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% Mise en forme des algorithmes
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%

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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 06 novembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{généralités sur les fonctions}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES 2}}}%droit
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\setcounter{secnumdepth}{3}
\makeatletter
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\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

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  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Généralités sur les fonctions.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonctions de référence.}, 
pdfkeywords={Fonctions affine, carré, inverse, racine carrée, cube. Inéquations, tableau de signes,  cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_cours/index_poly_seconde.php}
}

\begin{document}
\section{rappels sur les fonctions}

\subsection{fonction}

\cadreR{Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathcal{D}$ de nombres réels, c'est associer à chaque nombre $x\in \mathcal{D}$ un \textbf{unique} nombre réel noté $f(x)$. On note :  \[\begin{split} f  \colon & \mathcal{D} \to \R  \\  & 
x \mapsto f(x)\end{split}\]
}

\medskip

 \begin{itemize}
 \item $\mathcal{D}$  est l'ensemble de définition de la fonction $f$. $x$ est la variable.
\item Le nombre $f(x)$ est l'image du réel $x$ par la fonction $f$.
\item Quand on sait que $f(x)=y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$.
 \end{itemize}

\subsection{courbe représentative}

\cadreR{Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ de nombres réels.

La courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère, est l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $\begin{cases}
x\in \mathcal{D} \\
y=f(x)
\end{cases} $.
}
\begin{center}
\scalebox{.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.1*(x+5)*(x+2)*(3.25-x)*EXP(x/6)-1}
\def\g{.1*(x+5)*(x+1.5)*(3.25-x)*EXP(x/5)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{-|}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](2.5,0)(2.5,3.7)(0,3.7)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-2,0)(-2,-1)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-.8,0)(-.8,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{-2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.8}{3.6}{\g}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,-1)(2.5,3.7)(-.8,1)
\uput[d](2.5,0){\small{\prune{$x$}}} \uput[l](0,3.7){\small{\prune{$y=f(x)$}}}
\uput[u](-2,0){\small{\prune{$a$}}} \uput[d](-.8,0){\small{\prune{$b$}}}
\uput[ur](2.5,3.7){\small{\prune{$M(x;y)$}}}
\uput[ul](4.2,-3){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\end{pspicture}
}

$C_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}=] - \infty; a] \cup [b; +\infty[$
\end{center}

\subsection{variations}

\subsubsection{fonction croissante}

\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est  croissante sur un intervalle $I$ signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$.

\begin{center}
Si $a \leqslant b$ alors $f\left(a\right) \leqslant f\left( b\right)$
\end{center}
}

\medskip

On dit que la fonction $f$ conserve l'ordre : les réels de l'intervalle $I$ et leurs images par $f$ sont rangés dans le même ordre.

\subsubsection{fonction décroissante}
\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$.

\begin{center}
Si $a \leqslant b$ alors $f\left(a\right) \geqslant f\left( b\right)$
\end{center}
}
\medskip

On dit que la fonction $f$ change l'ordre : les réels de l'intervalle $I$ et leurs images par $f$ sont rangés dans un ordre contraire.

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{remarque}}}}

\medskip

 On dit que $f$ est \emph{monotone} sur $I$ si elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$.

\subsubsection{extremum}

\cadreR{\begin{itemize}
\item Dire que la fonction  $f$ admet un maximum en $a$ sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$,  $f(x)\leqslant f(a)$.
\item Dire que la fonction  $f$ admet un minimum en $a$ sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$,  $f(x)\geqslant f(a)$.
\end{itemize}
}
\section{fonctions de référence}

\subsection{fonction affine}

\subsubsection{définition}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est une fonction affine.
}
\subsubsection{proportionnalité des accroissements}

\cadreR{$f$ est une fonction affine si, et seulement si, pour tous nombres réels distincts ${x_1} \ne {x_2}$, on a : \[\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = a\]
}
\subsubsection{variation}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

\begin{itemize}
 \item Si $a$ est positif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = ax+b$ est croissante.
\item Si $a$ est négatif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = ax+b$ est décroissante.
 \end{itemize}
}
\subsubsection{courbe représentative}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$.
}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.5*x+1.5}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(1,5){$a<0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\uput[ur](-4,3.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\uput[d](3,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{a}$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(1,5){$a=0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-4,1.8)(6,1.8)
\uput[ur](-4,1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(1,5){$a>0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\uput[ur](-4,-2.6){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{a}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{fonction carré}

\subsubsection{définition}

\cadreR{La fonction carré est la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{propriétés}}}

\medskip

\begin{itemize}
 \item Un carré est toujours positif ou nul.  Pour tout réel $x$, on a $x^2 \geqslant 0$.
 \item Un nombre et son opposé ont le même carré.   Pour tout réel $x$, on a $x^2 = {(-x)}^2$.
 \end{itemize}

\subsubsection{variations de la fonction carré}

\cadreR{La fonction carré définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur  $[0; +\infty[$
}
\medskip

\textsf{\textsc{\small{tableau des variations de la fonction carré}}}


 \begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\rput(0.75,2.5){$x$} \rput(2,2.5){$- \infty$} \rput(5.75,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.7){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.3){\rnode{B}{$0$}} \rput(9.5,1.7){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\textsf{\textsc{\small{conséquences}}}

\medskip

\cadreB{
\begin{itemize}
 \item Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire. Si $a \leqslant b \leqslant 0$ alors $a^2  \geqslant b^2$
\item Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si $0 \leqslant a \leqslant b $ alors $a^2  \leqslant b^2$
 \end{itemize} 
}
	
\subsubsection{courbe représentative}

\cadreR{
La courbe représentative de la fonction carré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$ est la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$.
}

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-6,-1)(6,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-1)(6,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.828}{2.828}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-1,0)(-1,1)(1,1)(1,0)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-1,-1)(4,4)
\uput[dr](2.8,8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\uput[dr](4,4){\prune{\footnotesize{$y=x$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textsc{\small{remarque :}}}

\medskip

Si $0 \leqslant a \leqslant 1$ alors $a^2  \leqslant a$. Sur l'intervalle $[0;1]$, la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ est au dessous de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.


\subsection{fonction inverse}

\subsubsection{définition}

\cadreR{La fonction inverse est la fonction $f$ définie pour tout réel $x \ne 0$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{ensemble de définition}}}

\medskip

L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls  noté $\R^*$, c'est la réunion de deux intervalles $] -\infty ; 0 [ \cup ]0;+\infty[$

\subsubsection{variations de la fonction inverse}

\cadreR{La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.
}
\medskip

\textsf{\textsc{\small{tableau des variations de la fonction inverse}}}

 \begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(5.7,0)(5.7,2)\psline(5.8,0)(5.8,2)
\rput(0.75,2.5){$x$} \rput(2,2.5){$- \infty$} \rput(5.75,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.7){\rnode{A}{}} \rput(5.6,.3){\rnode{B}{}}  \rput(5.9,1.7){\rnode{A1}{}} \rput(9.5,.3){\rnode{B1}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{A1}{B1} 
\end{pspicture} 
\end{center}
	
\subsubsection{courbe représentative}

\cadreR{
La courbe représentative de la fonction inverse  est l'hyperbole d'équation $y=\dfrac{1}{x}$.
}
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-5,-4)(5,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-4)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5,0){$x$}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle=dashed](0,1.6)(.625,1.6)(.625,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle=dashed](0,-1.6)(-.625,-1.6)(-.625,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle=dashed](-.625,-1.6)(.625,1.6)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{-.25}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.25}{5}{\f}
\uput[ur](.625,1.6){\prune $M$}\uput[dl](-.625,-1.6){\prune $M'$}
\uput[d](.625,0){\prune\footnotesize{$a$}} \uput[l](0,1.6){\prune\footnotesize{$\dfrac{1}{a}$}}
\uput[u](-.625,0){\prune \footnotesize{$-a$}} \uput[r](0,-1.6){\prune \footnotesize{$-\dfrac{1}{a}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf{\textsc{\small{remarques :}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item Pour tout réel $a \ne 0$, $f(-a)=-\dfrac{1}{a}=-f(a)$. 

Les points $M\left( a ; f(a) \right)$ et $M'\left( -a ; f(-a) \right)$ sont symétriques par rapport à l'origine du repère.

L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.
\item On peut rendre $f(x)=\dfrac{1}{x}$ aussi grand que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment proche de 0 et positif.

  On peut rendre $f(x)=\dfrac{1}{x}$ aussi proche de 0 que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment grand.

Graphiquement, l'hyperbole se rapproche de l'axe des abscisses lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (ou vers $-\infty$) , et de l'axe des ordonnées lorsque $x$ se rapproche de 0.

On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.
\end{itemize}


\subsection{fonction racine carrée}

\subsubsection{définition 1}

\cadreR{Soit $a$ un réel positif. Le nombre $\sqrt{a}$ est le seul réel positif dont le carré est $a$. }

\subsubsection{définition 2}

\cadreR{La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[  0 ; +\infty \right[$ par $f(x)=\sqrt{x}$. }

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{remarque}}}}

\medskip

Il ne faut pas confondre ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ et $\sqrt{x^2}$ :
\begin{itemize}
\item ${\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$ seulement pour $x\geqslant 0$.
\item $\begin{cases}
\text{Si }\; x\geqslant 0\text{, alors }\;\sqrt{x^2}=x. \\
\text{Si }\; x\leqslant 0\text{, alors }\; -x\geqslant 0\text{, d'où }\;\sqrt{x^2}=-x. 
\end{cases}$

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}} \[\sqrt{\left(-0,5\right)^2}=\sqrt{0,25}=0,5\]

\end{itemize}

\subsubsection{variations de la fonction racine carrée}

\cadreR{La fonction racine carrée définie pour tout réel $x$ positif par  $f(x)=\sqrt{x}$ est strictement croissante.
}

\dem

Soit $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $0 \leqslant a < b$ :\[a-b={\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\]

Comme $0 \leqslant a < b$, alors $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) > 0$. Par conséquent, $a-b$ et $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)$ sont de même signe.

Ainsi, si $a-b<0$ alors $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)<0$ soit $f(a)<f(b)$. La fonction racine carrée est strictement croissante sur  $\left[  0 ; +\infty \right[$.

\subsubsection{courbe représentative}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^.5}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-1,-1)(7,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.99,-.99)(7,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7,0){$x$}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{7}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}


\subsection{fonction cube}


\subsubsection{définition}

\cadreR{La fonction cube est la fonction $f$ définie pour tout réel $x$  par $f(x)=x^3$. }


\subsubsection{variations de la fonction cube}

\cadreR{La fonction cube est strictement croissante sur $\R$.
}

\dem

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $ a < b$ :
\begin{itemize}
\item Si $a<0$ et $b>0$, alors $a^3<0$ et $b^3>0$ donc $a^3< b^3$.
\item Si $a$ et $b$ sont de même signe :

Pour tous réel $a$ et $b$ on a \[a^3-b^3=(a-b)\left(a^2 +ab +b^2\right)\]
$a$ et $b$ étant de même signe, le produit $ab>0$ d'où $a^2 +ab +b^2>0$. Par conséquent, $a^3-b^3$ est du même signe que $(a-b)$.

Comme  $ a < b$ on en déduit que $a^3< b^3$. 
\end{itemize}

\subsubsection{courbe représentative}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(3,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^3}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-3,-5)(3,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](3,0){$x$}\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.71}{1.71}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

 \exo 

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}		
\begin{pspicture}(-10,-7)(10,8)	
\def\pshlabel#1{\textsf{\footnotesize{#1}} }
\def\psvlabel#1{\textsf{\footnotesize{#1}} }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-7)(10,8)
\psset{unit=.8cm}		
\psaxes[linewidth=.8pt,ticksize=-2pt 2pt,labelsep=1mm]{->}(0,0)(-5,-3.5)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\newrgbcolor{rougef}{.8 0 .2}
\newrgbcolor{violet}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vertf}{0 .5 .2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{0.6*x+.8}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=1](-3,-1)(2,2)
\psline[linecolor=vertf,linewidth=1.25pt](-5,-2.5)(5,-2.5)
\psline[linecolor=violet,linewidth=1.25pt](-4,-3.5)(-4,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=rougef]{-2.66}{5}{2-.75*x}
\psdots[linecolor=rougef,dotscale=1](-2,3.5)(4,-1)
\uput[d](-3,-1){\bleu {\footnotesize{$A$}}}
\uput[u](2,2){\bleu {\footnotesize{$B$}}}
\uput[d](4,-1){\rougef {\footnotesize{$F$}}}
\uput[d](-2,3.5){\rougef {\footnotesize{$E$}}}
\rput(-3.5,3.5){\violet {\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}
\rput(4.5,-3){\vertf {\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}
\rput(4.5,-2){\rougef {\footnotesize{$\mathcal{D}_3$}}}
\rput(4.5,3){\bleu {\footnotesize{$\mathcal{D}_4$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans chaque cas où la droite représentée ci-dessus, est la courbe représentative d'une fonction, déterminer la fonction affine associée. 

 \bigskip 

\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine $f$ puis donner son sens de variation 

\begin{enumerate}
	\item $f(-2)=3$ et $f(3)=-1$
	\item La droite représentant la fonction $f$ passe par les points de coordonnées $(-2 ; -1)$ et $(1 ; 3)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
 
\begin{enumerate}
	\item $f$ est une fonction affine définie pour tout réel $x$ telle que $f(-1,5)=-2$ et $f(3)=1$.
	
	Donner une expression de $f(x)$.
	\item $g$ est une fonction affine définie pour tout réel $x$ telle que $g(2)=-1$ et $g(4)-g(-2)=-9$.
	
	Donner une expression de $g(x)$.
	
	\item Résoudre dans $\R$, l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$.
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement de $\dfrac{1}{x}$ dans chacun des cas suivants :


a) $-0,5 < x < -0,4$; \hfill b) $\dfrac{2}{3} < x < 1$; \hfill c) $x  > \dfrac{1}{5}$; \hfill d) $x  \leqslant -\sqrt{2}$

\item Dans chaque cas, trouver les réels $x$ qui satisfont la condition donnée :

a) $\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{3}{4}$; \hfill b) $\dfrac{1}{x} > 2$; \hfill c) $-2  < \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{5}$; \hfill d) $-\dfrac{1}{3}  \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 3$
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip

Existe-t-il deux entiers naturels consécutifs dont la différence des inverses est égale à l'inverse de 600 ?

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses. 

a) $x > 4 \Rightarrow \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{4}$; \hfill b) $x \leqslant -\dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{x} \geqslant -1,5$; \hfill c) $x > -2 \Rightarrow \dfrac{1}{x} < -\dfrac{1}{2}$; \hfill d) $x < 0,6 \Rightarrow \dfrac{1}{x} > \dfrac{5}{3}$

\item Pour chacune des implications précédentes, énoncer la réciproque et dire si celle ci est  vraie ou fausse. 
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip
 
La parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous est la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par $g(x)=-3x-\dfrac{9}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ représentative de la fonction $g$.
\item Étudier les positions relatives de la droite  $\mathcal{D}$ et de la parabole $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\Delta$ n'ayant que le point $A$ d'abscisse 2 en commun avec la parabole.

(\emph{On dit que la droite $\Delta$ est tangente à la parabole $\mathcal{P}$ au point $A$ d'abscisse 2.})
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(6,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-3)(6,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.828}{2.828}{\f}
\uput[dr](2.8,8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{P}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}


  \exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel tel que $1<x\leqslant 2$
\begin{enumerate}
\item Montrer que ${\left(x-1\right)}^3 \leqslant {\left(x-1\right)}^2$
\item Que peut-on en déduire pour $\dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^3}$ et $\dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$ ?
\end{enumerate}
\item La proposition \og Pour tout réel $x > 1$, $\dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^3} \geqslant \dfrac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip
 
\begin{enumerate}
	\item Les courbes représentatives des fonctions $f \colon x \mapsto x^2$, $g \colon x \mapsto x$ et $h \colon x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sont représentées sur le graphique ci-dessous

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \newrgbcolor{vert}{0.1 0.46 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2}
\def\h{1/x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.732}{1.732}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3}{-.333}{\h}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.333}{3}{\h}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=vert](-3,-3)(3,3)
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique, émettre une conjecture à propos de l'ordre croissant des trois nombres $a$, $a^2$ et $\dfrac{1}{a}$ selon les différentes valeurs du réel $a$.

\item Si $0 < a \leqslant 1$ montrer que $ a^2 \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{a}$
\end{enumerate}


 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip
 
Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ positifs on a : $\sqrt{a}+ \sqrt{b} \geqslant \sqrt{a+b}$. 
 
 \bigskip 
 
 \exo 

 \medskip
 
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) =\sqrt{8-2x}$.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.
 
 \item Résoudre l'équation $f(x)= 3$.
 \end{enumerate} 
 
 \bigskip 
 
 \exo 

 \medskip
 
Dans chacun des cas suivants, étudier le signe de la fonction $f$ sur $\R$.

\begin{enumerate}
 \item $f$ est définie par $f(x)=100-0,1x^3$.
 
 \item $f$ est définie par $f(x)= \dfrac{x^3}{8}-1$.
 \end{enumerate} 
 
 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies pour tout réel$x$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{9}{4}$ et $g(x)=\dfrac{2}{3}x^2+x-3$. 


Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-13,-6)(10,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \newrgbcolor{vert}{0.1 0.46 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+3)*(2*x-3)^2/12}
\def\g{(x+3)*(2*x-3)/3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-13,-6)(10,12)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-6.5,-6)(5,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,12){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.672}{3.8}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-5.552}{4.05}{\g}
\uput[ul](-3.7,-6){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[dl](-5.6,12){\prune{$\mathcal{C}_g$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Calculer $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.
\item Par lecture graphique, donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{(x+3)(2x-3)^2}{12}$.
\item Établir le tableau de signes de $f(x)$.
\end{enumerate} 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x)=0$.
\item Étudier  les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\end{enumerate}

\end{document}
