2$ désignant les deux racines du trinôme avec $x_1 < x_2$ alors $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x \in \left] -\infty ; x_1 \right[ \cup \left] x_2 ; +\infty \right[$ et $f(x)$ est du signe contraire de celui de $a$ pour tout réel $x \in \left] x_1 ; x_2 \right[$.
\end{itemize}
}

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ et $\Delta= b^2 - 4ac$ le discriminant du trinôme.


\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors $f(x)$ est le produit par $a$ d'une somme de deux nombres positifs donc le signe du trinôme est le signe de $a$ pour tout réel $x$.
\item Si $\Delta=0$ alors  $f(x)=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2$ donc $f(x)$ est nul pour $x =-\dfrac{b}{2a} $ ; pour les autres valeurs de $x$  le signe du trinôme est le signe de $a$.
\item Si $\Delta>0$,  $x_1$ et  $x_2$ désignant les deux racines du trinôme avec $x_1 < x_2$ alors $f(x)= a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)$.

Étudions le signe du produit $a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)$ à l'aide d'un tableau de signe.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=.5pt} 
\psframe(16,4)
\psline(0,1)(16,1)\psline(0,2)(16,2)\psline(0,3)(16,3)
 \psline(3,0)(3,4)
  \rput(1.5,3.5){$x$} \rput(3.5,3.5){$- \infty$} \rput(7.5,3.5){$x_1$} \rput(11.5,3.5){$x_2$}  \rput(15.5,3.5){$+\infty$}
 \rput(1.5,2.5){$x-x_1$} \rput(5.5,2.5){$-$}\pnode(7.5,3){m1}\pnode(7.5,2){m0}\ncline{m1}{m0}\ncput*{0} \rput(9.5,2.5){$+$}\pnode(11.5,2){n0}\pnode(11.5,3){n1}\ncline{n0}{n1}\rput(13.5,2.5){$+$} 
 \rput(1.5,1.5){$x-x_2$} \rput(5.5,1.5){$-$}\pnode(7.5,1){m1}\ncline{m0}{m1} \rput(9.5,1.5){$-$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n0}{n1}\ncput*{0}\rput(13.5,1.5){$+$}
 \rput(1.5,0.5){$a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)$} \rput(5.5,0.5){signe de $a$}\pnode(7.5,0){m0}\ncline{m0}{m1}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){signe de $-a$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){signe de $a$}  
 \end{pspicture}
\end{center}
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{remarque}}}

\medskip

\cadreB{On retiendra la règle \og Un polynôme du second degré est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire de $a$ entre les racines \fg .}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $-\dfrac{x^2}{4}-x+3\leqslant 0$. 

Étudions le signe du trinôme $-\dfrac{x^2}{4}-x+3$ avec $a=-\dfrac{1}{4}$, $b=-1$ et $c=3$
	
	
	Le discriminant du trinôme est $\Delta=b^2-4ac$ soit $\Delta = {\left(-1\right)}^2-4 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) \times 3= 1+3=4$. 
	
	Comme $\Delta >0$, le trinôme admet deux racines : 
	\[x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{Soit} \qquad x_1=\dfrac{1-2}{-\dfrac{1}{2}}=2\]
		\[x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{Soit} \qquad x_2=\dfrac{1+2}{-\dfrac{1}{2}}=-6\]
		
Un polynôme du second degré est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire de $a$ entre les racines. Ainsi :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,2.5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=.5pt} 
\psframe(16,2.5)
\psline(0,1.5)(16,1.5)
 \psline(3,0)(3,2.5)
  \rput(1.5,2){$x$} \rput(3.5,2){$- \infty$} \rput(7.5,2){$-6$} \rput(11.5,2){$2$}  \rput(15.5,2){$+\infty$}
   \rput(1.5,1.2){Signe du trinôme}
 \rput(1.5,0.5){$-\dfrac{x^2}{4}-x+3$} \rput(5.5,0.75){$-$}\pnode(7.5,0){m0}\pnode(7.5,1.5){m1}\ncline{m0}{m1}\ncput*{0} \rput(9.5,0.75){$+$} \pnode(11.5,0){n0}\pnode(11.5,1.5){n1}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.75){$-$}  
 \end{pspicture}
\end{center}

\medskip

L'ensemble des solutions de l'inéquation $-\dfrac{x^2}{4}-x+3\leqslant 0$ est $S=\left] - \infty ; -6\right] \cup \left[2 ; + \infty \right[$.

\medskip

\item Étudier les positions relatives de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x-3$

Les positions relatives de la parabole et de la droite se déduisent du signe de  \[x^2 -\left(2x-3\right)=x^2-2x+3\] 

Le discriminant du trinôme est $\Delta=b^2-4ac$ soit $\Delta = {\left(-2\right)}^2-4 \times 1 \times 3= 4 -12=-8$. 
	
	Comme $\Delta <0$, le trinôme est du signe de $a$ donc pour tout réel $x$, $x^2-2x+3>0$.

\medskip

La parabole $\mathcal{P}$ est au dessus de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{L'essentiel}

\begin{center}
\LARGE{\bleu{$f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$}}
\end{center}

%{\renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{Rfond}}c|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|X|X|X|}\hhline{~~---}
\multicolumn{2}{>{\centering\arraybackslash}m{3.5cm}|}{Discriminant \par{$\Delta=b^2-4ac$}}&\cellcolor{Rfond}\LARGE{$\Delta <0$}&\cellcolor{Rfond}\LARGE{$\Delta =0$}&\cellcolor{Rfond}\LARGE{$\Delta >0$}\\ \hline
&Variations & \multicolumn{1}{X}{
\psset{xunit=1cm, yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(10,4.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,2.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.5){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,2.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}&\multicolumn{2}{X|}{}
\\ \cline{2-5}
\LARGE{$a>0$} &Courbe&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(4,8.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x+2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-2)(4,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.3}{3.3}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,1)
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(4,8.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x+1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-2)(4,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.65}{3.65}{\f}
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(4,6.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x-2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-4)(4,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{4}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,-3)
\uput[u](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\uput[d](-5.8,0){\prune{\footnotesize{$x_1$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$x_2$}}}
\end{pspicture}\\ \cline{2-5}
& Solutions de \par{$ax^2+bx+c=0$} & Pas de solution & Une solution : \par{$x_0= -\dfrac{b}{2a}$}& Deux solutions : \par{$x_1= \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}$} \par{$x_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$}\\ \cline{2-5}
& Signe de \par{$ax^2+bx+c$} & Strictement positif sur $\R$ & Positif sur $\R$ & Positif sur \par{$\left] -\infty ; x_1 \right] \cup \left[ x_2 ; +\infty \right[$} \par{Négatif  sur $\left[ x_1 ; x_2 \right]$}\\ \hline \hline
&Variations &\multicolumn {1}{X}{
\psset{xunit=1cm, yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(10,4.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(0,0)(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,2){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}&\multicolumn {2}{X|}{}
\\ \cline{2-5}
\LARGE{$a<0$} &Courbe&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(8,2.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x-2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-8)(8,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.3}{7.3}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,0)(2,-1)
\uput[u](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(8,2.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-8)(8,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.65}{7.65}{\f}
\uput[u](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(8,5.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-5)(8,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,0)(2,4)
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\uput[dl](-2,0){\prune{\footnotesize{$x_1$}}}
\uput[d](5.8,0){\prune{\footnotesize{$x_2$}}}
\end{pspicture}\\ \cline{2-5}
& Solutions de \par{$ax^2+bx+c=0$} & Pas de solution & Une solution : \par{$x_0= -\dfrac{b}{2a}$}& Deux solutions : \par{$x_1= \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}$} \par{$x_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$}\\ \cline{2-5}
 & Signe de \par{$ax^2+bx+c$} & Strictement négatif sur $\R$ & Négatif sur $\R$ & Négatif sur \par{$\left] -\infty ; x_1 \right] \cup \left[ x_2 ; +\infty \right[$} \par{Positif  sur $\left[ x_1 ; x_2 \right]$}\\ \hline
\end {tabularx}
%}

\newpage


\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 

Étudier dans chacun des cas, les variations de la fonction et donner les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction.
\begin{enumerate}
	\item $f_1$ est la fonction définie sur $\R$  par : $f_1\left( x \right) =  - x^2  - 2x + 1$.
	\item $f_2$ est la fonction définie sur $\R$  par : $f_2\left( x \right) =  2x^2  - x - \dfrac{3}{8}$. 
	\item $f_3$ est définie sur $\R$ par $f_3(x)= -2x^2+8x -7$
		\item $f_4$ est définie sur $\R$ par $f_4(x)= x^2-\dfrac{x}{2} -3$
\end{enumerate}

 \bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

$f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$  par  $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$ )

Dans chacun des cas suivants, répondre aux questions suivantes :

\begin{itemize}
	\item Quel est le signe de $a$ ?
	\item Quelle est la valeur de $-\dfrac{b}{2a}$ ?
	\item Quel est le signe du discriminant $\Delta$ ?
		\item Quel est le signe de $c$ ?
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Le tableau des variations de $f$ est :\hfill
	\parbox{10cm}{%
	\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2.8)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,2.8)
\rput(0.75,2.4){$x$} \rput(2,2.4){$- \infty$} \rput(5.75,2.4){$-2$} \rput(9.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.6){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.4){\rnode{B}{$1$}} \rput(9.5,1.6){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}

\medskip

\item Le tableau des variations de $f$ est :\hfill	\parbox{10cm}{%
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10,2.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2.8)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,2.8)
\rput(0.75,2.4){$x$} \rput(2,2.4){$- \infty$} \rput(5.75,2.4){$2$} \rput(9.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,.4){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1.6){\rnode{B}{$0$}} \rput(9.5,.4){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}

\medskip

\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{6cm}{%
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-4,-3)(8,7)  
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{.5*(x^2-2*x-1.56)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(8,7) 
	\psset{unit=1cm}   
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1.5)(4,3.5) 
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{4}{\f}
\end{pspicture}}
\medskip
\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{6cm}{%
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-2,-5)(10,5)  
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{2-.6*(x-2)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-5)(10,5) 
	\psset{unit=1cm}   
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-2.5)(5,2.5) 
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,2.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.74}{4.74}{\f}
\end{pspicture}
} 
\end{enumerate}		

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction $f$ soit égal à 0.
	
Parmi les propositions suivantes  quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{enumerate}
	\item $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$.
	\item $a < 0$ et $\mathrm{\Delta}=0$.
	\item $a < 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ coupe l'axe des abscisses en deux points.
	\item L'équation $f(x)= 0$ admet une seule solution.
\end{enumerate}
\item Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polynôme du second degré $f_1$, $f_2$, $f_3$ et $f_4$ .

\medskip

\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-6,-4)(3,4) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(3,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-2)(1.5,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.64}{1.14}{(x+2)*(.5-x)}
\uput[l](-2.3,-.7){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_1$}}}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-6,-1)(3,7) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(3,7)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-.5)(1.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.73}{0.73}{.5+(x+1)^2}
\uput[l](-2.3,2.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_2$}}}
\end{pspicture}  \hfill
\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-3,-4)(6,4) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(6,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-2)(3,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.14}{2.64}{(x+.5)*(x-2)}
\uput[r](2.3,.7){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_3$}}}
\end{pspicture}   \hfill
\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-6,-6)(3,2) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(3,2)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(1.5,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.8}{1.2}{-.75*(x+.8)^2}
\uput[l](1.6,-1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_4$}}}
\end{pspicture} 

\`A partir des informations données sur le signe de $a$ et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative :

$f_1$ : $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$ ; \hfill $f_2$ : $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} > 0$ ; \hfill $f_3$ : $a < 0$ et $\mathrm{\Delta}  = 0$ ; \hfill $f_4$ : $a < 0$ et $\mathrm{\Delta} > 0$.

\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

$f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$  par  $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$ )

Dans chacun des cas suivants, préciser le signe de $a$ et indiquer si le discriminant $\Delta$ est négatif, positif ou nul.

\begin{enumerate}
	\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{5cm}{%
	\psset{xunit=1cm}
	\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(1.5,3) 
\newgray{gray}{.75}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-3.5,-1)(1.5,3)  
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3.5,-1)(1.5,3) 
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{2}{(x+2)*(x+.5)}
\end{pspicture*}}
\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{5cm}{%
	\psset{xunit=1cm}
	\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,1) 
\newgray{gray}{.75}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1.5,-3)(3.5,1)  
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.5,-3)(3.5,1) 
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{3}{-(x-1)^2}
\end{pspicture*}}
\item Le tableau des variations de $f$ est \hfill
	\parbox{10cm}{%
	\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$3$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,.6){$f(x)$} \rput(2,1){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.2){\rnode{B}{$-2$}} \rput(9.5,1){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}
\item Le tableau des variations de $f$ est \hfill	\parbox{10cm}{%
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$-3$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,.6){$f(x)$} \rput(2,.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1){\rnode{B}{$-1$}} \rput(9.5,.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}} 

\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
 $2x^2=x+3$ &  $2x^2-2x-1=0$ & $x^2-3x+9$\\
$8x^2+10x-3=0$ &  $1-3x+2x^2=0$ & $3x^2+x=2x^2-x+2$\\
\end{tabularx}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ une fonction définie sur  $\R$  par $f(x)=ax^2+bx+c$.

Sa courbe représentative dans un repère orthonormal est une parabole  passant les points : $A\left(-2;7\right)$, $B\left(0;1\right)$ et $C\left(2;-1\right)$. 

\begin{enumerate}
	\item À l'aide d'un système d'équations, déterminer les réels $a$, $b$, et $c$, et en déduire l'équation de la parabole.
	\item On note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation :  $y=\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$. 
	
	Calculer les coordonnées de ses points d'intersection avec l'axe des abscisses.
\end{enumerate} 
 
  \bigskip 

\exo 

 \medskip 

L'offre et la demande désignent respectivement la quantité d'un bien ou d'un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.

Une étude concernant un article A a permis d'établir que :
\begin{itemize}
	\item la fonction d'offre $f$ est donnée par $f(q)=0,5q$
	\item la fonction demande $g$ est donnée par $g(q)=\dfrac{78-6q}{q+8}$
\end{itemize}

 où $f(q)$ et $g(q)$ sont les prix d'un article en euros, pour une quantité $q$ comprise entre 1 et 12 millions d'unités.
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-4,-1)(28,19) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x}
\def\g{(78-6*x)/(x+8)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(26,18) 
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(13,9)
\uput[dl](0,9){\footnotesize{Prix (en \euro)} } 
\rput(13.2,.2){\footnotesize{Quantité} } 
\rput(13.2,-.2){\footnotesize{(en millions)} } 
\rput(1.5,8.5){\scriptsize{\prune{Courbe de demande}}} 
\rput(1.5,8.25){\scriptsize{\prune{du marché}}}
\rput(12.5,6.5){\scriptsize{\bleu{Courbe d'offre}}} 
\rput(12.5,6.25){\scriptsize{\bleu{du marché}}}    
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{12}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1}{12}{\g}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item \`A l'aide du graphique précédent et en argumentant la réponse, déterminer si la demande est excédentaire quand le prix de vente d'un article est de 1~\euro{}.
	\item On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,50 \euro{}.
\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché ;
	\item Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché ;
	\item Quel problème cela pose-t-il ?
\end{enumerate}
   
\item On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.

Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Pour deux résistances $R_1$ et $R_2$ montées en série, la résistance du dipôle est $R=R_1+R_2$

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
	\begin{pspicture}(0,-.5)(13,.5)  
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.85 .91 1}
\definecolor{orangeClair} {rgb}{.98 .64 .26}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=2](0,0){A}
\fnode[framesize=3  1cm](4,0){B}
\fnode[framesize=3  1cm](9,0){C}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=1.5](13,0){D}
\rput(4,0){$R_1$}
\rput(9,0){$R_2$}
\ncline{A}{B}
\ncline{B}{C}
\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
Pour deux résistances $R_1$ et $R_2$ montées en parallèle, la résistance du dipôle est $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
	\begin{pspicture}(0,-1.5)(10,1.5)  
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.85 .91 1}
\definecolor{orangeClair} {rgb}{.98 .64 .26}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=2](0,0){A}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,framesize=3  1cm](5,1){B}
\ncangle[angleA=0, angleB=-180,armB=1.2cm]{A}{B}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,framesize=3  1cm](5,-1){C}
\ncangle[angleA=0, angleB=180,armB=1.2cm]{A}{C}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=1.5](10,0){D}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{D}{B}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{D}{C}
\rput(5,1){$R_1$}
\rput(5,-1){$R_2$}

\end{pspicture}
\end{center}

 On donne $R=6 \,\Omega$, déterminer la résistance $X$ pour que la résistance du montage ci-dessous soit $16\, \Omega$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
	\begin{pspicture}(0,-1.5)(14,1.5)  
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.85 .91 1}
\definecolor{orangeClair} {rgb}{.98 .64 .26}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=2](0,0){A}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,framesize=3  1cm](3,0){B}
\ncline{A}{B}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,framesize=3  1cm](9,1){C}
\ncangle[angleA=0, angleB=-180,armB=1.2cm]{B}{C}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,framesize=3  1cm](9,-1){D}
\ncangle[angleA=0, angleB=180,armB=1.2cm]{B}{D}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=1.5](14,0){E}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{E}{C}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{E}{D}
\rput(3,0){$X$}
\rput(9,1){$R$}
\rput(9,-1){$X$}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} 
 $-4x^2+4x+15\geqslant 0$ &   $x^2+2x \leqslant 1$ &  $3x-x^2\leqslant x^2+4$\\
 $-2x^2+5x+12\geqslant 0$ & $4x^2\leqslant 4x+1$ & $\left( 2x+1\right)\left(1-3x\right)\geqslant 1$
\end{tabularx}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Soit $P$ la parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$   passant les points $A\left(-2;4\right)$,  $B\left(2;-1\right)$   et  $C\left(6;2\right)$. 
	
À l'aide d'un système d'équations, déterminer les réels $a$, $b$, et $c$, et en déduire l'équation de la parabole.

	\item Résoudre dans $\R$  l'inéquation $\dfrac{x^2-5x+2}{4}\leqslant - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}$.
	\item Soit $D$ la droite d'équation $y=- \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}$. 
	
	Étudier les positions relatives de la droite $D$ et de la parabole $P$.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique un produit dont le coût de production mensuel en euros est modélisé par :\[C(x)=0,02x^2+37,5x+3000\] 
où $x$ est le nombre d'unités produites mensuellement et $x$ dans l'intervalle $\left]0;1300\right]$.

Pour éviter de se retrouver avec un stock important, l'entreprise ajuste son prix de vente en fonction de la quantité produite. Le prix de vente unitaire en euros  en fonction de  $x$, est $P(x)=100-0,03x$.

On suppose que l'ajustement du prix de vente unitaire permet d'écouler toute la production et on note $R(x)$ la recette mensuelle générée par la production et la vente  de  $x$ produits.

Les fonctions coût et recette sont représentées ci-dessous dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(27,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(26,18)
\psset{xunit=.1mm,yunit=.01mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=100,Dy=1000]{-}(0,0)(1300,9000)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1300}{0.002*x^2+3.75*x+300}
\uput[45](1300,8500){\textcolor{bleu}{$y=C(x)$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{1300}{10*x-0.003*x^2}
\uput[45](1300,7750){\textcolor{prune}{$y=R(x)$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On cherche à déterminer la quantité que l'entreprise devrait produire mensuellement pour maximiser son profit.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice $B$ est donné par $B(x)=-0,05x^2+62,5x-3000$.
\item Déterminer graphiquement puis par le calcul, les valeurs de $x$ pour lesquelles l'entreprise réalise un profit.
\item Étudier les variations de la fonction $B$. En déduire la quantité $x$ que l'entreprise doit produire mensuellement pour maximiser son profit. Quel est le montant du profit maximum ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique un produit \og Bêta \fg{}. La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.

Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de $x$ milliers d'articles est modélisé par la fonction $C$ définie sur $\left]0 ;15 \right]$ par : \[C(x)=0,5x^2+0,6x+8,16\]

La représentation graphique $\Gamma$ de la  fonction  coût total est donnée dans l'annexe ci-dessous à rendre avec la copie.

On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8~\euro. 

\begin{enumerate}
	\item Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 4~000 articles ou  fabriquer et vendre 12~000 articles ?
	\item On désigne par $R(x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de $x$ milliers d'articles du produit \og Bêta \fg{}. On a donc $R(x)=8x$.
\begin{enumerate}
	\item Tracer dans le repère donné en annexe la courbe $\mathcal{D}$ représentative de la fonction recette.	
	\item Par lecture graphique déterminer :	
\begin{itemize}
	\item l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
	\item la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{itemize}
\end{enumerate}
	\item On désigne par $B(x)$ le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles.	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles, est donné par $B(x)=-0,5x^2+7,4x-8,16$  avec $x\in \left]0 ;15 \right]$.
	
	\item Étudier le signe de $B(x)$. En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
	\item Étudier les variations de la fonction $B$ sur $\left]0 ;15 \right]$. 
	
	En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(32,30)
	\rput(15.5,29){\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,27) 
\psset{xunit=1cm, yunit=0.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(16,135) 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{15}{.5*x^2+.6*x+8.16}
\uput[ur](15,130){\bleu $\Gamma$}
%\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](0,0)(15,120)
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 


\exo 

 \medskip 

La fonction $f$ définie sur $\left]0;20\right]$  par $f(x)=500-20x+\dfrac{100}{x}$, modélise le nombre d'articles vendus en fonction du prix unitaire $x$ exprimé en euros. 

\begin{enumerate}
\item Calculer le montant en euros de la recette si le prix de vente d'un article est : de 5 euros ; de 10 euros.
\item Montrer que la recette en fonction du prix $x$ s'exprime par  $R(x)=-20x^2+500x+100$
\item Étudier les variations de la fonction recette sur l'intervalle $\left]0;20\right]$.
\item Déterminer le prix de vente permettant d'obtenir une recette maximale.

En déduire le nombre d'articles vendus à ce prix.
\item Dans quel intervalle de prix, doit se situer le prix de vente pour obtenir une recette supérieure à \np{2980}~\euro{} ?
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $X^2 -7X-18=0$
\item En déduire une expression factorisée de $f(x)$ où $f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par : \[f(x)=x^4 -7x^2-18\]
\item Étudier le signe de $f(x)$ sur  $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip



\medskip

On considère les fonctions $f$ et  définies sur l'intervalle $[0 ; 1]$ par $f(x)=\dfrac{5x^2+7x}{12}$ et $g(x)=\dfrac{20x^2+x}{21}$, représentées ci-dessous par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(5*x^2+7*x)/12}
\def\g{(20*x^2+x)/21}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(11,11)
\psset{unit=8cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.099,-0.099)(1.1,1.1)
\uput[dl](1.1,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.1){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[ur](0.72,0.5){\footnotesize{$\mathcal{C}$}}\uput[ul](0.6,0.5){\footnotesize{$\mathcal{C}'$}}
\uput[dl](.9,1){\prune{\footnotesize{$D : y = x$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{1}{\g}

\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psdots[dotscale=.8,linecolor=prune](0.3,0.1)\uput[dr](0.3,0.1){\footnotesize{\prune{$E$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la courbe représentative de la fonction $f$ en justifiant la réponse.
\item Montrer que pour tout réel $x$ de $[0 ;1]$, on a : $f(x) \leqslant x$ et $g(x) \leqslant x$.
\item Un cabinet d'audit a été chargé d'étudier la répartition des salaires dans deux filiales d'une entreprise, appelées A et B. Pour l'étude, les salaires sont classés par ordre croissant.

Le cabinet d'audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction $f$ pour la filiale A et par la fonction $g$ pour la filiale B. 

Lorsque $x$ représente un pourcentage de salariés, $f(x)$ et $g(x)$ représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives.

\emph{Exemple} : pour la courbe $\mathcal{C}$, le point $E(0,3 ; 0,1)$ signifie que 30\,\% des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 10\,\% de la masse salariale.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50\,\% des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires.
		\item Pour les 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale ?
		\item Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire ?
 	\end{enumerate}

\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique un produit \og Bêta \fg{}. La production mensuelle ne peut pas dépasser 12 000 articles.

Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de $x$ milliers d'articles est modélisé par la fonction $f$ définie sur $\left]0 ;12 \right]$ par : \[f(x)=0,3x^3-4,8x^2+25,8x\]

La représentation graphique $\mathcal{C}_T$ de la  fonction  coût total est donnée ci-dessous  :
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(26,14) 

\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.3*x*(x^2-16*x+86)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(26,14) 
\psset{xunit=1cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=20]{->}(0,0)(13,140) 
\uput[dl](13,0){$x$}
\uput[dl](0,140){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{12}{\f}
\uput[dl](12.8,140){\bleu $\mathcal{C}_T$}
\end{pspicture}
\end{center}


Le coût moyen de production $C$ mesure le coût en euro par article produit. 

On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle $]0 ; 12]$ par $C(x)=\dfrac{ f(x)}{x}$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ le point d'abscisse $a$ de la courbe $\mathcal{C}_T$. 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal au coût moyen  $C(a)$
	\item Conjecturer graphiquement, les variations de la fonction $C$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}\item Étudier les variations de la fonction $C$.
\item En déduire le prix de vente minimal, arrondi à l'euro près, d'un article pour que l'entreprise ne travaille pas à perte ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Généralités sur les fonctions}

\minitoc

\newpage

\section{Rappels sur les fonctions}

\subsection{Fonction}

\cadreR{Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathcal{D}$ de nombres réels, c'est associer à chaque nombre $x\in \mathcal{D}$ un \textbf{unique} nombre réel noté $f(x)$. On note :  \[ f\colon\left\{ \begin{aligned} \mathcal{D} & \to \R \\ x &\mapsto f(x)\end{aligned}\right.\]
}

            
\medskip

 \begin{itemize}
 \item $\mathcal{D}$  est l'ensemble de définition de la fonction $f$. $x$ est la variable.
\item Le nombre $f(x)$ est l'image du réel $x$ par la fonction $f$.
\item Quand on sait que $f(x)=y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$.
 \end{itemize}

\subsection{Courbe représentative}

\cadreR{Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ de nombres réels.

La courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère, est l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $\begin{cases}
x\in \mathcal{D} \\
y=f(x)
\end{cases} $.
}
\begin{center}
\scalebox{.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.1*(x+5)*(x+2)*(3.25-x)*EXP(x/6)-1}
\def\g{.1*(x+5)*(x+1.5)*(3.25-x)*EXP(x/5)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{-|}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](2.5,0)(2.5,3.7)(0,3.7)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-2,0)(-2,-1)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-.8,0)(-.8,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{-2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.8}{3.585432}{\g}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,-1)(2.5,3.7)(-.8,1)
\uput[d](2.5,0){\small{\prune{$x$}}} \uput[l](0,3.7){\small{\prune{$y=f(x)$}}}
\uput[u](-2,0){\small{\prune{$a$}}} \uput[d](-.8,0){\small{\prune{$b$}}}
\uput[ur](2.5,3.7){\small{\prune{$M(x;y)$}}}
\uput[ul](4.2,-3){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\end{pspicture}
}

$C_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}=] - \infty; a] \cup [b; +\infty[$
\end{center}

\subsection{Variations}

\subsubsection{Fonction croissante}

\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est  croissante sur un intervalle $I$ signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ :\[\text{si }a \leqslant b\text{ alors } f\left(a\right) \leqslant f\left( b\right)\]
}

\medskip

On dit qu'une fonction $f$ croissante conserve l'ordre : les réels de l'intervalle $I$ et leurs images par $f$ sont rangés dans le même ordre.

\subsubsection{Fonction décroissante}
\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ :\[\text{si }a \leqslant b\text{ alors } f\left(a\right) \geqslant f\left( b\right)\]
}
\medskip

On dit qu'une fonction $f$ décroissante change l'ordre : les réels de l'intervalle $I$ et leurs images par $f$ sont rangés dans un ordre contraire.

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{remarque}}}}

\medskip

 On dit que $f$ est \emph{monotone} sur $I$ si elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$.

\subsubsection{Extremum}

\cadreR{\begin{itemize}
\item Dire que la fonction  $f$ admet un maximum en $a$ sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$,  $f(x)\leqslant f(a)$.
\item Dire que la fonction  $f$ admet un minimum en $a$ sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$,  $f(x)\geqslant f(a)$.
\end{itemize}
}
\section{Fonctions de référence}

\subsection{Fonction affine}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est une fonction affine.
}
\subsubsection{Proportionnalité des accroissements}

\cadreR{$f$ est une fonction affine si, et seulement si, pour tous nombres réels distincts ${x_1} \ne {x_2}$, on a : \[\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = a\]
}
\subsubsection{Variation}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

\begin{itemize}
 \item Si $a$ est positif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = ax+b$ est croissante.
\item Si $a$ est négatif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = ax+b$ est décroissante.
 \end{itemize}
}
\subsubsection{Courbe représentative}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$.
}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.5*x+1.5}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(1,5){$a<0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\uput[ur](-4,3.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\uput[d](3,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{a}$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(1,5){$a=0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-4,1.8)(6,1.8)
\uput[ur](-4,1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(1,5){$a>0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\uput[ur](-4,-2.6){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{a}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{Fonction carré}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{La fonction carré est la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{propriétés}}}

\medskip

\begin{itemize}
 \item Un carré est toujours positif ou nul.  Pour tout réel $x$, on a $x^2 \geqslant 0$.
 \item Un nombre et son opposé ont le même carré.   Pour tout réel $x$, on a $x^2 = {(-x)}^2$.
 \end{itemize}

\subsubsection{Variations de la fonction carré}

\cadreR{La fonction carré définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur  $[0; +\infty[$
}
\medskip

\textsf{\textsc{\small{tableau des variations de la fonction carré}}}


 \begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\rput(0.75,2.5){$x$} \rput(2,2.5){$- \infty$} \rput(5.75,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.7){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.3){\rnode{B}{$0$}} \rput(9.5,1.7){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\textsf{\textsc{\small{conséquences}}}

\medskip

\cadreB{
\begin{itemize}
 \item Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire. Si $a \leqslant b \leqslant 0$ alors $a^2  \geqslant b^2$
\item Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si $0 \leqslant a \leqslant b $ alors $a^2  \leqslant b^2$
 \end{itemize} 
}
	
\subsubsection{Courbe représentative}

\cadreR{
La courbe représentative de la fonction carré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$ est la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$.
}

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-6,-1)(6,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-1)(6,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.828}{2.828}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-1,0)(-1,1)(1,1)(1,0)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-1,-1)(4,4)
\uput[dr](2.8,8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\uput[dr](4,4){\prune{\footnotesize{$y=x$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textsc{\small{remarque :}}}

\medskip

Si $0 \leqslant a \leqslant 1$ alors $a^2  \leqslant a$. Sur l'intervalle $[0;1]$, la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ est au dessous de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.


\subsection{Fonction inverse}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{La fonction inverse est la fonction $f$ définie pour tout réel $x \ne 0$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{ensemble de définition}}}

\medskip

L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls  noté $\R^*$, c'est la réunion de deux intervalles $] -\infty ; 0 [ \cup ]0;+\infty[$

\subsubsection{Variations de la fonction inverse}

\cadreR{La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.
}
\medskip

\textsf{\textsc{\small{tableau des variations de la fonction inverse}}}

 \begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(5.7,0)(5.7,2)\psline(5.8,0)(5.8,2)
\rput(0.75,2.5){$x$} \rput(2,2.5){$- \infty$} \rput(5.75,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.7){\rnode{A}{}} \rput(5.6,.3){\rnode{B}{}}  \rput(5.9,1.7){\rnode{A1}{}} \rput(9.5,.3){\rnode{B1}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{A1}{B1} 
\end{pspicture} 
\end{center}
	
\subsubsection{Courbe représentative}

\cadreR{
La courbe représentative de la fonction inverse  est l'hyperbole d'équation $y=\dfrac{1}{x}$.
}
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-5,-4)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-4)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5,0){$x$}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle=dashed](0,1.6)(.625,1.6)(.625,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle=dashed](0,-1.6)(-.625,-1.6)(-.625,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle=dashed](-.625,-1.6)(.625,1.6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{-.25}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.25}{5}{\f}
\uput[ur](.625,1.6){\prune $M$}\uput[dl](-.625,-1.6){\prune $M'$}
\uput[d](.625,0){\prune\footnotesize{$a$}} \uput[l](0,1.6){\prune\footnotesize{$\dfrac{1}{a}$}}
\uput[u](-.625,0){\prune \footnotesize{$-a$}} \uput[r](0,-1.6){\prune \footnotesize{$-\dfrac{1}{a}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textsc{\small{remarques :}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item Pour tout réel $a \ne 0$, $f(-a)=-\dfrac{1}{a}=-f(a)$. 

Les points $M\left( a ; f(a) \right)$ et $M'\left( -a ; f(-a) \right)$ sont symétriques par rapport à l'origine du repère.

L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.
\item On peut rendre $f(x)=\dfrac{1}{x}$ aussi grand que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment proche de 0 et positif.

  On peut rendre $f(x)=\dfrac{1}{x}$ aussi proche de 0 que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Graphiquement, l'hyperbole se rapproche de l'axe des abscisses lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (ou vers $-\infty$) , et de l'axe des ordonnées lorsque $x$ se rapproche de 0.

On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.
\end{itemize}


\subsection{Fonction racine carrée}

\subsubsection{Définition 1}

\cadreR{Soit $a$ un réel positif. Le nombre $\sqrt{a}$ est le seul réel positif dont le carré est $a$. }

\subsubsection{Définition 2}

\cadreR{La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[  0 ; +\infty \right[$ par $f(x)=\sqrt{x}$. }

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{remarque}}}}

\medskip

Il ne faut pas confondre ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ et $\sqrt{x^2}$ :
\begin{itemize}
\item ${\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$ seulement pour $x\geqslant 0$.
\item $\begin{cases}
\text{Si }\; x\geqslant 0\text{, alors }\;\sqrt{x^2}=x. \\
\text{Si }\; x\leqslant 0\text{, alors }\; -x\geqslant 0\text{, d'où }\;\sqrt{x^2}=-x. 
\end{cases}$

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}} \[\sqrt{\left(-0,5\right)^2}=\sqrt{0,25}=0,5\]

\end{itemize}

\subsubsection{Variations de la fonction racine carrée}

\cadreR{La fonction racine carrée définie pour tout réel $x$ positif par  $f(x)=\sqrt{x}$ est strictement croissante.
}

\dem

Soit $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $0 \leqslant a < b$ :\[a-b={\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\]

Comme $0 \leqslant a < b$, alors $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) > 0$. Par conséquent, $a-b$ et $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)$ sont de même signe.

Ainsi, si $a-b<0$ alors $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)<0$ soit $f(a)<f(b)$. La fonction racine carrée est strictement croissante sur  $\left[  0 ; +\infty \right[$.

\subsubsection{Courbe représentative}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^.5}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-1,-1)(7,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.99,-.99)(7,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7,0){$x$}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{7}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}


\subsection{Fonction cube}


\subsubsection{Définition}

\cadreR{La fonction cube est la fonction $f$ définie pour tout réel $x$  par $f(x)=x^3$. }


\subsubsection{Variations de la fonction cube}

\cadreR{La fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
}

\dem

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $ a < b$ :
\begin{itemize}
\item Si $a<0$ et $b>0$, alors $a^3<0$ et $b^3>0$ donc $a^3< b^3$.
\item Si $a$ et $b$ sont de même signe :

Pour tous réel $a$ et $b$ on a \[a^3-b^3=(a-b)\left(a^2 +ab +b^2\right)\]
$a$ et $b$ étant de même signe, le produit $ab>0$ d'où $a^2 +ab +b^2>0$. Par conséquent, $a^3-b^3$ est du même signe que $(a-b)$.

Comme  $ a < b$ on en déduit que $a^3< b^3$. 
\end{itemize}

\subsubsection{Courbe représentative}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(3,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^3}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-3,-5)(3,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](3,0){$x$}\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.71}{1.71}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

 \exo 

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}		
\begin{pspicture}(-10,-7)(10,8)	
\def\pshlabel#1{\textsf{\footnotesize{#1}} }
\def\psvlabel#1{\textsf{\footnotesize{#1}} }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-7)(10,8)
\psset{unit=.8cm}		
\psaxes[linewidth=.8pt,ticksize=-2pt 2pt,labelsep=1mm]{->}(0,0)(-5,-3.5)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\newrgbcolor{rougef}{.8 0 .2}
\newrgbcolor{violet}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vertf}{0 .5 .2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{0.6*x+.8}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=1](-3,-1)(2,2)
\psline[linecolor=vertf,linewidth=1.25pt](-5,-2.5)(5,-2.5)
\psline[linecolor=violet,linewidth=1.25pt](-4,-3.5)(-4,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=rougef]{-2.66}{5}{2-.75*x}
\psdots[linecolor=rougef,dotscale=1](-2,3.5)(4,-1)
\uput[d](-3,-1){\bleu {\footnotesize{$A$}}}
\uput[u](2,2){\bleu {\footnotesize{$B$}}}
\uput[d](4,-1){\rougef {\footnotesize{$F$}}}
\uput[d](-2,3.5){\rougef {\footnotesize{$E$}}}
\rput(-3.5,3.5){\violet {\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}
\rput(4.5,-3){\vertf {\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}
\rput(4.5,-2){\rougef {\footnotesize{$\mathcal{D}_3$}}}
\rput(4.5,3){\bleu {\footnotesize{$\mathcal{D}_4$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans chaque cas où la droite représentée ci-dessus, est la courbe représentative d'une fonction, déterminer la fonction affine associée. 

 \bigskip 

\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine $f$ puis donner son sens de variation 

\begin{enumerate}
	\item $f(-2)=3$ et $f(3)=-1$
	\item La droite représentant la fonction $f$ passe par les points de coordonnées $(-2 ; -1)$ et $(1 ; 3)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
 
\begin{enumerate}
	\item $f$ est une fonction affine définie pour tout réel $x$ telle que $f(-1,5)=-2$ et $f(3)=1$.
	
	Donner une expression de $f(x)$.
	\item $g$ est une fonction affine définie pour tout réel $x$ telle que $g(2)=-1$ et $g(4)-g(-2)=-9$.
	
	Donner une expression de $g(x)$.
	
	\item Résoudre dans $\R$, l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$.
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement de $\dfrac{1}{x}$ dans chacun des cas suivants :


a) $-0,5 < x < -0,4$; \hfill b) $\dfrac{2}{3} < x < 1$; \hfill c) $x  > \dfrac{1}{5}$; \hfill d) $x  \leqslant -\sqrt{2}$

\item Dans chaque cas, trouver les réels $x$ qui satisfont la condition donnée :

a) $\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{3}{4}$; \hfill b) $\dfrac{1}{x} > 2$; \hfill c) $-2  < \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{5}$; \hfill d) $-\dfrac{1}{3}  \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 3$
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip

Existe-t-il deux entiers naturels consécutifs dont la différence des inverses est égale à l'inverse de 600 ?

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses. 

a) $x > 4 \Rightarrow \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{4}$; \hfill b) $x \leqslant -\dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{x} \geqslant -1,5$; \hfill c) $x > -2 \Rightarrow \dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{2}$; \hfill d) $x < 0,6 \Rightarrow \dfrac{1}{x} > \dfrac{5}{3}$

\item Pour chacune des implications précédentes, énoncer la réciproque et dire si celle ci est  vraie ou fausse. 
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip
 
La parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous est la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par $g(x)=-3x-\dfrac{9}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $g$.
\item Étudier les positions relatives de la droite  $\mathcal{D}$ et de la parabole $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\Delta$ n'ayant que le point $A$ d'abscisse 2 en commun avec la parabole.

(\emph{On dit que la droite $\Delta$ est tangente à la parabole $\mathcal{P}$ au point $A$ d'abscisse 2.})
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(6,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-3)(6,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.828}{2.828}{\f}
\uput[dr](2.8,8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}


  \exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel tel que $1<x\leqslant 2$
\begin{enumerate}
\item Montrer que ${\left(x-1\right)}^3 \leqslant {\left(x-1\right)}^2$
\item Que peut-on en déduire pour $\dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^3}$ et $\dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$ ?
\end{enumerate}
\item La proposition \og Pour tout réel $x > 1$, $\dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^3} \geqslant \dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip
 
\begin{enumerate}
	\item Les courbes représentatives des fonctions $f \colon x \mapsto x^2$, $g \colon x \mapsto x$ et $h \colon x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sont représentées sur le graphique ci-dessous

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \newrgbcolor{vert}{0.1 0.46 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\def\h{1/x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.732}{1.732}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3}{-.333}{\h}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.333}{3}{\h}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=vert](-3,-3)(3,3)
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique, émettre une conjecture à propos de l'ordre croissant des trois nombres $a$, $a^2$ et $\dfrac{1}{a}$ selon les différentes valeurs du réel $a$.

\item Si $0 < a \leqslant 1$ montrer que $ a^2 \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{a}$
\end{enumerate}


 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip
 
Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ positifs on a : $\sqrt{a}+ \sqrt{b} \geqslant \sqrt{a+b}$. 
 
 \bigskip 
 
 \exo 

 \medskip
 
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) =\sqrt{8-2x}$.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.
 
 \item Résoudre l'équation $f(x)= 3$.
 \end{enumerate} 
 
 \bigskip 
 
 \exo 

 \medskip
 
Dans chacun des cas suivants, étudier le signe de la fonction $f$ sur $\R$.

\begin{enumerate}
 \item $f$ est définie par $f(x)=100-0,1x^3$.
 
 \item $f$ est définie par $f(x)= \dfrac{x^3}{8}-1$.
 \end{enumerate} 
 
 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies pour tout réel$x$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{9}{4}$ et $g(x)=\dfrac{2}{3}x^2+x-3$. 


Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-13,-6)(10,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \newrgbcolor{vert}{0.1 0.46 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+3)*(2*x-3)^2/12}
\def\g{(x+3)*(2*x-3)/3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-13,-6)(10,12)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-6.5,-6)(5,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,12){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.672}{3.8}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-5.552}{4.05}{\g}
\uput[ul](-3.7,-6){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[dl](-5.6,12){\prune{$\mathcal{C}_g$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Calculer $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.
\item Par lecture graphique, donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{(x+3)(2x-3)^2}{12}$.
\item Établir le tableau de signes de $f(x)$.
\end{enumerate} 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x)=0$.
\item Étudier  les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Dérivation}

\minitoc

\newpage

\section{Nombre Dérivé} 

 \subsection{Définition} 
 
\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a$ un réel appartenant à $I$.

Lorsque le rapport $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite réelle quand $x$ tend vers $a$ en restant dans $I$, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ et cette limite réelle, notée $f'(a)$, est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$. 

On note alors : \[f'(a)=\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
}

 \subsection{Tangente à une courbe} 
 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{9cm}@{\extracolsep{\fill}}X@{}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

La droite passant par le point $A\left( a ; f(a) \right)$ de la courbe $C_f$ et de coefficient directeur $f'(a)$ est appelée la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$.&
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x+1)*Euler^(1-x^2/16)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(8,5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){$x$}
\uput[dl](0,5){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.75}{8}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,5)(7.5,-.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,3)(4,3)(4,0)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](4,3)
\uput[d](4,0){\red{$a$}}
\uput[l](0,3){\red{$f(a)$}}
\uput[ur](4,3){\red{$A$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\subsubsection{Propriété} 

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

L'équation réduite de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $a$ est : 
 \[y=f'(a)\times(x-a)+f(a)\]
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est  la courbe représentative d'une fonction $f$  définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-3)(20,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{5-6*(x+2)/(x^2-3*x+6)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-3)(20,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(10,6)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$}
\uput[l](0,5.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{10}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-1.2,5.4)(1.2,0.6)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=vertf]{->}(0,3)(1,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=vertf]{->}(1,3)(1,1)
\uput[u](.5,3){\vertf $1$}
\uput[r](1,2){\vertf $-2$}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](1,-1)(3,-1)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,-1.5)(5.5,3.75)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (0,3)(1,1)(2,-1)(3,0)(5,3)
\uput[dl](10,4){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\uput[ul](-1.2,5.2){\prune\footnotesize{$T_1$}}
\uput[ur](5.5,3.5){\prune\footnotesize{$T_3$}}
\uput[dr](3,-1){\prune\footnotesize{$T_2$}}
\end{pspicture}
\end{center} 

Par lecture graphique, déterminer $f'(0)$, $f'(2)$ et $f'(3)$.

\begin{enumerate}
	\item Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $T_1$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
	
	Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite $T_1$ est égal à $-2$.
	Ainsi, $\boxed{f'(0)=-2}$
	\item La tangente $T_2$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses. Donc $\boxed{f'(2)=0}$
	\item La droite $T_3$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3 passe par les points de coordonnées $(3;0)$ et $(5;3)$. Son coefficient directeur $a$ est  \[a=\dfrac{3-0}{5-3}=\dfrac{3}{2}\]
	Le nombre dérivé $f'(3)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3. Donc $\boxed{f'(3)=\dfrac{3}{2}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{Remarque}

La courbe représentative d'une fonction $f$ peut avoir une tangente en un point $a$ sans que la fonction soit dérivable en $a$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}

La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d'équation $x = 0$ en $0$. 

Or la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ en effet : \[\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0} = \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x}}= + \infty \]  ce n'est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.&
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{sqrt(x)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(6,3.5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$}
\uput[l](0,3.3){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

 
\section{Fonction dérivée} 

 \subsection{Définition} 
 

 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.

Lorsque pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f$ est dérivable en $x$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$. 

\medskip
 
\cadreR{%
La fonction qui associe à tout réel $x$ appartenant à $I$ son nombre dérivé $f'(x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$. Elle est notée $f'$.
}
 
\subsection{Dérivées des fonctions de référence}


  \renewcommand{\arraystretch}{1.2} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
\rowcolor{Rfond}fonction définie et dérivable sur : & fonction $f$ définie par :  &	fonction dérivée $f'$ définie par :  \\ \hline
$\R$  & $f(x)=k$ & $f'(x)=0$  \\ \hline
$\R$  & $f(x)=ax+b$ & $a$  \\ \hline
$\R$ & $f(x)=x^n$ \; ($n$ entier $n \geqslant 1$)& $f'(x)=n x^{n-1}$	  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $]-\infty ; 0[$ ou $]0;+\infty[$ & $f(x)=\dfrac{1}{x}$ & $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $]-\infty ; 0[$ ou $]0;+\infty[$ & $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ \; ($n$ entier $n \geqslant 1$)& $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $]0;+\infty[$  & $f(x)=\sqrt{x}$ & $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$  \\ \hline
\end{tabularx}

\subsection{Dérivées et opérations}

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hhline{~|-|-}\noalign{\vskip.2pt}
\multicolumn {1}{c|}{} &\cellcolor{Rfond}fonction $f$ définie par :  &\cellcolor{Rfond}fonction dérivée $f'$ :\\ \hline
Produit d'une fonction par un réel $k$  & $ku$ & $ku'$\\ \hline
Somme& $u+v$ & $u'+v'$  \\\hline
Produit & $u \times v$ & $u'v +uv'$	  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}Quotient  ($v \ne 0$ sur $I$) & $\dfrac{u}{v}$ & $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}Inverse  ($v \ne 0$ sur $I$) & $\dfrac{1}{v}$& $-\dfrac{v'}{v^2}$  \\ \hline

\end{tabularx}

\bigskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}

\begin{enumerate}
	\item \textsf{Produit de deux fonctions}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x) = \left( 2+ \dfrac{x^2}{3}\right) \left( 1 -\dfrac{2}{x} \right)$. Calculer $f' (x)$.
	
	Sur $]0;+\infty [$ $f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. 
	
	$f =u v$ d'où $f'= u'v + uv'$. Avec  pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 2+ \dfrac{x^2}{3} & \text{ d'où } & u'(x) = \dfrac{2x}{3}\\
	v(x) =  1 -\dfrac{2}{x} & \text{ d'où } & v'(x) = \dfrac{2}{x^2}  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} \\
	\end{array}
\]
Soit pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$, 
\[ \begin{split} 
f'(x) &= \dfrac{2x}{3} \times \left( 1 -\dfrac{2}{x} \right)  +\dfrac{2}{x^2} \times \left( 2+ \dfrac{x^2}{3}\right)\\
 &=  \dfrac{2x}{3} - \dfrac{4}{3} +\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{2}{3}\\
 &= \dfrac{2x^3-2x^2+6}{3x^2} \\
 	\end{split}
 	\]
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f'(x)=\dfrac{2x^3-2x^2+6}{3x^2}$. 
 	
	\item \textsf{Quotient de deux fonctions}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}$. Calculer $f' (x)$.
	
	Sur $\R$, $f$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. 
	
	$f =\dfrac{u}{v}$ d'où $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. Avec  pour tout réel $x$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 4x-3 & \text{ d'où } & u'(x) = 4 \\
	v(x) = x^2+1 & \text{ d'où } & v'(x) = 2x \\
	\end{array}
\]
Soit pour tout réel $x$, 
\[ \begin{split} 
f'(x) &= \dfrac{4(x^2+1)-2x(4x-3)}{(x^2+1)^2} \\
 &=\dfrac{4x^2+4-8x^2+6x}{(x^2+1)^2} \\
 &= \dfrac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2} \\
 	\end{split}
 	\]
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $\R$ par $f'(x)=\dfrac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2}$.


\end{enumerate}



\section{Dérivée et variations d'une fonction}

\subsection{Théorème 1}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable et monotone sur un intervalle $I$ de $\R$.

\begin{itemize}
	\item Si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)=0$.
	\item Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\geqslant 0$.
		\item Si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\leqslant 0$.
\end{itemize}
}

\medskip

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

\subsection{Théorème 2}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $f'$ la dérivée de $f$ sur $I$.

\begin{itemize}
	\item Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement négative sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{itemize}
}

\subsection{Théorème 3}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ de $\R$ et $x_0$ un réel appartenant à $I$.

\begin{enumerate}
	\item Si $f$ admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$.
	\item Si la dérivée $f'$ s'annule en $x_0$ \textbf{en changeant de signe}, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
\end{enumerate}
}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$-$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$+$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,0.2){\footnotesize{\emph {minimum}}}
\psline{->}(1.8,1.2)(4,0.2)  \psline{->}(5.4,0.2)(7.6,1.2)
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$+$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$-$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,1.2){\footnotesize{\emph {maximum}}}
\psline{->}(1.8,0.2)(4,1.2)  \psline{->}(5.4,1.2)(7.6,0.2)
\end{pspicture}

\subsubsection{Remarques}

\begin{enumerate}
	\item Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse \textbf{en changeant de signe} est importante.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction cube définie sur $\R$ par $f(x) = x^3$ qui a pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\R$ par $f'(x)= 3 x^2$.

$f'(0) =0$ et pour tout réel $x$ non nul, $f'(x)>0$.

La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ et n'admet pas d'extremum en 0.
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(1.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1.3,0){$x$}
\uput[l](0,1.3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{1.14}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\item  Une fonction peut admettre un extremum local en $x_0$ sans être nécessairement dérivable.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = |x-1| +1$ .

$f$ est une fonction affine par morceaux, $f$ admet un minimum  $f (1) = 1$  or $f$ n'est pas dérivable en 1.

&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(3.5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{abs(x-1)+1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1)(3.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](3.1,0){$x$}
\uput[l](0,3.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{3.5}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,1)(1,1)(1,0)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (1,1)
\end{pspicture}
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\subsubsection{Point méthode}

En pratique, pour étudier les variations d'une fonction $f$ dérivable sur son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ :

\begin{itemize}
	\item on détermine la dérivée $f'$ de $f$ ;
	\item on étudie le signe de $f'$ sur $\mathcal{D}_f$ ;
	\item on applique le théorème 2 sur chacun des intervalles de $\mathcal{D}_f$ où le signe de $f'$ est constant ;
	\item on dresse le tableau des variations en indiquant les extremums, s'il y a lieu et éventuellement les limites aux bornes de son ensemble de définition.
\end{itemize}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R$ dans un repère du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$  vérifie les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
	\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$  au point $A$ d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses ;
	\item la tangente à la courbe  $\mathcal{C}_{f}$ au point $B(0 ; 2)$ passe par le point de coordonnées  $(2 ; 0)$.	
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.557637*x+1.73719)*.407938^x+.262809}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(10,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](4.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[u](4.5,0.5){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\uput[u](-2,4){\textcolor{bleu}{\small $A$}}
\uput[ur](0,2){\textcolor{bleu}{\small $B$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.3217}{5}{\f}
\psset{linecolor=prune,linewidth=1pt}
\psdots[dotscale=.8](-2,4)(0,2)
\psdots[dotscale=.8](0,2)
\psline[]{<->}(-3,4)(-1,4)
\psline[]{-}(-1.5,3.5)(2.5,-.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Donner les valeurs de $f(-2)$, $f'(-2)$   et $f'(0)$ .

\bigskip

 \exo 

 \medskip 

Sur la figure ci-dessous les droites $d_1$,  $d_2$,  $d_3$ et $d_4$ sont tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-7)(20,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(20,7)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3.5)(10,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\uput[u](-3.8,-1.6){\textcolor{blue}{\small $C_{f}$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{10}{10*(x-2)/(8+x^2-4*x)}
\psset{linecolor=prune,linewidth=1pt}
\psline{<->}(-.75,-2.5)(.75,-2.5)
\psdots[dotscale=.9](0,-2.5)(1,-2.5)(2,0)(4,2.5)(8,1.5)(5.5,2)
\uput[dr](-1,-2.5){\prune {\footnotesize{$d_1$}}}
\psline{<->}(0.8,-3)(3.2,3)
\uput[ul](2.5,1.5){\prune {\footnotesize{$d_2$}}}
\psline{<->}(3.2,2.5)(4.8,2.5)
\uput[ul](5,2.5){\prune {\footnotesize{$d_3$}}}
\psline{<->}(5,2.1)(10,1.1)
\uput[dl](5.5,2){\prune {\footnotesize{$d_4$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement  $f\left( 0 \right)$, $f\left( 2 \right)$ , $f\left( 4 \right)$  et $f\left( 8 \right)$ .
\item Déterminer graphiquement les nombres dérivés $f' \left( 0 \right)$, $f' \left( 2 \right)$ , $f' \left( 4 \right)$  et $f' \left( 8 \right)$.
\item En déduire les équations réduites des tangentes $d_1$,  $d_2$,  $d_3$ et $d_4$.

\end{enumerate}	

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Sur la figure ci-dessous, $C_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ . Les droites $d_1$,  $d_2$,  $d_3$ et $d_4$ sont tangentes à la courbe $C_f$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-16,-12)(13,24)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^3/3+.25*x^2-2*x-1/3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-12)(13,24)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.75cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-4)(6.5,8)
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](6.5,0) {$x$}
\uput[dl](0,8) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.2}{5.25}{\f}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\psline(-4.75,6.3333)(-3.25,6.3333)
\psline(-4,8)(-0,0)
\psline(1.25,-2.6667)(2.75,-2.6667)
\psline(3,-3)(5,5)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=bleu,dotscale=.8] (-6,2.6667)(-4,6.3333)(-2,4)(2,-2.6667)(4,1)
\uput[d](-5,6.3333){\footnotesize{$d_1$}} \uput[r](-3.8,7.6){\footnotesize{$d_2$}}\uput[d](1,-2.6667){\footnotesize{$d_3$}} \uput[r](5,5){\footnotesize{$d_4$}}
\uput[r](5.25,7.5){\bleu{$C_f$}}\uput[r](-6,2.6667){\footnotesize{\prune{$B$}}} \uput[r](-2,4){\footnotesize{\prune{$A$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement $f(-4)$, $f(-2)$  et $f(2)$.
	\item Déterminer graphiquement les nombres dérivés $f'(-4)$ et $f'(2)$.
	\item La tangente à la courbe $C_f$  au point $A$  d'abscisse  $- 2$ passe par l'origine du repère. Déterminer $f'(-2)$.
	\item La tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point $B\left(- 6;\dfrac{8}{3}\right)$ est parallèle à la droite $d_4$.
	
	Déterminer $f'(-6)$ puis, donner une équation de la tangente $T$ à la courbe au point $B$. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
\end{enumerate}		

 \bigskip 
 
  \exo 

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants,  $f$  est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Calculer la dérivée $f'(x)$.

\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur  $\R$ par $f(x)=3x^4-5x^3+x-5$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=3x^2-\dfrac{3}{x}+1$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=\dfrac {x^3}{2} +3x^2-\dfrac{5}{x}$
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Donner une équation de la tangente à la parabole d'équation $y=x^2-3x+5$  au point d'abscisse $-1$.
	\item Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par $f\left( x \right) = 3x^2-5x+1$ 

 Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction  $f$  parallèle à la droite d'équation $y=x$.

\end{enumerate}

 \bigskip
  
\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{13x}{2}+\dfrac{29}{3}$ 
\begin{enumerate}
	\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe représentative de la fonction $f$  au point d'abscisse $2$.
	\item La courbe représentative de la fonction  $f$ admet-elle une deuxième tangente parallèle à la droite $\mathcal{D}$ ? 
	
	Si oui donner son équation.

\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 


Dans chaque cas,  $f$  est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Calculer $f'(x)$.

\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=\dfrac {x^3}{2} -3x^2+\dfrac{5}{x}$
	%\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=3x^2-\dfrac{3}{x}+1$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $f\left( x \right) =  x^3  + 2\sqrt{x} + 5$.
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=\sqrt{x}-x$
	
\end{enumerate}
		
	

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 
Calculer la dérivée de chacune des fonctions.
\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur  $\R$ par $f(x)=\left(1-2x\right)\left(0,5x^2+1\right)$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f\left( x \right) =  \left( 1-x^2 \right)\left( 2+ \dfrac{1}{x}\right)$.
	\item $g$ est la fonction  définie sur $]0;+\infty[$  par $g(x)=\left(x+1\right) \sqrt{x}$
	\item $f$ est la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$
	\item $f$ est définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac {\sqrt{x}}{x-1}$.	
	\item $h$ est la fonction  définie sur $]1;+\infty[$  par $h(x)=\dfrac{2}{x^2-1}$ 
\end{enumerate}


 \bigskip 
 

\exo

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\R$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant la fonction $f$.

\begin{itemize}
	\item[] La courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points $A (- 2 ; 0)$, $B (1 ; 1)$, $C (4 ; 3,2)$ et $D \left( \dfrac{11}{2} ; \dfrac{25}{16} \right)$. 
	\item[] L'axe des abscisses est tangent en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
	\item[] La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$.  
	\item[] La tangente à la courbe au point $B$ passe par le point $M \left( -4 ; -3 \right)$.
\end{itemize}

\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-12,-6)(14,8) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)^3*(6-x)/135}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-6)(14,8) 
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-3)(7,4) 
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](7,0) {$x$}
\uput[dl](0,4) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5.3}{6.63}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-.5,-.2)(2.5,2.2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(3.25,3.2)(4.75,3.2)
\psdots [linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,0)(1,1)(4,3.2)(5.5,1.5625)
\uput[ul](-5.4,-3){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\uput[u](-2,0){\bleu{$A$}}
\uput[ul](1,1){\bleu{$B$}}
\uput[u](4,3.2){\bleu{$C$}}
\uput[ur](5.5,1.5){\bleu{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\`A partir du graphique et des données de l'énoncé, répondre aux questions suivantes.
\begin{enumerate}
	\item Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\item Déterminer $f'(-2)$, $f'(4)$ et $f'(1)$.
	\item Quel est l'ensemble solution de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ ?
	\item On donne $f'(5,5)= -2,5$. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la tangente à la courbe 	$\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ avec l'axe des ordonnées.
	\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.
	
	\medskip
	
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(4-x)^2*(2+x)/32}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill	
	\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(4-x)*(2+x)/4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(16-4*x)*(x+2)^2/135}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty\right[$  par $f(x)=1-\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x+1}$ . On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal. 
 
\begin{enumerate}
	\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$.
	\item Donner le tableau des variations de $f$.
\end{enumerate}
 
 \bigskip
 
 \exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur  $\left]-1;+\infty\right[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{x^2-8x+7}{x+1}$. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 


Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée $C_f$, est donnée ci-dessous à titre indicatif.
 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1. 

Tracer sur le graphique donné, la tangente $T$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(30,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(30,16)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.5,-4)(15,16)
\uput[dl](0,0){0}\uput[dl](15,0){$x$} \uput[dl](0,16){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.37}{15}{(x^2-8*x+7)/(x+1)}
\uput[l](14.5,7.5){\bleu{$(C_f)$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ par  $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-2x+5}$. On note $C_f$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée de la fonction $f$. Vérifier que $f'(x)=\dfrac{ -2x^2-2x+12}{\left(x^2-2x+5\right) ^2}$
	\item
	\begin{enumerate}
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ .
	\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse $1$.  
	
	Tracer la tangente $T$ dans le repère ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-15,-4)(18,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2*x+1)/(x^2-2*x+5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-15,-4)(18,10)
\psset{xunit=1.2cm,yunit=3.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-.5)(6,1.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,1.25){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(0,.25)(2,1.25)
\uput[dl](6,0.62){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\end{pspicture}
\end{center}	
\end{enumerate}

 
 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par  $f(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x^2+3}$.

On note $\mathcal{C}_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\begin{enumerate}

\item Montrer que la dérivée de la fonction $f$ est la fonction $f'$ définie sur $\R$ par  $f'(x)=\dfrac{4\left(x^2-2x-3\right)}{\left(x^2+3\right)^2}$.

\item Étudier les variations de la fonction $f$.

\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse 1. 

Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-12,-2)(12,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{1-(4*x-4)/(x^2+3)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-2)(12,8)
\psset{unit=1.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-1)(6,4)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{6}{\f}
\uput[ul](6,0.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 


Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par  $f(x)=\dfrac{5x-3}{x^2+x+1}$.

On note $\mathcal{C}_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\begin{enumerate}

\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, calculer  $f'(x)$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point $A$ d'abscisse $-\dfrac{3}{2}$. 

Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.
\end{enumerate}
 
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-18,-10)(14,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(5*x-3)/(x^2+x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-18,-10)(14,4) 
\psset{xunit=1cm,	yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-9,-10)(7,4) 
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](7,0) {$x$}
\uput[dl](0,4) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-9}{7}{\f}
\uput[ul](10,.6){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip

 \exo

 \medskip 


La capacité de production mensuelle d'une entreprise est limitée à 9 milliers d'articles. 

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués. Le coût total de production $f(x)$, exprimé en milliers d'euros, est représenté par la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A( 3 ; 61)$ est tracée sur le graphique. 

La tangente au point $B( 5 ; 75)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par l'origine du repère.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^3-9*x^2+30*x+25}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,12)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.02cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dx=1,Dy=50,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(10,300)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,300){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{-}(.5,53.5)(5.5,68.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](3,61)(5,75)
\uput[u](3,61){\bleu{$A$}} \uput[u](5,75){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[dr](9,300){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On admet que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle  $[0;9]$ et, on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.  

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Le coût marginal est assimilé sur l'intervalle $[0;9]$ à la dérivée du coût total de production. 	
\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer la valeur du coût marginal pour $x=5$.
	\item Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente le coût marginal ?
	
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{3*x^2-18*x+30}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,9)
\psset{xunit=.5cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=10,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(9,90)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,90){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8.385}{\f}
\uput[dl](8.3,90){\footnotesize{\bleu $C_1$}}
\end{pspicture} \hfill \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{5*x^3/12-3.75*x^2+11.25*x+5/12}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,9)
\psset{xunit=.5cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=10,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(9,90)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,90){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8.728}{\f}
\uput[dl](8.7,90){\footnotesize{\bleu $C_2$}}
\end{pspicture} \hfill \begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{2.5*(x-3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,9)
\psset{xunit=.5cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=10,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(9,90)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,90){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\uput[dl](9,90){\footnotesize{\bleu $C_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

La fonction  $f$  est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;9]$ par $f(x)=x^3-9x^2+30x+25$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
	\item  Étudier les variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie c}}}}

\medskip

Le prix de vente d'un article est de 30 \euro{}. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour $x$ milliers d'articles vendus est donné par $B(x)=30x-f(x)$.

\begin{enumerate}
\item Pour quelle quantité d'articles vendus, le bénéfice est-il maximal ?
\item Déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d'articles près, dégageant un bénéfice positif.
\end{enumerate}
 
 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à \np{15000} articles.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$  définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0;15]$ par \[C(x)=\dfrac{16x^2+11x+60}{x+14}\]
La courbe représentative de la fonction $C$, notée $\mathcal{C}_T$, est donnée en annexe  ci-dessous.

\begin{enumerate}
	\item Chaque article est vendu 8\euro{}, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par $R(x)=8x$
\begin{enumerate}
	\item Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe  $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $R$.
	\item Par lecture graphique :	
\begin{itemize}
	\item les valeurs approximatives des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
	\item la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0;15]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6000 articles un mois donné.
	\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;15]$ on a $B'(x)=\dfrac{-8x^2-224x+1474}{{\left(x+14\right)}^2}$.
	\item Étudier les variations de la fonction $B$.
	\item En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\item Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ milliers d'articles est donné par $C'(x)$ où $C'$ est la dérivée de la fonction $C$.

Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d'un article.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1.4,-1)(32,19)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(15.3,19){\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,18)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.125}
\def\f{(16*x^2+11*x+60)/(x+14)}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0,Dy=8]{->}(0,0)(16,144)
\uput[dl](16,0){$x$} \uput[dl](0,144){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{15}{\f}
\uput[r](15,132){\bleu{$\mathcal{C}_T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip  
  
\exo 

 \medskip 


Soit $C$  la fonction définie pour tout réel $x$ élément de l'intervalle $]0;15]$ par $C(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+15x+81$. 
La fonction $C$ modélise le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, de $x$ milliers d'articles fabriqués.


La courbe $\mathcal{C}_T$ représentative de la fonction $C$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.


On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60 \euro{}.
\begin{enumerate}
	\item On note $R(x)$ la recette générée par la production et la vente de $x$ milliers d'articles.
	
\begin{enumerate}
	\item Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de la fonction recette.
	\item Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
\end{enumerate}

\item Le bénéfice est la fonction $B$ définie sur l'intervalle $]0;15]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $B'(x)$.
	\item Étudier les variations de la fonction $B$.
	\item En déduire la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal. 
	
	Quel est le montant en euro de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\item La fonction coût moyen, notée $C_{M}$, est la fonction définie sur l'intervalle $]0 ;15]$ par $C_{M}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
\begin{enumerate}
	\item Sur le graphique ci-dessous, placer le point $A$ sur la courbe $\mathcal{C}_T$ tel que la droite $\left(OA\right)$ soit tangente à $\mathcal{C}_T$. On appelle $a$ l'abscisse du point $A$.		
		\item  Montrer que le coefficient directeur de la droite $\left(OA\right)$ est égal à $C_{M}(a)$.
		\item  Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle $]0 ; 15]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(32,20)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,20)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.01cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dx=1,Dy=100,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(16,1000)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{15}{x^3/3-2*x^2+15*x+81}
%\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](0,0)(15,900)
\uput[ur](15,950){\bleu{$\mathcal{C}_T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip
 
 
 \exo 
 
 \medskip 

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 10 milliers d'articles.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$  définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0;10]$ par \[C(x)=x^3+12x^2+21x+320\]La courbe représentative de la fonction $C$, notée $\mathcal{C}_T$, est donnée en annexe  ci-dessous.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}

\item Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ milliers d'articles est donné par $C'(x)$ où $C'$ est la dérivée de la fonction $C$.

Calculer $C'(4)$ et $C'(6)$.
\item Justifier que la fonction $C$ est strictement croissante sur $[0;10]$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Chaque article est vendu 273 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par \[R(x)=273x\]
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Tracer sur le graphique ci-dessous, la courbe  $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $R$.
	\item Par lecture graphique, déterminer la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0;10]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend \np{6000} articles un mois donné.
	\item On note $B'$ la dérivée de la fonction $B$. 
		
	Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;10]$ on a $B'(x)=-3x^2-24x+252$.
	\item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;10]$. 
	\item En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. 	Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

On note $f(x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. 

$f$ est définie sur l'intervalle $]0 ; 10]$ par $f(x) = \dfrac{x^3+12x^2+21x+320}{x}$. 

\begin{enumerate}
\item  Conjecturer graphiquement les variations du coût moyen de production sur l'intervalle $]0 ; 10]$.
	\item  On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$, et vérifier que $f'(x)= \dfrac{(x-4)(2x^2+20x+80)}{x^2}$  pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; 10]$. 
	\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]0 ; 10]$.
	\item En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-.25)(22,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(10,16){\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,15)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.005}
\def\f{(x^3+12*x^2+21*x+320)}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0,Dy=400]{->}(0,0)(11,3000)
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,3000){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[ur](10,2600){\bleu{$\mathcal{C}_T$}}
\psline[linecolor=prune,linewidth=.5pt,linestyle=dashed](-.1,2730)(10,2730)(10,0)
\psdot[linecolor=bleu](10,2730)
\uput[l](-.06,2730){\prune{\footnotesize{2730}}}
\end{pspicture}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Statistiques}

\minitoc

\newpage


\section{Généralités}

Les premières études statistiques étaient des recensements démographiques : on en a conservé le vocabulaire.
\begin{itemize}
\item[] \emph{Population} : C'est l'ensemble sur lequel porte l'étude statistique.
\item[] \emph{Individu} : C'est un élément de la population.
\item[] \emph{Caractère} : C'est l'aspect que l'on observe sur les individus. Un caractère permet de déterminer une partition de la population selon ses diverses valeurs  (par exemple le genre est un caractère à deux modalités : masculin ou féminin). 

Lorsque les différentes valeurs d'un caractère sont des nombres, le caractère est \emph{ quantitatif}. Dans le cas contraire, le caractère est \emph{ qualitatif}.
\item[] L'effectif d'une valeur du caractère étudié est le nombre d'individus de la population ayant cette valeur.

\item[] La fréquence d'une valeur est le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total de la population. ( la fréquence peut être exprimée en pourcentage )\[\text{féquence}=\dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}\]
\end{itemize}


\section{Médiane et quantiles}

\subsection{La médiane}

La médiane d'une série statistique est une valeur telle qu'il y ait autant d'observations ayant une valeur supérieure à la médiane que d'observations ayant une valeur inférieure à la médiane.

\medskip

\cadreR{
La médiane d'une série statistique de $N$ valeurs rangées par ordre croissant est le nombre $M_e$ défini par :
\begin{itemize}
\item si l'effectif $N$ est impair, la médiane $M_e$ est la valeur centrale du caractère c'est à dire la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ de la série ordonnée.
\item si l'effectif $N$ est pair, la médiane $M_e$ est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère c'est à dire la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ de la série ordonnée.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Dans un service de maintenance, on a répertorié le nombre d'interventions par jour sur un mois. On a obtenu la distribution suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 5 & 8 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
L'effectif total $N=25$ donc la médiane est la valeur du caractère de rang 13 soit $Me=6$.

\subsection{Les quantiles}

\subsubsection{Les quartiles}

Les quartiles au nombre de trois $Q_1$, $Q_2$ et $Q_3$ partagent l'ensemble étudié de $N$ éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en quatre sous ensembles.

\medskip

\cadreR{
\begin{itemize}
\item Le premier quartile noté $Q_1$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 25 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_1$.
\item Le troisième quartile noté $Q_3$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 75 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_3$.
\end{itemize}
}

\begin{center}
	\psset{unit=1cm,braceWidth=1pt}
	\begin{pspicture}(-1,-2.5)(13,1.5) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psbrace[linecolor=prune,fillcolor=prune,rot=-90,ref=B,nodesepB=-4pt](5.95,.5)(0,.5){\prune{\footnotesize{Au moins 50\% des valeurs}}}
\psbrace[linecolor=prune,fillcolor=prune,rot=-90,ref=B,nodesepB=-4pt](12,.5)(6.05,.5){\prune{\footnotesize{Au moins 50\% des valeurs}}}
\psbrace[linecolor=bleu,fillcolor=bleu,rot=90,ref=B,nodesepB=8pt](0,-.5)(3,-.5){\bleu{\footnotesize{Au moins 25\% des valeurs}}}
\psbrace[linecolor=bleu,fillcolor=bleu,rot=90,ref=B,nodesepB=8pt](0,-1.5)(9,-1.5){\bleu{\footnotesize{Au moins 75\% des valeurs}}}
\psline[linewidth=1pt]{|-|}(0,0)(12,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](6,-.15)(6,.15)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](3,-.15)(3,.15)\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](9,-.15)(9,.15)
\uput[l](0,0){$x_{\text{min}}$}\uput[r](12,0){$x_{\text{max}}$}\uput[u](6,0){\prune{$M_e$}}\uput[u](6,0){\prune{$M_e$}}\uput[d](3,0){\bleu{$Q_1$}}\uput[d](9,0){\bleu{$Q_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textsc{\small{remarque}}}

\medskip

L'intervalle interquartile $\left[Q_1 ; Q_3\right]$ contient au moins 50\% des valeurs de la série.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Dans la série précédente, l'effectif total $N=25$.
\begin{itemize}
\item $25 \times \dfrac{1}{4}= 6,25$ donc le premier quartile est la valeur du caractère de rang 7 soit $Q_1=5$.
\item $25 \times \dfrac{3}{4}= 18,75$ donc le troisième quartile est la valeur du caractère de rang 19 soit $Q_3=7$.
\end{itemize}


\subsubsection{Les déciles}

Les déciles au nombre de neuf $D_1$, $D_2$, \ldots , $D_9$ partagent l'ensemble étudié de $N$ éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en dix sous ensembles.

\medskip

\cadreB{
\begin{itemize}
\item Le premier décile noté $D_1$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 10 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $D_1$.
\item Le neuvième décile noté $D_9$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 90 \% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $D_9$.
\end{itemize}
}

\subsection{Caractéristiques de dispersion}

\cadreR{
\begin{itemize}
\item L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d'une série statistique.
\item L'écart interquartile est égal à la différence entre le troisième et le premier quartiles.
\item L'écart interdécile est égal à la différence entre le neuvième et le premier déciles.
\end{itemize}
}

\subsection{Diagramme en boîte}

La représentation graphique de la dispersion d'une série statistique se fait à l'aide de diagramme en boîte appelés aussi \og boîte à moustaches \fg{} ou \og box-plot \fg{}.

Pour une catégorie donnée, on construit, en face d'un axe permettant de repérer les quantiles de la variable étudiée, un rectangle dont la longueur est égale à l'écart interquartile  $Q_3 -Q_1$, la médiane est représentée par un trait. On ajoute alors des segments aux extrémités menant jusqu'aux valeurs extrêmes, ou jusqu'aux premier et neuvième déciles. 


\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Le tableau suivant donne la distribution du revenu salarial par secteur d'activité en France en 2014.

\begin{center}
 \begin{tabularx}{.75\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-6}
 \multicolumn{1}{l|}{} & D1 & Q1 & Médiane & Q3 & D9\\ \hline
Secteur privé & \np{2218} & \np{8570} & \np{17520} & \np{25377} & \np{37234}\\ \hline
Secteur public & \np{4716} & \np{15744} & \np{21221} & \np{27996} & \np{36797}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize{Source : INSEE}}
 \end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}	
\psset{xunit=.2cm,yunit=.75cm} 
	\begin{pspicture}(0,-1)(50,4) 
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{rougef}{0.75 0 .1}
\psaxes[linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt,xlabelFactor= \,000,Ox=0,Dx=5]{-}(0,0)(0,-.1)(42,.1)
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psline(4.716,0.75)(4.716,1.25) \psline(4.716,1)(15.744,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](15.744,0.5)(27.996,1.5)  \psline(27.996,1)(36.797,1) \psline(36.797,0.75)(36.7978,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](21.221,0.61)(21.221,1.4)
\psline(2.218,2.75)(2.218,3.25) \psline(2.218,3)(8.57,3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](8.57,2.5)(25.377,3.5)  \psline(25.377,3)(37.234,3) \psline(37.234,2.75)(37.234,3.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](17.52,2.61)(17.52,3.4)
\uput[r](38,1){\footnotesize{Secteur public}}\uput[r](38,3){\footnotesize{Secteur privé}}
%\psline(d1,0.75)(d1,1.25) \psline(d1,1)(q1,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](q1,0.5)(q3,1.5)  \psline(q3,1)(d9,1) \psline(d9,0.75)(d9,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](m,0.61)(m,1.4)% 

\end{pspicture}
\end{center}

\section{Moyenne, variance et écart-type}

\subsection{La moyenne}

\parbox{0.6\linewidth}{On considère la série statistique donnée par le tableau ci-contre.

On note $N=n_1+n_2+\cdots+n_p$ l'effectif total}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\begin{flushright}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_p$\\ \hline
Effectif  $n_i$ & $n_1$ & $n_2$ & $\cdots$ & $n_p$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{flushright}}

\cadreR{
La moyenne d'une série statistique est le quotient noté $\overline{x}$ de la somme de toutes les valeurs de cette série par l'effectif total.\[\overline{x}=\dfrac{{n_1}\times{x_1}+{n_2}\times{x_2}+\cdots+{n_p}\times{x_p}}{N}=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^p n_i x_i\]
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{remarque}}}

\medskip

Soit $f_i =\dfrac{n_i}{N}$ la  fréquence de la valeur $x_i$ alors, la moyenne $\overline{x}={f_1}\times{x_1}+{f_2}\times{x_2}+\cdots+{f_p}\times{x_p}$. 

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Avec la série statistique précédente :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'interventions $x_i$ & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline
Nombre de jours  $n_i$  & 2 & 5 & 8 & 6 & 3 & 1 \\ \hline
Fréquence  $f_i$  & 0,08 & 0,2 & 0,32 & 0,24 & 0,12 & 0,04 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nombre moyen d'interventions par jour est :\[\overline{x}=\dfrac{2 \times 3 + 5 \times 5 + 8 \times 6 + 6\times 7 + 3 \times 8 + 1 \times 9}{25} = 6,16\]  ou en utilisant les fréquences :\[ \overline{x}=0,08 \times 3 + 0,2 \times 5 + 0,32 \times 6 + 0,24\times 7 + 0,12 \times 8 + 0,04 \times 9 =6,16\]

\subsection{Variance et écart-type}

\cadreR{
Soit $\left( x_i ; n_i \right)$, $1 \leqslant i \leqslant p$, une série statistique de moyenne $\overline{x}$ et d'effectif total  $N$.
\begin{itemize}
\item La variance de cette série est le nombre $V$ défini par :\[V=\dfrac{{n_1}\times{\left({x_1}-{\overline{x}}\right)}^2+{n_2}\times{\left({x_2}-{\overline{x}}\right)}^2+\cdots+{n_p}\times{\left({x_p}-{\overline{x}}\right)}^2}{N}=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^p n_i {\left({x_i}-{\overline{x}}\right)}^2\]
\item L'écart-type, noté $\sigma$, de cette série est égal à la racine carrée de la variance :\[\sigma=\sqrt{V}\]
\end{itemize}
}
\medskip

\textsf{\textsc{\small{remarque}}}

\medskip

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne $\overline{x}$.
Les valeurs $\left({x_i}-{\overline{x}}\right)$  sont les \og écarts à la moyenne \fg{}; les \og carrés des écarts à la moyenne \fg{} sont donc ${\left({x_i}-{\overline{x}}\right)}^2$. 

En faisant la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, on trouve la variance.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Dans la série précédente de moyenne $\overline{x}=6,16$ la variance est :\[V=\dfrac{2 \times{\left(3-6,16\right)}^2 + 5 \times {\left(5-6,16\right)}^2 + 8 \times {\left(6-6,16\right)}^2 + 6\times {\left(7-6,16\right)}^2 + 3 \times {\left(8-6,16\right)}^2 + 1 \times {\left(9-6,16\right)}^2}{25} = 1,9744\]

L'écart-type de cette série est donc $\sigma=\sqrt{1,9744}\approx 1,4$

\subsubsection{Propriété}

\cadreR{
Soit $\left( x_i ; n_i \right)$, $1 \leqslant i \leqslant p$, une série statistique de moyenne $\overline{x}$ et d'effectif total  $N$.

La variance de cette série est le nombre $V$ défini par :\[V=\dfrac{{n_1}\times {x_1}^2 + {n_2} \times {x_2}^2 + \cdots+{n_p} \times {x_p}^2}{N}-{\overline{x}}^2  =\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^p {n_i {x_i}^2}-{\overline{x}}^2\]
}

\dem

\[ \begin{split}
V &=\dfrac{{n_1}\times{\left({x_1}-{\overline{x}}\right)}^2+{n_2}\times{\left({x_2}-{\overline{x}}\right)}^2+\cdots+{n_p}\times{\left({x_p}-{\overline{x}}\right)}^2}{N} \\
&=\dfrac{{n_1}\times{\left({x_1}^2-2{x_1}{\overline{x}}+{\overline{x}}^2 \right)}+{n_2}\times{\left({x_2}^2-2{x_2}{\overline{x}}+{\overline{x}}^2\right)}+\cdots+{n_p}\times{\left({x_p}^2-2{x_p}{\overline{x}}+{\overline{x}}^2\right)}}{N} \\
&=\dfrac{{n_1}\times{x_1}^2+{n_2}\times{x_2}^2+\cdots+{n_p}\times{x_p}^2}{N}-2\dfrac{{n_1}\times{x_1}+{n_2}\times{x_2}+\cdots+{n_p}\times{x_p}}{N}\times{\overline{x}}+\dfrac{{n_1}+{n_2}+ \cdots + {n_p}}{N}\times{\overline{x}}^2\\
&=\dfrac{{n_1}\times{x_1}^2+{n_2}\times{x_2}^2+\cdots+{n_p}\times{x_p}^2}{N}-2{\overline{x}}\times{\overline{x}}+{\overline{x}}^2\\
&=\dfrac{{n_1}\times{x_1}^2+{n_2}\times{x_2}^2+\cdots+{n_p}\times{x_p}^2}{N}-{\overline{x}}^2\\
 	\end{split}
 	\]
Ainsi, la variance d'une série statistique est égale à la différence entre  \og la moyenne des carrés \fg{} et  \og le carré de la moyenne \fg .

\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo
 
 \medskip
 
Pour les trois séries statistiques ci dessous, la médiane est égale à 10. Compléter le tableau ci-dessous par des données pour chacune des séries sachant que :

\begin{itemize}
\item La moyenne de la série 1 est égale à 10.
\item La moyenne de la série 2 est la plus petite possible.
\item La moyenne de la série 3 est la plus grande possible.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
indice $i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline
Série 1  & 5 &  &  &  &  &  &  &  &  & 18 \\ \hline
Série 2  & 5 &  &  &  &  &  &  &  &  & 18\\ \hline
Série 3  & 5 &  &  &  &  &  &  &  &  & 18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Dans une entreprise, il y a 28 cadres et 92 ouvriers. Le salaire moyen des cadres est de \np{3450} \euro{} et celui des ouvriers est de \np{1320} \euro. 

\begin{enumerate}
	\item Calculer le salaire moyen de l'ensemble des salariés de cette entreprise.
	\item  \begin{enumerate}
	\item Quel est le pourcentage d'augmentation du salaire moyen si on verse une prime de 35 \euro{} à chaque salarié ?
	\item On augmente le salaire de chaque cadre de 2 \% et celui de chaque ouvrier de 4 \%.
	
	Le salaire moyen dans l'entreprise a-t-il augmenté de 3\% ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip

\exo

\medskip

Un concours est organisé dans deux centres d'examens. Dans le premier centre, les garçons ont obtenu 13 de moyenne et les filles 12 de moyenne. Dans le second centre, les garçons ont obtenu 9 de moyenne et les filles 8 de moyenne.
 
Le président du jury en déduit que les garçons ont eu de meilleurs résultats que les filles Est-ce si sûr ? 

Sachant qu'il y avait 58 garçons et 104 filles dans le premier centre, et 87 garçons et 32 filles dans le second centre, calculer la moyenne générale des  garçons puis celle des filles. Conclure.

\bigskip
 
  \exo 

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Le tableau suivant donne la distribution des salaires mensuels nets, en euros, en France en 2015.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Déciles & D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9\\ \hline
Hommes & \np{1262} & \np{1427} & \np{1573} & \np{1728} & \np{1906} & \np{2130} & \np{2451} & \np{2996} & \np{3990}\\ \hline
Femmes & \np{1171} & \np{1288} & \np{1396} & \np{1512} & \np{1650} & \np{1830} & \np{2073} & \np{2432} & \np{3149}\\ \hline\hline
\textbf{\textsf{Ensemble}} & \np{1213} & \np{1357} & \np{1490} & \np{1630} & \np{1797} & \np{2004} & \np{2286} & \np{2752} & \np{3646}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize{Souce : Insee Première (\emph{octobre 2017)}}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner le salaire net médian des salariés hommes et des salariées femmes.

\item Calculer les variations en pourcentage des déciles des femmes par rapport à ceux des hommes 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Déciles & D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9\\ \hline
Hommes & \np{1262} & \np{1427} & \np{1573} & \np{1728} & \np{1906} & \np{2130} & \np{2451} & \np{2996} & \np{3990}\\ \hline
Femmes & \np{1171} & \np{1288} & \np{1396} & \np{1512} & \np{1650} & \np{1830} & \np{2073} & \np{2432} & \np{3149}\\ \hline
\textsf{Écarts en \%} & $-7,2$ & \iffalse{$-9,7$}\fi & \iffalse{$-11,3$}\fi & \iffalse{$-12,5$}\fi & \iffalse{$-13,4$}\fi & \iffalse{$-14,1$}\fi & \iffalse{$-15,4$}\fi & \iffalse{$-18,8$}\fi & \iffalse{$-21,1$}\fi\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Recopier et compléter la phrase : 


\og Les écarts de salaire entre femmes par rapport aux hommes \ldots le long de l'échelle salariale : de $-7,2\%$ pour le 1\up{er} décile à \ldots pour le 9\up{e} décile.\fg
\end{enumerate}
\item Le montant en euros du premier quartile est de \np{1488} euros pour les salariés hommes et de \np{1332} euros pour les salariées femmes. Le troisième quartile est de  \np{2678} euros pour les hommes et de \np{2208} euros pour les femmes.

La distribution des salaires mensuels nets de l'ensemble des salariés est représentée ci-dessous (centiles C5 à C95). 

\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-2,-1)(21,10) 
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{rougef}{0.75 0 .1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](-2,-1)(21,10)
\uput[r](-2,2){\footnotesize{\textsf{Ensemble}}} 
\uput[r](-2,5){\footnotesize{\textsf{Femmes}}} 
\uput[r](-2,8){\footnotesize{\textsf{Hommes}}}   
\psset{xunit=.02mm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1000]{-}(0,0)(5000,0)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm} 
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psline(1.213,0.75)(1.213,1.25) \psline(1.213,1)(1.423,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.423,0.5)(2.482,1.5)  \psline(2.482,1)(3.646,1) \psline(3.646,0.75)(3.646,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](1.797,0.61)(1.797,1.4)
\psdots[linecolor=prune,linewidth=.5pt](1.123,1)(4.652,1)
\uput[ul](1.2,1){\scriptsize{\textsf{\textbf{\np{1123}}}}} \uput[u](4.652,1){\scriptsize{\textsf{\textbf{\np{4652}}}}} 
%\psline(1.136,2.25)(1.136,2.75) \psline(1.136,2.5)(1.332,2.5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.332,2)(2.208,3)  \psline(2.208,2.5)(3.149,2.5) \psline(3.149,2.25)(3.149,2.75)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](1.65,2.11)(1.65,2.9)
%\psline(1.262,3.75)(1.262,4.25) \psline(1.262,4)(1.488,4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.488,3.5)(2.678,4.5)  \psline(2.678,4)(3.99,4) \psline(3.99,3.75)(3.99,4.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](1.906,3.61)(1.906,4.4)
%\psline(d1,0.75)(d1,1.25) \psline(d1,1)(q1,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](q1,0.5)(q3,1.5)  \psline(q3,1)(d9,1) \psline(d9,0.75)(d9,1.25)\psline[linewidth=2pt, linecolor=rougef](m,0.61)(m,1.4)% 
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation du nombre \np{4652}.
\item Sur le même graphique, représenter la distribution des salaires nets des hommes et des femmes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le montant en euros du salaire mensuel moyen net selon les catégories socioprofessionnelles en France en 2015.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
 \multicolumn{1}{l|}{}&	 \multicolumn{2}{c|}{\textbf{\textsf{Hommes}}} &	\multicolumn{2}{c|}{\textbf{\textsf{Femmes}}} \\ \cline{2-5}
 \multicolumn{1}{l|}{}&	Salaires nets \par(en euros) &	Effectifs \par (en \%) &	Salaires nets\par(en euros) &	Effectifs \par (en \%)\\ \hline
Cadres & \np{4451} & 20,6 & \np{3561} & 15,6 \\ \hline
Professions intermédiaires & \np{2420} & 18,9 & \np{2081} &	20,8 \\ \hline
Employés & \np{1739} & 16,2 & \np{1591} & 50,8 \\ \hline
Ouvriers & \np{1765} & 	44,3 & \np{1483} & 	12,8\\ \hline
\multicolumn{5}{r}{\footnotesize{Souce : Insee Première (\emph{octobre 2017)}}}
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le salaire moyen des hommes et celui des femmes.
\item Recopier et compléter la phrase : 

\og En 2015, une salariée gagne, en moyenne en \ldots \% de moins qu'un salarié. \fg
\end{enumerate}
\item 58,5\% des salariés sont des hommes. 

De quel pourcentage, le salaire net médian de l'ensemble des salariés est-il inférieur au salaire net moyen ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate} 
 \item Compléter le tableau ci-dessous qui donne la distribution des salaires mensuels bruts des 100 salariés d'une entreprise.
 
\begin{center}
 \begin{tabularx}{.8\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Salaires en euros & 1500 & 1600 & 1900 & 2400 & 2700 & 3200 & 5000\\ \hline
Effectifs & 30 & 25 & 15 & 12 & 8 & 6 & 4 \\ \hline
Fréquences &  &  &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  \item \begin{enumerate}
  \item Donner le montant du salaire mensuel brut médian.
  \item Calculer le pourcentage de la masse salariale totale perçue par les 10\% des salariés les mieux rémunérés.
  \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Calculer le montant du salaire mensuel brut moyen.	
 \item Calculer le pourcentage des salariés dont le salaire mensuel brut est compris dans l'intervalle $\left[\overline{x}-2\sigma ;  \overline{x}+2\sigma\right]$.
 \end{enumerate}
  \end{enumerate}
 
 \bigskip

 \exo 

 \medskip 

Le tableau suivant donne le montant des salaires annuels exprimés en milliers d'euros d'une petite entreprise.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
		Salaires & 16 & 18 & 20 & 25 & 30 & 40\\ 		\hline	
		Nombre de salariés~ & 6 & 9 & 10 & 8 & 5 & 2\\ 		\hline					
		\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la  médiane, le premier et le troisième quartiles. Interpréter ces résultats et les traduire à l'aide d'un diagramme en boîte.
	\item Calculer le montant en euros du salaire moyen annuel de cette entreprise.
	\item A l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à l'euro près de l'écart-type $s$.
	\item Soit $S$  la fonction définie sur $\R$  par :\[S\left( x \right) = 6\times\left( {16 - x} \right)^2  + 9\times\left( {18 - x} \right)^2  + 10\times\left( {20 - x} \right)^2  + 8\times\left( {25 - x} \right)^2  + 5\times\left( {30 - x} \right)^2  + 2\times\left( {40 - x} \right)^2 \]
	\begin{enumerate}
	\item Vérifier que $S(x) = 40x^2  - 1776x + 21152$
\item Déterminer le sens de variations de la fonction $S$ et en déduire sa valeur minimale.
\item Calculer la variance à partir de la somme $S$. En déduire la valeur exacte de l'écart-type $\sigma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Une entreprise de produits alimentaires fabrique et distribue une marque de café dans des sachets de 250 grammes. On suppose que le
poids du sachet vide est négligeable.

La machine utilisée pour remplir les sachets est contrôlée selon la procédure suivante.

À chaque heure, un échantillon aléatoire de 40 sachets est prélevé dans la production ; on mesure la masse de
chaque sachet et on calcule la masse moyenne $\overline{x}$ de l'échantillon. 

Un réglage de la machine est nécessaire si l'un des critères suivants n'est pas vérifié :
\begin{itemize}
\item les 40 sachets ont une masse supérieure ou égale à 245 grammes ;
\item 50\% au moins des sachets ont une masse en grammes comprise dans l'intervalle $[248 ; 252]$ ;
\item 95\% au moins des sachets ont une masse en grammes comprise dans l'intervalle $\left[\overline{x}-2\sigma ;  \overline{x}+2\sigma\right]$.
\end{itemize}

Au cours de la production, l'échantillon suivant a été prélevé.
\begin{center} 
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
248 & 256 & 253 & 246 & 252 & 250 & 248 & 253 & 248 & 251\\
255 & 252 & 252 & 254 & 250 & 250 & 250 & 251 & 250 & 252\\
256 & 252 & 251 & 247 & 251 & 249 & 253 & 250 & 251 & 245\\
250 & 252 & 247 & 249 & 250 & 249 & 249 & 249 & 254 & 249\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Masse & 245 & 246 & 247 & 248 & 249 & 250 & 251 & 252 & 253 & 254 & 255 & 256\\\hline
Effectif &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\\hline					
		\end{tabularx}
\end{center}
\item Représenter la dispersion de cette série à l'aide d'un diagramme en boîte.
\item Faut-il effectuer un réglage de la  machine ?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Probabilités}

\minitoc

\newpage

 \section{Rappels}

\subsection{Opérations sur les évènements}

Soit $\Omega$ l'univers associé à une expérience aléatoire, $A$ et $B$ deux évènements

\begin{itemize}
	\item L'évènement \og $A$ ne s'est pas réalisé \fg{} est l'évènement contraire de $A$ noté $\overline{A}$.
	\item L'évènement \og au moins un des évènements $A$ ou $B$ s'est réalisé \fg{}  est l'évènement \og $A$ ou $B$ \fg{} noté $A \cup B$.
	\item L'évènement \og les évènements $A$ et $B$ se sont réalisés \fg{}  est l'évènement \og $A$ et $B$ \fg{} noté $A \cap B$.
	\item Deux évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. 
	
	On a alors  $A \cap B = \varnothing$.
	
	Les évènements  $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles.
\end{itemize}

\subsection{Loi de probabilité} 

\cadreB{%
$\Omega$ désigne un univers de $n$ éventualités $\left\{ e_1, e_2, \ldots , e_n \right\}$.

\begin{itemize}
\item Définir une loi de probabilité $P$ sur $\Omega$, c'est associer, à chaque évènement élémentaire $e_i$ un nombre réel $p\left(e_i\right)~=~p_i$ de l'intervalle $[0; 1]$,
tel que : \[\sum_{i=1}^{n}p\left(e_i\right) = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\]
\item La probabilité d'un évènement $A$, notée $p(A)$,  est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent.
\end{itemize}
 }

\subsubsection{Propriétés} 

\cadreR{%
Soit $\Omega$ un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.

\begin{enumerate}
	\item Pour tout évènement $A$, $p(\overline{A})=1-p(A)$.
	\item Si $A$ et $B$ sont deux évènements $p\left(A \cup B \right) = p(A) + p(B) - p\left(A \cap B \right)$
\end{enumerate}
}
 
\subsection{Équiprobabilité} 

\cadreR{%
Soit $\Omega$ un univers fini de $n$ éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité  c'est à dire, si $p(e_1)= p(e_2)=  \cdots = p(e_n) = \dfrac{1}{n}$, alors l'univers est dit équiprobable. 

On a alors pour tout évènement $A$, \[p(A)=\dfrac{\text{nombre des issues favorables à }A}{\text{nombre des issues possibles}} = \dfrac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}\]
}

\medskip

\emph{Notation} :

Soit $E$ un ensemble fini, le cardinal de $E$ noté $\mathrm{card}(E)$ est le nombre d'éléments de l'ensemble $E$.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
		
\medskip

\emph{On lance deux dés équilibrés. Quel est l'évènement le plus probable $A$ \og la somme des nombres obtenus est égale à 7 \fg{} ou $B$ \og la somme des nombres obtenus est égale à 8 \fg{} ?}


Si on  s'intéresse à la somme des deux dés, l'univers est $\Omega = \left\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \right\}$ mais il n'y a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n'a pas la même probabilité :\[2=1+1\text{ alors que }5=1+4\text{ ou } 5=2+3 .\]
 
On se place dans une situation d'équiprobabilité en représentant une issue à l'aide d'un couple $(a,b)$ où $a$ est le résultat du premier dé et $b$ le résultat du second dé. L'univers $\Omega$ associé à cette expérience est l'ensemble des couples formés avec les éléments de $\left\{ 1, 2, 3, 4, 5 , 6\right\}$. 

Les dés étant équilibrés, il y a $6 ^2=36$ résultats équiprobables.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-7}
\multicolumn{1}{c|}	{}& 1 &	2	& 3 &	4 & 5 &	6 \\ \hline
1 &	(1,1) & (1,2) &	(1,3) &	(1,4) &	(1,5) &	(1,6) \\ \hline
2	& (2,1) &	(2,2) & (2,3) &	(2,4) &	(2,5) &	(2,6)\\ \hline
3	& (3,1) &	(3,2) &	(3,3) &	(3,4) &	(3,5) &	(3,6)\\ \hline
4	& (4,1) &	(4,2) &	(4,3) &	(4,4) &	(4,5) &	(4,6)\\ \hline
5 &	(5,1) &	(5,2) &	(5,3) &	(5,4) &	(5,5) &	(5,6)\\ \hline
6	& (6,1) &	(6,2) &	(6,3) &	(6,4) &	(6,5) &	(6,6)\\ \hline
\end{tabularx}	
\end{center}

L'évènement $A$ est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D'où $p(A)=  \dfrac{6}{36} =\dfrac{1}{6}$.

L'évènement $B$ est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D'où $p(B)=  \dfrac{5}{36}$.

L'évènement le plus probable est $A$.

 \section{Variable aléatoire discrète}
 
Il arrive souvent qu'à chaque résultat d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une fonction de l'univers $\Omega$ dans $\R$.

Par exemple le gain obtenu à l'occasion d'un jeu de hasard ou encore le temps d'attente d'un bus.


En première, on ne considère que le cas où $\Omega$ est un univers fini.

 \subsection{Définitions}

\cadreB{%
Soit $\Omega$ un univers fini de $n$ éventualités. 

\begin{itemize}
\item On appelle variable aléatoire $X$ sur l'ensemble $\Omega$ toute fonction qui à chaque issue de  $\Omega$ associe un nombre réel.
\item L'évènement \og $X=x_i$ \fg{} est l'ensemble des issues de $\Omega$ qui ont pour image le réel $x_i$ par $X$.
\end{itemize} 
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip

On lance à trois reprises une pièce bien équilibrée et on note le résultat à l'aide d'un mot de trois lettres. L'univers associé à cette expérience est : \[\Omega=\left\{ PPP,\: PPF,\: PFP,\: FPP,\: PFF,\: FPF,\: FFP,\: FFF \right\}\] 
\begin{enumerate}
\item On définit une variable aléatoire $X$ en associant à chaque éventualité de l'univers $\Omega$ le nombre de \og pile \fg{}. 
\begin{itemize}
\item La variable $X$ peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. 

L'image de $PPP$ est  $X\left(PPP\right)=3$, l'image de $PFP$ est $X\left(PFP\right)=2$.
\item L'évènement \og $X=2$ \fg{} est constitué des issues $\left\{PPF,\: PFP,\: FPP \right\}$.
\item L'évènement \og $X<2$ \fg{} est constitué des issues $\left\{PFF,\: FPF,\: FFP,\: FFF \right\}$.
\end{itemize}
\item On définit une variable aléatoire $Y$ avec la règle de jeu suivante : un joueur gagne 8 \euro{} s'il obtient trois \og pile \fg{} successifs, il ne gagne rien s'il obtient deux \og pile \fg{} et il perd  2 \euro{} dans tous les autres cas.
\begin{itemize}
\item La variable $Y$ peut prendre les valeurs $-2$, 0 ou 8. 

L'image de $PPP$ est  $Y\left(PPP\right)=8$, l'image de $PFF$ est $Y\left(PFF\right)=-2$.
\item L'évènement \og $Y=-2$ \fg{} est constitué des issues $\left\{PFF,\: FPF,\: FFP,\: FFF \right\}$.
\item L'évènement \og $Y\geqslant 0$ \fg{} est constitué des issues $\left\{PPP,\: PPF,\: PFP,\: FPP \right\}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
  
\subsection{Loi de probabilité d'une variable aléatoire}
  
\cadreB{%
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers fini $\Omega$, qui prend les valeurs $x_1$, $x_2$, \ldots, $x_k$.
  
Lorsque, à chaque valeur $x_i$, on associe la probabilité de l'évènement \og $X=x_i$ \fg{}, notée $p(X=x_i)$, on définit une loi de probabilité sur l'ensemble  $\left\{ x_1, x_2, \ldots , x_k \right\}$, appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip

On considère la règle de jeu suivante :

Après avoir lancé deux dés cubiques équilibrés, un joueur gagne 10 \euro{} s'il obtient un double six, il gagne 3 \euro{} si la somme des nombres est un nombre impair, sinon le joueur perd 5 \euro{}. 

 On considère l'expérience aléatoire suivante : on lance deux dés cubiques équilibrés et on fait la somme des nombres obtenus. 
	
	L'univers de cette expérience est $\Omega = \left\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \right\}$. La loi de probabilité définie sur $\Omega$ est :
	
\begin{center}
	\begin{tabularx}{.95\linewidth}{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Issues	& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12 \\ \hline
Probabilités	 \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{6}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ &  $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}
			
Soit  $X$ la variable aléatoire définie sur $\Omega$, qui prend les valeurs $\left\{-5,3,10\right\}$.	
\begin{itemize}

\item L'évènement $(X=10)$ est constitué de l'issue $\{ 12 \}$ donc $p(X=10)= \dfrac{1}{36}$. 

\item L'évènement $(X=3)$ est constitué des issues $\{3, 5,  7,  9, 11 \}$ d'où $p(X=3)= \dfrac{2}{36}+\dfrac{4}{36}+ \dfrac{6}{36}+ \dfrac{4}{36}+\dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{2}$.

\item Comme $p(X=-5)+p(X=3)+p(X=10) =1$, on en déduit que : \[p(X=-5)=1-p(X=3)-p(X=10) =1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{17}{36}\]

D'où la loi de probabilité de $X$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|m{2.5cm}|*{3}{@{}>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$	& $-5$& 3& 10\\ \hline
$p(X=x_i)$	 \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $\dfrac{17}{36}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{36}$ \\ \hline
			\end{tabularx}
\end{center}		
\end{itemize}

\subsection{Espérance mathématique}

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$, qui prend les valeurs $x_1$, $x_2$, \ldots, $x_k$

\begin{center}
\begin{tabularx}{.7\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$ &	$x_1$ &	$x_2$ &	$\cdots$ &	$x_k$ \\ \hline
$p(X=x_i)$ & $p_1$ &	$p_2$ &	$\cdots$ &	$p_k$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On appelle espérance mathématique de $X$ notée $\mathrm E (X)$, le réel :	\[ \mathrm{E} (X) = \sum_{i=1}^{k}x_ip(X=x_i)= x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \cdots + x_k\times p_k \]
}

\medskip

	\textsf {\textsc{\small{remarques :}}}

\begin{itemize}
	\item L'espérance $\mathrm{E} (X)$ apparaît comme la moyenne (au sens statistique du terme) des valeurs $x_i$ affectées des fréquences $p_i$.
	\item Dans le cas particulier d'un jeu,  l'espérance $\mathrm{E} (X)$ est le gain moyen par partie qu'un joueur peut espérer obtenir s'il joue un grand nombre de fois.
	
	Le signe de $\mathrm{E} (X)$ permet de savoir si le joueur a plus de chances de gagner que de perdre.
	
	Si $\mathrm{E} (X) = 0$, on dit que le \emph{jeu est équitable}.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip

Dans l'exemple précédent, la loi de probabilité de $X$ est :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|m{2.5cm}|*{3}{@{}>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$	& $-5$& 3& 10\\ \hline
$p(X=x_i)$	 \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $\dfrac{17}{36}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{36}$ \\ \hline
			\end{tabularx}
\end{center}

L'espérance mathématique de $X$ est : 
	\[ \mathrm{E} (X) = -5 \times \dfrac{17}{36} + 3 \times \dfrac{1}{2} + 10 \times \dfrac{1}{36} = -  \dfrac{7}{12} \]
	
	L'espérance mathématique $ \mathrm{E} (X) <0$ donc le jeu est défavorable au joueur.
	
Si chaque joueur joue 6 parties, comme $6 \times \left(-  \dfrac{7}{12}\right) = -3,5$, un joueur risque de perdre en moyenne  3,50~\euro{}.

 \section{Loi binomiale}
 
Dans ce paragraphe, on étudie la répétition d'expériences identiques et indépendantes :

\begin{itemize}
\item Cela signifie que les conditions dans lesquelles on répète l'expérience sont les mêmes. Par exemple, les tirages d'objets se font \og avec remise \fg{} de l'objet tiré après chaque tirage. 
\item Cela signifie aussi que le résultat d'une expérience n'a aucune influence sur le résultat de l'expérience suivante. 
\end{itemize}
 
 \subsection{Épreuve de Bernoulli}
 
 Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire ayant deux issues, l'une appelée \og succès \fg{} de probabilité $p$ et l'autre appelée \og échec \fg{} de probabilité $q=1-p$.
 
  \subsection{Loi binomiale}

En répétant $n$ fois la même expérience de Bernoulli, on obtient une nouvelle expérience aléatoire qui possède $2^n$ issues. 
  
\cadreB{
L'expérience aléatoire qui consiste à répéter $n$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ de manière indépendante est appelée un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

La loi de probabilité de la variable aléatoire associée au nombre de succès obtenus au cours de $n$ épreuves de ce schéma de Bernoulli est appelée la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$.
}

\subsubsection{Cas simples}

Dans le cas où $n=2$ ou $n=3$, on peut modéliser la situation à l'aide d'un arbre.
\begin{enumerate}
\item Cas $n=2$

On répète deux fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ successivement et de façon indépendante.
\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$S$}~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}
		{
\TR{~\bleu{$S$}}\taput{\prune \textbf{$p$}}
\TR{~\bleu{$\overline{S}$}}\tbput{\prune \textbf{$q$}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{S}$}~}\tbput{\prune \textbf{$q=1-p$}}}
		{
\TR{~\bleu{$S$}}\taput{\prune \textbf{$p$}}
\TR{~\bleu{$\overline{S}$}}\tbput{\prune \textbf{$q$}}
 		}
}
\end{center}

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès. $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 2 ; p \right)$ de paramètres $n=2$ et $p$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de succès $k$ &	0 &	1 &	2  \\ \hline
$P\left( X= k\right)$  & $q^2$ &	$2\times p \times q$ &	$p^2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Cas $n=3$

On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ successivement et de façon indépendante. 

L'expérience comporte $2^3=8$ issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de trois lettres : \[\{{S\;S\;S}\: ;\: {S\;S\;\overline{S}}\: ;\: {S\;\overline{S}\;S}\: ;\: {\overline{S}\;S\;S}\: ;\: {S\;\overline{S}\;\overline{S}}\: ;\: {\overline{S}\;S\;\overline{S}}\: ;\: {\overline{S}\;\overline{S}\;S}\: ;\: {\overline{S}\;\overline{S}\;\overline{S}}\}\] 

Pour obtenir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès, on dresse un arbre et compte le nombre d'issues contenant $k$ succès.

\begin{center}
 \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(1,3.5)
\psset{arrows=-,treesep=.5cm,levelsep=3cm,nodesep=0pt}
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(10.6,3.5){\textsf {\textbf{\textsc{issues}}}}
\pstree[linecolor=bleu,treemode=R]{\Tp}{
\pstree{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}
		{\pstree{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}
				{\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}{\TR{ \prune ~$S\; S\;S$}}
				\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}{\TR{ \prune ~$S\;S\;\overline{S}$}}
				}
		\pstree{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}
			{\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}{\TR{ \prune ~$S\;\overline{S}\;S$}}
				\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}{\TR{ \prune ~$S\;\overline{S}\;\overline{S}$}}
				}	
		}
\pstree{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q=1-p$}}}
		{\pstree{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}
				{\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}{\TR{ \prune ~$\overline{S}\;S\;S$}}
				\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}{\TR{ \prune ~$\overline{S}\;S\;\overline{S}$}}
				}
		\pstree{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}
			{\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}{\TR{ \prune ~$\overline{S}\;\overline{S}\;S$}}
				\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}{\TR{ \prune ~$\overline{S}\;\overline{S}\;\overline{S}$}}
				}	
		}
}
\end{pspicture}
\end{center}

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 3 ; p \right)$ de paramètres $n=3$ et $p$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de succès $k$ &	0 &	1 &	2 &	3 \\ \hline
$P\left( X= k\right)$  & $q^3$ &	$3\times p \times q^2$ &	$3\times p^2 \times q$ &	$p^3$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsubsection{Coefficients binomiaux}

\cadreB{
Soit $n$ un entier naturel non nul et $k$ un entier tel que $0\leqslant k \leqslant n $.

Si on représente par un arbre une série de $n$ épreuves de Bernoulli, le coefficient binomial, noté $\dbinom{n}{k}$, est le nombre de chemins réalisant $k$ succès parmi $n$ épreuves répétées.
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques :}}}

\begin{itemize}
\item Un seul chemin permet d'obtenir 0 succès ou $n$ succès consécutifs : $\dbinom{n}{0}=1$ et $\dbinom{n}{n}=1$.
\item Il y a $n$ chemins différents qui permettent d'obtenir un seul succès : $\dbinom{n}{1}=n$. 
\item Les calculatrices permettent de calculer les coefficients binomiaux dans les autres cas. Exemple de calcul de  $\dbinom{8}{3}$ :
\begin{center}
\footnotesize{\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textsf{TEXAS TI 83}&	\textsf{CASIO} \\ \hline
Touche \psframebox[framearc=.25]{\textsf{\textbf{\scriptsize{math}}}}\par choisir \textsf{PROB} puis \textsf{3 : Combinaison} \par \dotfill & Touche \psframebox*[framearc=.3,fillcolor=gray]{\textsf{\textbf{\white{\scriptsize{OPTN}}}}}\par choisir \textsf{PROB} puis \textsf{ n C r}\par \dotfill\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textsf{{\textsubscript{\psframebox[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{8}}} C  {\textsubscript{\psframebox[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{3}}}}}& \multicolumn{1}{l|}{\textsf{8 C 3}}\\
 \hfill  \textsf{56} &  \hfill \textsf{56}\\  \hline
\end{tabularx}}
\end{center}
\end{itemize}

\subsubsection{Formule générale de la loi binomiale}
\cadreR{%
Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$ de paramètres $n$ et $p$.

Pour tout entier $k$  tel que $0\leqslant k \leqslant n$  :\[P\left( X = k \right) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k},\text{ où } q=1-p\]
}

\subsubsection{Propriétés}
\cadreB{%
Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$ de paramètres $n$ et $p$.

Pour tout entier $k$  tel que $0\leqslant k \leqslant n$  :
\begin{itemize}
\item $P\left( X \leqslant k \right) = 1 - P\left( X > k \right)$ 
\item $P\left( X \geqslant k \right) = 1 - P\left( X < k \right)$ 
\end{itemize}

En particulier $P\left( X \geqslant 1 \right)= 1 - P\left( X =0 \right) = 1-q^{n}$,  où  $q=1-p$
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{commandes spécifiques des calculatrices :}}}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{2}{>{\sffamily}X|}} \cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{\footnotesize{TI 83}} & \multicolumn{1}{c|}{\footnotesize{Casio}} \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf {Menu} & \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=blue!75]{\white{\scriptsize{2nde}}} puis sur la touche \rnode{A}{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=lightgray!40]{var}} \nput[labelsep=2pt]{90}{A}{\blue\tiny{{distrib}}}} &  \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=gray]{\white{\scriptsize{OPTN}}} puis \psframebox{\tiny{STAT}} \psframebox{\tiny{DIST}} \psframebox{\tiny{BINM}}}\\ \hline
$P\left( X = k\right)$ &  \footnotesize{\texttt{binomFdP(}$n$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $p$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $k$ \texttt{)}} & \footnotesize{\psframebox{\tiny{BpD}} \texttt{binomialPD(}$k$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $n$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $p$\texttt{)}}\\ \hline 
$P\left(  X \leqslant k\right)$ &  \footnotesize{\texttt{binomFRép(}$n$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $p$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $k$\texttt{)}}&  \footnotesize{\psframebox{\tiny{BcD}} \texttt{binomialCD(}$k$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $n$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $p$\texttt{)}}\\ \hline
\end{tabularx}

\subsubsection{Espérance et écart-type de la loi binomiale}

\cadreR{%
Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$ de paramètres $n$ et $p$.

L'espérance de $X$ est $E(X)= np$, l'écart-type de $X$ est $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip


{\footnotesize{Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 \% des clients choisissent l'option \og Livraison Express \fg{}. 

On prélève au hasard 30 bons de commande. On considère que le nombre de bons de commande est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de bons  portant la mention  \og Livraison Express \fg{}.}} 

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize{Calculer l'espérance mathématique $E(X)$, interpréter le résultat.}}

On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons donc $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 30 ; 0,4 \right)$ de paramètres $n=30$ et $p=0,4$.\[E(x)=30 \times 0,4 = 12\]
Sur un grand nombre de prélèvements de 30 bons on trouve en moyenne 12 bons de commande avec la mention  \og Livraison Express \fg{}.
\item {\footnotesize{Déterminer la probabilité, arrondie au millième près, que 13 bons de commande portent la mention  \og Livraison Express \fg{}.}}
\[P\left( X = 13 \right) = \dbinom{30}{13} \times 0,4^{13}\times 0,6^{17}\approx 0,136\]

La probabilité que 13 bons  portent la mention  \og Livraison Express \fg{} est d'environ 0,136.
\item {\footnotesize{Déterminer la probabilité, arrondie au millième près, qu'au moins 16 bons de commande portent la mention  \og Livraison Express \fg{}.}}
\[P\left( X \geqslant 16 \right) = 1-P\left( X \leqslant 15 \right)\approx 0,097\]
La probabilité qu'au moins 16 bons portent la mention  \og Livraison Express \fg{} est d'environ 0,097.
\end{enumerate}

 \section{Échantillonnage} 
 
On appelle échantillonnage, le prélèvement d'un échantillon de taille $n$ au sein de la population.

On s'intéresse à un caractère de proportion $p$ connue au sein d'une population.

Si l'échantillon est réalisé par prélèvement des éléments de manière aléatoire avec remise, alors le nombre d'éléments de l'échantillon possédant le caractère étudié suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}
	
\medskip

En pratique, si l'effectif de la population est très grand par rapport à l'effectif $n$ de l'échantillon on considère que le tirage des éléments de l'échantillon s'effectue avec remise.

\subsection{Intervalle de fluctuation à 95\,\% d'une fréquence correspondant à une loi binomiale} 

\cadreR{
L'intervalle de fluctuation à 95\,\% correspondant à une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, est l'intervalle $\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]$ où :
\begin{itemize}
\item $a$ est le plus petit entier tel que $P\left( X \leqslant a \right) > 0,025$ ; 
\item $b$ est le plus petit entier tel que $P\left( X \leqslant b \right) \geqslant 0,975$. 
\end{itemize}
On a alors $P\left( a \leqslant X \leqslant b \right) \geqslant 0,95$.
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip

On considère une population pour laquelle la proportion d'un caractère $C$ est $p=0,28$.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de taille $n=100$. La variable aléatoire $X$ associée au nombre d'individus ayant le caractère $C$ au sein de l'échantillon, suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 100 ; 0,28 \right)$ de paramètres $n=100$ et $p=0,28$.

On a ci-dessous, un extrait du tableau des probabilités cumulées $P\left(X \leqslant  k\right)$ de la loi binomiale  $\mathscr{B} \left( 100 ; 0,28 \right)$.
\begin{center} 
\small{\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{|>{\centering}m{2em}|>{\centering \arraybackslash}X|}}  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$\\ \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
14 & \np{0,0007} & 20 & \np{0,044} & 26 & \np{0,3748} & 32 & \np{0,842} & 38 & \np{0,9887}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
15 & \np{0,0017} & 21 & \np{0,0709} & 27 & \np{0,4622} & 33 & \np{0,8884} & 39 & \np{0,9936}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
16 & \np{0,0037} & 22 & \np{0,1085} & 28 & \np{0,5507} & 34 & \np{0,924} & 40 & \np{0,9965}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
17 & \np{0,0075} & 23 & \np{0,158} & 29 & \np{0,6362} & 35 & \np{0,9501} & 41 & \np{0,9982}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
18 & \np{0,0144} & 24 & \np{0,2198} & 30 & \np{0,7149} & 36 & \np{0,9684} & 42 & \np{0,9991}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
\textbf{\red{19}} & \textbf{\np{0,0259}} & 25 & \np{0,2929} & 31 & \np{0,784} & \textbf{\red{37}} & \textbf{\np{0,9807}} & 43 & \np{0,9995}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
\end{tabularx}}

\begin{itemize}
 \item Le plus petit entier $a$  tel que $P\left( X \leqslant a \right) > 0,025$ est $a=19$.
 \item Le plus petit entier $b$  tel que $P\left( X \leqslant b \right) \geqslant 0,975$ est $b=37$.  
 \item On peut vérifier que  $P\left( 19 \leqslant X \leqslant 37 \right) = P\left( X \leqslant 37 \right)-P\left( X \leqslant 18 \right)\approx \np{0,9663} \geqslant 0,95$
 \end{itemize} 
\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=1.5mm, yunit=40cm}
\begin{pspicture}(4,-.015)(50,.11)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(27,.11){\footnotesize{Loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,28$}}
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.2]{19,37,100}{0.28}% 
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=prune,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=prune,barwidth=0.2]{10,18,100}{0.28}% 
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=prune,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=prune,barwidth=0.2]{38,45,100}{0.28}% 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt,labels=y, Dy=0.01,comma]{->}(8,0)(50,.1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=x,xticksize=-2pt 2pt,Ox=10,Dx=5,labels=x, yAxis=false]{-}(10,0)(48,.1)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<-}(5,-.01)(19,-.01)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}(37,-.01)(50,-.01)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,arrowscale=1.5]{<->}(19,-.01)(37,-.01)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu, linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](19,0)(19,-.012)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu, linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](37,0)(37,-.012)
\uput[r](8,.1){\tiny{$P\left( X =  k \right)$}}
\uput[d](28,-.01){\footnotesize{\bleu{$\geqslant 0,95$}}}\uput[d](12,-.01){\footnotesize{\prune{$\approx 0,025$}}}\uput[d](43.5,-.01){\footnotesize{\prune{$\approx 0,025$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'intervalle de fluctuation à 95\,\% de la fréquence du nombre d'individus ayant le caractère $C$ au sein d'un échantillon de taille 100 correspondant à la variable aléatoire est donc l'intervalle $\left[ \dfrac{19}{100} ; \dfrac{37}{100}\right]=[0,19 ; 0,37]$.

Cet intervalle est centré en 0,28 qui est la proportion du caractère $C$ dans la population.

\subsection{Prise de décision}

On formule l'hypothèse que la proportion d'un caractère dans la population est $p$. 

Pour valider cette hypothèse, on prélève au hasard dans la population un échantillon de taille $n$ et on note $f$ la fréquence observée du caractère étudié.

Si l'effectif de la population est suffisamment grand par rapport à l'effectif $n$ de l'échantillon on considère que la variable aléatoire $X$ associée au nombre d'éléments ayant le caractère étudié au sein de l'échantillon, suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$. 

On détermine l'intervalle $\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]$ de fluctuation à 95\,\% d'une fréquence correspondant à la variable aléatoire $X$ qui permet de fixer le seuil de décision.

\medskip

\cadreR{
\begin{itemize}
\item Si la fréquence observée $f$ appartient à l'intervalle $\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]$, on accepte l'hypothèse selon laquelle la proportion est $p$ dans la population au seuil de 95\,\%.  
\item Si la fréquence observée $f$ n'appartient pas à l'intervalle $\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]$, on rejette l'hypothèse selon laquelle la proportion est $p$ dans la population avec un risque d'erreur de 5\,\%. 
\end{itemize}
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip
 
Selon une publication de l'INSEE, 28\,\% des ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

\begin{enumerate}
\item On interroge un échantillon de 100 ménages choisis au hasard, et on constate que dans cet échantillon 35\,\% des ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

Cet échantillon est-il représentatif de la population ?

\medskip

L'intervalle de fluctuation à 95\,\% associé à la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 100 ; 0,28 \right)$ calculé précédemment est \mbox{$I=[0,19 ; 0,37]$}.

La fréquence observée des ménages comprenant une famille avec au moins un enfant mineur est \mbox{$f=0,35$}. Donc  $f$ appartient à l'intervalle $[0,19 ; 0,37]$. 

On considère que l'échantillon est représentatif de la population.

\bigskip

\item On interroge au hasard 300 ménages qui résident dans le même arrondissement d'une grande agglomération, et on constate également que 35\,\% de ces ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

Cet échantillon est-il représentatif de la population ?

\medskip

On détermine l'intervalle de fluctuation à 95\,\% associé à la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 300 ; 0,28 \right)$.

\begin{itemize}
 \item Le plus petit entier $a$  tel que $P\left( X \leqslant a \right) > 0,025$ est $a=69$.
 \item Le plus petit entier $b$  tel que $P\left( X \leqslant b \right) \geqslant 0,975$ est $b=99$.  
 \end{itemize} 

L'intervalle de fluctuation à 95\,\% de la fréquence du nombre de ménages comprenant une famille avec au moins un enfant mineur dans un échantillon de taille 300 est donc l'intervalle $\left[ \dfrac{69}{300} ; \dfrac{99}{300}\right]=[0,23 ; 0,33]$.

La fréquence des ménages comprenant une famille avec au moins un enfant mineur est $f=0,35$. Donc  $f$ n'appartient à l'intervalle $[0,23 ; 0,33]$. 

On considère que cet échantillon n'est pas représentatif de la population.
\end{enumerate}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

 \exo

 \medskip 
 
Une entreprise fabrique un produit destiné à l'exportation. 

Sur le marché extérieur la demande (en milliers d'unités) est régie par la loi de probabilité suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$ &	1	& 2	& 3 &	4 &	5\\ \hline
$p(x_i)$ &	$6a$ &	$4a$ &	$2a$ &	$2a$ &	$a$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
 Si l'entreprise dispose d'un stock de \np{3000} unités du produit, quelle est la probabilité qu'il y ait rupture de stock ?
 
 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Dans une entreprise, on a relevé qu'au cours d'une année: 40\% des salariés ont été absents au moins 1 jour; 30\% des salariés ont été absents au moins 2 jours ; 15\% des salariés ont été absents au moins 3 jours ; 10\% des salariés ont été absents au moins 4 jours ; 5\% des salariés ont été absents au moins 5 jours.

On choisit au hasard un salarié de cette entreprise. Quelle est la probabilité pour que ce salarié :

\begin{enumerate}
	\item n'ait jamais été absent au cours de cette année ?
	\item ait été absent une seule journée au cours de cette année ?
	\item ait été absent au plus 3 jours ?
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo

\medskip

Les résultats d'une enquête sur l'audience de deux magazines A et B, sont les suivants:

3 \% de la population lit les deux magazines. Le magazine A est lu par 12 \% de la population  tandis que le magazine B est lu par 7 \% de la population. 

On interroge une personne de cette population au hasard. 

\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ne lise pas le magazine A.
	\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ne lise aucun des deux magazines. 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 

Un musée propose à la vente trois sortes de billets : un billet à {9~\euro} pour visiter uniquement les collections permanentes ; un billet à {11~\euro} pour visiter uniquement l'exposition temporaire ou un billet à {13~\euro} pour visiter les collections permanentes et l'exposition temporaire. 

On sait que : 60\% des visiteurs visitent l'exposition temporaire et 45\% des visiteurs achètent un billet à {11~\euro}.

\begin{enumerate} 
\item Établir la loi de probabilité associée au prix d'un billet.
\item Quelle est la recette quotidienne que peut espérer ce musée si le nombre de visiteurs par jour est en moyenne de \np{20000} ?
\end{enumerate}
 
 \bigskip

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac La Réunion 2007})

 \medskip 

\begin{minipage}{\linewidth-3.5cm}
Un domino est une petite plaque partagée en deux parties.

Sur chacune des parties figure une série de points. Il peut y avoir de zéro à six points dans une série. Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents. 

Lors d'une fête, on propose le jeu suivant :

\begin{itemize}
\item  le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu, 
\item  il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré.
 \end{itemize}
 
On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{3cm}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(2,2.5) 
 \psframe[linewidth=1pt,framearc=.3](0,0)(2,1) \psframe[linewidth=1pt,framearc=.3](0,1.5)(2,2.5) \psline[linewidth=.5pt](1,0)(1,1) \psline[linewidth=.5pt](1,1.5)(1,2.5)
 \qdisk(0.2,2.3){3pt} \qdisk(0.8,1.7){3pt} \qdisk(1.2,2.3){3pt} \qdisk(1.8,1.7){3pt}
  \qdisk(0.2,0.8){3pt} \qdisk(0.2,0.2){3pt} \qdisk(0.8,0.8){3pt} \qdisk(0.8,0.2){3pt}
 \end{pspicture}
\end{flushright}\end{minipage} 

\begin{enumerate}
\item Établir la loi de probabilité des gains possibles.
\item Le joueur doit miser 7~\euro{} avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo 

\medskip 

Une urne contient des jetons : 10 rouges,  36 bleus et 54 blancs. Un jeu de hasard est organisé de la manière suivante, après avoir misé une certaine somme, un joueur tire un jeton dans l'urne :

\begin{itemize}
\item Si le jeton est rouge, il perd le cube de sa mise de départ.
\item Si le jeton est bleu, il gagne le carré de sa mise de départ. 
\item Si le jeton est blanc, il gagne sa mise de départ. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On suppose que la mise de départ est de 5 euros.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité sur l'ensemble des gains possibles.
		\item Calculer le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de parties avec la même mise de départ de 5 euros.
	\end{enumerate}
\item Un joueur cherche à déterminer le montant de la mise de départ pour que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de parties soit maximal.  Soit $x$ la mise de départ en euros.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'espérance mathématique de loi de probabilité du gain est : \[f(x) = -0,1x^3 + 0,36x^2 + 0,54x\]
		\item Étudier les de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. Conclure sur le problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip  
 
 \exo
 
 \medskip

Un casino organise un jeu de dés. La mise du joueur pour participer à ce jeu est de $n$ euros, ensuite, le joueur lance deux dés et gagne en euros, le double de la somme des deux dés. 

En supposant que ce jeu ait du succès, quel doit être le montant minimal de la mise du joueur pour que le casino ne perde pas d'argent ?

 \bigskip 

 \exo
 
 \medskip
 
 Un énoncé contient 3 coquilles. \`A chaque relecture la probabilité de détection d'une erreur ayant subsisté est de 0,8. 
 
\begin{enumerate}
	\item  Établir la loi de probabilité du nombre de coquilles qui subsistent après la première relecture.
	\item Après une deuxième relecture, quelle est la probabilité qu'il subsiste encore au moins une erreur ?
\end{enumerate}
 
 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

À l'occasion de la fête du cinéma, le service de publicité d'un quotidien propose chaque jour la possibilité de gagner une place de cinéma sous forme de cartes à gratter.

Dans 13\% des journaux mis en vente on trouve une carte gagnante. 
  
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'un client qui a acheté pendant cinq jours ce quotidien gagne au moins une place de cinéma ?

 \bigskip 
  
 \exo
 
 \medskip

Une usine fabrique des plaques d'isolation phonique. Une machine de cette usine est chargée de percer des trous dans ces plaques de 80~mm de diamètre.
 
On décide de contrôler la qualité des trous dans la production d'une journée. On suppose que la probabilité qu'un trou soit défectueux est $0,05$.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~trous choisis au hasard, associe le nombre de trous défectueux.
 
La production quotidienne des plaques est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler le choix des 100~trous à un tirage avec remise pour assurer l'indépendance des choix.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ (\emph{justifier votre réponse}). 
		\item Donner les paramètres de cette loi.
	\end{enumerate} 
\item Calculer une valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de la probabilité pour un tel échantillon : 
	\begin{enumerate}
		\item de n'avoir aucun trou défectueux ; 
		\item d'avoir un seul trou défectueux ; 
		\item d'avoir au moins deux trous défectueux.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo

\medskip

On a représenté ci-dessous, la distribution de probabilité de quatre variables aléatoires suivant des lois binomiales.
 
\begin{center}
\psset{xunit=1mm, yunit=20cm}
\begin{pspicture}(-5,-.02)(30,.14)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(12.5,.135){\footnotesize{Graphique 1}} 
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.2]{6,24,50}{0.3}% 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt,labels=y, Dy=0.02,comma]{->}(0,0)(30,.12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=x,xticksize=-2pt 2pt,Dx=5,labels=x, yAxis=false]{-}(0,0)(29,.1)
\end{pspicture}
\hfill
\psset{xunit=1mm, yunit=20cm}
\begin{pspicture}(-5,-.02)(30,.14)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(12.5,.135){\footnotesize{Graphique 2}} 
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.2]{5,26,1500}{0.01}% 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt,labels=y, Dy=0.02,comma]{->}(0,0)(30,.12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=x,xticksize=-2pt 2pt,Dx=5,labels=x, yAxis=false]{-}(0,0)(29,.1)
\end{pspicture}
\hfill
\psset{xunit=1mm, yunit=20cm}
\begin{pspicture}(0,-.02)(35,.14)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(17.5,.135){\footnotesize{Graphique 3}} 
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.2]{10,30,50}{0.4}% 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt,labels=y, Dy=0.02,comma]{->}(5,0)(35,.12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=x,xticksize=-2pt 2pt,Ox=5,Dx=5,labels=x, yAxis=false]{-}(5,0)(34,.1)
\end{pspicture}
\hfill
\psset{xunit=1mm, yunit=20cm}
\begin{pspicture}(5,-.02)(40,.14)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(22.5,.135){\footnotesize{Graphique 4}} 
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.2]{13,37,100}{0.25}% 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt,labels=y, Dy=0.02,comma]{->}(10,0)(40,.12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=x,xticksize=-2pt 2pt,Ox=10,Dx=5,labels=x, yAxis=false]{-}(10,0)(39,.1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 50 ; 0,4 \right)$ de paramètres $n=50$ et $p=0,4$.
\item La variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 50 ; 0,3 \right)$ de paramètres $n=50$ et $p=0,3$.
\end{itemize}
Associer à chacune des deux  lois $\mathscr{B} \left( 50 ; 0,4 \right)$ et $\mathscr{B} \left( 50 ; 0,3 \right)$ son graphique.

\bigskip

 
\exo 

 \medskip 


Une entreprise fabrique des articles en grande quantité.  Une étude statistique a permis de constater que 10\% des articles fabriqués sont défectueux.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés $a$ et $b$. On note :

\begin{itemize}
	\item[] $A$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $a$ \fg ;
	\item[] $B$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $b$ \fg ;
\end{itemize}

On donne les probabilités suivantes : $p(A) = 0,05$ ; $p(B) = 0,06$.

\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$. Donner la probabilité de l'évènement  $A\cup B$.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut \fg ? 
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard présente les deux défauts \fg.
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard n'a qu'un seul des deux défauts \fg.  
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
On prélève au hasard 40 articles dans le stock, pour vérification. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 articles à un tirage avec remise de 40 articles. 
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 40 articles dans ce stock, associe le nombre d'articles ayant un défaut.
 
\begin{enumerate}
	\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. Interpréter le résultat. 
	\item Déterminer la probabilité de trouver quatre articles qui ont un défaut. 
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins un article a un défaut. 
	\item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence d'articles défectueux dans un échantillon de taille 40.
\end{enumerate}	

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l'exclusion de tout autre défaut.
 
On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 7\% ont le défaut A, 5\% ont le défaut B, et 4\% ont les deux défauts.

On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. On note :

\begin{itemize}
	\item A l'évènement : \og La pièce a le défaut A \fg ;
	\item B l'évènement : \og La pièce a le défaut B \fg.
\end{itemize}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?
	\item Traduire par une phrase l'évènement  $A \cap \overline B $. Calculer la probabilité de l'évènement  $A \cap \overline B $ ?
	\item Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce qui a seulement le défaut B ?
	\item Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse qui n'a qu'un seul défaut ?
\end{enumerate}
	
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
On prélève au hasard 100 pièces dans le stock, pour vérification. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 100 pièces à un tirage avec remise de 100 pièces. 
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 pièces dans ce stock, associe le nombre de pièces ayant un défaut.
 
\begin{enumerate}
	\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma$. 
	\item Déterminer la probabilité de trouver 8 pièces qui ont un défaut. 
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins deux pièces ont un défaut. 
	\item Déterminer la probabilité que dans un lot de 100 pièces on trouve entre 5 et 11 pièces qui ont un défaut. 
	\item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence de pièces défectueuses dans un échantillon de taille 100.
	
	En déduire le nombre de pièces défectueuses que l'on peut trouver dans un lot de 100 pièces avec une probabilité proche de 0,95.
\end{enumerate}	

\bigskip
 
\exo

 \medskip 

Une machine fabrique \np{10000}  pièces par jour. En sortie de fabrication, on a constaté qu'une pièce pouvait présenter deux sortes de défauts A ou B et, qu'en moyenne :

\begin{itemize}
\item 9 \% des pièces fabriquées présentent le défaut A ;
\item 10 \% des pièces fabriquées présentent le défaut B ;
\item 11 \% des pièces fabriquées présentent à la fois les défauts A et B.
\end{itemize}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.
\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité $p_1$ qu'elle n'ait aucun défaut.
\item Calculer la probabilité $p_2$ qu'elle présente un seul défaut.
\end{enumerate}
	
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans le cadre d'un fonctionnement correct de  la machine, on tolère que la proportion $p$ de pièces défectueuses dans la production est 8\,\%.

On contrôle le bon fonctionnement de la machine en prélevant au hasard dans la production des échantillons de $n$ pièces. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler un tel prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $n$ pièces dans le stock, associe le nombre de pièces défectueuses.
  
\begin{enumerate}
	\item Au cours de l'un de ces contrôles, un technicien a prélevé au hasard dans la production un échantillon de 40 pièces.
	 \begin{enumerate} 
	\item Déterminer la probabilité qu'il y ait trois pièces défectueuses dans cet échantillon. 
	\item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins trois pièces défectueuses dans cet échantillon. 
	\item Le technicien a trouvé six pièces défectueuses. 
	
	Doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la machine ? 
	\end{enumerate}
	\item Un deuxième technicien a prélevé un échantillon de 100 pièces et trouve la même proportion de 15 \% de pièces défectueuses. 
	
	Doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la machine ?

\end{enumerate}	
	
	\bigskip

\exo

 \medskip 

Un grossiste propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. 

Ces perles peuvent présenter deux sortes d'irrégularité (couleur ou  forme). Les perles qui présentent les deux sortes d'irrégularité sont déclassées. Une étude statistique a permis d'établir que :

\begin{itemize}
\item 18\% des perles sont déclassées ;
\item 24\% des perles présentent une irrégularité de couleur ;
\item 16\% des perles présentent une irrégularité de forme.
\end{itemize}
	
On choisit au hasard dans le stock une perle et on note :

\begin{itemize}
\item $C$ l'évènement \og la perle présente une irrégularité de couleur \fg{} ;
\item $F$ l'évènement \og la perle présente une irrégularité de forme \fg{}.
\end{itemize}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item Traduire par une phrase l'évènement  $C \cup \ F$. Calculer   $P\left(C \cup  F\right) $.
	\item Quelle est la probabilité que la perle choisie ne présente aucune irrégularité ?
\end{enumerate}
	
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
On prélève au hasard un lot de 50 perles dans le stock, pour vérification. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 50 perles à un tirage avec remise. 
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 perles dans ce stock, associe le nombre de perles déclassées.
 
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate} 
	\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. 
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate} 
	\item Déterminer la probabilité de trouver 9 perles déclassées dans ce lot. 
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins deux perles du lot soient déclassées. 
	\item Déterminer la probabilité de trouver dans ce lot entre 7 et 10 perles déclassées. 
	\end{enumerate}
	\item On a trouvé dans ce lot, 14 perles déclassées. Ce résultat est-il compatible avec la proportion de 18\% des perles déclassées donnée par le grossiste ?
\end{enumerate}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Suites}

\minitoc

\newpage

\act

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les quatre nombres suivants de la liste $\{ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \cdots, \cdots, \cdots, \cdots \}$. 
\item On considère les suites définies de la manière suivante : on choisit un nombre entier $u_0$, chaque terme de la suite se construit ensuite en comptant le nombre d'apparitions des différents chiffres dans le terme précédent, les chiffres lus se classent ensuite dans l'ordre décroissant.
\begin{enumerate}
\item La suite commence par le premier terme $u_0 = 0$, les termes suivants sont $u_1 = 10$, $u_2 = 1110$ , \mbox{$u_3 = 3110$}, $u_4 = 132110$. 

Le nombre \np{132110} se lit de la façon suivante : dans ce nombre, il y a  un 3 un 2 trois 1 et un 0 par conséquent, le terme $u_5 = 13123110$.

Calculer $u_{11}$.

\item Donner les douze premiers termes de la suite qui commence par $u_0 = 40$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\act

\medskip

Soit $a >0$ un nombre réel. La suite $\left(u_n \right)$ définie par $u_0 = a$  et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left( u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)$ permet de déterminer une valeur approchée de la racine carrée du nombre réel positif $a$.
\begin{enumerate}
\item Valeur approchée de $\sqrt{2}$. Calculer les six premiers termes de la suite $\left(u_n \right)$ avec $a=2$. 
\item L'algorithme suivant permet de calculer le nombre $N$ de valeurs successives qu'il est nécessaire de calculer pour obtenir une valeur approchée de $\sqrt{A}$ avec une précision inférieure à $10^{-9}$ près.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}
\footnotesize{
$U \gets A$

$N \gets  0$

$B \gets  \sqrt{A}$

Tant que $\lvert U - B \rvert \geqslant 10^{-9}$

\begin{itemize}
\item[] $U \gets \dfrac{1}{2}\times \left( U +  \dfrac{U}{A} \right)$
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
}
\end{minipage}
}
\end{center}

Programmer cet algorithme sur la calculatrice pour déterminer le nombre de valeurs successives qu'il est nécessaire de calculer pour obtenir une valeur approchée à $10^{-9}$ près de $\sqrt{3}$; $\sqrt{25}$; $\sqrt{1000}$; $\sqrt{0,5}$; $\sqrt{0,001}$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\act

\medskip

Soit $k>0$ un entier naturel. On considère la suite $\left( u_n \right)$ définie par $u_0 = k$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1}=\begin{cases}
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} \dfrac{u_n}{2} & \text{si } u_n \:  \text{ est pair }\\
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\dfrac{3u_n +1}{2} & \text{si } u_n \:  \text{ est impair } \\
\end{cases} \] 
\begin{enumerate}
\item Calculer les différents termes de la suite avec $k=3$, $k=7$, $k=18$ et $k=21$
\item À l'aide de l'algorithme suivant déterminer le plus petit indice $n$ tel que $u_n=1$ si $k=27$.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}
\footnotesize{
$U \gets 27$

$N \gets  0$

Tant que $U > 1$

\begin{itemize}
\item[] Si $U$ pair 
\begin{itemize}
 \item[] Alors $U \gets \dfrac{U}{2}$
 \item[] Sinon $U \gets \dfrac{3U+1}{2}$
 \end{itemize} 
 
 Fin si
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
}
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\section{Suites premières définitions}

\subsection{définition}

\cadreB{
Une suite réelle $u$ est une fonction de l'ensemble des entiers naturels $\N$ (ou d'une partie de $\N$) dans $\R$.

On note $u= \left( u_n \right)_{n\in \N}$ ; $u_n$ est le terme d'indice $n$ de la suite.
}


\medskip

Dans la notation d'une suite, on peut préciser le rang à partir duquel la suite est définie.

\begin{itemize}
	\item Si la suite $\left( u_n \right)_{n\in \N}$ est définie pour tout  entier naturel $n$ on la note $\left( u_n \right)_{n \geqslant 0}$ ou plus simplement $\left( u_n \right)$.
	\item Si la suite  est définie à partir d'un certain rang $k$ on la note $\left( u_n \right)_{n \geqslant k}$ le premier terme de la suite est $u_k$.
\end{itemize}


\subsection{Modes de génération d'une suite}

Une suite peut être définie :
\begin{itemize}
	\item de façon explicite en exprimant le terme général $u_n$ en fonction de $n$ à l'aide d'une formule. 
	
	On peut calculer n'importe quel terme de la suite à partir de son indice $n$. Par exemple : 	
	
\begin{center}
Pour tout  entier naturel $n$, $u_n= \dfrac{n+(-1)^n}{n+1}$ 	définit la suite $\left( u_n \right)=\left\{ 1, 0, 1, \dfrac{1}{2}, 1,\dfrac{2}{3}, 1, \dfrac{3}{4}, \cdots \right\}$.
\end{center}
 
	Le terme $u_{24}$ est $u_{24}= \dfrac{24+(-1)^{24}}{24+1} =1$
	
	\item par une formule de récurrence en exprimant un terme en fonction des termes qui le précèdent, et en donnant le(s) premier(s) terme(s). 
	
	Dans ce cas pour calculer le terme de rang $n$, il est nécessaire de calculer tous les termes qui le précèdent. Par exemple :
		
\begin{center}
$\left\{\begin{array}{l}
u_0=\dfrac{1}{2}\\
\text{Pour tout entier } n,\; u_{n+1}=3-2u_n\\
\end{array}\right.$ définit la suite $\left( u_n \right)=\left\{ \dfrac{1}{2}, 2, -1, 5,-7, \cdots \right\}$. 
\end{center}

\item par tout autre moyen, procédé aléatoire, algorithme etc. Par exemple, la suite des décimales de $\pi$.
\end{itemize}

\subsection{Représentation graphique}

\cadreB{
Dans le plan muni d'un repère \Oij, la représentation graphique d'une suite $\left( u_n \right)$ est le nuage de points $M\left( n ; u_n \right)$
}

\subsubsection{Cas d'une suite définie de façon explicite}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $\left( u_n \right)$ la suite définie pour tout  entier naturel $n$ par $u_n= \dfrac{108}{n^2-8,5 n +36}$. 

Calculons les premiers termes de la suite : 

\medskip

{\footnotesize{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}m{2.5cm}}	\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & $\cdots$\\ \hline
$u_n$ \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $3$ & $\dfrac{72}{19}$ & $\dfrac{108}{23}$ &	$\dfrac{72}{13}$ & 	$6$ &	$\dfrac{216}{37}$ &	$\dfrac{36}{7}$ & $\dfrac{72}{17}$ &	$\cdots$\\ \hline
\end{tabularx}}}

\medskip

La représentation graphique de la suite $\left( u_n \right)$ est l'ensemble des points $M_0 \left(0 ; 3\right)$, $M_1 \left(1 ; \dfrac{72}{19} \right)$, $M_2 \left(2 ; \dfrac{108}{23} \right)$ etc.

Graphiquement, les termes de la suite $\left( u_n \right)$ sont les ordonnées des points d'abscisses entières de la courbe représentative de la fonction $f$  définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x)= \dfrac{108}{x^2-8,5 x +36}$. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(15,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{216 x dup mul 2 mul 17 x mul sub 72 add div} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,linecolor=black]{->}(0,0)(-.5,-.5)(15,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](15,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{15}{\f}
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=1.5,linewidth=0.5pt, linecolor=prune,fillcolor=white}
\multido{\n=0+1}{15}{%
\pstVerb{/xUn \n\space def}%
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 1pt]{-}(!-.14 /x \n\space def \f)(! xUn /x \n\space def \f)(! xUn 0)
\psdot(! xUn /x \n\space def \f)\uput[u](! xUn /x \n\space def \f){\bleu{\footnotesize{$M_{\n}$}}}
\uput[l](!-.16 /x \n\space def \f){\prune{\scriptsize{$u_{\n}$}}}
}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{Cas d'une suite définie par une relation de récurrence}


Dans le cas d'une suite définie par une formule de récurrence sous la forme $u_{n+1}= f\left({u_n}\right)$ pour $u_0$ donné, on représente les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses en utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définissant la relation de récurrence et la droite d'équation $y=x$.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $\left( u_n \right)$ la suite définie par $u_0 = 15$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}= 1+ \dfrac{20}{u_n}$. 

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on trace la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie  pour tout réel $x \ne 0$  par $f(x)= 1+ \dfrac{20}{x}$

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(16,10.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1 20 x div add }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(16,11)
\uput[d](1,0){\footnotesize 1} \uput[l](0,1){\footnotesize 1}
\uput[dl](16,0){$x$} \uput[dl](0,11){$y$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{2}{16}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red](0,0)(10.5,10.5)
\def\fct{20 xUn div 1 add}% 
\pstVerb{/xUn 15 def}% u0 
\psset{linewidth=.5pt,arrowscale=1.5}
\multido{\n=0+1,\i=1+1}{8}{% 
\uput[d](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{\n}$}}}
\uput[ur](! xUn \fct ){\bleu{\footnotesize{$M_{\i}$}}} 
\uput[ul](! \fct\space dup){\red{\footnotesize{$A_{\i}$}}}
\pstVerb{ /xUn \fct\space def}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,dash=3pt 2pt,linewidth=.5pt]{->}(! xUn xUn)(! xUn 0 )
} 
\uput[d](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{8}$}}}
\psFixpoint[linecolor=prune,linewidth=.75pt,ArrowInside=-<]{15}{\f}{8}
\psline[linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt,linewidth=.25pt]{->}(2.333,2.333)(0,2.333)
\uput[l](0,2.333){\prune{\footnotesize{$u_{1}$}}}
\uput[dl](2,11){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[ul](1,1){\red{\footnotesize{$\Delta$}}}
\end{pspicture} 
\end{center}

On place le terme initial $u_0$ sur l'axe des abscisses. 

Comme $u_1= 1+ \dfrac{20}{u_0}$, alors $u_1= f \left( u_0 \right)$. Ainsi, $u_1$ est l'ordonnée du point $M_1$ de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $u_0$. 

On reporte la valeur de $u_1$ sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite $\Delta$. 

Le point $A_1$ de la droite $\Delta$, de même ordonnée que le point $M_1$, a pour coordonnées  $A_1 \left( u_1 ; u_1 \right)$.

On réitère le même procédé pour obtenir $u_2$ à partir de $u_1$ et successivement les termes suivants de la suite.

\subsection{Sens de variation d'une suite}

\cadreR{Soit $\left( u_n \right)$ une suite réelle. 
\begin{enumerate}
	\item Dire que la suite $\left( u_n \right)$ est décroissante signifie que  pour tout  entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$.
	\item Dire que la suite $\left( u_n \right)$ est croissante signifie que pour tout  entier naturel $n$, $u_{n+1} \geqslant u_{n}$.
	\item Dire que la suite $\left( u_n \right)$ est \emph{constante} (ou \emph{stationnaire}) signifie que  pour tout  entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n$.	 
\end{enumerate}
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques}}}

\medskip
\begin{itemize}
\item Dire que la suite $\left( u_n \right)$  est \emph{monotone} signifie que la suite est croissante ou décroissante.
\item Comme pour les fonctions, lorsqu'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes, on parle de suite  strictement décroissante, strictement croissante, strictement monotone.
\end{itemize}

\subsubsection{Étude de la monotonie d'une suite}


Pour étudier le sens de variation d'une suite $\left( u_n \right)$ on peut en général :
\begin{itemize}
	\item Comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ en étudiant le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.
	\item Lorsque tous les termes de la suite $\left( u_n \right)$ sont strictement positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et 1.\[\text{Si}\; u_n >0\; \text{et}\; u_{n+1} >0\;\text{alors :}\; \dfrac{u_{n+1}}{u_n} >1 \iff u_{n+1} - u_n >0\]
	\item Lorsque la suite $\left( u_n \right)$ est définie explicitement en fonction de $n$ par une expression de la forme $u_n = f (n)$ alors, $u_{n+1} - u_n= f(n+1)- f(n)$. 
	
	Par conséquent, si la fonction $f$ est monotone sur l'intervalle $[ 0 ; + \infty[$ alors la suite $\left( u_n \right)$ a le même sens de variation que la fonction $f$. 
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item La suite $\left( u_n \right)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= {u_n}^2+u_n+1$. 
	
Nous avons $u_{n+1} - u_n= {u_n}^2+1$ donc $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite $\left( u_n \right)$ est strictement croissante.
	
	\item La suite $\left( u_n \right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}= \dfrac{2^n}{n+1}$.
	
	La suite  $\left( u_n \right)$ est à termes strictement positifs et pour tout  entier naturel $n$, \[\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+2}\times\dfrac{n+1}{2^n} =\dfrac{2\times  (n+1)}{n+2} =\dfrac{2n+2}{n+2} =1+\dfrac{n}{n+2} \]
	
	Ainsi, la suite  $\left( u_n \right)$ est à termes strictement positifs et pour tout  entier naturel $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1$ donc la suite $\left( u_n \right)$ est croissante.
	
	\item La suite $\left( u_n \right)$  définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}= \dfrac{1}{n^2+n+1}$.
	
	$u_{n}= f(n)$ où $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[ 0 ; + \infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$.
	
	La dérivée de la fonction $f$ est la fonction $f'$ définie par $f'(x)=\dfrac{-2x+1}{\left(x^2+x+1\right)^2}$. 
	
	Pour tout réel $x \geqslant 0$ on a $f'(x)<0$, donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[ 0 ; + \infty[$. 
	
	On en déduit que la suite $\left( u_n \right)$ est strictement décroissante. 
\end{enumerate}
 

\section{Suites arithmétiques}

\subsection{Définition}

\cadreR{Une suite $\left( u_n \right)$ est arithmétique s'il existe un nombre réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = u_{n} + r\]

Le réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.
}

\medskip

La raison d'une suite arithmétique est un réel indépendant de $n$.
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.2)(7.5,.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linecolor=bleu,linewidth=1pt](-.5,0)(7.5,0)
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=1.5,linewidth=0.5pt, linecolor=prune,fillcolor=white,nodesep=3pt}
\multido{\n=0+1,\i=1+1}{6}{% 
\pnode(\n,0){A}
\pnode(\i,0){B}\ncarc[arcangle=45]{->}{A}{B}\naput{\bleu{\footnotesize{$+r$}}}
\psdot(A)\uput[d](A){\prune{\footnotesize{$u_{\n}$}}}
}
\psdot(B)\uput[d](B){\prune{\footnotesize{$u_{6}$}}} \pnode(7,0){C}\ncarc[arcangle=45,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{->}{B}{C}\naput{\bleu{\footnotesize{$+r$}}}
\end{pspicture} 
\end{center}
Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item La suite des nombres entiers naturels est une suite arithmétique de premier terme 0 est de raison 1.
\item La suite des nombres pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 est de raison 2.
\item La suite $\left( u_n \right)$  définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}= 3 n -2$ est une suite arithmétique de raison 3.

En effet, \[u_{n+1}= 3\times(n+1) -2=3n+3-2=u_n+3\]
\end{itemize}

\subsection{Relations entre les termes}

\subsubsection{Formule explicite}

\cadreR{Le terme général d'une suite arithmétique  $\left( u_n \right)$ de raison $r$ et de premier terme $u_0$ est $u_{n} = u_{0} + n  r$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{illustration}}}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.6)(7.5,.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linecolor=bleu,linewidth=1pt](-.5,0)(4.25,0)\psline[linecolor=bleu,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](4.25,0)(5.75,0)\psline[linecolor=bleu,linewidth=1pt](5.75,0)(7.5,0)
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=1.5,linewidth=0.5pt, linecolor=prune,fillcolor=white,nodesep=3pt}
\multido{\n=0+1,\i=1+1}{4}{% 
\pnode(\n,0){A}
\pnode(\i,0){B}\ncarc[arcangle=45]{->}{A}{B}\naput{\bleu{\footnotesize{$+r$}}}
\psdot(A)\uput[d](A){\prune{\footnotesize{$u_{\n}$}}}
}
\psdot(B)\pnode(6,0){A}\pnode(7,0){B}\ncarc[arcangle=45]{->}{A}{B}\naput{\bleu{\footnotesize{$+r$}}}\psdot(A)\uput[d](A){\prune{\footnotesize{$u_{n-1}$}}}
\psdot(B)\uput[d](B){\prune{\footnotesize{$u_{n}$}}}
\pnode(0,0){A}\ncbar[angle=-90,nodesep=12pt]{->}{A}{B}\nbput{\prune{$+(n\times r)$}}
\end{pspicture} 
\end{center}
 $\left( u_n \right)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ :\[\begin{split}
u_1 &= u_0+r\\
u_2 &= u_1+r= (u_0+r)+r= u_0+2r\\
u_3 &= u_2+r= (u_0+2r)+r= u_0+3r\\
\end{split}\]

On admet que cette propriété s'étend de proche en proche à tout entier $n$ : \[
u_n = u_{n-1}+r= (u_0+(n-1)r)+r= u_0+nr\]

\subsubsection{Propriété}

\cadreR{Si  $\left( u_n \right)$ une suite arithmétique de raison $r$ alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$, \[u_{n} = u_{p} + (n-p) r\]
}

\dem

$\left( u_n \right)$ est une suite arithmétique de raison $r$ alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$, \[u_{n}- u_{p} = \left(u_{0} + n  r\right)-\left( u_{0} + p  r\right)= (n-p) r\]

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\medskip

Si  $\left( u_n \right)$ une suite arithmétique de raison $r$ alors pour tous entiers naturels $n$ et $k$, $u_{n+k} = u_{n} + k r$.

Il suffit de connaître la raison et un terme quelconque d'une suite arithmétique pour pouvoir déterminer tous les termes de la suite.

\subsection{Variations}

Le sens de variation d'une suite arithmétique ne dépend que de sa raison.

\medskip

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite arithmétique de raison $r$, 
\begin{itemize}
	\item La suite $\left( u_n \right)$ est constante si, et seulement si, $r = 0$.
	\item La suite $\left( u_n \right)$ est strictement croissante si, et seulement si, $r > 0$.
	\item La suite $\left( u_n \right)$ est strictement décroissante si, et seulement si, $r < 0$.
\end{itemize}
}

\dem

$\left( u_n \right)$ une suite arithmétique de raison $r$ donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}- u_{n} =r$ 
\begin{itemize}
\item $\left( u_n \right)$ est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}- u_{n} =0 \iff r =0$.
\item $\left( u_n \right)$ est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}- u_{n} >0 \iff r >0$.
\item $\left( u_n \right)$ est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}- u_{n} <0 \iff r <0$.
\end{itemize}


\subsection{Somme de termes consécutifs}

\subsubsection{Cas particulier}

\cadreB{
	Pour tout entier naturel $n$ on a :\[1+2+\cdots + n = \dfrac{n \left( n +1\right)}{2}\]
}
	
\dem

On peut écrire la somme $S$ des $n$ premiers entiers naturels non nuls de deux manières :\[\begin{split}S&=1+2+\cdots+(n-1)+n\\S&=n+(n-1)+\cdots+2+1\end{split}\]
Par addition des deux lignes on obtient :\[2S=\Rnode[vref=-1ex]{A}{(n+1)}+(n+1)+\cdots+(n+1)+\Rnode[vref=-1ex]{B}{(n+1)}\psbrace[braceWidth=-.5pt,braceWidthInner=5pt,braceWidthOuter=5pt,nodesepB=0.3,nodesepA=-.65,rot=90](A)(B){\small{n\:\text{termes}}}= n(n+1)\]
 	

\subsubsection{Cas général}


\cadreR{
Soit  $\left( u_n \right)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$, \[ u_0  +  u_{1}  + \cdots + u_n =\left( n +1\right) \times \dfrac{ u_0 +u_n  }{2}\]
La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à :\[\text{nombre de termes }\:\times \dfrac{\text{premier terme}\:+\:\text{dernier terme}}{2}\]
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{preuve}}}

\medskip

Soit  $\left( u_n \right)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.
\[ \begin{split} 
 u_{0} + u_1 +u_2 +\cdots +u_n &=  u_{0} + \left( u_0+r\right)+ \left( u_0+2r\right) +\cdots +\left(u_0+nr\right) \\
&=  (n+1) u_0  + \left( 1+ 2 +\cdots +n\right)\times r \\
& =(n+1) u_0  +\frac{n \left( n +1\right)}{2}\times r \\
& =(n+1) \left(\frac{2 u_0+ nr}{2}\right) \\
& =(n+1) \left(\frac{u_0+ u_n}{2}\right) \\
 	\end{split}
 	\]
\section{Suites géométriques}

\subsection{Définition}

\cadreR{Dire qu'une suite $\left( u_n \right)$ est  géométrique signifie qu'il existe un nombre réel $q$ non nul tel que, pour tout entier $n$, \[u_{n+1} = q \times u_{n}\]

Le réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.
}

\medskip

La raison d'une suite géométrique est un réel indépendant de $n$.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(.5,-.2)(11,.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linecolor=bleu,linewidth=1pt](0.5,0)(11,0)
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=1.5,linewidth=0.5pt, linecolor=prune,fillcolor=white,nodesep=3pt}
\def\fct{1.4 xUn mul}% 
\pstVerb{/xUn 1 def}% u0 
\multido{\n=0+1}{6}{% 
\uput[d](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{\n}$}}}
\pnode(! xUn 0){A}
\pstVerb{ /xUn \fct\space def}
\pnode(! xUn 0){B}\ncarc[arcangle=30]{->}{A}{B}\naput{\bleu{\footnotesize{$\times q$}}}
\psdot(A)\uput[d](A){\prune{\footnotesize{$u_{\n}$}}}
} 
\psdot(B)\uput[d](B){\prune{\footnotesize{$u_{6}$}}}
\pnode(10.54,0){C}\ncarc[arcangle=25,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{->}{B}{C}\naput{\bleu{\footnotesize{$\times q$}}}
\end{pspicture} 
\end{center}

Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$.

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}}

La suite $\left( u_n \right)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n=-2 \times 3 ^n$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=-2$ et de raison 3.

En effet, $u_{n+1}= -2 \times 3 ^{n+1}=-2 \times 3 ^n\times 3=3 \times u_n$.

\medskip
\subsubsection{Évolution en pourcentage}

\cadreB{
\begin{itemize}
\item Augmenter une grandeur de $t\%$ équivaut à multiplier sa valeur par $1 + \dfrac{t}{100}$.
\item Diminuer une grandeur de $t\%$ équivaut à multiplier sa valeur par $1 - \dfrac{t}{100}$.
\end{itemize}
}

\medskip

Chaque fois qu'on est confronté à une situation d'évolutions successives d'une grandeur de $t\%$, on peut définir une suite géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$ (augmentation) ou $1 - \dfrac{t}{100}$ (diminution)

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un capital de \np{2000} \euro{} est placé au taux d'intérêt composé de 0,75 \% par an. 

On note $C_n$ le capital disponible au bout de $n$ années alors : \[C_{n+1}= C_n  \times \left( 1 +  \dfrac{0,75}{100}\right)  = 1,0075 \times C_n\]

Ainsi, la suite $\left( C_n \right)$ est une suite géométrique de premier terme $C_0= 2000$ et de raison $q= 1,0075$.

\item Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de $4 \%$ par an. En 2016, la quantité de rejets était de \np{50000} tonnes.

On note $r_n$ la quantité de rejets l'année $2016+n$ d'où : \[r_{n+1}= r_n \times \left( 1-  \dfrac{4}{100}\right) = 0,96 \times r_n\]

Ainsi, la suite $\left( r_n \right)$ est une suite géométrique de premier terme $r_0=50000$ et de raison $0,96$.
\end{enumerate}

\subsection{Relations entre les termes}

\subsubsection{Expression explicite}

\cadreR{Le terme général d'une suite géométrique  $\left( u_n \right)$ de raison $q$ et de premier terme $u_0$ est  $u_{n} = u_{0} \times q^n$.
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{illustration}}}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(.5,-.6)(11,.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linecolor=bleu,linewidth=1pt](.5,0)(4.25,0)\psline[linecolor=bleu,linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](4.25,0)(7,0)\psline[linecolor=bleu,linewidth=1pt](7,0)(11,0)
\psset{dotstyle=Bo,dotscale=1.5,linewidth=0.5pt, linecolor=prune,fillcolor=white,nodesep=3pt}
\def\fct{1.4 xUn mul}% 
\pstVerb{/xUn 1 def}% u0 
\multido{\n=0+1}{5}{% 
\uput[d](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{\n}$}}}
\pnode(! xUn 0){A}
\pstVerb{ /xUn \fct\space def}
\pnode(! xUn 0){B}\ncarc[arcangle=30]{->}{A}{B}\naput{\bleu{\footnotesize{$\times q$}}}
\psdot(A)\uput[d](A){\prune{\footnotesize{$u_{\n}$}}}
} 
\pnode(7.529,0){A}\pnode(10.541,0){B}\ncarc[arcangle=30]{->}{A}{B}\naput{\bleu{\footnotesize{$\times q$}}}\psdot(A)\uput[d](A){\prune{\footnotesize{$u_{n-1}$}}}
\psdot(B)\uput[d](B){\prune{\footnotesize{$u_{n}$}}}
\pnode(1,0){A}\ncbar[angle=-90,nodesep=12pt]{->}{A}{B}\nbput{\prune{$\times q^n$}}
\end{pspicture} 
\end{center}

$\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ :\[\begin{split}
u_1 &= u_0\times q\\
u_2 &= u_1\times q= (u_0\times q)\times q= u_0\times q^2\\
u_3 &= u_2\times q= (u_0+\times q^2)\times q= u_0\times q^3\\
\end{split}\]

On admet que cette propriété s'étend de proche en proche à tout entier $n$ : \[
u_n = u_{n-1}\times q= (u_0\times q^{n-1})\times q= u_0\times q^n\]


Réciproquement, si la suite $\left( u_n \right)$  est définie pour tout entier $n$ par $u_{n} = a \times q^n$ où $a$ et $q$ sont des réels, alors pour tout entier $n$, \[u_{n+1} = a\times q^{n+1}=a \times q^n \times q= u_n\times q\]

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}}

\medskip

L'objectif du groupe industriel de l'exemple précédent, est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à \np{30000} tonnes (soit une réduction de 40\%). Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans ?

Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : \[r_{10}= 50000\times 0,96^{10} \approx 33242\]

Avec un réduction de 4 \% par an, en 2026 l'objectif du groupe industriel ne sera pas atteint.

\medskip

 
\subsubsection{Propriété}

\cadreR{
Si  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ alors pour tout entier $n$ et pour tout entier $p$, \[u_{n} = u_{p}\times q^{n-p}\]
}

\dem

Soit $\left( u_n \right)$  une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$, \[u_{n}=u_0\times q^n = u_0\times q^p\times q^{n-p}= u_{p}\times q^{n-p}\]

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}


Cette relation est utile lorsqu'une suite géométrique est définie à partir d'un certain rang ou lorsque l'on cherche la raison d'une suite géométrique dont on connaît deux termes.

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}}

\medskip

$\left( u_n \right)$ est une suite géométrique telle que $u_6=2$ et $u_9=\dfrac{1}{4}$.

Pour déterminer la raison $q$ de la suite $\left( u_n \right)$ on utilise la relation :\[u_9=u_6\times q^{9-6}\]

Soit $q$ solution de l'équation \[\dfrac{1}{4}=2\times q^3 \iff q^3 = \dfrac{1}{8} \iff q= \dfrac{1}{2}\]
Ainsi, $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

\subsection{Monotonie}

Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ donc :
	 \[ \begin{split} 
u_{n+1} - u_n & = u_0 \times q^{n+1} -u_0 \times q^{n}\\
& = u_0 \times q^n \times  (q-1)\\
 	\end{split}
 	\]
La monotonie de la suite dépend du signe de $u_0$, $q^n$ et $(q-1)$  
\begin{itemize}
	\item Si $ q < 0$ alors $q^n$ est positif pour $n$ pair, négatif pour $n$ impair donc la suite n'est pas monotone.
	\item Si $ q > 0$ alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit $u_0 \times (q-1)$ .
\end{itemize}	
 
 \medskip
 	
 	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 	 \multicolumn{2}{|c}{Si $q >1$}\rule[-2ex]{0pt}{6ex} & \multicolumn{2}{|c|}{Si $0<q <1$}\\ \hline
 	 Si $u_0 > 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est croissante 


\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-1)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(-.9,-1)(8,7)
 \uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,7){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\psset{dotstyle=Bo, linecolor=prune,fillcolor=white}
\def\f{.4 2 sqrt  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 

 	 & Si $u_0 < 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est décroissante
 	 

\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(8,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-7)(8,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(-.9,-7)(8,1)
 \uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,1){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
 \psset{dotstyle=Bo, linecolor=prune,fillcolor=white}
\def\f{.4 neg 2 sqrt  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 

 & Si $u_0 > 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est décroissante  
 
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-1)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(-.9,-1)(8,7)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}} \uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,7){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\psset{dotstyle=Bo, linecolor=prune,fillcolor=white}
\def\f{6.5 2 sqrt 2 div  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 
 
 & Si $u_0 < 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est croissante 


\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(8,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-7)(8,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(-.9,-7)(8,1)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,1){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\psset{dotstyle=Bo, linecolor=prune,fillcolor=white}
\def\f{6.5 neg 2 sqrt 2 div  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 

\\ \hline
 	\end{tabularx}
 	
 \medskip
 
 	Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants
 	
 	\medskip
 	
\textsf {\textsc{\small {théorème 1}}}

\medskip

\cadreR{Soit  $q$ un réel non nul. 
\begin{itemize}
	\item  Si  $ q < 0$ alors la suite $\left( q^n \right)$ n'est pas monotone.
	\item  Si  $ q > 1$ alors la suite $\left( q^n \right)$ est strictement croissante.
	\item  Si  $ 0< q < 1$ alors la suite $\left( q^n \right)$ est strictement décroissante.
 \item  Si  $ q = 1$ alors la suite $\left( q^n \right)$ est constante.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small {théorème 2}}}

\medskip

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ non nulle et de premier terme $u_0$ non nul
\begin{itemize}
	\item Si  $ q < 0$ alors la suite $\left( u_n \right)$ n'est pas monotone.
	\item Si  $ q > 0$ et  $ u_0 > 0$ alors la suite $\left( u_n \right)$ a le même sens de variation que la suite $\left( q^n \right)$.
	\item Si  $ q > 0$ et  $ u_0 < 0$ alors la suite $\left( u_n \right)$ a  le sens de variation contraire de celui de la suite $\left( q^n \right)$.
\end{itemize}
}

\subsubsection{Recherche d'un seuil à l'aide d'un algorithme}

{\textsf{\textsc{\small{exemple 1}}}}

\medskip

Soit $\left(r_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=0,96$ et de premier terme $r_0=\np{50000}$

Comme $r_0>0$ et $0<0,96<1$ on en déduit, que la suite $\left(r_n\right)$ est décroissante.

L'algorithme suivant permet d'obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à \np{30000}.

C'est à dire déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout entier $n \geqslant N$ , $\np{50000}\times 0,96^n < \np{30000}$

\medskip

\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$R \gets \np{50000}$

$N \gets  0$

Tant que $R \geqslant \np{30000}$

\begin{itemize}
\item[] $N \gets N+1$
\item[] $R \gets 0,96 \times R$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\hfill {\small{ \begin{tabularx}{.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 \multicolumn{2}{|c|}{PROGRAMME}\\ \hline 
TEXAS & CASIO \\ \hline
\texttt{\begin{tabular}{@{ : }l}
\multicolumn{1}{l}{PROGRAM : SEUIL} \\ 
50000 $\rightarrow$  R\\
0 $\rightarrow$  N\\
While R $\geq$ 30000\\
N + 1 $\rightarrow$  N\\
0.96*R $\rightarrow$  R\\
End\\
Disp N\\
\end{tabular}}
 & \texttt{\begin{tabular}{l}
\multicolumn{1}{c}{===== SEUIL =====} \\ 
50000 $\rightarrow$  R  \fvalid\\
0 $\rightarrow$  N \fvalid\\
While R $\geq$ 30000 \fvalid\\
N + 1 $\rightarrow$  N \fvalid\\
0.96*R $\rightarrow$  R \fvalid\\
WhileEnd \fvalid\\
N\\
\end{tabular}} \\ \hline
 \end{tabularx} 
}
\medskip

Initialisation des variables $R$ et $N$ : $R=\np{50000}$ et $N= 0$.

Traitement : tant que la condition $R\geqslant\np{30000}$ est vraie, on effectue la suite d'instructions situées à l'intérieur de la boucle "{\small\textsc{\textsf{\textbf{Tant que}}}}" et "{\small\textsc{\textsf{\textbf{Fin Tant que}}}}"

\medskip

\def\xstrut{\vphantom{\small\textsc{\textsf{vrai}}}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l*{4}{>{\raggedright \arraybackslash}X}l}
$R\geqslant\np{30000}$ ? & \rnode{a0}{\psframebox{\small\textsc{\textsf{vrai}}}} 
& \rnode{a1}{\psframebox{\small\textsc{\textsf{vrai}}}}
& \rnode{a2}{\psframebox{\small\textsc{\textsf{vrai}}}}
& \rnode{a3}{\psframebox{\small\textsc{\textsf{vrai}}}} 
& \rnode{a4}{\psframebox{\small\textsc{\textsf{\textbf {faux}}}}}\\
&  {\small{\medskip\begin{itemize}
\item[] $N= 1$
\item[] $R=\np{48000}$
\end{itemize}}}
\rnode{b1}{} \ncangle[angleA=0,angleB=-180]{*->}{b1}{a1}
& {\small{\medskip\begin{itemize}
\item[] $N= 2$
\item[] $R= \np{46080}$
\end{itemize}}}
\rnode{b2}{} \ncangle[angleA=0,angleB=-180]{*->}{b2}{a2}
&{\small{\medskip\begin{itemize}
\item[] $\cdots$
\item[] $\cdots$
\end{itemize}}}
\rnode{b3}{} \ncangle[angleA=0,angleB=-180, linestyle=dashed]{*->}{b3}{a3}
&{\small{\medskip\begin{itemize}
\item[] $N= 13$
\item[] $R \approx 29410,1$
\end{itemize}}}
\rnode{b4}{} \ncangle[angleA=0,angleB=-180]{*->}{b4}{a4}
&
\rnode{b5}{\psframebox{\parbox{2.3cm}{\centering{\small\textsc{\textsf{sortie boucle}}

\small\textsc{\textsf{tant que}}}
}} } \ncangle[angleA=0,angleB=90]{->}{a4}{b5}\\
 \end{tabularx} 

Sortie :

La calculatrice affiche 13. Donc pour tout entier $n \geqslant 13$, on a $50000\times 0,96^n \leqslant 30000$.

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple 2}}}}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison 1,015 et de premier terme $u_0=\np{2000}$.

Comme $1,0075>1$ et $u_0>0$ on en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

L'algorithme suivant permet d'obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieur ou égal à \np{2300}.

C'est à dire déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout entier $n \geqslant N$, $\np{2000}\times 1,0075^n \geqslant \np{2300}$.

\medskip

\begin{center}

\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U \gets \np{2000}$

$N \gets  0$

Tant que $U < \np{2300}$

\begin{itemize}
\item[] $U \gets 1,0075 \times U$
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}

\end{center}

La valeur de la variable $N$ obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme est 19. 

Donc pour tout entier $n \geqslant 19$ on a $u_n \geqslant \np{2300}$. Soit pour tout entier $n \geqslant 19$,  $2000\times 1,0075^n \geqslant \np{2300}$.

\subsection{Somme de termes consécutifs}
\subsubsection{Somme des puissances successives}

\cadreR{Soit  $q \ne 1$ un réel et  $n$ un entier naturel. La somme $ 1 + q + q^2 +\cdots + q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
}

\dem

On pose $S= 1 + q + q^2 +\cdots + q^n$, d'où $qS= q + q^2 + q^3 +\cdots + q^{n+1}$

$S-qS= 1-q^{n+1}$ soit $\left(1-q\right)S= 1-q^{n+1}$. Comme $q \ne 1$, on en déduit que $S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

Si $q=1$, $S=1 +1 +1+\cdots + 1$. $S$ est la somme de $n+1$ termes égaux à 1 d'où $S=n+1$.

\subsubsection{Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique}

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q \ne 1$ et de premier terme $u_0$ alors pour tout entier $n$, \[ u_0  +  u_{1} + u_{2} + \cdots + u_n =\sum_{i=0}^{n} u_{i} = u_0 \times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
}

\medskip

Cette formule peut se retenir de la façon suivante :

\medskip

\cadreB{
La somme $S$ de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \ne 1$  est :\[S= \text{premier terme } \times \frac{1- q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\]
}

\dem


$\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $q \ne 1$ et de premier terme $u_0$ donc \[\begin{split} u_0  +  u_{1} +u_{2} + \cdots + u_n &=u_0 + u_0\times q  + u_0\times q^2 +\cdots u_0\times q^n\\ & = u_0 \times \left(1 + q + q^2 +\cdots + q^n\right)\\ &= u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\end{split}\]

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
 \exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Exprimer par une formule de récurrence la suite $\left(u_n\right)$ définie par le procédé suivant :
	
	\og Le terme initial est 4, un terme est égal à la somme du double du précédent et de 5 \fg
	
	\item La suite $\left(v_n\right)$ de terme initial 2, est définie par le procédé suivant :

\og Un terme est égal à l'inverse du précédent, augmenté de 1 \fg. 

Exprimer cette suite par une formule de récurrence.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que :   pour tout entier $n$,  $u_n=\dfrac{3n+4}{n+1}$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
	\item Exprimer en fonction de $n$ : $u_{n-1}$ ; $u_n -1$, $u_{n + 2}$ ;  $u_n + 2$ ; $u_{2 n-1}$ ; $2u_n - 1$ ; $u_{2n}-1$.
	\item Exprimer en fonction de $n$ le terme de rang $n + 1$.
\end{enumerate}

\bigskip	

\exo 

 \medskip 
 
 Soient $\left( u_n \right)$ et $\left( v _n \right)$ les suites définies pour tout  entier $n$ par :\[u_n=\dfrac{n^4}{60}-\dfrac{n^3}{10}+\dfrac{11n^2}{60}+\dfrac{19n}{10}-3 \quad\text{ et }\quad v_n=\dfrac{18n-28}{3n^2+12}+\dfrac{n^2}{3}-\dfrac{2}{3}\]
 
\begin{enumerate}
	\item Calculer les cinq premiers termes des suites $\left( u_n \right)$ et $\left( v _n \right)$
	\item Les deux suites $\left( u_n \right)$ et $\left( v _n \right)$ sont-elles égales ?
\end{enumerate}
  
 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 
	
\begin{enumerate}
\item  Soit $\left( u_n \right)$ la suite définie  pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}= 16 \times 0,5^n -1$. 

Calculer  $u_4$ et $u_6$.
\item   $\left( v_n \right)$ est la suite définie  par $v_0 =60$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= \dfrac{v_n}{3} -\dfrac{1}{2}$. 

Calculer  $v_4$ et $v_8$.

\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo 

 \medskip 
 
 Soient $\left( u_n \right)$ la suite définie par $u_0=200$ et pour tout  entier $n$, $u_{n+1}=0,8 u_n + 15$
 
\begin{enumerate}
	\item Calculer les cinq premiers termes de la suite $\left( u_n \right)$.
	\item On considère la suite $\left( v _n \right)$ définie pour tout entier $n$ par $v _n=125\times 0,8^n+75$.
	
	Les deux suites $\left( u_n \right)$ et $\left( v _n \right)$ sont-elles égales ?
\end{enumerate}
  
 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 
 
 Étudier le sens de variation des suites suivantes en comparant $u_{n+1}$ et $u_n$
 
\begin{enumerate}
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n= 1-\dfrac{2}{n +1}$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par $u_n = \dfrac{n+1}{n}$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n= n^2 -n-2$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n= 2^n-3$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie  pour tout entier $n$ par $u_{n}= 16 \times 0,5^n -1$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie  pour tout entier $n$ par $u_{n}= 0,5\times\left(-2\right)^n$.
\end{enumerate}
  
 \bigskip

 
\exo 

 \medskip 
 
 Étudier le sens de variation des suites suivantes en calculant le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
 
\begin{enumerate}
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie  pour tout entier $n$ par $u_{n}= 5\times \dfrac{2^n}{3^n}$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie  pour tout entier $n$ par $u_{n}= n \times 2^n$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie  pour tout entier $n$ par $u_{n}= \dfrac{n}{2^n}$.
\end{enumerate}
  
 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 
 
 Étudier le sens de variation des suites suivantes.
 
\begin{enumerate}
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n=\dfrac{2n-5}{3n +2}$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par $u_n =  \dfrac{n}{n^2+1}$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n =  \dfrac{n^2}{n^2+1}$.	
\end{enumerate}
  
 \bigskip
 
 \exo 

 \medskip 
 
 Étudier le sens de variation des suites suivantes.
 
\begin{enumerate}
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie par $u_0=3$ et pour tout entier $n$,  $u_{n+1}= 3u_n$.
	\item $\left( v_n \right)$ est la suite définie par $v_0=2$ et pour tout entier $n$,  $v_{n+1}= \dfrac{v_n}{2}$.
	\item $\left( w_n \right)$ est la suite définie par $w_0=-2$ et pour tout entier $n$,  $w_{n+1}= {w_n}^2+w_n+2$.
\end{enumerate}
  
 \bigskip
 
 \exo 

 \medskip 
 
 Dans le plan muni d'un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 0,4x+3$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.
 \begin{enumerate}
	\item Soit  $\left(u_n \right)$  la suite définie par $u_0 = -3$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = 0,4 u_n +3$.
\begin{enumerate}	
	\item Dans le repère précédent, placer $u_{0}$ sur l'axe des abscisses puis, en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ et $u_{4}$. 
	\item Quelle conjecture peut-on émettre sur les variations de la suite $\left(u_n \right)$ ?
	\end{enumerate}
	\item Soit  $\left(v_n \right)$  la suite définie par $v_0 = 14$ et pour tout entier $n$, $v_{n+1} = 0,4 v_n +3$.
\begin{enumerate}
	\item Dans le repère précédent, construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite $\left(v_n \right)$. 
	\item Quelle conjecture peut-on émettre sur les variations de la suite $\left(v_n \right)$ ?
	\end{enumerate}
	\item Peut-on choisir une valeur $a$ pour laquelle la suite $\left(w_n \right)$ définie par $w_0 = a$ et pour tout entier $n$, \mbox{$w_{n+1} = 0,4 v_n +3$}  est stationnaire ?
\end{enumerate}

\exo

\medskip

$(u_n)$  est une suite arithmétique de raison $-\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $u_0=81$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_{3}$ et  $u_{10}$ 
	\item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
	\item Déterminer le premier terme négatif de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Préciser si les suites suivantes définies pour tout entier naturel $n$,  sont arithmétiques ou non. Si oui, préciser le premier terme et la raison.

\begin{enumerate}
	\item $u_{n} =3-2n$
	\item $u_{n} =n^2-{\left(n -\dfrac{5}{2}\right)}^2+9$.
	\item $u_{n} =n^2-n$.
	\item $u_{n} =2n+(-1)^n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont calculés par l'algorithme suivant pour un entier $N$ saisi par l'utilisateur.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=.75em]{
\begin{minipage}{.25\linewidth}
\footnotesize{
$U \gets (-15)$

Pour $I$ variant de 1 à $N$

\medskip

\hspace{1em}$U \gets \dfrac{3U +5}{3}$

\medskip

Fin Pour
}
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Exprimer  $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle une suite arithmétique ?
\item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $u_{5}$ et  $u_{12}$.
\item Déterminer le premier terme de la suite $(u_n)$ supérieur à 150.
\end{enumerate}	

\bigskip

\exo

\medskip

$(u_n)$  est la suite définie par $u_0= 5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{2u_n+3}$.

La suite $(v_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\dfrac{1}{u_n}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ et les quatre premiers termes de la suite $v_{n}$.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite  $(v_n)$ est arithmétique.
\item Exprimer le terme général $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
\begin{minipage}{11cm}%
La droite $\mathcal{D}$ a pour équation $y=\dfrac{8}{15}x +1$.


On considère les suites  $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ où  $a_n$ et  $b_n$ sont respectivement l'aire et le périmètre du trapèze hachuré.
\begin{enumerate}
	\item Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
	\item Les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont-elles arithmétiques ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{5cm} %
\begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,5.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1+8*x/15}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{4}{5}{\f} \gsave
\psline(5,0)(4,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=white,addfillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(8,5.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0} 
\uput[dl](8,0){\footnotesize {$x$}} \uput[dl](0,5.5){\footnotesize{$y$}}
\psline[linecolor=prune,linewidth=.75pt](5,0)(5,3.66)
\psline[linecolor=prune,linewidth=.75pt](4,0)(4,3.13)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
\uput[d](5,0){\prune{\footnotesize{$n+1$}}}\uput[d](4,0){\prune{\footnotesize{$n$}}}\uput[ul](8,5.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\bigskip

\exo

\medskip

$(u_n)$  est une suite arithmétique définie pour tout entier naturel $n$. 

Dans chacun des cas suivants, déterminer la raison et l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ 

\begin{enumerate}
	\item $u_{7} =-6$,  $u_{12} =0$.
	\item $u_{6} =-\dfrac{3}{2}$,  $u_{9} = \dfrac{3}{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

$(u_n)$  est une suite arithmétique de raison $r$

\begin{enumerate}
	\item $u_{8} =12$,  $u_{40} =48$. Calculer $u_{18}$.
	\item $u_{5} =39$,  $u_{35} = 3$. Calculer $u_{97}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

 $(u_n)$  est une suite arithmétique de raison $a$, déterminer l'entier $k$ dans chacun des cas suivants :

\begin{enumerate}
	\item $u_{21} =32$,  $a = 1,5$  et  $u_k = 5$
	\item $u_{10} =64$,  $u_5 = 14$  et  $u_k =114$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

$(u_n)$  est une suite arithmétique telle que $u_5=-2$ et $u_9=-5$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{2}{3}u_n+6$.

Montrer que la suite $(v_n)$  est une suite arithmétique et donner sa raison.
\item Montrer que la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $w_n=u_{4n}+2$  est une suite arithmétique et donner sa raison.

\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer 9 nombres impairs consécutifs telle que leur somme est égale à 234.
\item Déterminer la somme des multiples de 13 inférieurs à 200.
\item Calculer la somme $s=\dfrac{1}{3}+1+\dfrac{5}{3}+\dfrac{7}{3}+3+\cdots +\dfrac{37}{3}+13$ de termes consécutifs d'une suite arithmétique.
\item $(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_4+u_5+\cdots+u_{12}=27$ et $u_{6}=2$. Calculer $u_0$ et la raison $r$.
\item Calculer la somme $S$ des 100 premiers termes de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n= 6n-5$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique telle que $u_9=32$ et $u_{11}=18$. Calculer $u_{10}$.
\item $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q \ne 1$ telle que $u_0=4$ et $2u_{2}=5u_1-3u_0$. Calculer $u_{5}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

$a$ et $c$ sont deux réels strictement positifs. Déterminer en fonction de $a$ et $c$ le réel positif $b$ tel que $a$, $b$ et $c$ soient dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

\bigskip

\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique définie pour tout entier $n$ par $u_n=5 \times 0,96^n$.

\begin{enumerate}
\item Donner le premier terme $u_{0}$ et la raison de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
\item $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 0,15$ et de raison 1,2. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U \gets \cdots$

$V \gets 0,15$

$N \gets  0$

Tant que $U \cdots$

\begin{itemize}
\item[] $U \gets \cdots$
\item[] $V \gets 1,2 \times V$
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac})

 \medskip 

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth} 
\emph{La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.}

\emph{En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $\np{1900}$ km ; sa puissance électrique initiale est de $\np{6400}$~MW ; le courant est transporté sous une tension de 800 kV.}

\end{minipage}}
 
 \medskip
 
Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3\,\% pour une distance de 100~kilomètres.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}}}

\medskip
 
On note $p_{0} = \np{6400}$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de 100~km.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$. 
\item Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$~km ? 
\item Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
\item Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ?
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}}}

\medskip
 
On considère l'algorithme ci-dessous :
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$p \gets \np{6400}$

$q \gets  0,997$

Pour $I$ variant de 1 à $n$ 

\begin{itemize}
\item[] $p \gets p \times q$
\end{itemize}
Fin Pour
\end{minipage}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$.
 
Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut).
\begin{center}
\newrgbcolor{gris}{.895 .895 .895}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&$n$ &$q$ &$p$\\ \hline \hline 
\multicolumn{1}{|c|}{Entrées et initialisation}&3 &0,997 &\np{6400}\\ \hline 
1\up{er} passage dans la boucle de l'algorithme & \cellcolor{gris} & \cellcolor{gris} & \\ \hline  
2\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme &\cellcolor{gris} & \cellcolor{gris} & \\ \hline 
3\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme &\cellcolor{gris} & \cellcolor{gris} & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme. 
\item Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$~km ?
\item D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude. On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7\,\% sur ces lignes. 

La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ?
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 

Pour  respecter une nouvelle norme antipollution, un groupe industriel s'engage à réduire chaque année sa quantité de rejets de 5\%.

En 2015, la quantité de rejets était de \np{40000} tonnes.

\begin{enumerate}
	\item Quel a été la quantité de rejets en 2017 ?
	\item Pour tout entier naturel $n$, on note $r_n$ la quantité, en tonnes, de rejets pour l'année $(2015+n)$.

	On a donc $r_0= \np{40000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$. En déduire la nature de la suite $\left(r_n\right)$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $r_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
	\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(r_{n}\right)$.
	\item La direction du groupe industriel souhaite connaître l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets aura diminué d'au moins 40\%.
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets aura diminué d'au moins 40\%.
		
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$R \gets \np{40000}$

$N \gets  0$

Tant que $R > \cdots$

\begin{itemize}
\item[] $R \gets \cdots$
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
		\item Quelle est la valeur de la variable $N$ calculée par cet algorithme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 

Un véhicule hybride est équipé d'une batterie Li-ion dont la capacité d'énergie massique est de 180 Wh/kg.

La vie de cette batterie a été reconstituée en laboratoire en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer sa durée de vie en fonction de différents facteurs et partant du principe que la batterie est jugée \og inutilisable \fg{} dès lors qu'elle perd plus de 20\,\% de sa capacité d'énergie massique.

Les résultats obtenus ont permis d'établir que la capacité d'énergie massique de la batterie diminue de 1,4\,\% par an.

Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ la capacité d'énergie massique en Wh/kg de la batterie au bout de $n$ années. 

On a donc $C_0=180$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $C_1$. Interpréter le résultat.
\item Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
\item Justifier que $C_n = 180 \times 0,986^n$.
\end{enumerate}
\item On cherche à déterminer à l'aide d'un algorithme au bout de combien d'années, cette batterie devient \og inutilisable \fg{}.

On propose l'algorithme suivant :
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$C \gets 180$

$N \gets  0$

Tant que \ldots

\begin{itemize}
\item[] $C \gets \cdots$
\item[] $N \gets \cdots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter la partie relative au traitement.
\item Au bout de combien d'années, cette batterie devient \og inutilisable \fg{} ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 


Le Phosphore 32 est un isotope radioactif du phosphore utilisé en médecine pour le traitement de certaines maladies. 

On injecte à un patient une solution contenant $4\times 10^{15}$ noyaux de Phosphore 32. 

On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 4,8\,\%.
 
On note $u_{n}$ le nombre de noyaux  au bout de $n$ jours. On a donc $u_0=4\times 10^{15}$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$. 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item Écrire un algorithme qui permette de déterminer à partir de combien de jours le nombre de noyaux aura diminué au moins de moitié.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
  \exo

\medskip 

Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s'y déroulent. 

Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population. 

Une étude de marché estime à \np{1200} le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2\,\% chaque semaine pour les éditions suivantes. 

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus $n$ semaines après le début de l'opération. On a donc $u_0 = \np{1200}$. 


\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre $u_1$ de journaux vendus une semaine après le début de l'opération. 
\item Vérifier que $u_{n+1} = 1,02 \times  u_n$ pour tout entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item Écrire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Calculer le nombre de journaux vendus la douzième semaine après le début de l'opération. 
\item L'agence souhaite dépasser les \np{3000} journaux vendus par semaine. Voici un algorithme : 

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U \gets \np{1200}$

$N \gets  0$

Tant que $U < \np{3000}$

\begin{itemize}
\item[] $U \gets 1,02 \times U$
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $N$ calculée par cet algorithme. 
		\item Interpréter le résultat précédent. 
	\end{enumerate}
\item Calculer $S=u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{51}$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac})

 \medskip 


Au 1\up{er} janvier 2014, un particulier installe $20 \mathrm{m}^2$ de panneaux photovoltaïques à son domicile. 

Pour estimer la rentabilité de cette installation, il utilise la documentation suivante :

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
En France $1 \mathrm{m}^2$ de panneaux photovoltaïques correctement orientés produit environ 95 kWh/an.

La première année, une installation produit effectivement cette quantité et on estime que la perte de rendement est de 3\,\% par an.

La rentabilité financière est assurée à partir du moment où la quantité totale d'énergie produite depuis le début de l'installation dépasse \np{20000} kWh
\end{minipage}}

\medskip

Pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $u_n$ la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année $2014 + n$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la quantité d'énergie produite en 2014 et la quantité d'énergie produite en 2015.
		\item Vérifier que $u_{n+1} = 0,97 \times  u_n$ pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\item Quelle estimation, à la dizaine de kWh près, peut-on donner de la quantité d'énergie produite en 2044 ?

\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On considère l'algorithme ci-dessous :
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$u \gets \np{1900}$

$S \gets \np{1900}$

$n \gets  0$

Tant que $S< \np{20000}$

\begin{itemize}
\item[] $n \gets n+1$
\item[] $u \gets u \times 0,97$
\item[] $S \gets S+u$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
		\item La valeur affichée en exécutant cet algorithme est 12. Que signifie ce résultat ?

\item On estime que la durée de vie de l'installation sera d'environ 25 ans.
	
Calculer $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo 

 \medskip 


\begin{enumerate}
\item L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite $\left(u_{n}\right)$.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U \gets \np{750}$

Pour $I$ variant de 1 à $N$ 

\begin{itemize}
\item[] $U \gets 0,4 \times U$
\end{itemize}
Fin Pour
\end{minipage}
}
\end{center}
 
Quelle est la valeur calculée cet algorithme lorsque l'on saisit $N = 1$, puis $N = 2$ et enfin $N = 3$ ? 
\item \begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression du terme $u_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $S_{n} =  u_{0} + u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n}$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $S_{3}$. 
		\item Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il calcule la valeur du terme $S_{n}$ pour un entier $n$ donné ? 
		\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. 
		\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1760$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1} = 0,65u_{n} +861$.
 
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle une suite géométrique ?
\item Soit $\left(v_{n}\right)$  la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 2460$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		
		En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n} = 2460 -700\times  0,65^n$.
	\end{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une étude réalisée sur le nombre d'emplacements de camping d'une région touristique a permis d'établir que la demande d'emplacements peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre d'emplacements l'année $2017 + n$. 

\begin{enumerate}
\item Un réaménagement de l'offre d'emplacements de camping sera nécessaire dès que la demande dépassera \np{2400} emplacements.

On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U \gets \np{1760}$

$N \gets  0$

Tant que  $U \leqslant \np{2400}$

\begin{itemize}
\item[] $N \gets N+1$
\item[] $U \gets 0,65 \times U + 861$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
			\item Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité. 
			
			\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-5}
Valeur de $N$				&0	& 1	& \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
Valeur de $U$				& \np{1760}  & & \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
Condition $U \leqslant \np{2400}$	& Vraie & & \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Donner la valeur affectée à la variable $N$ à la fin de l'exécution de cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}
		\item Selon ce modèle, est-il possible d'envisager une demande supérieure à \np{2500} emplacements ?
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter*{DST 1\textsuperscript{re} ES 2 (2017-2018)}
\addstarredchapter{CONTRÔLES (2017-2018)}

\minitoc

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 1}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 28 septembre 2017} 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Après une hausse de 8\,\% le prix d'un article est de 351\,\euro. Quel était le prix de cet article avant la hausse ?	
	\item Après une baisse de 6\,\% le prix d'un article est de 329\,\euro. Quel était le prix de cet article avant la baisse ? 
	\item Le cours d'une action a successivement augmenté de 15\,\% puis baissé de 20\,\%.
	\begin{enumerate}
	 \item Quel est le pourcentage d'évolution global  de cette action ?
	 \item Si le cours initial de cette action était de 145 euros, quel sera son cours final ? 
	 \item Quel devra être le taux du pourcentage d'évolution pour que cette action retrouve son cours initial ?
	 \end{enumerate} 
\end{enumerate}	

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par $f(x)= ax^2 +bx +c$  avec $a \ne 0$ dont le tableau de variation est :

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10,2.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2.8)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,2.8)
\rput(0.75,2.4){$x$} \rput(2,2.4){$- \infty$} \rput(5.75,2.4){$0$} \rput(9.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,.4){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1.6){\rnode{B}{$1$}} \rput(9.5,.4){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}

Parmi les propositions suivantes  quelles sont celles qui sont exactes ?

\begin{enumerate}
	\item $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$.
	\item $a < 0$ et $\mathrm{\Delta}=0$.
	\item $a < 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$.
	\item $b = 0$ et $c =1$.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ coupe l'axe des abscisses en deux points.
	\item L'équation $f(x)= 0$ admet une seule solution.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Donner le tableau des variations de chacune des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)= -\dfrac{1}{2}x^2+4x -1$
		\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)= 2x^2-6x+\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
	
\begin{enumerate}
\item $3x^2-x-2=0$
\item $-6x^2+x+2=0$
\item $(2x+3)^2=(1-3x)^2$
\item $5x^2-9x+3=4x^2-8x+2$
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 2}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 20 octobre 2017} 

\begin{center}
\textbf{\blue{\textsf{SUJET A}}}
\end{center}


\exo 

 \medskip
 
 Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :
 
 \begin{enumerate}
 \item $9-3x-2x^2 \geqslant 0$.
 \item $3x^2-2x-1 \geqslant 0$.
 \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
 \exo 

 \medskip 

L'offre et la demande désignent respectivement la quantité d'un bien ou d'un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.

Une étude concernant un article A a permis d'établir que :
\begin{itemize}
	\item la fonction d'offre $f$ est donnée par $f(x)=0,2x^2-0,4x+1,2$
	\item la fonction demande $g$ est donnée par $g(x)=0,2x^2-5,2x+34,8$
\end{itemize}

 où $f(x)$ et $g(x)$ sont les prix d'un article en euros, pour une quantité $x$ comprise entre 1 et 12 millions d'unités.
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-4,-1)(28,17) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.2*x^2-.4*x+1.2}
\def\g{.2*x^2-5.2*x+34.8}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(26,16) 
\psset{xunit=1cm, yunit=.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(13,32)
\uput[dl](0,33){\footnotesize{Prix (en \euro)} } 
\rput(13.2,.5){\footnotesize{Quantité} } 
\rput(13.2,-.5){\footnotesize{(en millions)} } 
\rput(1.5,31.5){\scriptsize{\prune{Courbe de demande}}} 
\rput(1.5,30.5){\scriptsize{\prune{du marché}}}
\rput(12.5,27.5){\scriptsize{\bleu{Courbe d'offre}}} 
\rput(12.5,26.5){\scriptsize{\bleu{du marché}}}    
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{12}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1}{12}{\g}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}

	\item On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 17,20 \euro{}.
\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché ;
	\item Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché ;
	\item Quel problème cela pose-t-il ?
\end{enumerate}
   
\item On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.

Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)= 3x^2+2x-12$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

On considère la droite $\mathcal{D}$ représentative de la fonction affine $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=-2x+3$.
 
 \medskip
 
Sur quel(s) intervalle(s) la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la droite $\mathcal{D}$ ?
 
 \pagebreak
 
 \exo 

 \medskip 
 
Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 14 milliers d'articles.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$  définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $]0;14]$ par \[C(x)=0,5x^2+x+10,72\]La courbe représentative de la fonction $C$, notée $\mathcal{C}_T$, est donnée en annexe ci-dessous.

On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8,50~\euro. 

\begin{enumerate}
	\item Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre \np{7000} articles ou  fabriquer et vendre \np{9000} articles ?
	\item On désigne par $R(x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de $x$ milliers d'articles. On a donc $R(x)=8,5x$.
\begin{enumerate}
	\item Tracer dans le repère donné en annexe, la droite $\mathcal{D}$ représentative de la fonction recette.	
	\item Par lecture graphique déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.	
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $]0;14]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.
\begin{enumerate}	
	\item Étudier le signe de $B(x)$. En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
	\item Étudier les variations de la fonction $B$ sur $\left]0 ;14 \right]$. 
		
	En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. 	Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
	\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm}
	\begin{pspicture}(-1,0)(15,14) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x^2+x+10.72}
\def\g{8.5*x}
\rput(7,14){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(15,13) 
\psset{xunit=1cm, yunit=.08cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(15,130)
\uput[dl](15,0){$x$} \uput[dl](0,130){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{14}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{14}{\g}
\uput[ur](14,120){\bleu{$\mathcal{C}_T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\pagebreak

\begin{center}
\textbf{\blue{\textsf{SUJET B}}}
\end{center}

\setcounter{nexo}{0}
\exo 

 \medskip
 
 Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :
 
 \begin{enumerate}
 \item $6-7x-3x^2 \leqslant 0$.
 \item $2x^2-3x+1 \leqslant 0$.
 \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 

L'offre et la demande désignent respectivement la quantité d'un bien ou d'un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.

Une étude concernant un article A a permis d'établir que :
\begin{itemize}
	\item la fonction d'offre $f$ est donnée par $f(x)=0,2x^2-0,4x+1,2$
	\item la fonction demande $g$ est donnée par $g(x)=0,2x^2-5,2x+37,2$
\end{itemize}

 où $f(x)$ et $g(x)$ sont les prix d'un article en euros, pour une quantité $x$ comprise entre 1 et 12 millions d'unités.
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-4,-1)(28,19) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.2*x^2-.4*x+1.2}
\def\g{.2*x^2-5.2*x+37.2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(26,18) 
\psset{xunit=1cm, yunit=.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(13,36)
\uput[dl](0,37){\footnotesize{Prix (en \euro)} } 
\rput(13.2,.5){\footnotesize{Quantité} } 
\rput(13.2,-.5){\footnotesize{(en millions)} } 
\rput(1.5,34.5){\scriptsize{\prune{Courbe de demande}}} 
\rput(1.5,33.5){\scriptsize{\prune{du marché}}}
\rput(12.5,27.5){\scriptsize{\bleu{Courbe d'offre}}} 
\rput(12.5,26.5){\scriptsize{\bleu{du marché}}}    
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{12}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1}{12}{\g}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}

	\item On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,20 \euro{}.
\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché ;
	\item Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché ;
	\item Quel problème cela pose-t-il ?
\end{enumerate}
   
\item On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.

Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)= 3x^2-2x-10$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

On considère la droite $\mathcal{D}$ représentative de la fonction affine $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=2x+5$.

\medskip
 
Sur quel(s) intervalle(s) la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la droite $\mathcal{D}$ ?
 
 \pagebreak
 
 \exo 

 \medskip 
 
 Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 14 milliers d'articles.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$  définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $]0;14]$ par \[C(x)=0,4x^2+2x+8,1\]La courbe représentative de la fonction $C$, notée $\mathcal{C}_T$, est donnée en annexe ci-dessous.

On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8~\euro. 

\begin{enumerate}
	\item Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre \np{7000} articles ou  fabriquer et vendre \np{9000} articles ?
	\item On désigne par $R(x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de $x$ milliers d'articles. On a donc $R(x)=8x$.
\begin{enumerate}
	\item Tracer dans le repère donné en annexe la droite $\mathcal{D}$ représentative de la fonction recette.	
	\item Par lecture graphique déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.	
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $]0;14]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.	
\begin{enumerate}	
	\item Étudier le signe de $B(x)$. En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
	\item Étudier les variations de la fonction $B$ sur $\left]0 ;14 \right]$. 
		
	En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. 	Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
	\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm}
	\begin{pspicture}(-1,-.5)(15,13) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.4*x^2+2*x+8.1}
\def\g{8*x}
\rput(7,13){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(15,12) 
\psset{xunit=1cm, yunit=.08cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(15,120)
\uput[dl](15,0){$x$} \uput[dl](0,120){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{14}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{14}{\g}
\uput[dr](14,120){\bleu{$\mathcal{C}_T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 3}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 23 novembre 2017} 

\exo 

 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tous réels $a$ et $b$ positifs, $\sqrt{a}- \sqrt{b}$ est du signe de $a-b$.
\item Donner le tableau de signes de la fonction $f$ définie sur $\left[0 ;  +\infty \right[$ par $f(x)=\sqrt{x}-2$
\end{enumerate} 
 
 \bigskip
 
\exo 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction affine telle que $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=1$ et $f\left(\dfrac{13}{2}\right)=5$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
	\item Quel est le sens de variation de la fonction $f$ ?
	\item Donner le tableau de signes de la fonction $f$.	
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\sqrt{2x+3}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{3}{2} ;  +\infty \right[$
\item La courbe $\mathcal{C}_g$ représentative de la fonction $g$ est tracée ci-dessous. Tracer la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{4}$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\g{(2*x+3)^.5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(8,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1)(8,6)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{8}{\g}
\uput[l](8,4.6){\bleu{$\mathcal{C}_g$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Résoudre l'équation $\sqrt{2x+3} = \dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{4}$.
\end{enumerate}

\bigskip 
 
 \exo 

 \medskip
 
 Résoudre dans $\R$ : 
 
 \begin{enumerate}
 \item $\dfrac{1}{x} > \dfrac{2}{5}$.
 \item $-1 \leqslant x^3\leqslant 8$. 
 \end{enumerate}
 
 \pagebreak
 
\exo 

 \medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{16}-\dfrac{3}{4}x+1$ et $g(x)=-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{x}{4}+3$. 

\medskip

Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-8)(16,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \newrgbcolor{vert}{0.1 0.46 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-2)^2*(x+4)/16}
\def\g{3-x^2/8+x/4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-8)(16,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-4)(8,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5.22578}{5.22578}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-6}{8}{\g}
\uput[dr](5.3,6){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[ul](8,-2){\prune{$\mathcal{C}_g$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner le tableau de variation de la fonction $f$.
	\item \begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{(x+4)(x-2)^2}{16}$.
\item Établir le tableau de signes de $f(x)$.
\end{enumerate} 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x)=0$.

En déduire une expression factorisée de $g(x)$.
\item \begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)=\dfrac{(x+4)(x^2-2x-8)}{16}$.
\item Résoudre l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 4}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 21 décembre 2017} 

\exo

\medskip


Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\R$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$.
 
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$ passe par le point de coordonnées $\left( 3 ; -3 \right)$. 

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x+5)*(5*x-32)/(3*(x^2-x+36))}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=10](-7,-4)(8,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-4)(8,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{8}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.2,3.3)(3,-3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2.8,3)(-1.2,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.82,-2.3)(4.42,-2.3)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,3)(1,0)(5,-1.6667)(3.6225,-2.3)
\uput[ur](-7,-2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\footnotesize{\uput[u](-2,3){\bleu{$A$}}
\uput[ur](1,0){\bleu{$B$}}
\uput[d](3.62,-2.3){\bleu{$C$}}
\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$D$}}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des données de l'énoncé :
\begin{enumerate}
	\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f'(x)=0$.
	\item Déterminer $f'(1)$.

\end{enumerate}
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ d'abscisse 5 a pour équation $y=\dfrac{7}{8}x -\dfrac{145}{24}$. 

En déduire les valeurs de $f(5)$ et $f'(5)$.
\item La proposition  \og $f'(0)> 1$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ?
	\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.
	
	\medskip
	
	\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(51*x^2+79*x-1362)/2464}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{6.332}{\f}
\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(400*x-1449)/1049}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.477}{5.1}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(5*x^3-20*x^2+745*x-2674)/(3*(x^2-x+36)^2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{7}{\f}
\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Dans chaque cas, calculer l'expression de la dérivée de la fonction donnée.

\begin{enumerate}
\item $u$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $u(x)=  x^2 +4x +\dfrac{2}{x}$
\item $v$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $v(x)= 2 -\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x^2}$
\item $f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $f(x)=  u(x) \times v(x)$
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\displaystyle\frac{8x-3x^2}{x^2-x+1}$. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 


On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(9,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(8*x-3*x^2)/(x^2-x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-5)(9,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-5)(9,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{9}{\f}
\uput[dr](-7,-4){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,0)(9,-3)
%\psdot[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](5,-1.6667)
%\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Étudier le signe du polynôme $v(x)=x^2-x+1$.
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\displaystyle\frac{-5x^2-6x+8}{\left(x^2-x+1\right)^2}$.
	\end{enumerate} 
		\item \begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. 
		\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$ d'abscisse 5. 

Tracer sur le graphique donné, la tangente $T$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

On souhaite tracer une courbe $\mathcal{C}$ pouvant représenter une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3 ; 7]$ qui satisfait les conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item $f(-3) = -2$, $f(7) = 5$ et  $f'(7)=2$. 
\item  Le signe de la fonction dérivée $f'$ de $f$ est donné par le tableau suivant :
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(16,1.8)
\psset{linewidth=.75pt}
\psframe(16,1.8) \psline(0,1)(16,1)\psline(3,0)(3,1.8)
\rput(1.5,1.4){$x$} \rput(3.5,1.4){$-3$} \rput(7.5,1.4){$-1$} \rput(11.5,1.4){$3$} \rput(15.5,1.4){$7$} 
\rput(1.5,0.5){signe de $f'(x)$}	
\rput(5.5,0.5){$+$}  \pnode(7.5,0){m1}\pnode(7.5,1){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$-$} \pnode(11.5,0){a1}\pnode(11.5,1){a2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{a1}{a2}\ncput*{0}	\rput(13.5,0.5){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Sur l'intervalle $[-2 ; 5]$, la fonction $f$ admet un maximum égal à 4 et un minimum égal à 1.
\item La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y= -x +3$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 1. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Donner  le tableau de variations de la fonction $f$. On fera figurer dans le tableau les images par $f$ de $-3$, $-1$, 3 et 7.
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 7.
\item Dans le repère donné en annexe ci-dessous placer le point $A$ et tracer la droite $\mathcal{D}$ ainsi que  les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $-1$, 3 et 7. Tracer la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(8,7.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x^3-x^2-5*x+13)/4}
\def\g{x^2/4-3*x/2+13/4}
\rput(2.5,7.5){\textsf{\textsc{\textbf{annexe}}}}
\rput(2.5,7){(\emph{à rendre avec la copie})}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-3)(8,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(8,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-3}{1}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt,linecolor=bleu]{1}{7}{\g}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.8,4)(-.2,4)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.2,1)(3.8,1)
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.5,3.5)(2.5,.5)
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](5,1)(7,5)
%\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-3,-2)(-1,4)(1,2)(3,1)(7,5)
%\uput[ur](1,2){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 5}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 25 janvier 2018} 

\exo

 \medskip 

On a représenté ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$  représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ ainsi que les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $(-3)$ et 1. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-4)(14,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(-7*x^2+54*x+81)/(10*x^2+54)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-4)(14,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-2)(7,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{7}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-5,-1.5)(-1,-.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(.2,2)(1.8,2)
\uput[u](1,2){\bleu{\footnotesize{$B$}}} \uput[dr](-3,-1){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\uput[l](7,0.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\psdots[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-3,-1)(0,1.5)(1,2)
\end{pspicture}
\end{center}
	
\begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer graphiquement $f'(1)$ et $f'(-3)$.
	\item On sait que $f'(0)=1$. Le point de coordonnées $\left(-1 ; \dfrac{1}{2}\right)$ appartient-il à la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0 ? 
 \item La proposition $f'(-2) \leqslant f'(3)$ est-elle vraie ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

Une entreprise de produits alimentaires conditionne des pâtes dans des sachets de 500 grammes. 

On suppose que le poids du sachet vide est négligeable.

Pour vérifier le réglage de la machine utilisée pour remplir les sachets, un échantillon aléatoire de 30 sachets est prélevé dans la production ; on mesure la masse de chaque sachet et on calcule la moyenne $\overline{m}$ des masses des sachets  de l'échantillon ainsi que l'écart-type $\sigma$. 

Au cours de la production, l'échantillon suivant a été prélevé.
\begin{center} 
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
501 & 500 & 500 & 502 & 499 & 497 & 497 & 499 & 498 & 498\\
498 & 500 & 502 & 503 & 500 & 500 & 501 & 500 & 495 & 504\\
501 & 503 & 505 & 502 & 501 & 501 & 497 & 498 & 499 & 496\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Masses & 495 & 496 & 497 & 498 & 499 & 500 & 501 & 502 & 503 & 504 & 505\\\hline
Effectifs &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\\hline					
		\end{tabularx}
\end{center}


\item Représenter la dispersion de cette série à l'aide d'un diagramme en boîte.
\begin{center}	
	\psset{xunit=.75cm,yunit=.5cm}
	\begin{pspicture}(0,-1)(20,4)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{rougef}{0.75 0 .1}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,-1)(20,4)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=490]{-}(0,0)(20,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Donner la moyenne $\overline{m}$ de l'échantillon ainsi que l'arrondi au centième près de l'écart-type $\sigma$. 
\item Un réglage de la machine est nécessaire si l'un des critères suivants n'est pas vérifié :
\begin{itemize}
\item les sachets ont une masse en grammes comprise dans l'intervalle $[495 ; 505]$ ;
\item au moins la moitié des sachets ont une masse en grammes comprise dans l'intervalle $[498 ; 502]$ ;
\item 95\% au moins des sachets ont une masse en grammes comprise dans l'intervalle $\left[\overline{m}-2\sigma ;  \overline{m}+2\sigma\right]$.
\end{itemize}
Faut-il effectuer un réglage de la  machine ? (\emph{Justifier})
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[ 0 ; 8]$ par $f(x)=\displaystyle\frac{13,5x^2-81x+187,5}{x^2-6x+21}$. 


On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{13.5-96/(x^2-6*x+21)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(9,6)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-2)(9,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,12){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
\uput[ur](8,10){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout réel $x$, on a : $x^2-6x+21>0$.
	\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$.  Montrer que $f'(x)=\displaystyle\frac{192x-576}{\left({x^2-6x+21}\right)^2}$.
		\item \begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. 
		\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$ d'abscisse 5. 

Tracer sur le graphique donné, la tangente $T$.
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. 

Sa capacité de production quotidienne est limitée à 8 milliers d'articles.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque jour. Le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué est modélisé par $f(x)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
\begin{enumerate}
\item À partir de quel prix de vente unitaire, l'entreprise fera-t-elle un bénéfice ?
\item On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 7,50 \euro{}.

Calculer l'intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ou nul.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 6}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 08 mars 2018} 

\exo

 \medskip 

On lance deux dés équilibrés, on note $a$ et $b$ le résultat de chacun des deux dés. 

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque issue $\left\{a ; b\right\}$ de cette épreuve aléatoire, associe le réel $g$ définit par :
\begin{itemize}
\item si $a+b$ est un nombre impair alors $g$ est égal au carré de la différence des deux nombres $a$ et $b$ ;
\item si $a+b$ est un nombre pair alors $g$ est égal à l'opposé de la somme des deux nombres $a$ et $b$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau à double entrée qui modélise cette expérience aléatoire :
\begin{center}
{\small{
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|c||*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hhline{~|-|-|-|-|-|-|}	
\multicolumn{1}{c|}{} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hhline{-:=:=:=:=:=:=:}		
1& $-2$ & 1 & $-4$ & 9 & $-6$ & 25 \\\hhline{-||-|-|-|-|-|-|}	
2 & 1 & $-4$ & 1 & $-6$ & 9 & $-8$ \\\hhline{-||-|-|-|-|-|-|}	
3 & $-4$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\\hhline{-||-|-|-|-|-|-|}		
4 & $9$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\\hhline{-||-|-|-|-|-|-|}		
5 & $-6$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\\hhline{-||-|-|-|-|-|-|}	
6 & $25$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\\hhline{-||-|-|-|-|-|-|}						
\end{tabularx}}}
\end{center}

\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer la valeur exacte de l'espérance mathématique de $X$.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement  \og $X > 0$ \fg .
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité qui nécessitent deux composants notés $a$ et $b$.  

Les articles peuvent être défectueux en raison de la défaillance d'un des deux composants ou des deux composants.

Les résultats obtenus lors des contrôles effectués avant la mise en vente des articles ont permis d'établir que 88\,\% des articles fabriqués ne sont pas défectueux, 8\,\% des articles ont un composant $a$ défectueux et  7\,\% des articles ont un composant $b$ défectueux.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On choisit au hasard un des articles fabriqués pour le contrôler. On note  $A$ l'évènement : \og le composant $a$ est défectueux \fg{} et $B$ l'évènement : \og le composant $b$ est défectueux \fg .

\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$. Donner la probabilité de l'évènement  $A\cup B$.
\item Montrer que la probabilité que les deux composants sont défectueux est égale à 0,03.
\item Calculer la probabilité que sur cet article il n'y a que le composant $a$ qui soit défectueux.  
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Le coût de production d'un article est de 320~\euro. Lors du contrôle le remplacement du composant $a$ défectueux augmente le coût de production de 12~\euro{} et le remplacement du composant $b$ défectueux augmente le coût de 32~\euro . 


On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque article pris au hasard, associe son prix de revient. 
 
\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter le tableau suivant représentant la loi de probabilité de $X$ :

\begin{center}

\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix de revient $x_i$ & 320 & 332 & 352 & 364\\\hline
$P\left( X = x_i\right)$ &  &  &  & 0,03 \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. Interpréter le résultat. 
	\item Déterminer le prix de vente d'un article pour que la marge bénéficiaire soit en moyenne égale à 25\,\% du prix de revient d'un article.
\end{enumerate}	

 \bigskip 
 
\exo

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On a représenté ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$  représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ ainsi que la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(1 ; 0)$. Cette tangente passe par le point $B(-1 ; 2)$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(6,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x^2-2*x-11)/12}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-2)(6,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(6,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.207}{5.476}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1,2)(2.5,-1.5)
\uput[u](1,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[ul](-1,2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[dl](6,2.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\psdot[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$. En déduire $f'(1)$.
	\item La proposition $f'(4) \geqslant f'(1)$ est-elle vraie ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\displaystyle\frac{\left(x-1\right)\left( x^2-2x-11\right)}{12}$. 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f'(x)=\displaystyle\frac{x^2}{4}-\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{3}{4}$.
		\item \begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$. 
		\end{enumerate} 
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)-\left( -x +1\right)=\displaystyle\frac{{\left(x-1\right)}^3}{12}$.
\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite d'équation $y=-x+1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo

\begin{center}
\emph{Les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième.}
\end{center}

Le taux d'activité est le rapport entre le nombre d'actifs et la population en âge de travailler (ensemble des personnes âgées de 15 à 64 ans). Selon une étude de l'insee, le taux d'activité en France des 15-64 ans s'établit à 72\,\% au deuxième trimestre 2017. 
 
Pour vérifier cette donnée, un lycéen interroge au hasard 50 personnes de sa ville âgées de 15 à 64 ans. On suppose que le nombre d'habitants est suffisamment important pour assimiler cet échantillon  à un tirage aléatoire avec remise. 
 
On note $X$ la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre d'actifs.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
		\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. Interpréter le résultat.  
		\item Ci-dessous est donné un extrait du tableau donnant les valeurs, arrondies à $10^{-4}$, des probabilités $P\left(X \leqslant  k\right)$, où $k$ désigne un nombre entier naturel appartenant à l'intervalle $[0 ;50]$.
 
 \begin{center} 
 {\small{
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{4}{|>{\centering} m{1cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}} \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-}
$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$\\ \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-}	
28 & \np{0,0112} & 32 & \np{0,1359} & 36 & \np{0,5534} & 40 & \np{0,9260} \\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-}
29 & \np{0,0232} & 33 & \np{0,2130} & 37 & \np{0,6749} & 41 & \np{0,9635} \\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-}
30 & \np{0,0449} & 34 & \np{0,3121} & 38 & \np{0,7817} & 42 & \np{0,9842} \\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-}
31 & \np{0,0809} & 35 & \np{0,4286} & 39 & \np{0,8663} & 43 & \np{0,9941} \\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-}
\end{tabularx}}}
\end{center}

À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice  :
\begin{enumerate}
\item déterminer la probabilité que dans cet échantillon,  il y a exactement 32 actifs ;
\item déterminer la probabilité que dans cet échantillon,  il y a au moins 41 actifs.
\end{enumerate}
\item On a trouvé dans cet échantillon 34 actifs.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer un intervalle de fluctuation à 95\% de la fréquence des actifs dans un échantillon de taille 50, selon la loi binomiale  $\mathscr{B} \left( 50 ; 0,72 \right)$.
 \item Le lycéen peut-il remettre en question  l'hypothèse selon laquelle le taux d'activité en France des 15-64 ans s'établit à 72\,\% ? 
 \end{enumerate}
	\end{enumerate}
	 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 7}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 05 avril 2018} 

\exo

 \medskip 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2^n-3$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_0$, $u_1$, $u_3$ et $u_5$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n +3$. 	En déduire une définition de la suite $\left(u_n\right)$ à l'aide d'une relation de récurrence.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=2\sqrt{2}$ et l'algorithme suivant qui permet de calculer les termes  de $u_1$ à $u_N$ de la suite pour un entier $N$ saisi par l'utilisateur.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=.5em]{
\begin{minipage}{.25\linewidth}
\footnotesize{
$U \gets 2\sqrt{2}$

Pour $I$ variant de 1 à $N$

\hspace{1em}$U \gets \dfrac{U^2}{2}-4$

Fin Pour
}
\end{minipage}
}
\end{center}\begin{enumerate}
\item Exprimer  $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_6$.
\end{enumerate}	

\item $\left(v_n\right)$ est la suite définie par $v_0=\dfrac{7}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\dfrac{{\left(v_n\right)}^2}{2}-4$.

On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la parabole $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-4$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.
		
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x dup mul 2 div 4 sub }
\psgrid[gridwidth=0.5pt,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.5,-.5)(1.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0} 
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-4.2426}{4.2426}{\f}
\psline[linecolor=red,linewidth=.75pt](-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psset{linewidth=.5pt,arrowscale=1.5}

\psFixpoint[linecolor=prune,linewidth=.75pt,ArrowInside=-<]{3.5}{\f}{1}
\psline[linecolor=prune,linewidth=.75pt]{->}(2.125,2.125)(2.125,0 )
\uput[dl](5,5){\red{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}\uput[dr](-5,5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[d](3.5,0){\prune{\footnotesize{$v_0$}}}\uput[d](2.125,0){\prune{\footnotesize{$v_1$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item On a représenté sur l'axe des abscisses, les deux premiers termes de la suite $\left(v_n \right)$. 
	
	En utilisant la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\mathcal{D}$ placer sur l'axe des abscisses  les termes $v_2$ à $v_6$.
	\item La suite $\left(v_n \right)$ est-elle monotone ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 
 
 Étudier le sens de variation des suites suivantes en comparant $u_{n+1}$ et $u_n$
 
\begin{enumerate}
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= \dfrac{n}{n+1}$.
	\item $\left( u_n \right)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 5\times 0,2^n+3$.
	\end{enumerate}
  
 \bigskip
 
 \exo

 \medskip 

Dans un casino, un jeu sur machine se déroule de manière suivante : 

Après une mise de 1 euro, un nombre $a$ compris entre 1 et 50 est tiré au hasard. 

Si $a$ est un nombre premier le joueur reçoit 1 euro, si $a$ est un multiple de 8 le joueur reçoit 2 euros, si $a$ est un multiple de 9 le joueur reçoit 3 euros. Pour les 24 autres valeurs de $a$, le joueur perd sa mise.


\begin{enumerate}
\item On définit la variable aléatoire $G$ qui est associée au gain algébrique du joueur.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $G$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\item Un joueur effectue 10 parties consécutives.

On note $X$ la variable aléatoire associée au nombre de parties où le joueur perd sa mise.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
\item Quelle est la probabilité, arrondie au millième près, pour le joueur de perdre cinq parties ?
\item Calculer la probabilité, arrondie au millième près, pour le joueur de perdre au moins sept parties.
\end{enumerate}
\item Après avoir observé 50 parties, une personne constate qu'il y a eu 29 parties pour lesquelles les joueurs ont perdu leur mise. Au seuil de risque 5\,\%, l'observateur peut-il considérer que la probabilité de perdre sa mise à ce jeu n'est pas égale à 0,48 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$  représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ ainsi que les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $-2$ et 2. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(6*x-x^2)/(x^2-x+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(7,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-3)(7,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{7}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-3.5,-2)(-.5,-2)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(.5,3.5)(3.5,.5)
\uput[d](-2,-2){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[ur](2,2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[dr](-6,-1.8){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\psdots[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-2,-2)(2,2)
\end{pspicture}
\end{center}

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.	
\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique donner les valeurs de $f'(-2)$ et $f'(2)$.
	\item La proposition $f'(0) \leqslant f'(4)$ est-elle vraie ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\displaystyle\frac{6x-x^2}{x^2-x+2}$. 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par $f'(x)=\displaystyle\frac{-5x^2-4x+12}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}$.
		\item \begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$. 
		\end{enumerate} 
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $T$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 8}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 14 mai 2018} 

\exo 

 \medskip 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{2n}{3}+1$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer  $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle une suite arithmétique ?
\item Déterminer le premier terme de la suite $(u_n)$ supérieur à 20.
\item Calculer la somme de termes consécutifs de la suite $\left(u_n\right)$ : $S=1+\dfrac{5}{3}+\dfrac{7}{3}+3+ \cdots +\dfrac{61}{3}+21$.
\end{enumerate}	

 \bigskip 

\exo

\medskip

 $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique à termes positifs telle que $u_5=5$ et $u_{7}=\dfrac{125}{9}$. 
 
 Exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n$.

\bigskip

\exo

\medskip

$\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique à termes non nuls, de raison $q \ne 1$ telle que $5u_{2}=7u_1-2u_0$.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer la raison $q$ de la suite $\left(u_{n}\right)$.
 \item On donne $u_0=6,25$. Calculer $u_{4}$.
 \end{enumerate} 

\bigskip

\exo

 \medskip 

Pour  respecter une nouvelle norme antipollution, un groupe industriel s'engage à réduire chaque année sa quantité de rejets polluants de 6\,\%.

En 2015, la quantité de rejets polluants était de \np{50000} tonnes.

\begin{enumerate}
	\item Quel a été la quantité de rejets polluants en 2017 ?
	\item Pour tout entier naturel $n$, on note $r_n$ la quantité, en tonnes, de rejets polluants pour l'année $(2015+n)$.

	On a donc $r_0= \np{50000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$. En déduire la nature de la suite $\left(r_{n}\right)$.
		\item Donner l'expression de $r_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
	\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(r_{n}\right)$.
	\item La direction du groupe industriel souhaite connaître l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin de déterminer au bout de combien d'années la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60\,\%.
		
\begin{center}
{\small{\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=.8em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$R \gets \np{50000}$

$N \gets  0$

Tant que $R  \ldots$

\begin{itemize}
\item[] $R \gets \ldots$
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}}}
\end{center}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de la variable $N$ calculée par cet algorithme.
		
		En déduire l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets polluants aura diminué d'au moins 60\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 9}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 31 mai 2018} 

\exo 

 \medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

On a tracé en annexe ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0;10]$.


La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A( 3 ; 90)$ passe par le point  $B( 5 ; 102)$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer $f'(3)$.
	\item Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente la fonction dérivée $f'$  ?
	
\begin{center}
 \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\f{-2*x^2+22*x+42}
\def\f{(45*x+10)*EXP(-.16*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,11)
\psset{xunit=.4cm, yunit=0.04cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=20,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(11,110)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](11,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,110){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[ur](10,90){\footnotesize{\bleu $C_1$}}
\end{pspicture} \hfill  \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{3*x^2-10*x+9}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,11)
\psset{xunit=.4cm, yunit=0.02cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=40,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-10)(11,220)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](11,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,220){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[dr](10,220){\footnotesize{\bleu $C_2$}}
\end{pspicture} \hfill   \psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\f{6*x^3/7-72*x^2/7+216*x/7+468/7}
\def\f{(2.8*x+1)*EXP(-.15*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,11)
\psset{xunit=.4cm, yunit=.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=2,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(11,11)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](11,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,220){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[ur](10,6){\footnotesize{\bleu $C_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production est limitée à 10 milliers d'articles par mois.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût total de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;10]$ par : \[f(x)=x^3-5x^2+9x+81\]
Le coût marginal est assimilé sur l'intervalle $[0;10]$ à la dérivée $f'$ du coût total de production.

La courbe $\mathcal{C}_f$, donnée en annexe, est la courbe représentative de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;10]$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\dfrac{9}{2}$.

Tracer la droite $T$ sur le graphique donné en annexe.
\end{enumerate}


\medskip

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie c}}}}

\medskip

Chaque article est vendu 57 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par \[R(x)=57x\]
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe  $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $R$.
	\item Par lecture graphique, déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d'articles près, dégageant un bénéfice positif.
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0;10]$ par $B(x)=R(x)-f(x)$ où $f$ est la fonction coût total définie dans la partie B.

\begin{enumerate}
	\item On note $B'$ la dérivée de la fonction $B$. 
	
	Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;10]$ on a $B'(x)=-3x^2+10x+48$.
	\item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;10]$. 
	\item En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.	
	Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie d}}}}

\medskip
 	
On note $C(x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. 

La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $]0 ; 10]$ par $C(x) = \dfrac{x^3-5x^2+9x+81}{x}$. 

On admet que la fonction $C$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; 10]$ et on appelle $C'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item  Calculer $C'(x)$, et vérifier que $C'(x)= \dfrac{(2x-9)(x^2+2x+9)}{x^2}$  pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; 10]$. 
	\item Étudier les variations de la fonction $C$ sur $]0 ; 10]$.
	\item En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(22,33)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^3-5*x^2+9*x+81}
\def\g{57*x}
\def\h{6*x+72}
\rput(10,32){\textsf{\small{\textsc{\textbf{annexe}}}}}
%\rput(10,33){\textsf{\small{(\emph{À rendre avec la copie})}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,30)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.02cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dx=1,Dy=50,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(11,750)
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,750){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{6}{\h}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\g}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](3,90)(5,102)
\uput[u](3,61){\bleu{$A$}} \uput[u](5,75){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[dr](10,650){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\pagebreak

\exo

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 250$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1} = 0,72u_{n} +420$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$.

\item Soit $\left(v_{n}\right)$  la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 1500$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n} = 1500 -1250\times  0,72^n$.
	\end{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une municipalité a décidé de proposer un abonnement mensuel à un service de location de vélos.

Au mois de janvier 2018, 250 personnes se sont abonnées à ce service.

Une étude statistique a permis de modéliser l'évolution du nombre d'abonnements pour les prochains mois à l'aide de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie dans la partie A.

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$U \gets \np{250}$

$N \gets  0$

Tant que  $U \leqslant \np{1435}$

\begin{itemize}
\item[] $U \gets 0,72 \times U + 420$
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

Donner une interprétation de la valeur $N=9$ obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme.
\item Selon ce modèle, donner une estimation du nombre d'abonnés au bout de 12 mois.
\item Est-il possible d'envisager nombre d'abonnés supérieur à \np{2000} ?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\newpage

\thispagestyle{empty}

\hfill

\newpage


\end{document}

