contrôles communs seconde

contrôle commun de seconde du 05 Avril 2005

exercice 1

Les questions suivantes sont indépendantes.

  1. Résoudre dans l'inéquation suivante : 23x-3-4x5x3-75

  2. Écrire chaque expression sous forme d'un seul quotient, puis factoriser le numérateur obtenu :

    1. Ax=8x+xx+2

    2. Bx=1-4(x+1)2

  3. Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que : (abba)2=(ab)2ab

  4. Recopier et compléter le texte suivant :

    1. x équivaut à x[1;5]. Le centre de cet intervalle est , son rayon est  , donc : x[1;5] équivaut à |x-|2.

    2. x>7 équivaut à x];[.

  5. Déterminer la fonction affine f sachant que f(2)=2 et f(-4)=5.

  6. Tracer dans un même repère orthonormal (O;ı,ȷ) les trois droites d'équation respective :

    a. x=2

    b. y=3

    c. y=-2x+1

    Marquer sur chaque droite son équation.


exercice 2

A, B et C sont trois points d'un cercle 𝒞 . La bissectrice de l'angle BAC^ coupe [BC] au point I et le cercle 𝒞 en D.

  1. Montrer que les triangles ABI et ADC sont semblables.

  2. En déduire que AI×AD=AB×AC.


exercice 3

ABCD est un parallélogramme de centre O. Une droite d qui passe par O coupe [AB] en M et [DC] en N.

Démontrer que AM = NC


exercice 4

Soit 𝒞 un cercle de centre O et de diamètre [IJ], 𝒞 le cercle de diamètre [OI].
M est un point du cercle 𝒞 différent de I et J.
La droite (MI) coupe le cercle 𝒞 en S et la droite (MO) coupe le cercle 𝒞 en T.
La droite perpendiculaire à (IJ) passant par M coupe la droite (IT) en P.

  1. Démontrer que les points P,O et S sont alignés.

  2. Démontrer que S est le milieu du segment [IM].

  3. Quelle est la nature du triangle IPM ?


exercice 5

  1. Soit f une fonction définie sur 05 par fx=254(x52)2.

    1. Calculer f(52).

    2. Montrer que f admet un maximum sur 05 .

    3. On note Cf la courbe représentative de la fonction f.
      Tracer la courbe Cf dans un repère orthonormé (unités graphiques : 1 cm sur chaque axe).

    4. Par lecture graphique, donner le tableau des variations de la fonction f .

  2. Soit M un point de la droite D d'équation y=-x+5, d'abscisse x05.

    Droite D : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Exprimer en fonction de x, l'ordonnée du point M.

    2. Exprimer en fonction de x l'aire Ax du rectangle MNOP.

    3. Vérifier que pour tout réel x05, Ax=fx.

    4. En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire Ax du rectangle MNOP est maximale. Quelle est alors la nature du rectangle ?


exercice 6

Soit f  la fonction définie sur par f(x)=x34-3x+4, dont la courbe représentative Cf est donnée ci-dessous.
La droite D d'équation y=x+4 est la représentation graphique de la fonction affine g.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La droite D coupe la courbe Cf en trois points AxA0, B0yB et C4yC. Calculer le plus simplement possible les coordonnées des points d'intersection. Les placer sur le repère.

  2. À l'aide du graphique :

    1. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

    2. Résoudre l'équation fx=0.

    3. Donner le nombre de solutions de l'équation fx=4.

  3. Résoudre dans l'inéquation fx>4.

  4. Résoudre dans l'inéquation x34-3x+4x+4. En déduire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f et g.



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