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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma

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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\{25 novembre 2017}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{dérivation}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES 2 }}} %droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
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\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
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%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

   
\hypersetup{
pdftitle={dérivée.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={fonction dérivée.}, 
pdfkeywords={nombre dérivé, tangente, dérivée et variation, coût marginal.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/terminale_cours/index_terminale_cours.php}
}
\begin{document}

\section{Nombre Dérivé} 

 \subsection{Définition} 
 
\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a$ un réel appartenant à $I$.

Lorsque le rapport $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite réelle quand $x$ tend vers $a$ en restant dans $I$, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ et cette limite réelle, notée $f'(a)$, est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$. 

On note alors : \[f'(a)=\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
}

 \subsection{Tangente à une courbe} 
 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{9cm}@{\extracolsep{\fill}}X@{}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

La droite passant par le point $A\left( a ; f(a) \right)$ de la courbe $C_f$ et de coefficient directeur $f'(a)$ est appelée la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$.&
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x+1)*Euler^(1-x^2/16)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(8,5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){$x$}
\uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-.75}{8}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,5)(7.5,-.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,3)(4,3)(4,0)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](4,3)
\uput[d](4,0){\red{$a$}}
\uput[l](0,3){\red{$f(a)$}}
\uput[ur](4,3){\red{$A$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\subsubsection{Propriété} 

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

L'équation réduite de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $a$ est : 
 \[y=f'(a)\times(x-a)+f(a)\]
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est  la courbe représentative d'une fonction $f$  définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-3)(20,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{5-6*(x+2)/(x^2-3*x+6)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-3)(20,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(10,6)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$}
\uput[l](0,5.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{10}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-1.2,5.4)(1.2,0.6)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=vertf]{->}(0,3)(1,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=vertf]{->}(1,3)(1,1)
\uput[u](.5,3){\vertf $1$}
\uput[r](1,2){\vertf $-2$}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](1,-1)(3,-1)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,-1.5)(5.5,3.75)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (0,3)(1,1)(2,-1)(3,0)(5,3)
\uput[dl](10,4){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\uput[ul](-1.2,5.2){\prune\footnotesize{$T_1$}}
\uput[ur](5.5,3.5){\prune\footnotesize{$T_3$}}
\uput[dr](3,-1){\prune\footnotesize{$T_2$}}
\end{pspicture}
\end{center} 

Par lecture graphique, déterminer $f'(0)$, $f'(2)$ et $f'(3)$.

\begin{enumerate}
	\item Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $T_1$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
	
	Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite $T_1$ est égal à $-2$.
	Ainsi, $\boxed{f'(0)=-2}$
	\item La tangente $T_2$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses. Donc $\boxed{f'(2)=0}$
	\item La droite $T_3$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3 passe par les points de coordonnées $(3;0)$ et $(5;3)$. Son coefficient directeur $a$ est  \[a=\dfrac{3-0}{5-3}=\dfrac{3}{2}\]
	Le nombre dérivé $f'(3)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3. Donc $\boxed{f'(3)=\dfrac{3}{2}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{Remarque}

La courbe représentative d'une fonction $f$ peut avoir une tangente en un point $a$ sans que la fonction soit dérivable en $a$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}

La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d'équation $x = 0$ en $0$. 

Or la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ en effet : \[\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0} = \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x}}= + \infty \]  ce n'est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.&
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{sqrt(x)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(6,3.5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$}
\uput[l](0,3.3){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

 
\section{Fonction dérivée} 

 \subsection{Définition} 
 

 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.

Lorsque pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f$ est dérivable en $x$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$. 

\medskip
 
\cadreR{%
La fonction qui associe à tout réel $x$ appartenant à $I$ son nombre dérivé $f'(x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$. Elle est notée $f'$.
}
 
\subsection{Dérivées des fonctions de référence}


  \renewcommand{\arraystretch}{1.2} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
\rowcolor{Rfond}fonction définie et dérivable sur : & fonction $f$ définie par :  &	fonction dérivée $f'$ définie par :  \\ \hline
$\R$  & $f(x)=k$ & $f'(x)=0$  \\ \hline
$\R$  & $f(x)=ax+b$ & $a$  \\ \hline
$\R$ & $f(x)=x^n$ \; ($n$ entier $n \geqslant 1$)& $f'(x)=n x^{n-1}$	  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $]-\infty ; 0[$ ou $]0;+\infty[$ & $f(x)=\dfrac{1}{x}$ & $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $]-\infty ; 0[$ ou $]0;+\infty[$ & $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ \; ($n$ entier $n \geqslant 1$)& $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $]0;+\infty[$  & $f(x)=\sqrt{x}$ & $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$  \\ \hline
\end{tabularx}

\subsection{Dérivées et opérations}

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hhline{~|-|-}\noalign{\vskip.2pt}
\multicolumn {1}{c|}{} &\cellcolor{Rfond}fonction $f$ définie par :  &\cellcolor{Rfond}fonction dérivée $f'$ :\\ \hline
Produit d'une fonction par un réel $k$  & $ku$ & $ku'$\\ \hline
Somme& $u+v$ & $u'+v'$  \\\hline
Produit & $u \times v$ & $u'v +uv'$	  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}Quotient  ($v \ne 0$ sur $I$) & $\dfrac{u}{v}$ & $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$  \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}Inverse  ($v \ne 0$ sur $I$) & $\dfrac{1}{v}$& $-\dfrac{v'}{v^2}$  \\ \hline

\end{tabularx}

\bigskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}

\begin{enumerate}
	\item \textsf{Produit de deux fonctions}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x) = \left( 2+ \dfrac{x^2}{3}\right) \left( 1 -\dfrac{2}{x} \right)$. Calculer $f' (x)$.
	
	Sur $]0;+\infty [$ $f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. 
	
	$f =u v$ d'où $f'= u'v + uv'$. Avec  pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 2+ \dfrac{x^2}{3} & \text{ d'où } & u'(x) = \dfrac{2x}{3}\\
	v(x) =  1 -\dfrac{2}{x} & \text{ d'où } & v'(x) = \dfrac{2}{x^2}  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} \\
	\end{array}
\]
Soit pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$, 
\[ \begin{split} 
f'(x) &= \dfrac{2x}{3} \times \left( 1 -\dfrac{2}{x} \right)  +\dfrac{2}{x^2} \times \left( 2+ \dfrac{x^2}{3}\right)\\
 &=  \dfrac{2x}{3} - \dfrac{4}{3} +\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{2}{3}\\
 &= \dfrac{2x^3-2x^2+6}{3x^2} \\
 	\end{split}
 	\]
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f'(x)=\dfrac{2x^3-2x^2+6}{3x^2}$. 
 	
	\item \textsf{Quotient de deux fonctions}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}$. Calculer $f' (x)$.
	
	Sur $\R$, $f$ est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. 
	
	$f =\dfrac{u}{v}$ d'où $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. Avec  pour tout réel $x$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 4x-3 & \text{ d'où } & u'(x) = 4 \\
	v(x) = x^2+1 & \text{ d'où } & v'(x) = 2x \\
	\end{array}
\]
Soit pour tout réel $x$, 
\[ \begin{split} 
f'(x) &= \dfrac{4(x^2+1)-2x(4x-3)}{(x^2+1)^2} \\
 &=\dfrac{4x^2+4-8x^2+6x}{(x^2+1)^2} \\
 &= \dfrac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2} \\
 	\end{split}
 	\]
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $\R$ par $f'(x)=\dfrac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2}$.


\end{enumerate}



\section{Dérivée et variations d'une fonction}

\subsection{Théorème 1}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable et monotone sur un intervalle $I$ de $\R$.

\begin{itemize}
	\item Si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)=0$.
	\item Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\geqslant 0$.
		\item Si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\leqslant 0$.
\end{itemize}
}

\medskip

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

\subsection{Théorème 2}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $f'$ la dérivée de $f$ sur $I$.

\begin{itemize}
	\item Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement négative sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{itemize}
}

\subsection{Théorème 3}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ de $\R$ et $x_0$ un réel appartenant à $I$.

\begin{enumerate}
	\item Si $f$ admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$.
	\item Si la dérivée $f'$ s'annule en $x_0$ \textbf{en changeant de signe}, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
\end{enumerate}
}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$-$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$+$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,0.2){\footnotesize{\emph {minimum}}}
\psline{->}(1.8,1.2)(4,0.2)  \psline{->}(5.4,0.2)(7.6,1.2)
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$+$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$-$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,1.2){\footnotesize{\emph {maximum}}}
\psline{->}(1.8,0.2)(4,1.2)  \psline{->}(5.4,1.2)(7.6,0.2)
\end{pspicture}

\subsubsection{Remarques}

\begin{enumerate}
	\item Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse \textbf{en changeant de signe} est importante.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction cube définie sur $\R$ par $f(x) = x^3$ qui a pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\R$ par $f'(x)= 3 x^2$.

$f'(0) =0$ et pour tout réel $x$ non nul, $f'(x)>0$.

La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ et n'admet pas d'extremum en 0.
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(1.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1.3,0){$x$}
\uput[l](0,1.3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1}{1.14}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\item  Une fonction peut admettre un extremum local en $x_0$ sans être nécessairement dérivable.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = |x-1| +1$ .

$f$ est une fonction affine par morceaux, $f$ admet un minimum  $f (1) = 1$  or $f$ n'est pas dérivable en 1.

&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(3.5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{abs(x-1)+1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1)(3.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](3.1,0){$x$}
\uput[l](0,3.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.5}{3.5}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,1)(1,1)(1,0)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (1,1)
\end{pspicture}
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\subsubsection{Point méthode}

En pratique, pour étudier les variations d'une fonction $f$ dérivable sur son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ :

\begin{itemize}
	\item on détermine la dérivée $f'$ de $f$ ;
	\item on étudie le signe de $f'$ sur $\mathcal{D}_f$ ;
	\item on applique le théorème 2 sur chacun des intervalles de $\mathcal{D}_f$ où le signe de $f'$ est constant ;
	\item on dresse le tableau des variations en indiquant les extremums, s'il y a lieu et éventuellement les limites aux bornes de son ensemble de définition.
\end{itemize}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R$ dans un repère du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$  vérifie les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
	\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$  au point $A$ d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses ;
	\item la tangente à la courbe  $\mathcal{C}_{f}$ au point $B(0 ; 2)$ passe par le point de coordonnées  $(2 ; 0)$.	
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.557637*x+1.73719)*.407938^x+.262809}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(10,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](4.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[u](4.5,0.5){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\uput[u](-2,4){\textcolor{bleu}{\small $A$}}
\uput[ur](0,2){\textcolor{bleu}{\small $B$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.3217}{5}{\f}
\psset{linecolor=prune,linewidth=1pt}
\psdots[dotscale=.8](-2,4)(0,2)
\psdots[dotscale=.8](0,2)
\psline[]{<->}(-3,4)(-1,4)
\psline[]{-}(-1.5,3.5)(2.5,-.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Donner les valeurs de $f(-2)$, $f'(-2)$   et $f'(0)$ .

\bigskip

 \exo 

 \medskip 

Sur la figure ci-dessous les droites $d_1$,  $d_2$,  $d_3$ et $d_4$ sont tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-7)(20,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(20,7)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3.5)(10,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\uput[u](-3.8,-1.6){\textcolor{blue}{\small $C_{f}$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{10}{10*(x-2)/(8+x^2-4*x)}
\psset{linecolor=prune,linewidth=1pt}
\psline{<->}(-.75,-2.5)(.75,-2.5)
\psdots[dotscale=.9](0,-2.5)(1,-2.5)(2,0)(4,2.5)(8,1.5)(5.5,2)
\uput[dr](-1,-2.5){\prune {\footnotesize{$d_1$}}}
\psline{<->}(0.8,-3)(3.2,3)
\uput[ul](2.5,1.5){\prune {\footnotesize{$d_2$}}}
\psline{<->}(3.2,2.5)(4.8,2.5)
\uput[ul](5,2.5){\prune {\footnotesize{$d_3$}}}
\psline{<->}(5,2.1)(10,1.1)
\uput[dl](5.5,2){\prune {\footnotesize{$d_4$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement  $f\left( 0 \right)$, $f\left( 2 \right)$ , $f\left( 4 \right)$  et $f\left( 8 \right)$ .
\item Déterminer graphiquement les nombres dérivés $f' \left( 0 \right)$, $f' \left( 2 \right)$ , $f' \left( 4 \right)$  et $f' \left( 8 \right)$.
\item En déduire les équations réduites des tangentes $d_1$,  $d_2$,  $d_3$ et $d_4$.

\end{enumerate}	

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Sur la figure ci-dessous, $C_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ . Les droites $d_1$,  $d_2$,  $d_3$ et $d_4$ sont tangentes à la courbe $C_f$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-16,-12)(13,24)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^3/3+.25*x^2-2*x-1/3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-12)(13,24)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.75cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-4)(6.5,8)
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](6.5,0) {$x$}
\uput[dl](0,8) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-7.2}{5.25}{\f}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\psline(-4.75,6.3333)(-3.25,6.3333)
\psline(-4,8)(-0,0)
\psline(1.25,-2.6667)(2.75,-2.6667)
\psline(3,-3)(5,5)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=bleu,dotscale=.8] (-6,2.6667)(-4,6.3333)(-2,4)(2,-2.6667)(4,1)
\uput[d](-5,6.3333){\footnotesize{$d_1$}} \uput[r](-3.8,7.6){\footnotesize{$d_2$}}\uput[d](1,-2.6667){\footnotesize{$d_3$}} \uput[r](5,5){\footnotesize{$d_4$}}
\uput[r](5.25,7.5){\bleu{$C_f$}}\uput[r](-6,2.6667){\footnotesize{\prune{$B$}}} \uput[r](-2,4){\footnotesize{\prune{$A$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement $f(-4)$, $f(-2)$  et $f(2)$.
	\item Déterminer graphiquement les nombres dérivés $f'(-4)$ et $f'(2)$.
	\item La tangente à la courbe $C_f$  au point $A$  d'abscisse  $- 2$ passe par l'origine du repère. Déterminer $f'(-2)$.
	\item La tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point $B\left(- 6;\dfrac{8}{3}\right)$ est parallèle à la droite $d_4$.
	
	Déterminer $f'(-6)$ puis, donner une équation de la tangente $T$ à la courbe au point $B$. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
\end{enumerate}		

 \bigskip 
 
  \exo 

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants,  $f$  est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Calculer la dérivée $f'(x)$.

\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur  $\R$ par $f(x)=3x^4-5x^3+x-5$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=3x^2-\dfrac{3}{x}+1$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=\dfrac {x^3}{2} +3x^2-\dfrac{5}{x}$
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Donner une équation de la tangente à la parabole d'équation $y=x^2-3x+5$  au point d'abscisse $-1$.
	\item Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par $f\left( x \right) = 3x^2-5x+1$ 

 Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction  $f$  parallèle à la droite d'équation $y=x$.

\end{enumerate}

 \bigskip
  
\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{13x}{2}+\dfrac{29}{3}$ 
\begin{enumerate}
	\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe représentative de la fonction $f$  au point d'abscisse $2$.
	\item La courbe représentative de la fonction  $f$ admet-elle une deuxième tangente parallèle à la droite $\mathcal{D}$ ? 
	
	Si oui donner son équation.

\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 


Dans chaque cas,  $f$  est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Calculer $f'(x)$.

\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=\dfrac {x^3}{2} -3x^2+\dfrac{5}{x}$
	%\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=3x^2-\dfrac{3}{x}+1$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $f\left( x \right) =  x^3  + 2\sqrt{x} + 5$.
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=\sqrt{x}-x$
	
\end{enumerate}
		
	

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 
Calculer la dérivée de chacune des fonctions.
\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur  $\R$ par $f(x)=\left(1-2x\right)\left(0,5x^2+1\right)$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f\left( x \right) =  \left( 1-x^2 \right)\left( 2+ \dfrac{1}{x}\right)$.
	\item $g$ est la fonction  définie sur $]0;+\infty[$  par $g(x)=\left(x+1\right) \sqrt{x}$
	\item $f$ est la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$
	\item $f$ est définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac {\sqrt{x}}{x-1}$.	
	\item $h$ est la fonction  définie sur $]1;+\infty[$  par $h(x)=\dfrac{2}{x^2-1}$ 
\end{enumerate}


 \bigskip 
 

\exo

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\R$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant la fonction $f$.

\begin{itemize}
	\item[] La courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points $A (- 2 ; 0)$, $B (1 ; 1)$, $C (4 ; 3,2)$ et $D \left( \dfrac{11}{2} ; \dfrac{25}{16} \right)$. 
	\item[] L'axe des abscisses est tangent en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
	\item[] La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$.  
	\item[] La tangente à la courbe au point $B$ passe par le point $M \left( -4 ; -3 \right)$.
\end{itemize}

\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-12,-6)(14,8) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)^3*(6-x)/135}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-6)(14,8) 
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-3)(7,4) 
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](7,0) {$x$}
\uput[dl](0,4) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5.3}{6.63}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-.5,-.2)(2.5,2.2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(3.25,3.2)(4.75,3.2)
\psdots [linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,0)(1,1)(4,3.2)(5.5,1.5625)
\uput[ul](-5.4,-3){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\uput[u](-2,0){\bleu{$A$}}
\uput[ul](1,1){\bleu{$B$}}
\uput[u](4,3.2){\bleu{$C$}}
\uput[ur](5.5,1.5){\bleu{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\`A partir du graphique et des données de l'énoncé, répondre aux questions suivantes.
\begin{enumerate}
	\item Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\item Déterminer $f'(-2)$, $f'(4)$ et $f'(1)$.
	\item Quel est l'ensemble solution de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ ?
	\item On donne $f'(5,5)= -2,5$. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la tangente à la courbe 	$\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ avec l'axe des ordonnées.
	\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.
	
	\medskip
	
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(4-x)^2*(2+x)/32}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill	
	\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(4-x)*(2+x)/4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(16-4*x)*(x+2)^2/135}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty\right[$  par $f(x)=1-\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x+1}$ . On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal. 
 
\begin{enumerate}
	\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
	\item \'Etudier le signe de $f'(x)$.
	\item Donner le tableau des variations de $f$.
\end{enumerate}
 
 \bigskip
 
 \exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur  $\left]-1;+\infty\right[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{x^2-8x+7}{x+1}$. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 


Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée $C_f$, est donnée ci-dessous à titre indicatif.
 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1. 

Tracer sur le graphique donné, la tangente $T$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(30,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(30,16)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.5,-4)(15,16)
\uput[dl](0,0){0}\uput[dl](15,0){$x$} \uput[dl](0,16){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.37}{15}{(x^2-8*x+7)/(x+1)}
\uput[l](14.5,7.5){\bleu{$(C_f)$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ par  $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-2x+5}$. On note $C_f$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée de la fonction $f$. Vérifier que $f'(x)=\dfrac{ -2x^2-2x+12}{\left(x^2-2x+5\right) ^2}$
	\item
	\begin{enumerate}
	\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ .
	\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse $1$.  
	
	Tracer la tangente $T$ dans le repère ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-15,-4)(18,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2*x+1)/(x^2-2*x+5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-15,-4)(18,10)
\psset{xunit=1.2cm,yunit=3.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-.5)(6,1.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,1.25){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(0,.25)(2,1.25)
\uput[dl](6,0.62){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\end{pspicture}
\end{center}	
\end{enumerate}

 
 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par  $f(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x^2+3}$.

On note $\mathcal{C}_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\begin{enumerate}

\item Montrer que la dérivée de la fonction $f$ est la fonction $f'$ définie sur $\R$ par  $f'(x)=\dfrac{4\left(x^2-2x-3\right)}{\left(x^2+3\right)^2}$.

\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse 1. 

Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-12,-2)(12,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{1-(4*x-4)/(x^2+3)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-2)(12,8)
\psset{unit=1.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-1)(6,4)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{6}{\f}
\uput[ul](6,0.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 


Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par  $f(x)=\dfrac{5x-3}{x^2+x+1}$.

On note $\mathcal{C}_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\begin{enumerate}

\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, calculer  $f'(x)$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point $A$ d'abscisse $-\dfrac{3}{2}$. 

Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.
\end{enumerate}
 
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-18,-10)(14,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(5*x-3)/(x^2+x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-18,-10)(14,4) 
\psset{xunit=1cm,	yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-9,-10)(7,4) 
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](7,0) {$x$}
\uput[dl](0,4) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-9}{7}{\f}
\uput[ul](10,.6){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip

 \exo

 \medskip 


La capacité de production mensuelle d'une entreprise est limitée à 9 milliers d'articles. 

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués. Le coût total de production $f(x)$, exprimé en milliers d'euros, est représenté par la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A( 3 ; 61)$ est tracée sur le graphique. 

La tangente au point $B( 5 ; 75)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par l'origine du repère.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x^3-9*x^2+30*x+25}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,12)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.02cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dx=1,Dy=50,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(10,300)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,300){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{-}(.5,53.5)(5.5,68.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](3,61)(5,75)
\uput[u](3,61){\bleu{$A$}} \uput[u](5,75){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[dr](9,300){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On admet que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle  $[0;9]$ et, on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.  

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie a}}}}

\medskip

Le coût marginal est assimilé sur l'intervalle $[0;9]$ à la dérivée du coût total de production. 	
\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer la valeur du coût marginal pour $x=5$.
	\item Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente le coût marginal ?
	
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{3*x^2-18*x+30}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,9)
\psset{xunit=.5cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=10,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(9,90)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,90){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8.385}{\f}
\uput[dl](8.3,90){\footnotesize{\bleu $C_1$}}
\end{pspicture} \hfill \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{5*x^3/12-3.75*x^2+11.25*x+5/12}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,9)
\psset{xunit=.5cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=10,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(9,90)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,90){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8.728}{\f}
\uput[dl](8.7,90){\footnotesize{\bleu $C_2$}}
\end{pspicture} \hfill \begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{2.5*(x-3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,9)
\psset{xunit=.5cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,Dy=10,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-5)(9,90)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,90){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\uput[dl](9,90){\footnotesize{\bleu $C_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie b}}}}

\medskip

La fonction  $f$  est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;9]$ par $f(x)=x^3-9x^2+30x+25$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
	\item  Étudier les variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}

\medskip 

\textsf{\small{\textsc{\textbf{partie c}}}}

\medskip

Le prix de vente d'un article est de 30 \euro{}. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour $x$ milliers d'articles vendus est donné par $B(x)=30x-f(x)$.

\begin{enumerate}
\item Pour quelle quantité d'articles vendus, le bénéfice est-il maximal ?
\item Déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d'articles près, dégageant un bénéfice positif.
\end{enumerate}
 
 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à \np{15000} articles.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$  définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0;15]$ par \[C(x)=\dfrac{16x^2+11x+60}{x+14}\]
La courbe représentative de la fonction $C$, notée $\mathcal{C}_T$, est donnée en annexe  ci-dessous.

\begin{enumerate}
	\item Chaque article est vendu 8\euro{}, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par $R(x)=8x$
\begin{enumerate}
	\item Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe  $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $R$.
	\item Par lecture graphique :	
\begin{itemize}
	\item les valeurs approximatives des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
	\item la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0;15]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6000 articles un mois donné.
	\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;15]$ on a $B'(x)=\dfrac{-8x^2-224x+1474}{{\left(x+14\right)}^2}$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $B$.
	\item En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\item Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ milliers d'articles est donné par $C'(x)$ où $C'$ est la dérivée de la fonction $C$.

Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d'un article.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1.4,-1)(32,19)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(15.3,19){\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,18)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.125}
\def\f{(16*x^2+11*x+60)/(x+14)}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0,Dy=8]{->}(0,0)(16,144)
\uput[dl](16,0){$x$} \uput[dl](0,144){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{15}{\f}
\uput[r](15,132){\bleu{$\mathcal{C}_T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip  
  
\exo 

 \medskip 


Soit $C$  la fonction définie pour tout réel $x$ élément de l'intervalle $]0;15]$ par $C(x)=\dfrac{x^3}{3}-2x^2+15x+81$. 
La fonction $C$ modélise le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, de $x$ milliers d'articles fabriqués.


La courbe $\mathcal{C}_T$ représentative de la fonction $C$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.


On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60 \euro{}.
\begin{enumerate}
	\item On note $R(x)$ la recette générée par la production et la vente de $x$ milliers d'articles.
	
\begin{enumerate}
	\item Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de la fonction recette.
	\item Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
\end{enumerate}

\item Le bénéfice est la fonction $B$ définie sur l'intervalle $]0;15]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $B'(x)$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $B$.
	\item En déduire la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal. 
	
	Quel est le montant en euro de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\item La fonction coût moyen, notée $C_{M}$, est la fonction définie sur l'intervalle $]0 ;15]$ par $C_{M}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
\begin{enumerate}
	\item Sur le graphique ci-dessous, placer le point $A$ sur la courbe $\mathcal{C}_T$ tel que la droite $\left(OA\right)$ soit tangente à $\mathcal{C}_T$. On appelle $a$ l'abscisse du point $A$.		
		\item  Montrer que le coefficient directeur de la droite $\left(OA\right)$ est égal à $C_{M}(a)$.
		\item  Par lecture graphique, conjecturer les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle $]0 ; 15]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(32,20)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,20)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.01cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,Dx=1,Dy=100,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(16,1000)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{15}{x^3/3-2*x^2+15*x+81}
%\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(15,900)
\uput[ur](15,950){\bleu{$\mathcal{C}_T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip
 
 
 \exo 
 
 \medskip 

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 10 milliers d'articles.

Soit $x$ le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$  définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0;10]$ par \[C(x)=x^3+12x^2+21x+320\]La courbe représentative de la fonction $C$, notée $\mathcal{C}_T$, est donnée en annexe  ci-dessous.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}

\item Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ milliers d'articles est donné par $C'(x)$ où $C'$ est la dérivée de la fonction $C$.

Calculer $C'(4)$ et $C'(6)$.
\item Justifier que la fonction $C$ est strictement croissante sur $[0;10]$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Chaque article est vendu 273 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par \[R(x)=273x\]
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Tracer sur le graphique ci-dessous, la courbe  $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $R$.
	\item Par lecture graphique, déterminer la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0;10]$ par $B(x)=R(x)-C(x)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend \np{6000} articles un mois donné.
	\item On note $B'$ la dérivée de la fonction $B$. 
		
	Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;10]$ on a $B'(x)=-3x^2-24x+252$.
	\item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;10]$. 
	\item En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. 	Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

On note $f(x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. 

$f$ est définie sur l'intervalle $]0 ; 10]$ par $f(x) = \dfrac{x^3+12x^2+21x+320}{x}$. 

\begin{enumerate}
\item  Conjecturer graphiquement les variations du coût moyen de production sur l'intervalle $]0 ; 10]$.
	\item  On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$, et vérifier que $f'(x)= \dfrac{(x-4)(2x^2+20x+80)}{x^2}$  pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; 10]$. 
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur $]0 ; 10]$.
	\item En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-.25)(22,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(10,16){\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,15)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.005}
\def\f{(x^3+12*x^2+21*x+320)}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0,Dy=400]{->}(0,0)(11,3000)
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,3000){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\uput[ur](10,2600){\bleu{$\mathcal{C}_T$}}
\psline[linecolor=prune,linewidth=.5pt,linestyle=dashed](-.1,2730)(10,2730)(10,0)
\psdot[linecolor=bleu](10,2730)
\uput[l](-.06,2730){\prune{\footnotesize{2730}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
