contrôle du 1^er Février 2006

Corrigé de l'exercice 3

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=9$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=9& \iff & -x^2-2x+8=9\\ & \iff & -x^2-2x-1=0\\ & \iff & {\left(x+1\right)}^2=0\\ & \iff & x=-1\end{array}$$

   L'équation $f\left(x\right)=9$ admet une seule solution, $x=-1$.

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2. Soit a et b deux réels distincts :

   1. Montrer que $f\left(a\right)-f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(a+b+2\right)$.

      Pour tous réels a et b, $$\begin{array}{rcl}f\left(a\right)-f\left(b\right)& =& \left(-a^2-2a+8\right)-\left(-b^2-2b+8\right)\\ & =& -a^2-2a+b^2+2b\\ & =& b^2-a^2+2\left(b-a\right)\\ & =& \left(b-a\right)\left(b+a\right)+2\left(b-a\right)\\ & =& \left(b-a\right)\left(a+b+2\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tous réels a et b, $f\left(a\right)-f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(a+b+2\right)$.

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   2. Étudier le signe de $f\left(a\right)-f\left(b\right)$ dans le cas où $a<b⩽-1$.
      En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$.

      • Si $a<b$ alors, $b-a>0$.
      • Si $a<-1$ et $b⩽-1$ alors $a+b<-2$ soit $a+b+2<0$.

      Par connséquent, si $a<b⩽-1$ alors, $\left(b-a\right)\left(a+b+2\right)<0$ soit $f\left(a\right)-f\left(b\right)<0$.

      Ainsi, sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ si $a<b$ alors, $f\left(a\right)<f\left(b\right)$. La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$.

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   3. Montrer que f est décroissante sur $\left[-1;+\infty \right[$.

      Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$ tels que $-1⩽a<b$.

      $a<b\iff b-a>0$. D'autre part, si $-1⩽a<b$ alors, $a+b+2>0$ d'où $\left(b-a\right)\left(a+b+2\right)>0$. Soit $f\left(a\right)-f\left(b\right)>0$.

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$ si $a<b$ alors, $f\left(a\right)>f\left(b\right)$. La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$.

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   4. Donner le tableau de variation de f.

      Les questions précédentes, nous permettent d'établir le tableau des variations de la fonction f

      x	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			9

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3. 1. Vérifier que pour tout réel x, $f\left(x\right)=9-{\left(x+1\right)}^2$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}9-{\left(x+1\right)}^2& =& 9-\left(x^2+2x+1\right)\\ & =& -x^2-2x+8\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)=9-{\left(x+1\right)}^2$.

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   2. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=0& \iff & 9-{\left(x+1\right)}^2=0\\ & \iff & \left[3-\left(x+1\right)\right]\times \left[3+\left(x+1\right)\right]=0\\ & \iff & \left(2-x\right)\left(x+4\right)=0\\ & \iff & x=2\text{ ou }x=-4\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ est $S=\left\{-4;2\right\}$.

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