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   \medskip}
  

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\hypersetup{
pdftitle={Probabilités.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Loi binomiale}, 
pdfkeywords={Variable aléatoire, loi binomiale, intervalle de fluctuation.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
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baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/premiere_cours/index_premiere_cours.php}
}

\begin{document}

 \section{rappels}

\subsection{opérations sur les évènements}

Soit $\Omega$ l'univers associé à une expérience aléatoire, $A$ et $B$ deux évènements

\begin{itemize}
	\item L'évènement \og $A$ ne s'est pas réalisé \fg{} est l'évènement contraire de $A$ noté $\overline{A}$.
	\item L'évènement \og au moins un des évènements $A$ ou $B$ s'est réalisé \fg{}  est l'évènement \og $A$ ou $B$ \fg{} noté $A \cup B$.
	\item L'évènement \og les évènements $A$ et $B$ se sont réalisés \fg{}  est l'évènement \og $A$ et $B$ \fg{} noté $A \cap B$.
	\item Deux évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. 
	
	On a alors  $A \cap B = \varnothing$.
	
	Les évènements  $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles.
\end{itemize}

\subsection{loi de probabilité} 

\cadreB{%
$\Omega$ désigne un univers de $n$ éventualités $\left\{ e_1, e_2, \ldots , e_n \right\}$.

\begin{itemize}
\item Définir une loi de probabilité $P$ sur $\Omega$, c'est associer, à chaque évènement élémentaire $e_i$ un nombre réel $p\left(e_i\right)~=~p_i$ de l'intervalle $[0; 1]$,
tel que : \[\sum_{i=1}^{n}p\left(e_i\right) = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\]
\item La probabilité d'un évènement $A$, notée $p(A)$,  est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent.
\end{itemize}
 }

\subsubsection{propriétés} 

\cadreR{%
Soit $\Omega$ un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.

\begin{enumerate}
	\item Pour tout évènement $A$, $p(\overline{A})=1-p(A)$.
	\item Si $A$ et $B$ sont deux évènements $p\left(A \cup B \right) = p(A) + p(B) - p\left(A \cap B \right)$
\end{enumerate}
}
 
\subsection{équiprobabilité} 

\cadreR{%
Soit $\Omega$ un univers fini de $n$ éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité  c'est à dire, si $p(e_1)= p(e_2)=  \cdots = p(e_n) = \dfrac{1}{n}$, alors l'univers est dit équiprobable. 

On a alors pour tout évènement $A$, \[p(A)=\dfrac{\text{nombre des issues favorables à }A}{\text{nombre des issues possibles}} = \dfrac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}\]
}

\medskip

\emph{Notation} :

Soit $E$ un ensemble fini, le cardinal de $E$ noté $\mathrm{card}(E)$ est le nombre d'éléments de l'ensemble $E$.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
		
\medskip

\emph{On lance deux dés équilibrés. Quel est l'évènement le plus probable $A$ \og la somme des nombres obtenus est égale à 7 \fg{} ou $B$ \og la somme des nombres obtenus est égale à 8 \fg{} ?}


Si on  s'intéresse à la somme des deux dés, l'univers est $\Omega = \left\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \right\}$ mais il n'y a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n'a pas la même probabilité :\[2=1+1\text{ alors que }5=1+4\text{ ou } 5=2+3 .\]
 
On se place dans une situation d'équiprobabilité en représentant une issue à l'aide d'un couple $(a,b)$ où $a$ est le résultat du premier dé et $b$ le résultat du second dé. L'univers $\Omega$ associé à cette expérience est l'ensemble des couples formés avec les éléments de $\left\{ 1, 2, 3, 4, 5 , 6\right\}$. 

Les dés étant équilibrés, il y a $6 ^2=36$ résultats équiprobables.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-7}
\multicolumn{1}{c|}	{}& 1 &	2	& 3 &	4 & 5 &	6 \\ \hline
1 &	(1,1) & (1,2) &	(1,3) &	(1,4) &	(1,5) &	(1,6) \\ \hline
2	& (2,1) &	(2,2) & (2,3) &	(2,4) &	(2,5) &	(2,6)\\ \hline
3	& (3,1) &	(3,2) &	(3,3) &	(3,4) &	(3,5) &	(3,6)\\ \hline
4	& (4,1) &	(4,2) &	(4,3) &	(4,4) &	(4,5) &	(4,6)\\ \hline
5 &	(5,1) &	(5,2) &	(5,3) &	(5,4) &	(5,5) &	(5,6)\\ \hline
6	& (6,1) &	(6,2) &	(6,3) &	(6,4) &	(6,5) &	(6,6)\\ \hline
\end{tabularx}	
\end{center}

L'évènement $A$ est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D'où $p(A)=  \dfrac{6}{36} =\dfrac{1}{6}$.

L'évènement $B$ est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D'où $p(B)=  \dfrac{5}{36}$.

L'évènement le plus probable est $A$.

 \section{variable aléatoire discrète}
 
Il arrive souvent qu'à chaque résultat d'une expérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une fonction de l'univers $\Omega$ dans $\R$.

Par exemple le gain obtenu à l'occasion d'un jeu de hasard ou encore le temps d'attente d'un bus.


En première, on ne considère que le cas où $\Omega$ est un univers fini.

 \subsection{définitions}

\cadreB{%
Soit $\Omega$ un univers fini de $n$ éventualités. 

\begin{itemize}
\item On appelle variable aléatoire $X$ sur l'ensemble $\Omega$ toute fonction qui à chaque issue de  $\Omega$ associe un nombre réel.
\item L'évènement \og $X=x_i$ \fg{} est l'ensemble des issues de $\Omega$ qui ont pour image le réel $x_i$ par $X$.
\end{itemize} 
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip

On lance à trois reprises une pièce bien équilibrée et on note le résultat à l'aide d'un mot de trois lettres. L'univers associé à cette expérience est : \[\Omega=\left\{ PPP,\: PPF,\: PFP,\: FPP,\: PFF,\: FPF,\: FFP,\: FFF \right\}\] 
\begin{enumerate}
\item On définit une variable aléatoire $X$ en associant à chaque éventualité de l'univers $\Omega$ le nombre de \og pile \fg{}. 
\begin{itemize}
\item La variable $X$ peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. 

L'image de $PPP$ est  $X\left(PPP\right)=3$, l'image de $PFP$ est $X\left(PFP\right)=2$.
\item L'évènement \og $X=2$ \fg{} est constitué des issues $\left\{PPF,\: PFP,\: FPP \right\}$.
\item L'évènement \og $X<2$ \fg{} est constitué des issues $\left\{PFF,\: FPF,\: FFP,\: FFF \right\}$.
\end{itemize}
\item On définit une variable aléatoire $Y$ avec la règle de jeu suivante : un joueur gagne 8 \euro{} s'il obtient trois \og pile \fg{} successifs, il ne gagne rien s'il obtient deux \og pile \fg{} et il perd  2 \euro{} dans tous les autres cas.
\begin{itemize}
\item La variable $Y$ peut prendre les valeurs $-2$, 0 ou 8. 

L'image de $PPP$ est  $Y\left(PPP\right)=8$, l'image de $PFF$ est $Y\left(PFF\right)=-2$.
\item L'évènement \og $Y=-2$ \fg{} est constitué des issues $\left\{PFF,\: FPF,\: FFP,\: FFF \right\}$.
\item L'évènement \og $Y\geqslant 0$ \fg{} est constitué des issues $\left\{PPP,\: PPF,\: PFP,\: FPP \right\}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
  
\subsection{loi de probabilité d'une variable aléatoire}
  
\cadreB{%
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers fini $\Omega$, qui prend les valeurs $x_1$, $x_2$, \ldots, $x_k$.
  
Lorsque, à chaque valeur $x_i$, on associe la probabilité de l'évènement \og $X=x_i$ \fg{}, notée $p(X=x_i)$, on définit une loi de probabilité sur l'ensemble  $\left\{ x_1, x_2, \ldots , x_k \right\}$, appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip

On considère la règle de jeu suivante :

Après avoir lancé deux dés cubiques équilibrés, un joueur gagne 10 \euro{} s'il obtient un double six, il gagne 3 \euro{} si la somme des chiffres est un nombre impair, sinon le joueur perd 5 \euro{}. 

 On considère l'expérience aléatoire suivante : on lance deux dés cubiques équilibrés et on fait la somme des chiffres obtenus. 
	
	L'univers de cette expérience est $\Omega = \left\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \right\}$. La loi de probabilité définie sur $\Omega$ est :
	
\begin{center}
	\begin{tabularx}{.95\linewidth}{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Issues	& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12 \\ \hline
Probabilités	 \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{6}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ &  $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}
			
Soit  $X$ la variable aléatoire définie sur $\Omega$, qui prend les valeurs $\left\{-5,3,10\right\}$.	
\begin{itemize}

\item L'évènement $(X=10)$ est constitué de l'issue $\{ 12 \}$ donc $p(X=10)= \dfrac{1}{36}$. 

\item L'évènement $(X=3)$ est constitué des issues $\{3, 5,  7,  9, 11 \}$ d'où $p(X=3)= \dfrac{2}{36}+\dfrac{4}{36}+ \dfrac{6}{36}+ \dfrac{4}{36}+\dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{2}$.

\item Comme $p(X=-5)+p(X=3)+p(X=10) =1$, on en déduit que : \[p(X=-5)=1-p(X=3)-p(X=10) =1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{17}{36}\]

D'où la loi de probabilité de $X$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|m{2.5cm}|*{3}{@{}>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$	& $-5$& 3& 10\\ \hline
$p(X=x_i)$	 \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $\dfrac{17}{36}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{36}$ \\ \hline
			\end{tabularx}
\end{center}		
\end{itemize}

\subsection{espérance mathématique}

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$, qui prend les valeurs $x_1$, $x_2$, \ldots, $x_k$

\begin{center}
\begin{tabularx}{.7\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$ &	$x_1$ &	$x_2$ &	$\cdots$ &	$x_k$ \\ \hline
$p(X=x_i)$ & $p_1$ &	$p_2$ &	$\cdots$ &	$p_k$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On appelle espérance mathématique de $X$ notée $\mathrm E (X)$, le réel :	\[ \mathrm{E} (X) = \sum_{i=1}^{k}x_ip(X=x_i)= x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \cdots + x_k\times p_k \]
}

\medskip

	\textsf {\textsc{\small{remarques :}}}

\begin{itemize}
	\item L'espérance $\mathrm{E} (X)$ apparaît comme la moyenne (au sens statistique du terme) des valeurs $x_i$ affectées des fréquences $p_i$.
	\item Dans le cas particulier d'un jeu,  l'espérance $\mathrm{E} (X)$ est le gain moyen par partie qu'un joueur peut espérer obtenir s'il joue un grand nombre de fois.
	
	Le signe de $\mathrm{E} (X)$ permet de savoir si le joueur a plus de chances de gagner que de perdre.
	
	Si $\mathrm{E} (X) = 0$, on dit que le \emph{jeu est équitable}.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip

Dans l'exemple précédent, la loi de probabilité de $X$ est :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|m{2.5cm}|*{3}{@{}>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$	& $-5$& 3& 10\\ \hline
$p(X=x_i)$	 \rule[-2ex]{0pt}{6ex} & $\dfrac{17}{36}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{36}$ \\ \hline
			\end{tabularx}
\end{center}

L'espérance mathématique de $X$ est : 
	\[ \mathrm{E} (X) = -5 \times \dfrac{17}{36} + 3 \times \dfrac{1}{2} + 10 \times \dfrac{1}{36} = -  \dfrac{7}{12} \]
	
	L'espérance mathématique $ \mathrm{E} (X) <0$ donc le jeu est défavorable au joueur.
	
Si chaque joueur joue 6 parties, comme $6 \times \left(-  \dfrac{7}{12}\right) = -3,5$, un joueur risque de perdre en moyenne  3,50~\euro{}.

 \section{loi binomiale}
 
Dans ce paragraphe, on étudie la répétition d'expériences identiques et indépendantes :

\begin{itemize}
\item Cela signifie que les conditions dans lesquelles on répète l'expérience sont les mêmes. Par exemple, les tirages d'objets se font \og avec remise \fg{} de l'objet tiré après chaque tirage. 
\item Cela signifie aussi que le résultat d'une expérience n'a aucune influence sur le résultat de l'expérience suivante. 
\end{itemize}
 
 \subsection{épreuve de Bernoulli}
 
 Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire ayant deux issues, l'une appelée \og succès \fg{} de probabilité $p$ et l'autre appelée \og échec \fg{} de probabilité $q=1-p$.
 
  \subsection{loi binomiale}

En répétant $n$ fois la même expérience de Bernoulli, on obtient une nouvelle expérience aléatoire qui possède $2^n$ issues. 
  
\cadreB{
L'expérience aléatoire qui consiste à répéter $n$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ de manière indépendante est appelée un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

La loi de probabilité de la variable aléatoire associée au nombre de succès obtenus au cours de $n$ épreuves de ce schéma de Bernoulli est appelée la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$.
}

\subsubsection{cas simples}

Dans le cas où $n=2$ ou $n=3$, on peut modéliser la situation à l'aide d'un arbre.
\begin{enumerate}
\item Cas $n=2$

On répète deux fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ successivement et de façon indépendante.
\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{arrows=-,treesep=.75cm,levelsep=3cm,linewidth=1pt,labelsep=4pt,linecolor=bleu}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~\bleu{$S$}~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}
		{
\TR{~\bleu{$S$}}\taput{\prune \textbf{$p$}}
\TR{~\bleu{$\overline{S}$}}\tbput{\prune \textbf{$q$}}
 		}
	\pstree{\TR{~\bleu{$\overline{S}$}~}\tbput{\prune \textbf{$q=1-p$}}}
		{
\TR{~\bleu{$S$}}\taput{\prune \textbf{$p$}}
\TR{~\bleu{$\overline{S}$}}\tbput{\prune \textbf{$q$}}
 		}
}
\end{center}

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès. $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 2 ; p \right)$ de paramètres $n=2$ et $p$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de succès $k$ &	0 &	1 &	2  \\ \hline
$P\left( X= k\right)$  & $q^2$ &	$2\times p \times q$ &	$p^2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Cas $n=3$

On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ successivement et de façon indépendante. 

L'expérience comporte $2^3=8$ issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de trois lettres : \[\{{S\;S\;S}\: ;\: {S\;S\;\overline{S}}\: ;\: {S\;\overline{S}\;S}\: ;\: {\overline{S}\;S\;S}\: ;\: {S\;\overline{S}\;\overline{S}}\: ;\: {\overline{S}\;S\;\overline{S}}\: ;\: {\overline{S}\;\overline{S}\;S}\: ;\: {\overline{S}\;\overline{S}\;\overline{S}}\}\] 

Pour obtenir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès, on dresse un arbre et compte le nombre d'issues contenant $k$ succès.

\begin{center}
 \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(1,3.5)
\psset{arrows=-,treesep=.5cm,levelsep=3cm,nodesep=0pt}
 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(10.6,3.5){\textsf {\textbf{\textsc{issues}}}}
\pstree[linecolor=bleu,treemode=R]{\Tp}{
\pstree{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}
		{\pstree{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}
				{\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}{\TR{ \prune ~$S\; S\;S$}}
				\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}{\TR{ \prune ~$S\;S\;\overline{S}$}}
				}
		\pstree{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}
			{\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}{\TR{ \prune ~$S\;\overline{S}\;S$}}
				\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}{\TR{ \prune ~$S\;\overline{S}\;\overline{S}$}}
				}	
		}
\pstree{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q=1-p$}}}
		{\pstree{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}
				{\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}{\TR{ \prune ~$\overline{S}\;S\;S$}}
				\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}{\TR{ \prune ~$\overline{S}\;S\;\overline{S}$}}
				}
		\pstree{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}
			{\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$S$~}\taput{\prune \textbf{$p$}}}{\TR{ \prune ~$\overline{S}\;\overline{S}\;S$}}
				\pstree[linestyle=none,levelsep=1.5cm]{\TR{\bleu ~$\overline{S}$~}\tbput{\prune \textbf{$q$}}}{\TR{ \prune ~$\overline{S}\;\overline{S}\;\overline{S}$}}
				}	
		}
}
\end{pspicture}
\end{center}

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 3 ; p \right)$ de paramètres $n=3$ et $p$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de succès $k$ &	0 &	1 &	2 &	3 \\ \hline
$P\left( X= k\right)$  & $q^3$ &	$3\times p \times q^2$ &	$3\times p^2 \times q$ &	$p^3$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsubsection{coefficients binomiaux}

\cadreB{
Soit $n$ un entier naturel non nul et $k$ un entier tel que $0\leqslant k \leqslant n $.

Si on représente par un arbre une série de $n$ épreuves de Bernoulli, le coefficient binomial, noté $\dbinom{n}{k}$, est le nombre de chemins réalisant $k$ succès parmi $n$ épreuves répétées.
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques :}}}

\begin{itemize}
\item Un seul chemin permet d'obtenir 0 succès ou $n$ succès consécutifs : $\dbinom{n}{0}=1$ et $\dbinom{n}{n}=1$.
\item Il y a $n$ chemins différents qui permettent d'obtenir un seul succès : $\dbinom{n}{1}=n$. 
\item Les calculatrices permettent de calculer les coefficients binomiaux dans les autres cas. Exemple de calcul de  $\dbinom{8}{3}$ :
\begin{center}
\footnotesize{\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textsf{TEXAS TI 83}&	\textsf{CASIO} \\ \hline
Touche \psframebox[framearc=.25]{\textsf{\textbf{\scriptsize{math}}}}\par choisir \textsf{PROB} puis \textsf{3 : Combinaison} \par \dotfill & Touche \psframebox*[framearc=.3,fillcolor=gray]{\textsf{\textbf{\white{\scriptsize{OPTN}}}}}\par choisir \textsf{PROB} puis \textsf{ n C r}\par \dotfill\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textsf{{\textsubscript{\psframebox[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{8}}} C  {\textsubscript{\psframebox[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{3}}}}}& \multicolumn{1}{l|}{\textsf{8 C 3}}\\
 \hfill  \textsf{56} &  \hfill \textsf{56}\\  \hline
\end{tabularx}}
\end{center}
\end{itemize}

\subsubsection{formule générale de la loi binomiale}
\cadreR{%
Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$ de paramètres $n$ et $p$.

Pour tout entier $k$  tel que $0\leqslant k \leqslant n$  :\[P\left( X = k \right) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k},\text{ où } q=1-p\]
}

\subsubsection{propriétés}
\cadreB{%
Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$ de paramètres $n$ et $p$.

Pour tout entier $k$  tel que $0\leqslant k \leqslant n$  :
\begin{itemize}
\item $P\left( X \leqslant k \right) = 1 - P\left( X > k \right)$ 
\item $P\left( X \geqslant k \right) = 1 - P\left( X < k \right)$ 
\end{itemize}

En particulier $P\left( X \geqslant 1 \right)= 1 - P\left( X =0 \right) = 1-q^{n}$,  où  $q=1-p$
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{commandes spécifiques des calculatrices :}}}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{2}{>{\sffamily}X|}} \cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{\footnotesize{TI 83}} & \multicolumn{1}{c|}{\footnotesize{Casio}} \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf {Menu} & \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=blue!75]{\white{\scriptsize{2nde}}} puis sur la touche \rnode{A}{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=lightgray!40]{var}} \nput[labelsep=2pt]{90}{A}{\blue\tiny{{distrib}}}} &  \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=gray]{\white{\scriptsize{OPTN}}} puis \psframebox{\tiny{STAT}} \psframebox{\tiny{DIST}} \psframebox{\tiny{BINM}}}\\ \hline
$P\left( X = k\right)$ &  \footnotesize{\texttt{binomFdP(}$n$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $p$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $k$ \texttt{)}} & \footnotesize{\psframebox{\tiny{BpD}} \texttt{binomialPD(}$k$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $n$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $p$\texttt{)}}\\ \hline 
$P\left(  X \leqslant k\right)$ &  \footnotesize{\texttt{binomFRép(}$n$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $p$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $k$\texttt{)}}&  \footnotesize{\psframebox{\tiny{BcD}} \texttt{binomialCD(}$k$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $n$ \psframebox[linewidth=.5pt,framearc=.25]{\texttt{,}} $p$\texttt{)}}\\ \hline
\end{tabularx}
\subsubsection{espérance et écart-type de la loi binomiale}
\cadreR{%
Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$ de paramètres $n$ et $p$.

L'espérance de $X$ est $E(X)= np$, l'écart-type de $X$ est $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip


{\footnotesize{Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 \% des clients choisissent l'option \og Livraison Express \fg{}. 

On prélève au hasard 30 bons de commande. On considère que le nombre de bons de commande est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de bons  portant la mention  \og Livraison Express \fg{}.}} 

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize{Calculer l'espérance mathématique $E(X)$, interpréter le résultat.}}

On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons donc $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 30 ; 0,4 \right)$ de paramètres $n=30$ et $p=0,4$.\[E(x)=30 \times 0,4 = 12\]
Sur un grand nombre de prélèvements de 30 bons on trouve en moyenne 12 bons de commande avec la mention  \og Livraison Express \fg{}.
\item {\footnotesize{Déterminer la probabilité, arrondie au millième près, que 13 bons de commande portent la mention  \og Livraison Express \fg{}.}}
\[P\left( X = 13 \right) = \dbinom{30}{13} \times 0,4^{13}\times 0,6^{17}\approx 0,136\]

La probabilité que 13 bons  portent la mention  \og Livraison Express \fg{} est d'environ 0,136.
\item {\footnotesize{Déterminer la probabilité, arrondie au millième près, qu'au moins 16 bons de commande portent la mention  \og Livraison Express \fg{}.}}
\[P\left( X \geqslant 16 \right) = 1-P\left( X \leqslant 15 \right)\approx 0,097\]
La probabilité qu'au moins 16 bons portent la mention  \og Livraison Express \fg{} est d'environ 0,097.
\end{enumerate}

 \section{échantillonnage} 
 
On appelle échantillonnage, le prélèvement d'un échantillon de taille $n$ au sein de la population.

On s'intéresse à un caractère de proportion $p$ connue au sein d'une population.

Si l'échantillon est réalisé par prélèvement des éléments de manière aléatoire avec remise, alors le nombre d'éléments de l'échantillon possédant le caractère étudié suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}
	
\medskip

En pratique, si l'effectif de la population est très grand par rapport à l'effectif $n$ de l'échantillon on considère que le tirage des éléments de l'échantillon s'effectue avec remise.

\subsection{intervalle de fluctuation à 95\,\% d'une fréquence correspondant à une loi binomiale} 

\cadreR{
L'intervalle de fluctuation à 95\,\% correspondant à une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, est l'intervalle $\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]$ où :
\begin{itemize}
\item $a$ est le plus petit entier tel que $P\left( X \leqslant a \right) > 0,025$ ; 
\item $b$ est le plus petit entier tel que $P\left( X \leqslant b \right) \geqslant 0,975$. 
\end{itemize}
On a alors $P\left( a \leqslant X \leqslant b \right) \geqslant 0,95$.
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip

On considère une population pour laquelle la proportion d'un caractère $C$ est $p=0,28$.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de taille $n=100$. La variable aléatoire $X$ associée au nombre d'individus ayant le caractère $C$ au sein de l'échantillon, suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 100 ; 0,28 \right)$ de paramètres $n=100$ et $p=0,28$.

On a ci-dessous, un extrait du tableau des probabilités cumulées $P\left(X \leqslant  k\right)$ de la loi binomiale  $\mathscr{B} \left( 100 ; 0,28 \right)$.
\begin{center} 
\small{\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{|>{\centering}m{2em}|>{\centering \arraybackslash}X|}}  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$\\ \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
14 & \np{0,0007} & 20 & \np{0,044} & 26 & \np{0,3748} & 32 & \np{0,842} & 38 & \np{0,9887}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
15 & \np{0,0017} & 21 & \np{0,0709} & 27 & \np{0,4622} & 33 & \np{0,8884} & 39 & \np{0,9936}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
16 & \np{0,0037} & 22 & \np{0,1085} & 28 & \np{0,5507} & 34 & \np{0,924} & 40 & \np{0,9965}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
17 & \np{0,0075} & 23 & \np{0,158} & 29 & \np{0,6362} & 35 & \np{0,9501} & 41 & \np{0,9982}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
18 & \np{0,0144} & 24 & \np{0,2198} & 30 & \np{0,7149} & 36 & \np{0,9684} & 42 & \np{0,9991}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
\textbf{\red{19}} & \textbf{\np{0,0259}} & 25 & \np{0,2929} & 31 & \np{0,784} & \textbf{\red{37}} & \textbf{\np{0,9807}} & 43 & \np{0,9995}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-||-|-||-|-}
\end{tabularx}}

\begin{itemize}
 \item Le plus petit entier $a$  tel que $P\left( X \leqslant a \right) > 0,025$ est $a=19$.
 \item Le plus petit entier $b$  tel que $P\left( X \leqslant b \right) \geqslant 0,975$ est $b=37$.  
 \item On peut vérifier que  $P\left( 19 \leqslant X \leqslant 37 \right) = P\left( X \leqslant 37 \right)-P\left( X \leqslant 18 \right)\approx \np{0,9663} \geqslant 0,95$
 \end{itemize} 
\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=1.5mm, yunit=40cm}
\begin{pspicture}(4,-.015)(50,.11)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(27,.11){\footnotesize{Loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,28$}}
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.2]{19,37,100}{0.28}% 
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=prune,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=prune,barwidth=0.2]{10,18,100}{0.28}% 
\psBinomial[linewidth=.1pt,linecolor=prune,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=prune,barwidth=0.2]{38,45,100}{0.28}% 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt,labels=y, Dy=0.01,comma]{->}(8,0)(50,.1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=x,xticksize=-2pt 2pt,Ox=10,Dx=5,labels=x, yAxis=false]{-}(10,0)(48,.1)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<-}(5,-.01)(19,-.01)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}(37,-.01)(50,-.01)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,arrowscale=1.5]{<->}(19,-.01)(37,-.01)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu, linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](19,0)(19,-.012)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu, linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](37,0)(37,-.012)
\uput[r](8,.1){\tiny{$P\left( X =  k \right)$}}
\uput[d](28,-.01){\footnotesize{\bleu{$\geqslant 0,95$}}}\uput[d](12,-.01){\footnotesize{\prune{$\approx 0,025$}}}\uput[d](43.5,-.01){\footnotesize{\prune{$\approx 0,025$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'intervalle de fluctuation à 95\,\% de la fréquence du nombre d'individus ayant le caractère $C$ au sein d'un échantillon de taille 100 correspondant à la variable aléatoire est donc l'intervalle $\left[ \dfrac{19}{100} ; \dfrac{37}{100}\right]=[0,19 ; 0,37]$.

Cet intervalle est centré en 0,28 qui est la proportion du caractère $C$ dans la population.

\subsection{prise de décision}

On formule l'hypothèse que la proportion d'un caractère dans la population est $p$. 

Pour valider cette hypothèse, on prélève au hasard dans la population un échantillon de taille $n$ et on note $f$ la fréquence observée du caractère étudié.

Si l'effectif de la population est suffisamment grand par rapport à l'effectif $n$ de l'échantillon on considère que la variable aléatoire $X$ associée au nombre d'éléments ayant le caractère étudié au sein de l'échantillon, suit la loi binomiale $\mathscr{B} \left( n ; p \right)$. 

On détermine l'intervalle $\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]$ de fluctuation à 95\,\% d'une fréquence correspondant à la variable aléatoire $X$ qui permet de fixer le seuil de décision.

\medskip

\cadreR{
\begin{itemize}
\item Si la fréquence observée $f$ appartient à l'intervalle $\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]$, on accepte l'hypothèse selon laquelle la proportion est $p$ dans la population au seuil de 95\,\%.  
\item Si la fréquence observée $f$ n'appartient pas à l'intervalle $\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]$, on rejette l'hypothèse selon laquelle la proportion est $p$ dans la population avec un risque d'erreur de 5\,\%. 
\end{itemize}
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
	
\medskip
 
Selon une publication de l'INSEE, 28\,\% des ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

\begin{enumerate}
\item On interroge un échantillon de 100 ménages choisis au hasard, et on constate que dans cet échantillon 35\,\% des ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

Cet échantillon est-il représentatif de la population ?

\medskip

L'intervalle de fluctuation à 95\,\% associé à la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 100 ; 0,28 \right)$ calculé précédemment est \mbox{$I=[0,19 ; 0,37]$}.

La fréquence observée des ménages comprenant une famille avec au moins un enfant mineur est \mbox{$f=0,35$}. Donc  $f$ appartient à l'intervalle $[0,19 ; 0,37]$. 

On considère que l'échantillon est représentatif de la population.

\bigskip

\item On interroge au hasard 300 ménages qui résident dans le même arrondissement d'une grande agglomération, et on constate également que 35\,\% de ces ménages comprennent une famille avec au moins un enfant mineur.

Cet échantillon est-il représentatif de la population ?

\medskip

On détermine l'intervalle de fluctuation à 95\,\% associé à la loi binomiale $\mathscr{B} \left( 300 ; 0,28 \right)$.

\begin{itemize}
 \item Le plus petit entier $a$  tel que $P\left( X \leqslant a \right) > 0,025$ est $a=69$.
 \item Le plus petit entier $b$  tel que $P\left( X \leqslant b \right) \geqslant 0,975$ est $b=99$.  
 \end{itemize} 

L'intervalle de fluctuation à 95\,\% de la fréquence du nombre de ménages comprenant une famille avec au moins un enfant mineur dans un échantillon de taille 300 est donc l'intervalle $\left[ \dfrac{69}{300} ; \dfrac{99}{300}\right]=[0,23 ; 0,33]$.

La fréquence des ménages comprenant une famille avec au moins un enfant mineur est $f=0,35$. Donc  $f$ n'appartient à l'intervalle $[0,23 ; 0,33]$. 

On considère que cet échantillon n'est pas représentatif de la population.
\end{enumerate}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

 \exo

 \medskip 
 
Une entreprise fabrique un produit destiné à l'exportation. 

Sur le marché extérieur la demande (en milliers d'unités) est régie par la loi de probabilité suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$ &	1	& 2	& 3 &	4 &	5\\ \hline
$p(x_i)$ &	$6a$ &	$4a$ &	$2a$ &	$2a$ &	$a$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
 Si l'entreprise dispose d'un stock de \np{3000} unités du produit, quelle est la probabilité qu'il y ait rupture de stock ?
 
 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Dans une entreprise, on a relevé qu'au cours d'une année: 40\% des salariés ont été absents au moins 1 jour; 30\% des salariés ont été absents au moins 2 jours ; 15\% des salariés ont été absents au moins 3 jours ; 10\% des salariés ont été absents au moins 4 jours ; 5\% des salariés ont été absents au moins 5 jours.

On choisit au hasard un salarié de cette entreprise. Quelle est la probabilité pour que ce salarié :

\begin{enumerate}
	\item n'ait jamais été absent au cours de cette année ?
	\item ait été absent une seule journée au cours de cette année ?
	\item ait été absent au plus 3 jours ?
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo

\medskip

Les résultats d'une enquête sur l'audience de deux magazines A et B, sont les suivants:

3 \% de la population lit les deux magazines. Le magazine A est lu par 12 \% de la population  tandis que le magazine B est lu par 7 \% de la population. 

On interroge une personne de cette population au hasard. 

\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ne lise pas le magazine A.
	\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ne lise aucun des deux magazines. 
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
 \exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité.  Une étude statistique a permis de constater que 10\% des articles fabriqués sont défectueux.

Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés $a$ et $b$.

On prélève un article au hasard et on note, $A$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $b$ \fg.

On donne les probabilités suivantes : $p(A) = 0,05$ ; $p(B) = 0,06$.

\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$. Donner la probabilité de l'évènement  $A\cup B$.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut \fg ? 
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard présente les deux défauts \fg.
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard n'a qu'un seul des deux défauts \fg.  
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

Un musée propose à la vente trois sortes de billets : un billet à {9~\euro} pour visiter uniquement les collections permanentes ; un billet à {11~\euro} pour visiter uniquement l'exposition temporaire ou un billet à {13~\euro} pour visiter les collections permanentes et l'exposition temporaire. 

On sait que : 60\% des visiteurs visitent l'exposition temporaire et 45\% des visiteurs achètent un billet à {11~\euro}.

\begin{enumerate} 
\item \'Etablir la loi de probabilité associée au prix d'un billet.
\item Quelle est la recette quotidienne que peut espérer ce musée si le nombre de visiteurs par jour est en moyenne de 20~000 ?
\end{enumerate}
 
 \bigskip


\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac La Réunion 2007})

 \medskip 

\begin{minipage}{\linewidth-3.5cm}
Un domino est une petite plaque partagée en deux parties.

Sur chacune des parties figure une série de points. Il peut y avoir de zéro à six points dans une série. Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents. 

Lors d'une fête, on propose le jeu suivant :

\begin{itemize}
\item  le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu, 
\item  il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré.
 \end{itemize}
 
On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{3cm}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(2,2.5) 
 %\psgrid
 \psframe[linewidth=1pt,framearc=.3](0,0)(2,1) \psframe[linewidth=1pt,framearc=.3](0,1.5)(2,2.5) \psline[linewidth=.5pt](1,0)(1,1) \psline[linewidth=.5pt](1,1.5)(1,2.5)
 \qdisk(0.2,2.3){3pt} \qdisk(0.8,1.7){3pt} \qdisk(1.2,2.3){3pt} \qdisk(1.8,1.7){3pt}
  \qdisk(0.2,0.8){3pt} \qdisk(0.2,0.2){3pt} \qdisk(0.8,0.8){3pt} \qdisk(0.8,0.2){3pt}
 \end{pspicture}
\end{flushright}\end{minipage} 

\begin{enumerate}
\item \'Etablir la loi de probabilité des gains possibles.
\item Le joueur doit miser 7~\euro{} avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo 

\medskip 

Une urne contient des jetons : 10 rouges,  36 bleus et 54 blancs. Un jeu de hasard est organisé de la manière suivante, après avoir misé une certaine somme, un joueur tire un jeton dans l'urne :

\begin{itemize}
\item Si le jeton est rouge, il perd le cube de sa mise de départ.
\item Si le jeton est bleu, il gagne le carré de sa mise de départ. 
\item Si le jeton est blanc, il gagne sa mise de départ. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On suppose que la mise de départ est de 5 euros.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité sur l'ensemble des gains possibles.
		\item Calculer le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de parties avec la même mise de départ de 5 euros.
	\end{enumerate}
\item Un joueur cherche à déterminer le montant de la mise de départ pour que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de parties soit maximal.  Soit $x$ la mise de départ en euros.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'espérance mathématique de loi de probabilité du gain est : \[f(x) = -0,1x^3 + 0,36x^2 + 0,54x\]
		\item \'Etudier les de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. Conclure sur le problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip  
 
 \exo
 
 \medskip

Un casino organise un jeu de dés. La mise du joueur pour participer à ce jeu est de $n$ euros, ensuite, le joueur lance deux dés et gagne en euros, le double de la somme des deux dés. 

En supposant que ce jeu ait du succès, quel doit être le montant minimal de la mise du joueur pour que le casino ne perde pas d'argent ?

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

À l'occasion de la fête du cinéma, le service de publicité d'un quotidien propose chaque jour la possibilité de gagner une place de cinéma sous forme de cartes à gratter.

Dans 13\% des journaux mis en vente on trouve une carte gagnante. 
  
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'un client qui a acheté pendant cinq jours ce quotidien gagne au moins une place de cinéma ?

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Une usine fabrique des plaques d'isolation phonique. Une machine de cette usine est chargée de percer des trous dans ces plaques de 80~mm de diamètre.
 
On décide de contrôler la qualité des trous dans la production d'une journée. On suppose que la probabilité qu'un trou soit défectueux est $0,05$.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~trous choisis au hasard, associe le nombre de trous défectueux.
 
La production quotidienne des plaques est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler le choix des 100~trous à un tirage avec remise pour assurer l'indépendance des choix.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ (\emph{justifier votre réponse}). 
		\item Donner les paramètres de cette loi.
	\end{enumerate} 
\item Calculer une valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de la probabilité pour un tel échantillon : 
	\begin{enumerate}
		\item de n'avoir aucun trou défectueux ; 
		\item d'avoir un seul trou défectueux ; 
		\item d'avoir au moins deux trous défectueux.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

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 Un énoncé contient 3 coquilles. \`A chaque relecture la probabilité de détection d'une erreur ayant subsisté est de 0,8. 
 
\begin{enumerate}
	\item  \'Etablir la loi de probabilité du nombre de coquilles qui subsistent après la première relecture.
	\item Après une deuxième relecture, quelle est la probabilité qu'il subsiste encore au moins une erreur ?
\end{enumerate}
 
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Une entreprise fabrique des articles en grande quantité.  Une étude statistique a permis de constater que 10\% des articles fabriqués sont défectueux.

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\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

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Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés $a$ et $b$. On note :

\begin{itemize}
	\item[] $A$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $a$ \fg ;
	\item[] $B$ l'évènement : \og Un article prélevé au hasard présente le défaut $b$ \fg ;
\end{itemize}

On donne les probabilités suivantes : $p(A) = 0,05$ ; $p(B) = 0,06$.

\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$. Donner la probabilité de l'évènement  $A\cup B$.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut \fg ? 
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard présente les deux défauts \fg.
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og un article prélevé au hasard n'a qu'un seul des deux défauts \fg.  
\end{enumerate}

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\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

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On prélève au hasard 40 articles dans le stock, pour vérification. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 articles à un tirage avec remise de 40 articles. 
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 40 articles dans ce stock, associe le nombre d'articles ayant un défaut.
 
\begin{enumerate}
	\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. Interpréter le résultat. 
	\item Déterminer la probabilité de trouver quatre articles qui ont un défaut. 
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins un article a un défaut. 
	\item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence d'articles défectueux dans un échantillon de taille 40.
\end{enumerate}	

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Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l'exclusion de tout autre défaut.
 
On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 7\% ont le défaut A, 5\% ont le défaut B, et 4\% ont les deux défauts.

On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. On note :

\begin{itemize}
	\item A l'évènement : \og La pièce a le défaut A \fg ;
	\item B l'évènement : \og La pièce a le défaut B \fg.
\end{itemize}

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\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

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\begin{enumerate}
	\item Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?
	\item Traduire par une phrase l'évènement  $A \cap \overline B $. Calculer la probabilité de l'évènement  $A \cap \overline B $ ?
	\item Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce qui a seulement le défaut B ?
	\item Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse qui n'a qu'un seul défaut ?
\end{enumerate}
	
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\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

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On prélève au hasard 100 pièces dans le stock, pour vérification. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 100 pièces à un tirage avec remise de 100 pièces. 
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 pièces dans ce stock, associe le nombre de pièces ayant un défaut.
 
\begin{enumerate}
	\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma$. 
	\item Déterminer la probabilité de trouver 8 pièces qui ont un défaut. 
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins deux pièces ont un défaut. 
	\item Déterminer la probabilité que dans un lot de 100 pièces on trouve entre 5 et 11 pièces qui ont un défaut. 
	\item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence de pièces défectueuses dans un échantillon de taille 100.
	
	En déduire le nombre de pièces défectueuses que l'on peut trouver dans un lot de 100 pièces avec une probabilité proche de 0,95.
\end{enumerate}	

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\exo

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Une machine fabrique \np{10000}  pièces par jour. En sortie de fabrication, on a constaté qu'une pièce pouvait présenter deux sortes de défauts A ou B et, qu'en moyenne :

\begin{itemize}
\item 9 \% des pièces fabriquées présentent le défaut A ;
\item 10 \% des pièces fabriquées présentent le défaut B ;
\item 11 \% des pièces fabriquées présentent à la fois les défauts A et B.
\end{itemize}

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\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

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 On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.
\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité $p_1$ qu'elle n'ait aucun défaut.
\item Calculer la probabilité $p_2$ qu'elle présente un seul défaut.
\end{enumerate}
	
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\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

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Dans le cadre d'un fonctionnement correct de  la machine, on tolère que la proportion $p$ de pièces défectueuses dans la production est 8\,\%.

On contrôle le bon fonctionnement de la machine en prélevant au hasard dans la production des échantillons de $n$ pièces. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler un tel prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $n$ pièces dans le stock, associe le nombre de pièces défectueuses.
  
\begin{enumerate}
	\item Au cours de l'un de ces contrôles, un technicien a prélevé au hasard dans la production un échantillon de 40 pièces.
	 \begin{enumerate} 
	\item Déterminer la probabilité qu'il y ait trois pièces défectueuses dans cet échantillon. 
	\item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins trois pièces défectueuses dans cet échantillon. 
	\item Le technicien a trouvé six pièces défectueuses. 
	
	Doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la machine ? 
	\end{enumerate}
	\item Un deuxième technicien a prélevé un échantillon de 100 pièces et trouve la même proportion de 15 \% de pièces défectueuses. 
	
	Doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la machine ?

\end{enumerate}	
	
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Un grossiste propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. 

Ces perles peuvent présenter deux sortes d'irrégularité (couleur ou  forme). Les perles qui présentent les deux sortes d'irrégularité sont déclassées. Une étude statistique a permis d'établir que :

\begin{itemize}
\item 18\% des perles sont déclassées ;
\item 24\% des perles présentent une irrégularité de couleur ;
\item 16\% des perles présentent une irrégularité de forme.
\end{itemize}
	
On choisit au hasard dans le stock une perle et on note :

\begin{itemize}
\item $C$ l'évènement \og la perle présente une irrégularité de couleur \fg{} ;
\item $F$ l'évènement \og la perle présente une irrégularité de forme \fg{}.
\end{itemize}

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\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

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\begin{enumerate}
	\item Traduire par une phrase l'évènement  $C \cup \ F$. Calculer   $P\left(C \cup  F\right) $.
	\item Quelle est la probabilité que la perle choisie ne présente aucune irrégularité ?
\end{enumerate}
	
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\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

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On prélève au hasard un lot de 50 perles dans le stock, pour vérification. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 50 perles à un tirage avec remise. 
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 perles dans ce stock, associe le nombre de perles déclassées.
 
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate} 
	\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. 
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate} 
	\item Déterminer la probabilité de trouver 9 perles déclassées dans ce lot. 
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins deux perles du lot soient déclassées. 
	\item Déterminer la probabilité de trouver dans ce lot entre 7 et 10 perles déclassées. 
	\end{enumerate}
	\item On a trouvé dans ce lot, 14 perles déclassées. Ce résultat est-il compatible avec la proportion de 18\% des perles déclassées donnée par le grossiste ?
\end{enumerate}	
\end{document}
