contrôles en seconde

contrôle du 14 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 3

La courbe $𝒞_{f}$ tracée ci-dessous, est la courbe représentative d'une fonction f définie sur ℝ.

Dresser le tableau des variations de la fonction f.

x	$- \infty$		$- 4$		$- 2$		0		$- \infty$
$f (x)$			0		2		$- 2$

En expliquant la méthode utilisée, donner le nombre de solutions de l'équation $f (x) = 2$ .
Graphiquement, les solutions de l'équation $f (x) = 2$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $𝒞_{f}$ avec la droite d'équation $y = 2$ .
La droite d'équation $y = 2$ coupe la courbe $𝒞_{f}$ en trois points donc l'équation $f (x) = 2$ a trois solutions.
Résoudre graphiquement :
1. l'équation $f (x) = - 2$ ;
  Le minimum de la fonction f est égal à $- 2$ atteint pour $x = 0$ .
  L'équation $f (x) = - 2$ a pour unique solution $x = 0$ .
2. l'inéquation $f (x) < 3$ .
  Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f (x) < 3$ sont les abscisses des points de la courbe $𝒞_{f}$ situés en dessous de la droite d'équation $y = 3$ .
  L'ensemble des solutions de l'inéquation $f (x) < 3$ est l'intervalle $S =] - 5; \frac{3}{2} [$ .
Étudier le signe de $f (x)$ suivant les valeurs de x.
- Sur chacun des intervalles $] - \infty; - 1]$ ou $[1; + \infty [$ la courbe $𝒞_{f}$ est au dessus de l'axe des abscisses donc $f (x) ⩾ 0$ sur chacun de ces deux intervalles.
- Sur l'intervalle $[- 1; 1]$ la courbe $𝒞_{f}$ est au dessous de l'axe des abscisses donc $f (x) ⩽ 0$ sur cet intervalle.

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