contrôle du 16 février 2006

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ l'équation suivante : $\left(7-3x\right)\left(x+3\right)=x^2-9$

$$\begin{array}{lll}\left(7-3x\right)\left(x+3\right)=x^2-9& \iff & \left(7-3x\right)\left(x+3\right)-\left(x^2-9\right)=0\\ & \iff & \left(7-3x\right)\left(x+3\right)-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0\\ & \iff & \left(x+3\right)\left[\left(7-3x\right)-\left(x-3\right)\right]=0\\ & \iff & \left(x+3\right)\left(7-3x-x+3\right)=0\\ & \iff & \left(x+3\right)\left(10-4x\right)=0\end{array}$$

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des facteurs est nul. D'où : $$\begin{array}{lrrcr}\left(x+3\right)\left(10-4x\right)=0& \text{équivaut à}& x+3=0& \text{ou}& 10-4x=0\\ & \text{soit}& x=-3& \text{ou}& x={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

Ainsi, l'ensemble S des solutions de l'équation $\left(7-3x\right)\left(x+3\right)=x^2-9$ est $S=\left\{-3;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right\}$.

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