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%
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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 18 septembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{second degré}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} ES 2}}}%droit
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\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection} --}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
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\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
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\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
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%%%% fin macro %%%%

   
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\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
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#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Second degré.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonction carré.}, 
pdfkeywords={Fonction carré, définition, variation, courbe. Inéquations, tableau de signes,  cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_cours/index_poly_seconde.php}
}

\begin{document}
\section{polynômes du second degré}

\subsection{définition}

\cadreR{
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels et   $a\ne 0$.
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}


\begin{itemize}
\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) =-0,5x^2+\sqrt{2}$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-0,5$ , $b=0$ et $c=\sqrt{2}$.
\item La fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) ={\left( 2x+1\right)}^2-3x$ est une fonction polynôme du second degré car, pour tout réel $x$, $g(x) =4x^2+x+1$ ($a=4$, $b=1$ et $c=1$)
\item La fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par $h(x) =\dfrac{3}{x^2+1}$ n'est pas une fonction polynôme.
\end{itemize}

\subsection{forme canonique}

\cadreR{
Toute fonction polynôme $f$ de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$, peut s'écrire sous la forme : \[f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta \qquad \text{avec }\;\alpha=-\dfrac{b}{2a}\; \text{ et }\;\beta=f(\alpha).\]
}

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$.

Comme $a\ne0$, pour tout réel $x$, $f(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$.


Or pour tout réel $x$,  ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+{\left(\dfrac{b}{2a}\right)}^2 $. On en déduit que pour tout réel $x$, \[\begin{split}
f(x)&=a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]\\
&=a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]\\
&=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}
\end{split}\]

Soit en posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta= f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$, on obtient pour tout réel $x$, $f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta$

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Cherchons la forme canonique de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2-3x+2$.

Pour tout réel $x$, \[\begin{split}
f(x)&=-2 \times \left[x^2+\dfrac{3}{2}x-1\right]\\
&=-2 \times \left[{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{9}{16}-1\right]\\
&=-2 \times \left[{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2-\dfrac{25}{16}\right]
\end{split}\]

Ainsi, pour tout réel $x$, $f(x)=-2 {\left(x+\dfrac{3}{4}\right)}^2+\dfrac{25}{8}$

\section{variations}


Quand on connaît la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré, on peut en déduire son maximum ou son minimum.

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, alors pour tout réel $x$, $f(x) =a {\left( x - \alpha\right)}^2 +\beta$ avec   $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudions le cas où $a<0$
\begin{itemize}
\item[] Si  $x_1 < x_2 \leqslant \alpha$ alors $x_1 -\alpha < x_2 -\alpha \leqslant 0$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 > \left(x_2  -\alpha\right)^2$. (la fonction carré est décroissante sur $]-\infty ; 0]$)

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta < a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) < f\left(x_2 \right)$.
\item[] Si  $\alpha  \leqslant x_1 < x_2 $ alors $0 \leqslant x_1 -\alpha < x_2 -\alpha$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 < \left(x_2  -\alpha\right)^2$. (la fonction carré est croissante sur $[0 ; +\infty [$)

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta > a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) > f\left(x_2 \right)$.
\end{itemize}

Ainsi, si $a<0$ la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left] - \infty ; -\dfrac{b}{2a}\right]$ et  strictement décroissante sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{b}{2a} ; + \infty \right[$
\item \'Etudions le cas où $a>0$
\begin{itemize}
\item[] Si  $x_1 < x_2 \leqslant \alpha$ alors $x_1 -\alpha < x_2 -\alpha \leqslant 0$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 > \left(x_2  -\alpha\right)^2$.

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta > a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) > f\left(x_2 \right)$.
\item[] Si  $\alpha  \leqslant x_1 < x_2 $ alors $0 \leqslant x_1 -\alpha < x_2 -\alpha$ d'où   $\left(x_1  -\alpha\right)^2 < \left(x_2  -\alpha\right)^2$.

On en déduit que $a {\left( x_1 - \alpha\right)}^2 +\beta < a {\left( x_2 - \alpha\right)}^2 +\beta$ soit  $f\left(x_1 \right) < f\left(x_2 \right)$.
\end{itemize}

Ainsi, si $a>0$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left] - \infty ; -\dfrac{b}{2a}\right]$ et  strictement croissante sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{b}{2a} ; + \infty \right[$
\end{enumerate}

On retient :

\medskip

\cadreR{
Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$. 

Les variations de $f$ sont données par les tableaux suivants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X}
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}
\fbox{$a<0$}&\fbox{$a>0$}\\ 
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,2){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,2.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.5){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,2.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{tabularx}
}


\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par par $f(x)=-3x^2-2x+1$. Ici $a=-3$, $b=-2$ et $c=1$. Ainsi, $-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{1}{3}$ et $f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}$. Comme $a<0$, on en déduit le tableau des variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm, yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{1}{3}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1.8){\rnode{B}{$\dfrac{4}{3}$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\section{courbe représentative}


Dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\vec{i},\vec{j}\right)$ du plan, la courbe représentative d'une fonction polynôme  $f$ de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ est une parabole.

On dit que la parabole a pour équation $y=ax^2+bx+c$

Le sommet $S$ de la parabole a pour abscisse $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$. Il correspond au maximum ou au minimum sur $\R$ de la fonction $f$.

La parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$ 

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}X}
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}
\fbox{$a<0$}&\fbox{$a>0$}\\ 
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(8,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-5,-5)(7,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.6,0){\prune{\footnotesize{$\vec{i}$}}}\uput[l](0,0.6){\prune{\footnotesize{$\vec{j}$}}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,-5)(2,6)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](0,4)(2,4)
\uput[ur](2,4){\prune{\footnotesize{$S$}}}
\uput[l](0,4){\prune{\footnotesize{$f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$}}}
\uput[dr](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(4,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x-3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-5)(4,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.6,0){\prune{\footnotesize{$\vec{i}$}}}\uput[l](0,0.6){\prune{\footnotesize{$\vec{j}$}}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{4}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,-5)(-2,6)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](0,-4)(-2,-4)
\uput[dl](-2,-4){\prune{\footnotesize{$S$}}}
\uput[r](0,-4){\prune{\footnotesize{$f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$}}}
\uput[dl](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}\\

La parabole est tournée vers le bas & La parabole est tournée vers le haut 
\end{tabularx}

\subsubsection{symétrie de la parabole}

Pour des raisons de symétrie, l'abscisse $\alpha$ du sommet de la parabole est la moyenne des abscisses $x_1$ et $x_2$ de deux points de la parabole ayant même ordonnée : $\alpha= \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Soit $f$ la  fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2x^2-6x-5$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.

Déterminons deux points de la courbe représentative de la fonction $f$ ayant la même ordonnée.

Cherchons les solutions de l'équation $f(x)=-5$  \[\begin{split}
2x^2-6x-5=-5&\Leftrightarrow 2x^2-6x=0\\
&\Leftrightarrow 2x  \left( x - 3 \right)=0
\end{split}\]
Soit $x=0$ ou $x=3$. Par conséquent, le sommet de la parabole a pour abscisse $\alpha= \dfrac{0 + 3}{2}=1,5$


\section{\'Equation du second degré}

Une équation du second degré à une inconnue $x$, est une équation qui peut s'écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels et   $a\ne 0$.


L'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne 0$ peut s'écrire sous la forme $a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=0$


On pose $\Delta= b^2 - 4ac$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne 0$ équivaut à l'équation  $a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]=0$, soit encore ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0$.

\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors $\dfrac{\Delta}{4a^2}<0$ et ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$. Donc l'équation du second degré n'a pas de solution.
\item Si $\Delta=0$ alors  l'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne 0$ équivaut à l'équation  ${\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2=0$. Donc l'équation du second degré a pour unique solution $x=-\dfrac{b}{2a}$.

\item Si $\Delta>0$ alors : \[\begin{split}
{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0 &\Leftrightarrow {\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)}^2=0\\
&\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)=0\\
&\Leftrightarrow  \left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)=0
\end{split}\]
Donc l'équation du second degré a deux solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
\end{itemize}

\subsection{Propriété}

\cadreR{%
Soit $S$ l'ensemble des solutions dans $\R$ de l'équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés avec $a \ne 0$ et $\Delta= b^2 - 4ac$ le discriminant du trinôme.
\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors l'équation n'a pas de solution ; $S=\emptyset$.
\item Si $\Delta=0$ alors  l'équation a une seule solution ; $S=\left\{ -\dfrac{b}{2a} \right\}$.
\item Si $\Delta>0$ alors l'équation a deux solutions ; $S=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ; \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}$
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'équation $6x^2-3=7x$


Pour tout réel $x$, $6x^2-3=7x \Leftrightarrow 6x^2-7x-3=0$. Il s'agit de résoudre une équation  du second degré avec $a=6$, $b=-7$ et $c=-3$
	
	
	Le discriminant du trinôme est $\Delta=b^2-4ac$ soit $\Delta = {\left(-7\right)}^2-4 \times 6 \times \left(-3\right)= 49+72=121$. 
	
	Comme $\Delta >0$, l'équation admet deux solutions : 
	\[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{Soit} \qquad x_1=\frac{7-11}{12}=-\frac{1}{3}\]
		\[x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{Soit} \qquad x_2=\frac{7+11}{12}=\frac{3}{2}\]
		
L'ensemble des solutions de l'équation $6x^2-3=7x$  est $S=\left\{ -\dfrac{1}{3}; \dfrac{3}{2} \right\}$


\subsection{Interprétation graphique}

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{2cm}|>{\centering \arraybackslash}X>{\centering \arraybackslash}X|}
\multicolumn {1}{c}{\rule[-2ex]{0pt}{6ex}} &\multicolumn {1}{c}{\fbox{cas $a<0$}}&\multicolumn {1}{c}{\fbox{cas $a>0$}}\\ \cline{2-3}
 \LARGE{$\Delta < 0$} &
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-9)(8,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x-2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-9)(8,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.65}{7.65}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,0)(2,-1)
\uput[u](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(4,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x+2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-2)(4,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.65}{3.65}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,1)
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}\\

& \multicolumn {2}{c|}{\textsf{\textbf{La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses}}}  \\ \hhline{~=:=}
 \LARGE{$\Delta = 0$} &
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-9)(8,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-9)(8,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.65}{7.65}{\f}
\uput[u](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(4,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x+1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-2)(4,9)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,9){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.65}{3.65}{\f}
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}\\

& \multicolumn {2}{c|}{\textsf{\textbf{La parabole est tangente à l'axe des abscisses}}}  \\ \hhline{~=:=}
\LARGE{$\Delta > 0$} &
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(8,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-5)(8,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,0)(2,4)
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\uput[d](-1.8,0){\prune{\footnotesize{$x_1$}}}
\uput[d](5.8,0){\prune{\footnotesize{$x_2$}}}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(4,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x-3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-5)(4,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{4}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,-4)
\uput[u](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\uput[dl](-6,0){\prune{\footnotesize{$x_1$}}}
\uput[dr](2,0){\prune{\footnotesize{$x_2$}}}
\end{pspicture}\\
& \multicolumn {2}{c|}{\textsf{\textbf{La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points}}}  \\ \cline{2-3}
\end{tabularx}

\bigskip

\textsf {\textsc{\textbf{remarque}}}

\medskip

\cadreB{
Les solutions éventuelles de l'équation $ax^2+bx+c=0$ sont aussi appelées les racines du trinôme \[ax^2+bx+c\]
}

\pagebreak


\section{Signe du trinôme}


\subsection{Factorisation}

\cadreR{
Factorisation du trinôme $ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$ :

\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors  le trinôme ne se factorise pas.
\item Si $\Delta=0$ en notant $x_0$ l'unique racine : $f(x)= a{\left(x- x_0\right)}^2$.
\item Si $\Delta>0$ en notant  $x_1$ et  $x_2$ les deux racines : $f(x)= a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)$.
\end{itemize}
}

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ et $\Delta= b^2 - 4ac$ le discriminant du trinôme.

\[f(x) =a\left[{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right].\]
\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors $f(x)$ est le produit par $a$ d'une somme de deux nombres positifs ; le trinôme ne se factorise pas.
\item Si $\Delta=0$ alors  $f(x)=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2$. Soit en notant $x_0 =-\dfrac{b}{2a} $ l'unique racine on a :\[f(x)= a{\left(x- x_0\right)}^2\]
\item Si $\Delta>0$ alors $f(x)= a\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)$. Soit en notant  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et  $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ les deux racines on a :
\[f(x)= a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)\]
\end{itemize}

\subsubsection{Propriété}

\cadreR{
Soit $f$ un polynôme du second degré défini sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ et $\Delta= b^2 - 4ac$ le discriminant du trinôme.

\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors pour tout réel $x$, $f(x)$ est du signe de $a$.
\item Si $\Delta=0$ alors $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x \ne -\dfrac{b}{2a}$.
\item Si $\Delta>0$,  $x_1$ et  $x_2$ désignant les deux racines du trinôme avec $x_1 < x_2$ alors $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x \in \left] -\infty ; x_1 \right[ \cup \left] x_2 ; +\infty \right[$ et $f(x)$ est du signe contraire de celui de $a$ pour tout réel $x \in \left] x_1 ; x_2 \right[$.
\end{itemize}
}

\dem

Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec   $a\ne 0$ et $\Delta= b^2 - 4ac$ le discriminant du trinôme.


\begin{itemize}
\item Si $\Delta <0$ alors $f(x)$ est le produit par $a$ d'une somme de deux nombres positifs donc le signe du trinôme est le signe de $a$ pour tout réel $x$.
\item Si $\Delta=0$ alors  $f(x)=a{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)}^2$ donc $f(x)$ est nul pour $x =-\dfrac{b}{2a} $ ; pour les autres valeurs de $x$  le signe du trinôme est le signe de $a$.
\item Si $\Delta>0$,  $x_1$ et  $x_2$ désignant les deux racines du trinôme avec $x_1 < x_2$ alors $f(x)= a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)$.

\'Etudions le signe du produit $a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)$ à l'aide d'un tableau de signe.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=.5pt} 
\psframe(16,4)
\psline(0,1)(16,1)\psline(0,2)(16,2)\psline(0,3)(16,3)
 \psline(3,0)(3,4)
  \rput(1.5,3.5){$x$} \rput(3.5,3.5){$- \infty$} \rput(7.5,3.5){$x_1$} \rput(11.5,3.5){$x_2$}  \rput(15.5,3.5){$+\infty$}
 \rput(1.5,2.5){$x-x_1$} \rput(5.5,2.5){$-$}\pnode(7.5,3){m1}\pnode(7.5,2){m0}\ncline{m1}{m0}\ncput*{0} \rput(9.5,2.5){$+$}\pnode(11.5,2){n0}\pnode(11.5,3){n1}\ncline{n0}{n1}\rput(13.5,2.5){$+$} 
 \rput(1.5,1.5){$x-x_2$} \rput(5.5,1.5){$-$}\pnode(7.5,1){m1}\ncline{m0}{m1} \rput(9.5,1.5){$-$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n0}{n1}\ncput*{0}\rput(13.5,1.5){$+$}
 \rput(1.5,0.5){$a\left(x- x_1\right)\left(x- x_2\right)$} \rput(5.5,0.5){signe de $a$}\pnode(7.5,0){m0}\ncline{m0}{m1}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){signe de $-a$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){signe de $a$}  
 \end{pspicture}
\end{center}
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{remarque}}}

\medskip

\cadreB{On retiendra la règle \og Un polynôme du second degré est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire de $a$ entre les racines.}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $-\dfrac{x^2}{4}-x+3\leqslant 0$. 

\'Etudions le signe du trinôme $-\dfrac{x^2}{4}-x+3$ avec $a=-\dfrac{1}{4}$, $b=-1$ et $c=3$
	
	
	Le discriminant du trinôme est $\Delta=b^2-4ac$ soit $\Delta = {\left(-1\right)}^2-4 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) \times 3= 1+3=4$. 
	
	Comme $\Delta >0$, le trinôme admet deux racines : 
	\[x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{Soit} \qquad x_1=\dfrac{1-2}{-\dfrac{1}{2}}=2\]
		\[x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{Soit} \qquad x_2=\dfrac{1+2}{-\dfrac{1}{2}}=-6\]
		
Un polynôme du second degré est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire de $a$ entre les racines. Ainsi :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,2.5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=.5pt} 
\psframe(16,2.5)
\psline(0,1.5)(16,1.5)
 \psline(3,0)(3,2.5)
  \rput(1.5,2){$x$} \rput(3.5,2){$- \infty$} \rput(7.5,2){$-6$} \rput(11.5,2){$2$}  \rput(15.5,2){$+\infty$}
   \rput(1.5,1.2){Signe du trinôme}
 \rput(1.5,0.5){$-\dfrac{x^2}{4}-x+3$} \rput(5.5,0.75){$-$}\pnode(7.5,0){m0}\pnode(7.5,1.5){m1}\ncline{m0}{m1}\ncput*{0} \rput(9.5,0.75){$+$} \pnode(11.5,0){n0}\pnode(11.5,1.5){n1}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.75){$-$}  
 \end{pspicture}
\end{center}

\medskip

L'ensemble des solutions de l'inéquation $-\dfrac{x^2}{4}-x+3\leqslant 0$ est $S=\left] - \infty ; -6\right] \cup \left[2 ; + \infty \right[$.

\medskip

\item \'Etudier les positions relatives de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x-3$

Les positions relatives de la parabole et de la droite se déduisent du signe de  \[x^2 -\left(2x-3\right)=x^2-2x+3\] 

Le discriminant du trinôme est $\Delta=b^2-4ac$ soit $\Delta = {\left(-2\right)}^2-4 \times 1 \times 3= 4 -12=-8$. 
	
	Comme $\Delta <0$, le trinôme est du signe de $a$ donc pour tout réel $x$, $x^2-2x+3>0$.

\medskip

La parabole $\mathcal{P}$ est au dessus de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

\newpage

\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{second degré : récapitulatif}}}}} %centre

\addcontentsline{toc}{section}{L'essentiel}

\begin{center}
\LARGE{\bleu{$f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$}}
\end{center}

{\renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{Rfond}}c|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|X|X|X|}\hhline{~~---}
\multicolumn{2}{>{\centering\arraybackslash}m{3.5cm}|}{Discriminant \par{$\Delta=b^2-4ac$}}&\cellcolor{Rfond}\LARGE{$\Delta <0$}&\cellcolor{Rfond}\LARGE{$\Delta =0$}&\cellcolor{Rfond}\LARGE{$\Delta >0$}\\ \hline
&Variations &\multicolumn {3}{>{\centering\arraybackslash}X|}{
\psset{xunit=1cm, yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(10,4.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,2.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.5){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,2.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}
\\ \cline{2-5}
\LARGE{$a>0$} &Courbe&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(4,8.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x+2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-2)(4,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.3}{3.3}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,1)
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(4,8.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x+1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-2)(4,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.65}{3.65}{\f}
\uput[d](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(4,6.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^2+x-2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-8,-4)(4,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{4}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,0)(-2,-3)
\uput[u](-2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\uput[d](-5.8,0){\prune{\footnotesize{$x_1$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$x_2$}}}
\end{pspicture}\\ \cline{2-5}
& Solutions de \par{$ax^2+bx+c=0$} & Pas de solution & Une solution : \par{$x_0= -\dfrac{b}{2a}$}& Deux solutions : \par{$x_1= \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}$} \par{$x_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$}\\ \cline{2-5}
& Signe de \par{$ax^2+bx+c$} & Strictement positif sur $\R$ & Positif sur $\R$ & Positif sur \par{$\left] -\infty ; x_1 \right] \cup \left[ x_2 ; +\infty \right[$} \par{Négatif  sur $\left[ x_1 ; x_2 \right]$}\\ \hline \hline
&Variations &\multicolumn {3}{>{\centering\arraybackslash}X|}{
\psset{xunit=1cm, yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(10,4.5)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,4)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,4)
\rput(0.75,3.25){$x$} \rput(2,3.25){$- \infty$} \rput(5.75,3.25){$-\dfrac{b}{2a}$} \rput(9.5,3.25){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(5.75,2){\rnode{B}{$f\left(-\frac{b}{2a}\right)$}} \rput(9.5,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}
\\ \cline{2-5}
\LARGE{$a<0$} &Courbe&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(8,2.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x-2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-8)(8,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.3}{7.3}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,0)(2,-1)
\uput[u](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(8,2.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-8)(8,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.65}{7.65}{\f}
\uput[u](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.25cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(8,5.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.25*x^2+x+3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none, labels=none]{->}(0,0)(-4,-5)(8,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](2,0)(2,4)
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{2a}$}}}
\uput[dl](-2,0){\prune{\footnotesize{$x_1$}}}
\uput[d](5.8,0){\prune{\footnotesize{$x_2$}}}
\end{pspicture}\\ \cline{2-5}
& Solutions de \par{$ax^2+bx+c=0$} & Pas de solution & Une solution : \par{$x_0= -\dfrac{b}{2a}$}& Deux solutions : \par{$x_1= \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}$} \par{$x_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$}\\ \cline{2-5}
 & Signe de \par{$ax^2+bx+c$} & Strictement négatif sur $\R$ & Négatif sur $\R$ & Négatif sur \par{$\left] -\infty ; x_1 \right] \cup \left[ x_2 ; +\infty \right[$} \par{Positif  sur $\left[ x_1 ; x_2 \right]$}\\ \hline
\end {tabularx}}

\newpage

\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{second degré}}}}} %centre

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 

\'Etudier dans chacun des cas, les variations de la fonction et donner les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction.
\begin{enumerate}
	\item $f_1$ est la fonction définie sur $\R$  par : $f_1\left( x \right) =  - x^2  - 2x + 1$.
	\item $f_2$ est la fonction définie sur $\R$  par : $f_2\left( x \right) =  2x^2  - x - \dfrac{3}{8}$. 
	\item $f_3$ est définie sur $\R$ par $f_3(x)= -2x^2+8x -7$
		\item $f_4$ est définie sur $\R$ par $f_4(x)= x^2-\dfrac{x}{2} -3$
\end{enumerate}

 \bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

$f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$  par  $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$ )

Dans chacun des cas suivants, répondre aux questions suivantes :

\begin{itemize}
	\item Quel est le signe de $a$ ?
	\item Quelle est la valeur de $-\dfrac{b}{2a}$ ?
	\item Quel est le signe du discriminant $\Delta$ ?
		\item Quel est le signe de $c$ ?
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Le tableau des variations de $f$ est :\hfill
	\parbox{10cm}{%
	\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2.8)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,2.8)
\rput(0.75,2.4){$x$} \rput(2,2.4){$- \infty$} \rput(5.75,2.4){$-2$} \rput(9.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.6){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.4){\rnode{B}{$1$}} \rput(9.5,1.6){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}

\medskip

\item Le tableau des variations de $f$ est :\hfill	\parbox{10cm}{%
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10,2.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2.8)\psline(0,2)(10,2) \psline(1.5,0)(1.5,2.8)
\rput(0.75,2.4){$x$} \rput(2,2.4){$- \infty$} \rput(5.75,2.4){$2$} \rput(9.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f(x)$} \rput(2,.4){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1.6){\rnode{B}{$0$}} \rput(9.5,.4){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}

\medskip

\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{6cm}{%
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-4,-3)(8,7)  
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{.5*(x^2-2*x-1.56)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(8,7) 
	\psset{unit=1cm}   
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1.5)(4,3.5) 
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2}{4}{\f}
\end{pspicture}}
\medskip
\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{6cm}{%
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-2,-5)(10,5)  
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{2-.6*(x-2)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-5)(10,5) 
	\psset{unit=1cm}   
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-2.5)(5,2.5) 
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,2.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-.74}{4.74}{\f}
\end{pspicture}
} 
\end{enumerate}		

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction $f$ soit égal à 0.
	
Parmi les propositions suivantes  quelles sont celles qui sont exactes ?
\begin{enumerate}
	\item $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$.
	\item $a < 0$ et $\mathrm{\Delta}=0$.
	\item $a < 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ coupe l'axe des abscisses en deux points.
	\item L'équation $f(x)= 0$ admet une seule solution.
\end{enumerate}
\item Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polynôme du second degré $f_1$, $f_2$, $f_3$ et $f_4$ .

\medskip

\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-6,-4)(3,4) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(3,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-2)(1.5,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.64}{1.14}{(x+2)*(.5-x)}
\uput[l](-2.3,-.7){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_1$}}}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-6,-1)(3,7) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(3,7)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-.5)(1.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.73}{0.73}{.5+(x+1)^2}
\uput[l](-2.3,2.2){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_2$}}}
\end{pspicture}  \hfill
\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-3,-4)(6,4) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(6,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-2)(3,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.14}{2.64}{(x+.5)*(x-2)}
\uput[r](2.3,.7){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_3$}}}
\end{pspicture}   \hfill
\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-6,-6)(3,2) 
	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
	\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(3,2)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-3)(1.5,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.8}{1.2}{-.75*(x+.8)^2}
\uput[l](1.6,-1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_4$}}}
\end{pspicture} 

\`A partir des informations données sur le signe de $a$ et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative :

$f_1$ : $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} <0$ ; \hfill $f_2$ : $a > 0$ et $\mathrm{\Delta} > 0$ ; \hfill $f_3$ : $a < 0$ et $\mathrm{\Delta}  = 0$ ; \hfill $f_4$ : $a < 0$ et $\mathrm{\Delta} > 0$.

\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

$f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$  par  $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$ )

Dans chacun des cas suivants, préciser le signe de $a$ et indiquer si le discriminant $\Delta$ est négatif, positif ou nul.

\begin{enumerate}
	\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{5cm}{%
	\psset{xunit=1cm}
	\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(1.5,3) 
\newgray{gray}{.75}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-3.5,-1)(1.5,3)  
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3.5,-1)(1.5,3) 
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.5}{2}{(x+2)*(x+.5)}
\end{pspicture*}}
\item La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction $f$.\hfill
	\parbox{5cm}{%
	\psset{xunit=1cm}
	\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,1) 
\newgray{gray}{.75}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-1.5,-3)(3.5,1)  
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.5,-3)(3.5,1) 
\rput(-0.25,-0.25){\footnotesize{0}}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.5}{3}{-(x-1)^2}
\end{pspicture*}}
\item Le tableau des variations de $f$ est \hfill
	\parbox{10cm}{%
	\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$3$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,.6){$f(x)$} \rput(2,1){\rnode{A}{}} \rput(5.75,.2){\rnode{B}{$-2$}} \rput(9.5,1){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}}
\item Le tableau des variations de $f$ est \hfill	\parbox{10cm}{%
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10,2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10,2)\psline(0,1.2)(10,1.2) \psline(1.5,0)(1.5,2)
\rput(0.75,1.6){$x$} \rput(2,1.6){$- \infty$} \rput(5.75,1.6){$-3$} \rput(9.5,1.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,.6){$f(x)$} \rput(2,.2){\rnode{A}{}} \rput(5.75,1){\rnode{B}{$-1$}} \rput(9.5,.2){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}} 

\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
 $2x^2=x+3$ &  $2x^2-2x-1=0$ & $x^2-3x+9$\\
$8x^2+10x-3=0$ &  $1-3x+2x^2=0$ & $3x^2+x=2x^2-x+2$\\
\end{tabularx}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ une fonction définie sur  $\R$  par $f(x)=ax^2+bx+c$.

Sa courbe représentative dans un repère orthonormal est une parabole  passant les points : $A\left(-2;7\right)$, $B\left(0;1\right)$ et $C\left(2;-1\right)$. 

\begin{enumerate}
	\item À l'aide d'un système d'équations, déterminer les réels $a$, $b$, et $c$, et en déduire l'équation de la parabole.
	\item On note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation :  $y=\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$. 
	
	Calculer les coordonnées de ses points d'intersection avec l'axe des abscisses.
\end{enumerate} 
 
  \bigskip 

\exo 

 \medskip 

L'offre et la demande désignent respectivement la quantité d'un bien ou d'un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.

Une étude concernant un article A a permis d'établir que :
\begin{itemize}
	\item la fonction d'offre $f$ est donnée par $f(q)=0,5q$
	\item la fonction demande $g$ est donnée par $g(q)=\dfrac{78-6q}{q+8}$
\end{itemize}

 où $f(q)$ et $g(q)$ sont les prix d'un article en euros, pour une quantité $q$ comprise entre 1 et 12 millions d'unités.
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-4,-1)(28,19) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x}
\def\g{(78-6*x)/(x+8)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(26,18) 
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(13,9)
\uput[dl](0,9){\footnotesize{Prix (en \euro)} } 
\rput(13.2,.2){\footnotesize{Quantité} } 
\rput(13.2,-.2){\footnotesize{(en millions)} } 
\rput(1.5,8.5){\scriptsize{\prune{Courbe de demande}}} 
\rput(1.5,8.25){\scriptsize{\prune{du marché}}}
\rput(12.5,6.5){\scriptsize{\bleu{Courbe d'offre}}} 
\rput(12.5,6.25){\scriptsize{\bleu{du marché}}}    
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{1}{12}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{1}{12}{\g}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item \`A l'aide du graphique précédent et en argumentant la réponse, déterminer si la demande est excédentaire quand le prix de vente d'un article est de 1~\euro{}.
	\item On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,50 \euro{}.
\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché ;
	\item Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché ;
	\item Quel problème cela pose-t-il ?
\end{enumerate}
   
\item On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.

Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Pour deux résistances $R_1$ et $R_2$ montées en série, la résistance du dipôle est $R=R_1+R_2$

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
	\begin{pspicture}(0,-.5)(13,.5)  
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.85 .91 1}
\definecolor{orangeClair} {rgb}{.98 .64 .26}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=2](0,0){A}
\fnode[framesize=3  1cm](4,0){B}
\fnode[framesize=3  1cm](9,0){C}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=1.5](13,0){D}
\rput(4,0){$R_1$}
\rput(9,0){$R_2$}
\ncline{A}{B}
\ncline{B}{C}
\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
Pour deux résistances $R_1$ et $R_2$ montées en parallèle, la résistance du dipôle est $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
	\begin{pspicture}(0,-1.5)(10,1.5)  
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.85 .91 1}
\definecolor{orangeClair} {rgb}{.98 .64 .26}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=2](0,0){A}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,framesize=3  1cm](5,1){B}
\ncangle[angleA=0, angleB=-180,armB=1.2cm]{A}{B}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,framesize=3  1cm](5,-1){C}
\ncangle[angleA=0, angleB=180,armB=1.2cm]{A}{C}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=1.5](10,0){D}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{D}{B}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{D}{C}
\rput(5,1){$R_1$}
\rput(5,-1){$R_2$}

\end{pspicture}
\end{center}

 On donne $R=6 \,\Omega$, déterminer la résistance $X$ pour que la résistance du montage ci-dessous soit $16\, \Omega$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
	\begin{pspicture}(0,-1.5)(14,1.5)  
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.85 .91 1}
\definecolor{orangeClair} {rgb}{.98 .64 .26}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=2](0,0){A}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,framesize=3  1cm](3,0){B}
\ncline{A}{B}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair,framesize=3  1cm](9,1){C}
\ncangle[angleA=0, angleB=-180,armB=1.2cm]{B}{C}
\fnode[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,framesize=3  1cm](9,-1){D}
\ncangle[angleA=0, angleB=180,armB=1.2cm]{B}{D}
\dotnode[dotstyle=*,dotscale=1.5](14,0){E}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{E}{C}
\ncangle[angleA=-180, angleB=0,armB=1.2cm]{E}{D}
\rput(3,0){$X$}
\rput(9,1){$R$}
\rput(9,-1){$X$}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}} 
 $-4x^2+4x+15\geqslant 0$ &   $x^2+2x \leqslant 1$ &  $3x-x^2\leqslant x^2+4$\\
 $-2x^2+5x+12\geqslant 0$ & $4x^2\leqslant 4x+1$ & $\left( 2x+1\right)\left(1-3x\right)\geqslant 1$
\end{tabularx}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Soit $P$ la parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$   passant les points $A\left(-2;4\right)$,  $B\left(2;-1\right)$   et  $C\left(6;2\right)$. 
	
À l'aide d'un système d'équations, déterminer les réels $a$, $b$, et $c$, et en déduire l'équation de la parabole.

	\item Résoudre dans $\R$  l'inéquation $\dfrac{x^2-5x+2}{4}\leqslant - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}$.
	\item Soit $D$ la droite d'équation $y=- \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}$. 
	
	Étudier les positions relatives de la droite $D$ et de la parabole $P$.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique un produit \og Bêta \fg{}. La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.

Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de $x$ milliers d'articles est modélisé par la fonction $C$ définie sur $\left]0 ;15 \right]$ par : \[C(x)=0,5x^2+0,6x+8,16\]

La représentation graphique $\Gamma$ de la  fonction  coût total est donnée dans l'annexe ci-dessous à rendre avec la copie.

On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8~\euro. 

\begin{enumerate}
	\item Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 4~000 articles ou  fabriquer et vendre 12~000 articles ?
	\item On désigne par $R(x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de $x$ milliers d'articles du produit \og Bêta \fg{}. On a donc $R(x)=8x$.
\begin{enumerate}
	\item Tracer dans le repère donné en annexe la courbe $\mathcal{D}$ représentative de la fonction recette.	
	\item Par lecture graphique déterminer :	
\begin{itemize}
	\item l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
	\item la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
\end{itemize}
\end{enumerate}
	\item On désigne par $B(x)$ le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles.	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles, est donné par $B(x)=-0,5x^2+7,4x-8,16$  avec $x\in \left]0 ;15 \right]$.
	
	\item \'Etudier le signe de $B(x)$. En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
	\item \'Etudier les variations de la fonction $B$ sur $\left]0 ;15 \right]$. 
	
	En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(32,30)
	\rput(15.5,29){\small{\textbf{\textsc{\textsf{annexe}}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,27) 
\psset{xunit=1cm, yunit=0.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(16,135) 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{15}{.5*x^2+.6*x+8.16}
\uput[ur](15,130){\bleu $\Gamma$}
%\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(15,120)
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique un produit dont le coût de production mensuel en euros est modélisé par :\[C(x)=0,02x^2+37,5x+3000\] 
où $x$ est le nombre d'unités produites mensuellement et $x$ dans l'intervalle $\left]0;1300\right]$.

Pour éviter de se retrouver avec un stock important, l'entreprise ajuste son prix de vente en fonction de la quantité produite. Le prix de vente unitaire en euros  en fonction de  $x$, est $P(x)=100-0,03x$.

On suppose que l'ajustement du prix de vente unitaire permet d'écouler toute la production et on note $R(x)$ la recette mensuelle générée par la production et la vente  de  $x$ produits.

Les fonctions coût et recette sont représentées ci-dessous dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(27,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(26,18)
\psset{xunit=.1mm,yunit=.01mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=100,Dy=1000]{-}(0,0)(1300,9000)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1300}{0.002*x^2+3.75*x+300}
\uput[45](1300,8500){\textcolor{bleu}{$y=C(x)$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{1300}{10*x-0.003*x^2}
\uput[45](1300,7750){\textcolor{prune}{$y=R(x)$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On cherche à déterminer la quantité que l'entreprise devrait produire mensuellement pour maximiser son profit.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice $B$ est donné par $B(x)=-0,05x^2+62,5x-3000$.
\item Déterminer graphiquement puis par le calcul, les valeurs de $x$ pour lesquelles l'entreprise réalise un profit.
\item Étudier les variations de la fonction $B$. En déduire la quantité $x$ que l'entreprise doit produire mensuellement pour maximiser son profit. Quel est le montant du profit maximum ?
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

La fonction $f$ définie sur $\left]0;20\right]$  par $f(x)=500-20x+\dfrac{100}{x}$, modélise le nombre d'articles vendus en fonction du prix unitaire $x$ exprimé en euros. 

\begin{enumerate}
\item Calculer le montant en euros de la recette si le prix de vente d'un article est : de 5 euros ; de 10 euros.
\item Montrer que la recette en fonction du prix $x$ s'exprime par  $R(x)=-20x^2+500x+100$
\item Étudier les variations de la fonction recette sur l'intervalle $\left]0;20\right]$.
\item Déterminer le prix de vente permettant d'obtenir une recette maximale.

En déduire le nombre d'articles vendus à ce prix.
\item Dans quel intervalle de prix, doit se situer le prix de vente pour obtenir une recette supérieure à \np{2980}~\euro{} ?
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $X^2 -7X-18=0$
\item En déduire une expression factorisée de $f(x)$ où $f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par : \[f(x)=x^4 -7x^2-18\]
\item Étudier le signe de $f(x)$ sur  $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip



\medskip

On considère les fonctions $f$ et  définies sur l'intervalle $[0 ; 1]$ par $f(x)=\dfrac{5x^2+7x}{12}$ et $g(x)=\dfrac{20x^2+x}{21}$, représentées ci-dessous par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(5*x^2+7*x)/12}
\def\g{(20*x^2+x)/21}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-1)(11,11)
\psset{unit=8cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.099,-0.099)(1.1,1.1)
\uput[dl](1.1,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.1){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[ur](0.72,0.5){\footnotesize{$\mathcal{C}$}}\uput[ul](0.6,0.5){\footnotesize{$\mathcal{C}'$}}
\uput[dl](.9,1){\prune{\footnotesize{$D : y = x$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{1}{\g}

\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psdots[dotscale=.8,linecolor=prune](0.3,0.1)\uput[dr](0.3,0.1){\footnotesize{\prune{$E$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la courbe représentative de la fonction $f$ en justifiant la réponse.
\item Montrer que pour tout réel $x$ de $[0 ;1]$, on a : $f(x) \leqslant x$ et $g(x) \leqslant x$.
\item Un cabinet d'audit a été chargé d'étudier la répartition des salaires dans deux filiales d'une entreprise, appelées A et B. Pour l'étude, les salaires sont classés par ordre croissant.

Le cabinet d'audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction $f$ pour la filiale A et par la fonction $g$ pour la filiale B. 

Lorsque $x$ représente un pourcentage de salariés, $f(x)$ et $g(x)$ représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives.

\emph{Exemple} : pour la courbe $\mathcal{C}$, le point $E(0,3 ; 0,1)$ signifie que 30\,\% des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 10\,\% de la masse salariale.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50\,\% des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires.
		\item Pour les 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale ?
		\item Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire ?
 	\end{enumerate}

\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Une entreprise fabrique un produit \og Bêta \fg{}. La production mensuelle ne peut pas dépasser 12 000 articles.

Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de $x$ milliers d'articles est modélisé par la fonction $f$ définie sur $\left]0 ;12 \right]$ par : \[f(x)=0,3x^3-4,8x^2+25,8x\]

La représentation graphique $\mathcal{C}_T$ de la  fonction  coût total est donnée ci-dessous  :
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(26,14) 

\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.3*x*(x^2-16*x+86)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(26,14) 
\psset{xunit=1cm, yunit=0.05cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=20]{->}(0,0)(13,140) 
\uput[dl](13,0){$x$}
\uput[dl](0,140){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{12}{\f}
\uput[dl](12.8,140){\bleu $\mathcal{C}_T$}
\end{pspicture}
\end{center}


Le coût moyen de production $C$ mesure le coût en euro par article produit. 

On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle $]0 ; 12]$ par $C(x)=\dfrac{ f(x)}{x}$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ le point d'abscisse $a$ de la courbe $\mathcal{C}_T$. 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal au coût moyen  $C(a)$
	\item Conjecturer graphiquement, les variations de la fonction $C$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}\item \'Etudier les variations de la fonction $C$.
\item En déduire le prix de vente minimal, arrondi à l'euro près, d'un article pour que l'entreprise ne travaille pas à perte ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
