dérivée

illustration de notions liées à la dérivée d'une fonction

taux de variation

f est une fonction définie sur un intervalle I. a et a + h sont deux réels distincts de I (h ≠ 0).

Définition :

On a appelle taux de variation de f entre a et a + h le nombre f( a+h)-f (a)h

On dit aussi accroissement moyen de la fonction f entre a et a + h.

exemple :

Soit f la fonction définie sur par fx=x2 -3x+1 . Le taux de variation entre 2 et 2 + h est : f 2+h- f2h = 2+h2 - 32+h+1 -22 -3×2+1h = h2+4h+4 -6- 3h+1+1 h = h2+h h = h+1 Car  h0

interprétation graphique :

Aafa et M a+hfa+h sont deux points de la courbe 𝒞f représentative de la fonction f.

Les points A et M n'ayant pas la même abscisse, le coefficient directeur de la droite (AM) est : Δy Δx="accroissement des ordonnées""accroissement des abscisses"=yM-yA xM-xA

Ainsi, le taux de variation de f entre a et a + h est égal au coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe 𝒞f : Δy Δx= f a+h-f ah

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Déplacer le point M sur la courbe ; Quelle position occupe la sécante (AM) quand M est confondu avec A ?

nombre dérivé

Soit f une fonction telle que sa courbe représentative 𝒞f admette en un point A de coordonnées Aafa une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées. 

Pour tenter de définir le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe on choisit d'abord un autre point M de la courbe 𝒞f distinct de A, d'abscisse a + h avec h ≠ 0.

Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est m=f( a+h)-f (a)h . Il est égal au taux de variation de la fonction f  entre a  et a + h.

Si f est une fonction continue en a , quand le point M a+hfa+h est proche de Aafa , la sécante (AM) est "proche" de la tangente à la courbe au point A. Le taux de variation de la fonction f  entre a  et a + h (avec h proche de 0) est une approximation du coefficient directeur de cette tangente.

Cette approximation sera meilleure si M s'approche davantage de A, c'est à dire en prenant pour h une valeur suffisamment proche de zéro.

En admettant que la tangente à la courbe se conçoit comme "position limite" des sécantes (AM) alors, le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe est égal à la limite du taux de variation f a+h -f a h quand h tend vers 0, pourvu que cette limite existe.

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Déplacer le curseur sur l'axe des abscisses pour faire tendre h vers 0.

Définition

f est une fonction et a un point de son intervalle de définition. Dire que la fonction f est dérivable au point a signifie que le taux de variation f (a+h)- f(a) h admet une limite finie 𝓁 quand h tend vers zéro.
Cette limite 𝓁 est appelée le nombre dérivé de f au point a . On le note f ' (a). f( a )= lim h0 f ( a+h ) - f ( a ) h

exemple

Reprenons l’exemple précédent de la fonction f définie sur par fx=x2 -3x+1 .

Le taux de variation entre 2 et 2 + h calculé précédemment est : f 2+h- f2h =h+1

Or limh0 f 2+h - f 2 h=limh0 h+1=1 . C'est à dire que l'on peut rendre 1 + h aussi près de 1 à condition de prendre h suffisamment proche de 0.

Donc le nombre dérivé f 2 =1 .

Par conséquent, comme on peut le voir sur l'illustration ci-dessous, le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A2-1 est égal à 1.

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Déplacer le point A sur la courbe pour obtenir les valeurs du nombre dérivé en d'autres points.


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