contrôle du 1^er Février 2006

Exercice 1

ABCD est un parallélogramme.

1. Placer les points les points E, F et G tels que $\overrightarrow{AE}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

2. Les points E, F et G sont-ils alignés ?

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Exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x\left(x^2-16\right)$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

2. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ telle que $g\left(-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)=30$ et $g\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=10$.

   1. On note d la courbe représentative de la fonction g. Tracer d dans le repère précédent.

   2. Exprimer $g\left(x\right)$ en fonction de x.

3. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $x\left(x^2-16\right)⩽16-4x$.
   En déduire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f et g.

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Exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-x^2-2x+8$.
La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=9$.

2. Soit a et b deux réels distincts :

   1. Montrer que $f\left(a\right)-f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(a+b+2\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\left(a\right)-f\left(b\right)$ dans le cas où $a<b⩽-1$.
      En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$.

   3. Montrer que f est décroissante sur $\left[-1;+\infty \right[$.

   4. Donner le tableau de variation de f.

3. 1. Vérifier que pour tout réel x, $f\left(x\right)=9-{\left(x+1\right)}^2$.

   2. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

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