contrôle du 4 mars 2006

Corrigé de l'exercice 4

1. Justifier que f n'est pas définie pour $x=3$.

   Le quotient ${\displaystyle \frac{7-2x}{x-3}}$ est défini pour tout réel x tel que $x-3\ne 0$ soit $x\ne 3$.

   La fonction f n'est pas définie pour $x=3$.

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2. À l'aide du graphique, donner le tableau des variations de la fonction f.

   x	$-\infty$		3		$+\infty$
   $f\left(x\right)$

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3. Étudier le signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{7-2x}{x-3}}$ :$$\begin{array}{crcl}& 7-2x⩽0& \iff & x⩾{\displaystyle \frac{7}{2}}\\ \text{et}& x-3⩽0& \iff & x⩽3\end{array}$$

   D'où le tableau des signes :

   x	$-\infty$		3		${\displaystyle \frac{7}{2}}$		$+\infty$
   $7-2x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $x-3$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   ${\displaystyle \frac{7-2x}{x-3}}$		−		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   • Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ;3\right[$ ou $\left[{\displaystyle \frac{7}{2}};+\infty \right[$, $f\left(x\right)⩽0$.
   • Sur l'intervalle $\left]3;{\displaystyle \frac{7}{2}}\right]$, $f\left(x\right)⩾0$.

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4. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ telle que $g\left(-1\right)=4$ et $g\left(4\right)=-1$.

   1. On note d la courbe représentative de la fonction g. Tracer d dans le repère précédent.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite d passant par les points de coordonnées $\left(-1;4\right)$ et $\left(4;-1\right)$

   2. Exprimer $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(-1\right)-g\left(4\right)}{-1-4}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{4+1}{-5}}=-1\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-x+b$. Or $g\left(4\right)=-1$ d'où $$-4+b=-1\iff b=3$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-x+3$.

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5. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation : ${\displaystyle \frac{7-2x}{x-3}}⩾3-x$.
   En déduire la position relative des courbes ${𝒞}_f$ et d.

   Pour tout réel $x\ne 3$ :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{7-2x}{x-3}}⩾3-x& \iff & {\displaystyle \frac{7-2x}{x-3}}-3+x⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{7-2x+{\left(x-3\right)}^2}{x-3}}⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{7-2x+x^2-6x+9}{x-3}}⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^2-8x+16}{x-3}}⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\left(x-4\right)}^2}{x-3}}⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{{\left(x-4\right)}^2}{x-3}}$ à l'aide d'un tableau :

   x	$-\infty$		3		4		$+\infty$
   Signe de ${\left(x-4\right)}^2$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $x-3$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   Signe de ${\displaystyle \frac{{\left(x-4\right)}^2}{x-3}}$		−		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   • L'ensemble des solutions de l'inéquation ${\displaystyle \frac{7-2x}{x-3}}⩾3-x$ est l'intervalle $S=\left]3;+\infty \right[$. Soit $f\left(x\right)⩾g\left(x\right)$ pour tout réel x de l'intervalle $\left]3;+\infty \right[$.
   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;3\right[$, la courbe $C_f$ est en dessous de la droite d.
   • Sur l'intervalle $\left]3;+\infty \right[$, la courbe $C_f$ est en dessus de la droite d.

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