contrôle du 1^er Février 2006

Corrigé de l'exercice 1

ABCD est un parallélogramme.

1. Placer les points les points E, F et G tels que $\overrightarrow{AE}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

2. Les points E, F et G sont-ils alignés ?

   Déterminons les coordonnées des points E, F et G dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$ :

   • $\overrightarrow{AE}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{AB}$ donc les coordonnées du point E sont $E\left({\displaystyle \frac{3}{4}};0\right)$ ;
   • $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AD}$ donc les coordonnées du point F sont $F\left(1;-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)$ ;
   • $\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ donc les coordonnées du point G sont $G\left({\displaystyle \frac{1}{3}};1\right)$.

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$ : $$\begin{array}{lllll}\overrightarrow{EF}\left(x_F-x_E;y_F-y_E\right)& \text{D'où}& \overrightarrow{EF}(1-{\displaystyle \frac{3}{4}};-{\displaystyle \frac{2}{3}}-0)& \text{Soit}& \overrightarrow{EF}\left({\displaystyle \frac{1}{4}};-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\\ \overrightarrow{EG}\left(x_G-x_E;y_G-y_E\right)& \text{D'où}& \overrightarrow{EG}\left({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{4}};1-0\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{EG}\left(-{\displaystyle \frac{5}{12}};1\right)\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 1-\left(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\times \left(-{\displaystyle \frac{5}{12}}\right)\ne 0$. Donc les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ ne sont pas colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ ne sont pas colinéaires donc les points E, F et G ne sont pas alignés.

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